1
00:00:01,590 --> 00:00:08,169
Bueno, venga, buenos días. Vamos a empezar corrigiendo el examen de bachillerato que puse el otro día,

2
00:00:08,289 --> 00:00:16,510
que es un poco la idea de lo que os puede entrar, es decir, ejercicios de límites y derivadas del estilo de lo que hemos visto.

3
00:00:17,429 --> 00:00:26,370
Entonces, este es el examen. Si veis, tenemos los cuatro primeros ejercicios son de límites y continuidad,

4
00:00:26,370 --> 00:00:29,210
y los siguientes son de derivadas.

5
00:00:31,589 --> 00:00:32,990
Vamos a empezar haciendo el primero.

6
00:00:36,909 --> 00:00:40,969
Aquí nos dice que calculamos el límite de una función en tres puntos, en cero, en tres y en cinco.

7
00:00:41,049 --> 00:00:46,590
Esto es una función definida a trozos, donde el único problema que nos podríamos encontrar es el punto de ruptura,

8
00:00:46,789 --> 00:00:53,030
porque las funciones son continuas en los otros dos trozos, así que el apartado a y el apartado c no tienen ningún problema.

9
00:00:53,689 --> 00:00:58,570
Lo único que tengo que hacer es, en el apartado a, calculo el límite de la función cuando x tiende a cero,

10
00:00:58,570 --> 00:01:02,170
sustituyendo el punto como 0 menor que 3, pues 2 por 0

11
00:01:02,170 --> 00:01:06,109
esto es 2 por 0, 0, y no hay ningún problema

12
00:01:06,109 --> 00:01:10,189
calculo primero el c, que tampoco tiene ningún problema, el límite de la función

13
00:01:10,189 --> 00:01:14,209
cuando x tiende a 5, pues me tendría que ir a la derecha del 3

14
00:01:14,209 --> 00:01:17,790
entonces sustituyo arriba 25 menos 9, 16

15
00:01:17,790 --> 00:01:20,329
y abajo 25 menos 15, 10

16
00:01:20,329 --> 00:01:25,530
pues esto entre 2, pues 8 quintos

17
00:01:25,530 --> 00:01:29,430
este sería el límite del A y del C

18
00:01:29,430 --> 00:01:33,510
en el caso del B, ahí tengo que calcular el límite por la izquierda

19
00:01:33,510 --> 00:01:34,450
y por la derecha

20
00:01:34,450 --> 00:01:39,829
el límite por la izquierda, si yo me acerco al 3 por la izquierda

21
00:01:39,829 --> 00:01:42,829
tendré que coger el primer trozo, 2 por 3 es 6

22
00:01:42,829 --> 00:01:49,159
y el límite, si me acerco al 3 por la derecha

23
00:01:49,159 --> 00:01:51,920
tendré que sustituirlo aquí, 9 menos 9 es 0

24
00:01:51,920 --> 00:01:56,840
con lo cual nos obliga, esto es una indeterminación

25
00:01:56,840 --> 00:01:59,599
pues nos obliga a hacer una factorización

26
00:01:59,599 --> 00:02:03,060
en este caso, como la parte de arriba es una identidad notable

27
00:02:03,060 --> 00:02:04,920
y abajo puedo sacar factor común

28
00:02:04,920 --> 00:02:07,879
pues arriba es x más 3 por x menos 3

29
00:02:07,879 --> 00:02:10,759
y abajo es x por x menos 3

30
00:02:10,759 --> 00:02:11,719
esto se nos va

31
00:02:11,719 --> 00:02:13,960
y ahora ya sí que puedo sustituir el 3

32
00:02:13,960 --> 00:02:15,939
porque he eliminado la indeterminación

33
00:02:15,939 --> 00:02:19,020
3 y 3 es 6, 6 entre 3 es 2

34
00:02:19,020 --> 00:02:21,419
bueno, ese sería el primer ejercicio

35
00:02:21,419 --> 00:02:25,280
en el segundo ejercicio nos dice que

36
00:02:25,280 --> 00:02:28,759
resolvamos los límites y que representemos

37
00:02:28,759 --> 00:02:32,199
que representemos significa que si me sale una asíntota

38
00:02:32,199 --> 00:02:36,979
tengo que escribir cómo se aproxima la función a esa asíntota

