1 00:00:04,780 --> 00:00:10,900 En este vídeo vamos a utilizar la ley de Gauss para calcularnos el campo eléctrico creado por un plano infinito 2 00:00:10,900 --> 00:00:14,339 cuya densidad de carga ahora es una densidad superficial 3 00:00:14,339 --> 00:00:21,859 y la representa la letra sigma que es la carga total dividido entre la superficie de este plano. 4 00:00:22,379 --> 00:00:26,980 Como es un plano infinito tendremos una carga infinita y una superficie infinita 5 00:00:26,980 --> 00:00:31,059 pero el cociente será constante y es esta densidad de carga. 6 00:00:31,059 --> 00:00:34,259 pues bien, como vamos a utilizar la ley de Gauss 7 00:00:34,259 --> 00:00:39,200 vamos a escribirnos la ley de Gauss 8 00:00:39,200 --> 00:00:44,600 y lo que nos dice la ley de Gauss es que el flujo de campo 9 00:00:44,600 --> 00:00:50,340 a través de una superficie cerrada 10 00:00:50,340 --> 00:00:57,119 va a ser la carga que encierra esta superficie 11 00:00:57,119 --> 00:01:00,079 entre epsilon sub c 12 00:01:00,079 --> 00:01:05,260 Pues bien, ¿cómo vamos a utilizar aquí la ley de Gauss? 13 00:01:05,459 --> 00:01:10,019 Ya hemos visto en vídeos anteriores que la ley de Gauss era muy útil cuando teníamos una simetría 14 00:01:10,019 --> 00:01:13,459 ¿Qué tipo de simetría tendremos en este caso? 15 00:01:14,200 --> 00:01:19,000 Observamos que simetría esférica no, porque si me muevo en este ángulo 16 00:01:19,000 --> 00:01:24,299 no tengo... sí que cambia el problema, me acerco al plano o me alejo 17 00:01:24,299 --> 00:01:30,840 En este caso vamos a observar que si yo me muevo así, el problema no cambia 18 00:01:30,840 --> 00:02:02,920 Y si me alejo de un eje, el problema tampoco cambia. Solo cambia si me muevo verticalmente a lo largo del eje Z. Por lo tanto, en las coordenadas, acercarme o alejarme de un eje, girar alrededor de ese eje, esto no cambia y sí cambia en el eje Z. 19 00:02:02,920 --> 00:02:15,379 Esto es una simetría cilíndrica también y como tengo una simetría cilíndrica voy a elegir una superficie cilíndrica. 20 00:02:15,860 --> 00:02:31,580 ¿Cuál es la superficie cilíndrica que voy a elegir? Pues voy a elegirme un cilindro que entre en el plano como así y siga por abajo hasta que termine. 21 00:02:31,580 --> 00:02:36,099 como este campo en principio podría depender de la distancia al plano 22 00:02:36,099 --> 00:02:37,780 tendría mucho sentido que eso fuese así 23 00:02:37,780 --> 00:02:43,599 vamos a decir que esta altura desde el plano hasta que termina el cilindro 24 00:02:43,599 --> 00:02:44,879 le voy a llamar A 25 00:02:44,879 --> 00:02:49,620 es la misma que esta altura desde el plano hacia abajo 26 00:02:49,620 --> 00:02:51,180 hasta que termina el cilindro 27 00:02:51,180 --> 00:02:53,879 también es A, sería menos A si queréis 28 00:02:53,879 --> 00:02:57,180 pero la distancia es A 29 00:02:57,180 --> 00:03:00,960 observemos cómo sería el plano 30 00:03:00,960 --> 00:03:11,039 Vamos a suponer que esta densidad de carga es positiva, si no es positiva pues simplemente le pondremos un signo menos a la carga, la densidad de carga será negativa y los vectores que yo dibujo cambiarán de sentido. 31 00:03:11,919 --> 00:03:21,939 ¿Cómo será el campo eléctrico en estos puntos de A? Pues bien, como esto tiene simetría la única opción es que vaya como el eje Z. 32 00:03:21,939 --> 00:03:26,500 si esto fuese así sería diferente si lo pidiese desde otro ángulo 33 00:03:26,500 --> 00:03:30,000 por lo tanto para que no varíe necesito que vaya vertical 34 00:03:30,000 --> 00:03:35,400 y suponiendo que la densidad es positiva se tiene que ir alejando 35 00:03:35,400 --> 00:03:37,800 aquí abajo irá así 36 00:03:37,800 --> 00:03:42,699 en cualquier punto sobre la superficie lateral de abajo irá hacia abajo 37 00:03:42,699 --> 00:03:45,960 y en la superficie lateral de arriba irá hacia arriba 38 00:03:45,960 --> 00:03:51,620 ¿Cómo es el vector diferencial de superficie en este caso? 39 00:03:51,939 --> 00:03:58,460 Pues fijémonos que, como en el caso del cilindro, tenemos las tapas y tenemos el lateral. 