39
00:02:36,979 --> 00:02:39,080
bueno, pues en el primer caso, por ejemplo

40
00:02:39,080 --> 00:02:41,780
si yo sustituyo el 1

41
00:02:41,780 --> 00:02:44,860
en el apartado A, si sustituimos el 1

42
00:02:44,860 --> 00:02:49,259
tenemos el límite cuando x tiende a 1

43
00:02:49,259 --> 00:02:51,780
de 1 menos 1, 0

44
00:02:51,780 --> 00:02:55,599
y arriba me queda 1 entre 0

45
00:02:55,599 --> 00:02:57,780
1 entre 0 es una indeterminación

46
00:02:57,780 --> 00:03:04,099
a ver que bajo esto un poco, que parece que hay mucha luz de fuera

47
00:03:04,099 --> 00:03:09,379
esto es una asíntota vertical

48
00:03:09,379 --> 00:03:14,680
esto es una asíntota vertical en x igual a 1

49
00:03:14,680 --> 00:03:18,159
y lo que tengo que hacer es representarla

50
00:03:18,159 --> 00:03:23,719
es decir, ver que le pasa a la función

51
00:03:23,719 --> 00:03:26,240
cuando nosotros nos acercamos al 1, ¿vale?

52
00:03:26,300 --> 00:03:27,500
Esta es la asíntota vertical

53
00:03:27,500 --> 00:03:30,860
y tengo que estudiar lo que pasa a la izquierda y a la derecha.

54
00:03:31,159 --> 00:03:31,939
¿Cómo hago eso?

55
00:03:32,400 --> 00:03:37,020
Con una calculadora o mirando directamente la función.

56
00:03:37,460 --> 00:03:39,319
Si yo me acerco al 1 por la izquierda,

57
00:03:39,620 --> 00:03:41,580
yo ya sé que se va a ir a infinito, ¿vale?

58
00:03:42,000 --> 00:03:43,719
Yo ya sé que esto se va a ir a infinito

59
00:03:43,719 --> 00:03:44,939
porque es una asíntota vertical.

60
00:03:45,099 --> 00:03:48,500
Lo que tengo que elegir es si es más infinito o menos infinito.

61
00:03:49,379 --> 00:03:52,159
Vale, pues nos fijamos en el numerador, ¿vale?

62
00:03:52,199 --> 00:03:53,379
Nos fijamos en el numerador.

63
00:03:53,719 --> 00:03:59,780
Si yo me acerco al 1 por la izquierda, lo estoy haciendo por valores menores que 1, por ejemplo el 0,9.

64
00:04:00,000 --> 00:04:02,060
El numerador siempre va a ser positivo.

65
00:04:03,360 --> 00:04:08,819
Y el denominador, como me estoy acercando por valores más pequeños que 1, el denominador va a ser negativo.

66
00:04:09,419 --> 00:04:10,800
Pues más entre menos, menos.

67
00:04:11,120 --> 00:04:12,219
Más entre menos, menos.

68
00:04:13,520 --> 00:04:15,099
Esto es menos infinito.

69
00:04:15,639 --> 00:04:20,060
Luego, si me acerco al 1 por la izquierda, la función se va a menos infinito.

70
00:04:20,060 --> 00:04:22,480
si hago lo mismo por la derecha

71
00:04:22,480 --> 00:04:25,120
entonces el límite

72
00:04:25,120 --> 00:04:27,279
cuando me acerco al 1 por la derecha

73
00:04:27,279 --> 00:04:29,720
de x cuadrado partido de x menos 1

74
00:04:29,720 --> 00:04:33,339
pasa lo mismo, vuelve a ser o más infinito

75
00:04:33,339 --> 00:04:34,759
o menos infinito

76
00:04:34,759 --> 00:04:36,379
vuelvo a mirar el numerador

77
00:04:36,379 --> 00:04:41,620
como está al cuadrado el numerador siempre va a ser positivo

78
00:04:41,620 --> 00:04:46,240
y ahora me estoy acercando por valores mayores que 1

79
00:04:46,240 --> 00:04:49,259
luego el denominador también va a ser positivo

80
00:04:49,259 --> 00:04:59,160
En este caso es muy sencillo. Si no, metéis un valor 1,1 en la calculadora, más y más, más, es decir, en este caso es más infinito.

81
00:04:59,339 --> 00:05:06,439
Me quedo con más infinito y significa que cuando me acerco al 1 por la derecha, la función se aproxima al más infinito.

82
00:05:06,439 --> 00:05:09,839
en el apartado B hacemos exactamente lo mismo

83
00:05:09,839 --> 00:05:19,410
es decir, nos está pidiendo el límite cuando x tiende a menos 2

84
00:05:19,410 --> 00:05:24,250
y ahora la función es x cuadrado partido de x cuadrado más 2x

85
00:05:24,250 --> 00:05:27,050
bueno, pues si yo me acerco al menos 2 por la izquierda

86
00:05:27,050 --> 00:05:29,350
bueno, primero sustituimos, arriba me queda 4

87
00:05:29,350 --> 00:05:31,930
y abajo me queda 4 menos 4 es 0

88
00:05:31,930 --> 00:05:35,850
luego vuelvo a tener una asíntota vertical en este caso

89
00:05:35,850 --> 00:05:38,430
en x igual a menos 2

90
00:05:38,430 --> 00:05:41,870
bueno, por lo mismo de antes

91
00:05:41,870 --> 00:05:42,870
tengo que decir

92
00:05:42,870 --> 00:05:44,550
qué pasa ahora

93
00:05:44,550 --> 00:05:47,310
este es menos uno, este es menos dos

94
00:05:47,310 --> 00:05:49,850
yo ya sé que hay una asíntota vertical

95
00:05:49,850 --> 00:05:50,709
en menos dos

96
00:05:50,709 --> 00:05:56,089
y tengo que estudiar su comportamiento

97
00:05:56,089 --> 00:05:57,089
el comportamiento de la función

98
00:05:57,089 --> 00:05:58,769
vamos a ver lo mismo

99
00:05:58,769 --> 00:06:00,410
si me acerco al menos dos

100
00:06:00,410 --> 00:06:02,769
por la izquierda

101
00:06:02,769 --> 00:06:05,970
si me acerco al menos dos por la izquierda

102
00:06:05,970 --> 00:06:09,550
de nuevo sé que esto es

103
00:06:09,550 --> 00:06:11,110
¿Más infinito o menos infinito?

104
00:06:11,470 --> 00:06:13,069
Volvemos a jugar con el numerador.

105
00:06:14,430 --> 00:06:19,310
Entonces, x cuadrado, si yo me acerco, como el numerador es al cuadrado, yo ya sé que eso es positivo.

106
00:06:20,050 --> 00:06:26,170
Y el denominador, si me acerco por la izquierda, pues podéis sustituir en la calculadora menos 2,1.

107
00:06:26,449 --> 00:06:35,209
Pero menos 2,1 al cuadrado más 2 por menos 2,1, como esto va a ser positivo y esto negativo, el positivo va a ser mayor.

108
00:06:36,110 --> 00:06:39,269
Así que esto va a ser más entre más, más infinito.

109
00:06:39,269 --> 00:06:44,209
Si me acerco por la izquierda, la función se va a más infinito.

110
00:06:44,990 --> 00:06:56,199
Y si me acerco por la derecha, de nuevo tengo que elegir entre más infinito o menos infinito.

111
00:06:56,920 --> 00:07:05,040
Y digo, numerador positivo y denominador, si me acerco por la derecha, lo hago por valores menores, es decir, menos 1,9.

112
00:07:05,959 --> 00:07:11,779
Bueno, pues en ese caso lo que voy a tener es un valor negativo.

113
00:07:11,779 --> 00:07:20,079
tendré que dibujar que la función se aproxima

114
00:07:20,079 --> 00:07:22,439
a la asíntota pero hacia menos infinito

115
00:07:22,439 --> 00:07:27,180
bueno, pues este era el ejercicio 2, nos vamos al ejercicio 3

116
00:07:27,180 --> 00:07:30,839
en el ejercicio 3 nos vuelve a pedir un límite puntual

117
00:07:30,839 --> 00:07:35,959
dos límites en un punto, si sustituimos en el apartado A

118
00:07:35,959 --> 00:07:38,319
el límite cuando x tiende a 1

119
00:07:38,319 --> 00:07:43,339
en este caso tengo 1 menos 1, es decir 0 entre 0

120
00:07:43,339 --> 00:07:48,399
indeterminación en la que tengo que factorizar como en uno de los apartados del ejercicio 1

121
00:07:48,399 --> 00:07:51,259
si factorizo tengo que hacer Ruffini

122
00:07:51,259 --> 00:07:54,420
pero bueno, aquí puedo jugar otra vez con las identidades notables

123
00:07:54,420 --> 00:07:57,839
y decir que esto es el límite cuando x tiende a 1

124
00:07:57,839 --> 00:08:03,019
y el numerador es x cuadrado más 1 por x cuadrado menos 1