40 00:03:59,139 --> 00:04:02,580 Sobre el lateral tengo diferenciales de superficie como estos. 41 00:04:03,840 --> 00:04:07,020 Diferencial de superficie y diferencial de superficie. 42 00:04:07,520 --> 00:04:12,960 Que son perpendiculares al campo eléctrico, que es lo que estoy pintando en azul, que no le he puesto nombre, vamos a ponérselo. 43 00:04:14,020 --> 00:04:14,659 Campo eléctrico. 44 00:04:18,160 --> 00:04:23,420 Observamos que el vector diferencial de superficie en la superficie lateral es perpendicular al campo. 45 00:04:23,420 --> 00:04:35,220 Mientras que en las dos tapas el vector diferencial de superficie es paralelo al campo. 46 00:04:35,800 --> 00:04:43,079 Por lo tanto, ahora esta integral de aquí la vamos a dividir en tres partes, igual que en el caso del cilindro. 47 00:04:43,920 --> 00:04:50,779 Campo, producto escalar, diferencial de S a lo largo ahora es de todo el cilindro porque tenemos el circulito cerrado. 48 00:04:50,779 --> 00:04:59,220 va a ser igual, ahora ya no le pongo el dibujito de cerrado, a la superficie lateral de campo por diferencial de S 49 00:04:59,220 --> 00:05:16,300 más la tapa superior de campo por diferencial de S más la tapa inferior del campo por diferencial de S. 50 00:05:16,300 --> 00:05:21,540 en el caso lateral hemos observado que forman 90 grados 51 00:05:21,540 --> 00:05:24,860 por lo tanto el producto escalar será nulo 52 00:05:24,860 --> 00:05:28,120 y este término desaparece 53 00:05:28,120 --> 00:05:30,519 en el caso de la tapa superior y de la tapa inferior 54 00:05:30,519 --> 00:05:32,639 ocurre una cosa curiosa y es que 55 00:05:32,639 --> 00:05:34,800 como hemos elegido la misma distancia 56 00:05:34,800 --> 00:05:36,639 hasta cada tapa 57 00:05:36,639 --> 00:05:39,740 si yo ahora mismo le diese la vuelta al dibujo 58 00:05:39,740 --> 00:05:42,259 lo que haría es la tapa inferior sería la superior 59 00:05:42,259 --> 00:05:44,420 por lo tanto estas dos integrales de aquí 60 00:05:44,420 --> 00:05:45,860 esta y esta 61 00:05:45,860 --> 00:05:55,930 tienen que ser iguales, además este producto de aquí es simplemente el producto de módulos 62 00:05:55,930 --> 00:06:00,990 porque los vectores son paralelos, por lo tanto esta integral de aquí la puedo escribir 63 00:06:00,990 --> 00:06:07,629 estas dos, la pongo dos veces porque es la misma integral y ahora es la integral en una tapa 64 00:06:07,629 --> 00:06:12,870 me da igual la inferior o la superior porque son iguales hemos dicho de este campo 65 00:06:12,870 --> 00:06:18,389 por diferencial de s sin vectores porque ya son módulos porque son paralelos 66 00:06:18,389 --> 00:06:25,850 de nuevo si este campo depende de algo simplemente podría ser de esta distancia al plano y esa 67 00:06:25,850 --> 00:06:30,990 distancia al plano es constante por lo tanto el campo es constante y puede salir de la integral 68 00:06:30,990 --> 00:06:39,529 y esto es dos veces el campo por la integral en la tapa de diferencial de superficie este 69 00:06:39,529 --> 00:06:43,550 diferencial de superficie integrado en la tapa significa coger todos los trocitos de superficie 70 00:06:43,550 --> 00:06:48,529 de la tapa es decir la superficie de la tapa que no le hemos puesto radio a este cilindro que hemos 71 00:06:48,529 --> 00:07:06,449 escogido, vamos a ponérselo, esto de aquí es el radio r, por lo tanto la superficie de esta etapa, esto es 2e y la superficie de la c, el círculo, pi por r al cuadrado, que sería este 72 00:07:06,449 --> 00:07:16,790 círculo de aquí o el de abajo, el que nos guste más. Esto sería la parte izquierda de esta integral, sin embargo, ahora la parte derecha no tiene dos casos, solo tiene un caso, 73 00:07:16,790 --> 