125
00:08:03,019 --> 00:08:05,459
y el denominador es x cuadrado menos 1

126
00:08:05,459 --> 00:08:09,259
con lo cual esto y esto se va y ahora ya sí que puedo sustituir y el límite es 2

127
00:08:09,259 --> 00:08:13,660
en el apartado b, el límite cuando x tiende a 2

128
00:08:13,660 --> 00:08:17,199
si sustituyo aquí, me vuelve a quedar 4 menos 4 es 0 arriba

129
00:08:17,199 --> 00:08:20,899
y 2 menos 2 es 0 abajo, vuelve a ser del mismo estilo, la indeterminación

130
00:08:20,899 --> 00:08:24,800
tengo que volver a factorizar, vale, si factorizo

131
00:08:24,800 --> 00:08:29,980
arriba, claro, porque abajo ya está descompuesto el polinomio

132
00:08:29,980 --> 00:08:33,600
abajo me queda

133
00:08:33,600 --> 00:08:37,980
x-2 y arriba me va a quedar x-2 por la otra solución

134
00:08:37,980 --> 00:08:41,399
bueno, ¿cómo factorizo? como es una ecuación de segundo grado

135
00:08:41,399 --> 00:08:44,799
pues puedo resolverla o puedo hacerlo fin y lo que queráis

136
00:08:44,799 --> 00:08:48,179
entonces resuelvo por

137
00:08:48,179 --> 00:08:53,340
la ecuación de segundo grado y esto es menos b más menos raíz cuadrada

138
00:08:53,340 --> 00:08:57,240
de 1 más 4, esto es 9, la raíz de 9 es 3

139
00:08:57,240 --> 00:09:01,179
partido por 2, 3 y 1, 4 entre 2, 2, 1 menos 3 menos 2 entre 2

140
00:09:01,179 --> 00:09:04,759
menos 1, vale, pues esta es la x menos 2 de arriba

141
00:09:04,759 --> 00:09:08,299
y abajo x más 1

142
00:09:08,299 --> 00:09:14,549
x menos 2, x menos 2 se van, y ahora ya, como esto es el límite cuando x tiende a 2

143
00:09:14,549 --> 00:09:17,629
pues ya puedo sustituir 2 y 1, 3

144
00:09:17,629 --> 00:09:20,649
y como se tengo el ejercicio 3

145
00:09:20,649 --> 00:09:25,789
nos vamos al ejercicio 4, y en el ejercicio 4 ya nos piden discontinuidades

146
00:09:25,789 --> 00:09:30,009
y nos dice que estudiemos donde son discontinuas estas funciones

147
00:09:30,009 --> 00:09:46,690
Vale, en el apartado A. El apartado A es una función definida a trozos. El lado de la izquierda es una parábola, luego es continua, el lado de la derecha es una recta, es continua, el único punto que puede ser problemático es el punto de ruptura.

148
00:09:46,690 --> 00:10:00,549
Pues estudiamos la función cuando x se acerca a 1 por la izquierda, que es 1 menos 1 es 0, y estudiamos la función cuando x se acerca a 1 por la derecha.

149
00:10:00,629 --> 00:10:02,409
Si me acerco por la derecha, 1 menos 1 es 0.

150
00:10:03,169 --> 00:10:06,289
Luego, si os acordáis, para estudiar la continuidad había que comprobar tres cosas.

151
00:10:06,470 --> 00:10:09,409
Primero, que los límites laterales existen y coinciden.