00:07:20,750 no puede estar dentro del plano porque como es un plano no puede estar dentro 74 00:07:20,750 --> 00:07:26,730 entonces vamos a calcularnos la carga interior de este cilindro de color rojo que hemos dibujado 75 00:07:26,730 --> 00:07:30,829 ¿cuánto es esta carga interior? pues es esta carga que está aquí dentro 76 00:07:30,829 --> 00:07:36,829 ¿por qué? porque en la parte de volumen hacia arriba y en la parte de volumen hacia abajo no hay carga 77 00:07:36,829 --> 00:07:39,389 solo hay esa carga que hemos marcado de color rojo 78 00:07:39,389 --> 00:07:46,550 la carga interior por lo tanto va a ser igual a la densidad de carga 79 00:07:46,550 --> 00:07:53,269 por la superficie interior, despejando de esta ecuación de aquí, pero la superficie interior 80 00:07:53,269 --> 00:08:02,589 coincide con la superficie de la tapa, es decir, es sigma por pi r cuadrado. Esto es lo que pondremos 81 00:08:02,589 --> 00:08:07,430 en la parte derecha de la ecuación y esto lo que pondremos en la parte izquierda, por lo tanto 82 00:08:07,430 --> 00:08:18,189 podemos igualar y decir que dos veces el campo por pi r cuadrado es igual a sigma por pi por r cuadrado 83 00:08:18,189 --> 00:08:25,850 dividido entre épsilon sub cero que es este épsilon sub cero podemos simplificar la superficie de la 84 00:08:25,850 --> 00:08:34,210 tapa por eso no era muy importante el radio y obtenemos que este campo va a ser pasamos el 2 85 00:08:34,210 --> 00:08:43,909 dividiendo y será sigma entre dos veces épsilon sur 0. ¿Qué observamos aquí? Si esta carga es negativa 86 00:08:43,909 --> 00:08:48,750 cambia el sentido. ¿Cuál es el sentido? Pues bien, en la etapa superior hemos dicho que iba hacia arriba 87 00:08:48,750 --> 00:08:54,009 y en la etapa inferior hemos dicho que iba hacia abajo. Para ponerle un vector a este campo 88 00:08:54,009 --> 00:09:03,309 necesitaremos incluir algo más que simplemente el vector unitario y será un signo y este signo 89 00:09:03,309 --> 00:09:15,389 lo vamos a escribir de esta forma que nos dice que si z es positiva el valor absoluto de z es el mismo z por lo tanto esto es más 1 90 00:09:15,389 --> 00:09:26,629 si z es negativa el valor absoluto de z es el opuesto del z de arriba al dividir nos dará menos 1 y el vector unitario k 91 00:09:26,629 --> 00:09:58,820 Ahora, si esto lo representamos en función de z, que es la variable que cambia, lo que vamos a ver es que, bueno, tengo que coger las z negativas también, si la z es negativa, hemos dicho que esto tenía un signo menos, esto tenía un signo más, por lo tanto, esto nos daba menos 1 y esto nos da un valor como este, 92 00:09:58,820 --> 00:10:17,980 que es menos sigma entre 2 épsilon cero, mientras que si la z es positiva nos da exactamente lo mismo pero hacia arriba, esto es más sigma entre 2 épsilon cero. 93 00:10:17,980 --> 00:10:23,639 aquí necesito dejar claro que no estoy representando el módulo del campo 94 00:10:23,639 --> 00:10:26,220 porque el módulo del campo siempre sería positivo 95 00:10:26,220 --> 00:10:29,940 entonces el módulo del campo simplemente sería continuar esta línea de arriba 96 00:10:29,940 --> 00:10:36,320 lo que estamos representando aquí es k producto escalar con el campo 97 00:10:36,320 --> 00:10:42,419 esto significa que cuando el campo vaya en el mismo sentido que k será positivo 98 00:10:42,419 --> 00:10:47,360 cuando el campo vaya al revés que k que es aquí abajo será negativo 99 00:10:47,360 --> 00:10:54,610 podemos extrapolar esto al caso de dos cargas, dos planos 100 00:10:54,610 --> 00:10:56,870 es decir, si yo tuviese un plano como este 101 00:10:56,870 --> 00:11:03,110 y luego tuviese un plano, vamos a dibujarlo de color verde por ejemplo 102 00:11:03,110 --> 00:11:04,970 un plano como este 103 00:11:04,970 --> 00:11:09,309 separados una distancia 104 00:11:09,309 --> 00:11:19,899 podríamos hacer el cálculo con aquí