152
00:10:09,409 --> 00:10:11,549
se da. Segundo

153
00:10:11,549 --> 00:10:13,210
segunda cosa

154
00:10:13,210 --> 00:10:15,669
la segunda cosa

155
00:10:15,669 --> 00:10:17,070
que la función está definida en el punto

156
00:10:17,070 --> 00:10:18,889
la función sí está definida en el punto

157
00:10:18,889 --> 00:10:21,529
f está definida en el 1

158
00:10:21,529 --> 00:10:26,759
y la tercera

159
00:10:26,759 --> 00:10:27,740
cosa es que

160
00:10:27,740 --> 00:10:29,740
la función en el 1 coincida

161
00:10:29,740 --> 00:10:32,240
pero f de 1 vale 0

162
00:10:32,240 --> 00:10:33,820
luego la función

163
00:10:33,820 --> 00:10:35,879
es continua en todos los puntos

164
00:10:35,879 --> 00:10:37,480
continua en todos los puntos

165
00:10:37,480 --> 00:10:39,399
si nos vamos al segundo

166
00:10:39,399 --> 00:10:42,100
me vuelve a pasar lo mismo

167
00:10:42,100 --> 00:10:44,259
porque esta función que es un cociente

168
00:10:44,259 --> 00:10:45,899
podría presentar un problema

169
00:10:45,899 --> 00:10:48,159
bueno, presenta un problema

170
00:10:48,159 --> 00:10:49,480
perdón, presenta un problema

171
00:10:49,480 --> 00:10:51,879
en x igual 0, luego aquí hay que estudiar

172
00:10:51,879 --> 00:10:53,379
dos puntos, vale

173
00:10:53,379 --> 00:10:55,620
más que estudiar, como nos está pidiendo

174
00:10:55,620 --> 00:10:57,860
donde son discontinuas, sabemos

175
00:10:57,860 --> 00:10:59,960
que en el valor que anula

176
00:10:59,960 --> 00:11:01,000
el denominador

177
00:11:01,000 --> 00:11:04,000
es discontinua, hay una asíntota vertical

178
00:11:04,000 --> 00:11:06,200
luego en x igual 0

179
00:11:06,200 --> 00:11:08,360
decimos primero en x igual 0

180
00:11:08,360 --> 00:11:10,159
hay una discontinuidad

181
00:11:10,159 --> 00:11:12,200
¿Por qué? Porque hay una asíntota vertical.

182
00:11:15,220 --> 00:11:20,039
Aquí no me está diciendo que dibuje la función si se va hacia arriba o hacia abajo, solamente donde es discontinua.

183
00:11:20,539 --> 00:11:23,740
Pues en x igual a cero es discontinua.

184
00:11:24,500 --> 00:11:26,179
¿Qué otro punto me puede dar problemas?

185
00:11:27,120 --> 00:11:28,220
El punto de ruptura.

186
00:11:28,740 --> 00:11:30,779
El punto de ruptura es x igual a 2.

187
00:11:30,960 --> 00:11:32,200
Pues tendría que volver a hacer lo mismo.

188
00:11:33,539 --> 00:11:35,159
El límite lateral por la izquierda.

189
00:11:36,059 --> 00:11:37,799
El límite lateral por la izquierda.

190
00:11:37,799 --> 00:12:02,870
Si yo me acerco al 2 por la izquierda, pues es 4 entre 2, 2. 4 entre 2, 2. Y el límite por la derecha es 2. Bueno, pues como coinciden los límites, el valor de la función, o mejor dicho, segundo, la función está definida en el punto y f de 2 es 2, es continua.

191
00:12:02,870 --> 00:12:08,350
El único punto de discontinuidad es el x igual a 0. Solo hay un punto de discontinuidad en x igual a 0.

192
00:12:09,129 --> 00:12:19,029
Y en la última, antes de volvernos locos a estudiar el límite lateral por la izquierda y por la derecha y demás, pues miramos que no está definida en 3.

193
00:12:19,350 --> 00:12:23,409
La función no está definida en 3 porque hay un trozo para x menor y otro para x mayor.

194
00:12:23,870 --> 00:12:29,990
La función no está definida en 3, luego no cumple la segunda condición, así que f no es continua.

195
00:12:29,990 --> 00:12:32,289
esto es una discontinuidad evitable

196
00:12:32,289 --> 00:12:35,289
no es continua en x igual 3

197
00:12:35,289 --> 00:12:38,470
en el resto

198
00:12:38,470 --> 00:12:40,669
no hay problema porque es una función exponencial

199
00:12:40,669 --> 00:12:42,409
y una función raíz que está definida

200
00:12:42,409 --> 00:12:44,309
para x mayor que 3, no hay ningún problema

201
00:12:44,309 --> 00:12:47,149
termino este primer vídeo

202
00:12:47,149 --> 00:12:48,950
con el ejercicio

203
00:12:48,950 --> 00:12:51,690
de calcular la derivada

204
00:12:51,690 --> 00:12:53,509
pero ojo, usando la definición

205
00:12:53,509 --> 00:12:55,769
usando la definición

206
00:12:55,769 --> 00:12:57,629
lo único que hay que tener

207
00:12:57,629 --> 00:12:59,889
es un poco de cuidado con las operaciones aritméticas

208
00:12:59,889 --> 00:13:03,889
que nos salen, y os recuerdo que como me dice la derivada

209
00:13:03,889 --> 00:13:08,070
de f de x usando la definición, pues esto es f' de x

210
00:13:08,070 --> 00:13:12,009
es el límite cuando h tiende a 0

211
00:13:12,009 --> 00:13:15,409
de f de x más h

212
00:13:15,409 --> 00:13:20,009
menos f de x partido por h, esa es la definición

213
00:13:20,009 --> 00:13:24,009
si yo sustituyo, eso es el límite cuando h tiende a 0

214
00:13:24,009 --> 00:13:27,049
f de x más h, es sustituir donde pone x

215
00:13:27,049 --> 00:13:30,649
pongo 1, donde pone x pongo x más h

216
00:13:30,649 --> 00:13:34,370
es decir que esto es x más h más 2 al cuadrado

217
00:13:34,370 --> 00:13:38,789
menos 1 partido f de x que es la propia definición

218
00:13:38,789 --> 00:13:42,669
de la función x más 2 al cuadrado y todo dividido

219
00:13:42,669 --> 00:13:45,210
entre h, pues ahora esto es operarlo

220
00:13:45,210 --> 00:13:50,629
por eso os digo que hay que tener mucho cuidado con las operaciones, voy a coger esto

221
00:13:50,629 --> 00:13:54,169
y lo voy a hacer aparte para no equivocarme

222
00:13:54,169 --> 00:13:56,210
y lo que me dé, pues luego vuelvo aquí

223
00:13:56,210 --> 00:13:58,950
voy a hacer esa operación del numerador

224
00:13:58,950 --> 00:14:03,730
1 partido de x más h más 2 al cuadrado

225
00:14:03,730 --> 00:14:08,690
menos 1 partido de x más 2 al cuadrado

226
00:14:08,690 --> 00:14:10,830
a ver que nos sale

227
00:14:10,830 --> 00:14:13,230
lo primero, eso será

228
00:14:13,230 --> 00:14:15,370
si multiplico en cruz

229
00:14:15,370 --> 00:14:17,529
pues x más 2 al cuadrado

230
00:14:17,529 --> 00:14:22,409
menos x más h más 2 al cuadrado

231
00:14:22,409 --> 00:14:25,049
y abajo el producto de los denominadores

232
00:14:25,049 --> 00:14:27,549
x más h más 2 al cuadrado

233
00:14:27,549 --> 00:14:30,429
por x más 2 al cuadrado

234
00:14:30,429 --> 00:14:30,950
vale

235
00:14:30,950 --> 00:14:34,149
pues hay que hacer la operación esta del numerador

236
00:14:34,149 --> 00:14:35,549
donde lo único que hay

237
00:14:35,549 --> 00:14:38,009
un poquito más problemático

238
00:14:38,009 --> 00:14:40,049
es el x más h más 2 al cuadrado

239
00:14:40,049 --> 00:14:41,370
porque es un trinomio

240
00:14:41,370 --> 00:14:43,269
bueno, pues podría hacerlo

241
00:14:43,269 --> 00:14:45,110
como un binomio de Newton

242
00:14:45,110 --> 00:14:46,590
lo más sencillo

243
00:14:46,590 --> 00:14:50,250
multiplico, esto es x más h más 2 al cuadrado

244
00:14:50,250 --> 00:14:51,049
pues multiplico

245
00:14:51,049 --> 00:14:53,809
x más h más 2, me voy aparte

246
00:14:53,809 --> 00:14:55,669
a la hojita de operaciones que os damos

247
00:14:55,669 --> 00:14:58,389
y cogeis x más h más 2

248
00:14:58,389 --> 00:15:00,970
por x más h más 2

249
00:15:00,970 --> 00:15:02,750
y lo multiplico con cuidadito

250
00:15:02,750 --> 00:15:05,789
que esto lo hemos aprendido en segundo o tercero

251
00:15:05,789 --> 00:15:07,029
es un producto de polinomios

252
00:15:07,029 --> 00:15:09,690
venga, pues 2 por 2, 4

253
00:15:09,690 --> 00:15:11,909
2 por h, 2h

254
00:15:11,909 --> 00:15:14,850
y 2 por x, 2x

255
00:15:14,850 --> 00:15:16,950
ahora el h, h por 2, 2h

256
00:15:16,950 --> 00:15:19,490
lo vamos colocando debajo del monomio que le corresponde

257
00:15:19,490 --> 00:15:26,190
H por H, H al cuadrado. Y H por X, XH, que todavía no hay ninguno, pues aquí.

258
00:15:26,909 --> 00:15:34,009
Y por último el X. X por 2, 2X. Aquí hay uno, pues 2X. X por H, XH, que tengo aquí otro.