sigma sub 1 105 00:11:19,899 --> 00:11:22,559 y aquí sigma sub 2 106 00:11:22,559 --> 00:11:26,700 lo que observaríamos es que a la izquierda del plano azul 107 00:11:26,700 --> 00:11:30,159 si sigma sub 1 fuese, por ejemplo, positiva 108 00:11:30,159 --> 00:11:33,139 tendríamos este campo de aquí 109 00:11:33,139 --> 00:11:35,919 y a la derecha tendríamos este campo de aquí 110 00:11:35,919 --> 00:11:39,580 a la derecha del verde, como está también a la derecha del azul, sería así 111 00:11:39,580 --> 00:11:43,580 si sigma 2, por ejemplo, fuese positiva también 112 00:11:43,580 --> 00:11:47,159 pues en este caso tendríamos esto 113 00:11:47,159 --> 00:11:50,320 tendríamos esto y esto así 114 00:11:50,320 --> 00:11:55,700 podríamos encontrar el caso en el que sigma 1 y sigma 2 coincidiesen 115 00:11:55,700 --> 00:11:59,320 las dos fuesen positivas y tuviesen el mismo valor y en la zona central 116 00:11:59,320 --> 00:12:03,740 como tenemos campos que son iguales porque no dependen de la distancia 117 00:12:03,740 --> 00:12:07,940 pero de sentido opuesto cancelarían 118 00:12:07,940 --> 00:12:11,700 y tendríamos únicamente campo a la izquierda de la placa azul 119 00:12:11,700 --> 00:12:15,559 y a la derecha de la placa verde. Ahora bien 120 00:12:15,559 --> 00:12:19,740 el caso más interesante de esto es cuando tenemos justamente 121 00:12:19,740 --> 00:12:24,200 una carga negativa en el caso verde 122 00:12:24,200 --> 00:12:32,240 Esta sigma 2 es negativa. Observemos que si es negativa, este campo va exactamente al revés de lo que hemos dibujado, iría hacia dentro del plano. 123 00:12:32,960 --> 00:12:39,740 Por lo tanto, esto viene hacia acá, esto viene hacia acá y esto viene hacia acá. 124 00:12:40,840 --> 00:12:52,139 Si resulta que sigma 1 es igual a menos sigma 2, es decir, tienen el mismo valor absoluto pero signo opuesto, 125 00:12:52,139 --> 00:12:59,139 fuera se van a anular completamente y dentro van a tener el doble de campo 126 00:12:59,139 --> 00:13:06,559 en este caso el campo entre 0 y d 127 00:13:06,559 --> 00:13:13,539 esto sería z igual a 0 y esto sería z igual a d 128 00:13:13,539 --> 00:13:22,120 va a ser sigma entre, es el doble de esto, por lo tanto sigma entre epsilon sub cero 129 00:13:22,120 --> 00:13:36,379 Si aquí quisiéramos poner, por ejemplo, un dieléctrico, un material, alguna cosa, esta cosa tendría una permitividad relativa que deberíamos añadir aquí. 130 00:13:36,379 --> 00:13:41,580 Si es vacío o es aire, pues esto será uno y no lo tendremos que poner. 131 00:13:42,600 --> 00:13:48,700 Este ejemplo de aquí es un condensador que veremos en vídeos siguientes. 132 00:13:48,700 --> 00:13:51,620 finalmente me gustaría comentar porque 133 00:13:51,620 --> 00:13:55,779 esto de aquí no ha dependido de la altura 134 00:13:55,779 --> 00:13:59,299 esta A no existe, no ha salido en ningún sitio 135 00:13:59,299 --> 00:14:03,120 y el campo finalmente no depende de Z 136 00:14:03,120 --> 00:14:04,679 aunque hemos dicho que sí, que cambia 137 00:14:04,679 --> 00:14:06,360 la intuición nos podría decir que sí 138 00:14:06,360 --> 00:14:09,600 pero fijémonos que este plano estamos diciendo que es infinito 139 00:14:09,600 --> 00:14:11,539 tampoco puede ser un plano infinito 140 00:14:11,539 --> 00:14:13,820 igual que no podía ser un cilindro infinito en el vídeo anterior 141 00:14:13,820 --> 00:14:19,879 porque un plano infinito no existe, no tiene sentido. 142 00:14:20,279 --> 00:14:24,059 Lo que vamos a tener es un plano muy muy grande comparado con esta distancia A 143 00:14:24,059 --> 00:14:27,500 y entonces los efectos de los bordes no nos van a preocupar mucho. 144 00:14:28,659 --> 00:14:34,580 Esto de aquí es lo que nos permite tener un campo constante a un lado del plano y al otro lado del plano. 145 00:14:34,940 --> 00:14:40,370 Y así es como se calcula el campo creado por un plano infinito.