259
00:15:34,990 --> 00:15:49,190
Y X por X, X al cuadrado, que también es el único que aparece. Así que ese producto es X al cuadrado más 2XH más H al cuadrado más 4X más 4H más 4.

260
00:15:49,490 --> 00:15:51,190
vale, pues lo voy a colocar allí

261
00:15:51,190 --> 00:15:55,299
o sea que esto es

262
00:15:55,299 --> 00:15:57,940
este cuadrado

263
00:15:57,940 --> 00:15:59,200
si que lo puedo desarrollar

264
00:15:59,200 --> 00:16:01,279
porque el cuadrado es una identidad notable

265
00:16:01,279 --> 00:16:03,620
cuadrado del primero más cuadrado del segundo

266
00:16:03,620 --> 00:16:05,539
más el doble del primero por el segundo

267
00:16:05,539 --> 00:16:06,879
y todo lo que viene a continuación

268
00:16:06,879 --> 00:16:08,000
que es lo que me ha salido aquí

269
00:16:08,000 --> 00:16:10,139
lo voy a ir colocando

270
00:16:10,139 --> 00:16:12,000
con valor negativo

271
00:16:12,000 --> 00:16:14,399
es decir, menos x al cuadrado

272
00:16:14,399 --> 00:16:17,000
menos 2xh

273
00:16:17,000 --> 00:16:19,419
menos h al cuadrado

274
00:16:19,419 --> 00:16:20,980
menos 4x

275
00:16:20,980 --> 00:16:24,720
menos 4H menos 4

276
00:16:24,720 --> 00:16:28,600
y abajo sigo dejando el X más H más 2 al cuadrado

277
00:16:28,600 --> 00:16:32,580
por X más 2 al cuadrado, y ahora lo vamos eliminando

278
00:16:32,580 --> 00:16:36,440
X cuadrado de aquí y menos X cuadrado de aquí

279
00:16:36,440 --> 00:16:40,759
me lo cargo, 4X de aquí menos 4X de aquí

280
00:16:40,759 --> 00:16:44,580
me lo cargo, y menos 4 y 4 me lo cargo

281
00:16:44,580 --> 00:16:47,799
¿qué nos ha quedado? pues nos queda

282
00:16:47,799 --> 00:16:53,620
menos 2xh menos h al cuadrado menos 4h

283
00:16:53,620 --> 00:16:57,419
es decir, menos h al cuadrado

284
00:16:57,419 --> 00:17:00,879
menos 4h

285
00:17:00,879 --> 00:17:05,289
y menos 2xh

286
00:17:05,289 --> 00:17:13,329
partido por x más h más 2 al cuadrado

287
00:17:13,329 --> 00:17:15,269
por x más 2 al cuadrado

288
00:17:15,269 --> 00:17:19,250
bueno, pues si, estaréis pensando que este ejercicio es

289
00:17:19,250 --> 00:17:21,490
yo no digo difícil, pero sí que es laborioso

290
00:17:21,490 --> 00:17:23,230
porque realmente lo único que son

291
00:17:23,230 --> 00:17:25,750
no equivocas en las operaciones, pero son operaciones

292
00:17:25,750 --> 00:17:27,650
de polinomios, ¿vale?

293
00:17:28,670 --> 00:17:30,029
bueno, pues no olvidar

294
00:17:30,029 --> 00:17:31,670
no hay que olvidar que lo que estábamos

295
00:17:31,670 --> 00:17:33,829
haciendo era el numerador

296
00:17:33,829 --> 00:17:35,569
esto que tengo aquí en rojo, estábamos

297
00:17:35,569 --> 00:17:37,609
haciendo eso, es decir que lo que

298
00:17:37,609 --> 00:17:39,509
tengo ahora aquí es el resultado

299
00:17:39,509 --> 00:17:41,630
del numerador, pues vuelvo

300
00:17:41,630 --> 00:17:44,069
¿vale? vuelvo aquí

301
00:17:44,069 --> 00:17:45,470
vuelvo aquí

302
00:17:45,470 --> 00:17:48,009
pongo aquí el 1

303
00:17:48,009 --> 00:17:50,549
para que veáis que continúo por allí

304
00:17:50,549 --> 00:17:52,250
ya está casi hecho

305
00:17:52,250 --> 00:17:55,670
el límite cuando h tiende a 0

306
00:17:55,670 --> 00:17:58,109
del numerador, que el numerador me ha salido esto

307
00:17:58,109 --> 00:18:00,930
le voy a sacar factor común a la h

308
00:18:00,930 --> 00:18:02,910
le voy a sacar factor común a la h

309
00:18:02,910 --> 00:18:04,470
arriba

310
00:18:04,470 --> 00:18:08,809
h que multiplicará a menos h

311
00:18:08,809 --> 00:18:12,029
menos 4, menos 2x

312
00:18:12,029 --> 00:18:14,750
bien, y abajo me queda

313
00:18:14,750 --> 00:18:18,509
x más h más 2 al cuadrado

314
00:18:18,509 --> 00:18:20,930
por x más 2 al cuadrado

315
00:18:20,930 --> 00:18:23,630
y ojo, dividido entre h

316
00:18:23,630 --> 00:18:26,509
es decir, esto sería dividido entre h

317
00:18:26,509 --> 00:18:30,750
aquí pongo un 1, este h, como las divisiones multiplican en cruz

318
00:18:30,750 --> 00:18:32,670
este h se viene aquí

319
00:18:32,670 --> 00:18:34,609
¿vale? se viene ahí

320
00:18:34,609 --> 00:18:39,009
y ahora esta de aquí, estos son los trucos

321
00:18:39,009 --> 00:18:42,130
este es el truco de la derivada usando la definición

322
00:18:42,130 --> 00:18:43,750
tiene que desaparecer la h

323
00:18:43,750 --> 00:18:46,289
para que pueda sustituir

324
00:18:46,289 --> 00:18:47,910
tiene que desaparecer la h de abajo

325
00:18:47,910 --> 00:18:49,809
para que pueda sustituir ahora

326
00:18:49,809 --> 00:18:51,710
donde pone h pongo 0

327
00:18:51,710 --> 00:18:53,369
¿vale? ahora

328
00:18:53,369 --> 00:18:56,349
si que puedo sustituir donde pone h

329
00:18:56,349 --> 00:18:58,190
pongo 0, pues ese límite

330
00:18:58,190 --> 00:19:00,329
¿cuándo será? si yo aquí pongo un 0 me sale

331
00:19:00,329 --> 00:19:01,970
menos 4

332
00:19:01,970 --> 00:19:03,789
menos 2x en el numerador

333
00:19:03,789 --> 00:19:06,269
y abajo me sale x más 2

334
00:19:06,269 --> 00:19:07,690
al cuadrado porque hay una h

335
00:19:07,690 --> 00:19:10,410
x más 2 al cuadrado por x más 2

336
00:19:10,410 --> 00:19:10,990
al cuadrado

337
00:19:10,990 --> 00:19:14,829
eso ya estaría bien, pero vamos a

338
00:19:14,829 --> 00:19:19,289
ya que lo tenemos casi hecho, yo arriba voy a sacar

339
00:19:19,289 --> 00:19:23,329
factor común a menos 2, a menos 2, si saco factor común

340
00:19:23,329 --> 00:19:26,289
a menos 2, me queda x

341
00:19:26,289 --> 00:19:31,569
más 2, mira que es lo mismo, menos 2x

342
00:19:31,569 --> 00:19:35,569
menos 4, y abajo x más 2

343
00:19:35,569 --> 00:19:39,410
elevado a 2 más 2, 4, porque esto es un producto

344
00:19:39,410 --> 00:19:41,809
de potencias de la misma base, se suman los oponentes

345
00:19:41,809 --> 00:19:43,549
bueno, pues aquí hay

346
00:19:43,549 --> 00:19:45,210
un x más 2 y abajo hay 4

347
00:19:45,210 --> 00:19:47,329
pues este se va y abajo

348
00:19:47,329 --> 00:19:48,589
me van a quedar 3

349
00:19:48,589 --> 00:19:51,349
menos 2 partido de x más 2

350
00:19:51,349 --> 00:19:53,490
al cubo, esta es la

351
00:19:53,490 --> 00:19:55,430
derivada de la función

352
00:19:55,430 --> 00:19:56,430
que nos decían

353
00:19:56,430 --> 00:19:59,230
usando la definición

354
00:19:59,230 --> 00:20:00,170
¿vale?

355
00:20:01,509 --> 00:20:03,730
bueno, pues voy a parar aquí este primer

356
00:20:03,730 --> 00:20:05,569
archivo

357
00:20:05,569 --> 00:20:07,190
para que no se haga demasiado grande

358
00:20:07,190 --> 00:20:08,750
que llevo 20 minutos

359
00:20:08,750 --> 00:20:12,529
y en el siguiente os hago los tres que faltan