1 00:00:00,800 --> 00:00:02,980 ¡Hola! ¡Buenos días! ¿Qué tal? 2 00:00:03,459 --> 00:00:08,519 Bueno, a falta de hacer algún ejercicio más del tema 4 que quiero hacerlos en clase, 3 00:00:08,919 --> 00:00:11,919 vamos a empezar con la teoría de este tema, del tema 5, 4 00:00:12,140 --> 00:00:13,900 fórmulas y funciones trigonométricas. 5 00:00:14,060 --> 00:00:16,179 Vamos a empezar con las fórmulas. 6 00:00:16,760 --> 00:00:20,839 Siento deciros que todas estas fórmulas os las vais a tener que aprender. 7 00:00:21,500 --> 00:00:25,320 He dejado en el aula virtual un PDF que se llama Formulario 8 00:00:25,320 --> 00:00:28,980 y ahí tenéis todas las fórmulas que os tenéis que saber. 9 00:00:28,980 --> 00:00:36,539 Os recomiendo que lo imprimáis y por lo menos en las clases que lo tengáis delante para saber bien de lo que estamos hablando todo el tiempo. 10 00:00:37,979 --> 00:00:42,100 Empezamos. Estas fórmulas tienen que ver con el seno, el coseno y la tangente. 11 00:00:42,420 --> 00:00:46,840 ¿De qué? El primer bloque de la suma de dos ángulos. 12 00:00:47,299 --> 00:00:52,689 Suma de dos ángulos que representamos como alfa más beta. 13 00:00:52,689 --> 00:01:02,609 Bien, queremos saber el seno de esa suma, el coseno de esa suma y la tangente de esa suma. 14 00:01:02,609 --> 00:01:15,609 El seno es seno de lo primero por el coseno de lo segundo más coseno de lo primero por seno de lo segundo. 15 00:01:15,609 --> 00:01:30,049 El coseno es coseno coseno de lo primero de lo segundo menos seno seno, seno de lo primero por seno de lo segundo. 16 00:01:31,049 --> 00:01:39,650 La tangente la sacamos haciendo seno de alfa más beta entre coseno de alfa más beta, 17 00:01:39,650 --> 00:01:46,609 que sería todo esto entre todo esto y dividiendo arriba y abajo 18 00:01:46,609 --> 00:01:54,489 tendríamos que escribir todo esto aquí y dividir todo por coseno de alfa por coseno de beta 19 00:01:54,489 --> 00:02:03,829 y lo mismo con todo el coseno que iría aquí, dividirlo entre coseno de alfa por coseno de beta 20 00:02:03,829 --> 00:02:08,129 con eso, que lo tenéis en el libro, la demostración de todo esto 21 00:02:08,129 --> 00:02:12,009 nos sale la fórmula que tenemos que aprender, que es la siguiente. 22 00:02:22,150 --> 00:02:34,789 Tangente de lo primero más tangente de lo segundo partido de 1 menos tangente de lo primero por tangente de lo segundo. 23 00:02:35,849 --> 00:02:42,490 Bien, este es el primer bloque de funciones que nos tenemos que aprender, seno y coseno y tangente, 24 00:02:42,490 --> 00:02:45,490 de la suma de dos ángulos, alfa y beta. 25 00:02:45,490 --> 00:02:55,289 ¿Cuál es el siguiente? La diferencia de dos ángulos, es decir, la resta alfa menos beta. 26 00:02:55,949 --> 00:03:07,430 Fijaros, menos beta y más beta, estos dos, realmente lo único que cambia es que más beta lo pasamos a poner como menos beta. 27 00:03:07,430 --> 00:03:23,550 ¿Y no es lo mismo que decir más menos beta? Sí, ¿verdad? ¿Qué ocurría con la relación entre el seno, el coseno y la tangente de un ángulo, que será ese, beta, y su opuesto, menos beta? 28 00:03:23,550 --> 00:03:42,490 Teníamos el seno enfrente y el coseno debajo, ¿verdad? ¿Qué ocurría con este seno de beta y este coseno de beta si lo queremos poner con el menos beta? 29 00:03:43,250 --> 00:03:49,590 El coseno no cambia con menos beta, ¿verdad? Es igual que el coseno de menos beta. 30 00:03:49,590 --> 00:04:01,930 Y el seno, lo que pasaba es que en magnitud es la misma, pero es negativo, va hacia abajo, por lo tanto es negativo, era igual que el menos seno de menos beta. 31 00:04:01,930 --> 00:04:22,850 Con esto, si consideramos ese menos beta, fijaros que este coseno de beta no cambia, este seno de beta sería menos el seno de menos beta, lo mismo ocurre aquí, menos seno de menos beta y el coseno no cambia. 32 00:04:23,329 --> 00:04:25,589 La tangente, la tangente que he pasado, ¿os acordáis? 33 00:04:28,019 --> 00:04:31,779 Era seno entre coseno, por lo tanto sí que cambiaba de signo. 34 00:04:33,060 --> 00:04:39,319 Por lo tanto, aquí, este de aquí va a cambiar de signo, va a ser menos tangente de menos beta. 35 00:04:39,319 --> 00:04:46,680 Y aquí también va a cambiar de signo, va a ser menos la tangente de menos beta. 36 00:04:46,899 --> 00:04:48,019 ¿Qué ocurre con esto? 37 00:04:48,019 --> 00:04:59,199 Pues ocurre que realmente el único cambio entre que sea suma o sea resta es cambiar los signos de todo esto. 38 00:05:02,589 --> 00:05:04,949 Voy a escribirlo bonito y ahora vuelvo. 39 00:05:12,110 --> 00:05:13,290 Bien, aquí lo tengo. 40 00:05:14,509 --> 00:05:18,029 Estos serían los dos primeros bloques de fórmulas que nos tenemos que saber. 41 00:05:18,449 --> 00:05:22,649 Como veis, realmente con saber la de la suma me sé la de la diferencia. 42 00:05:22,649 --> 00:05:26,129 Lo único que tengo que hacer es cambiar todos los signos que hay. 43 00:05:26,470 --> 00:05:30,350 Todos los que son positivos se vuelven negativos y todos los negativos se vuelven positivos. 44 00:05:30,810 --> 00:05:34,670 Bien, vamos con el siguiente bloque, que es el ángulo doble. 45 00:05:35,509 --> 00:05:38,069 Ángulo doble es dos veces alfa. 46 00:05:38,610 --> 00:05:41,670 Pregunto, ¿dos veces alfa no es alfa más alfa? 47 00:05:42,550 --> 00:05:48,269 Si esto lo metemos aquí arriba, realmente nos queda seno de alfa por coseno de alfa, 48 00:05:48,449 --> 00:05:50,670 más menos coseno de alfa por seno de alfa. 49 00:05:50,670 --> 00:05:53,629 Todos los betas se sustituyen por alfa 50 00:05:53,629 --> 00:05:56,230 Al hacer cuentas nos queda lo siguiente 51 00:05:56,230 --> 00:06:02,089 Seno de 2 alfa igual a 2 por el seno de alfa por el coseno de alfa 52 00:06:02,089 --> 00:06:10,889 Coseno de 2 alfa es el coseno cuadrado de alfa menos el seno cuadrado de alfa 53 00:06:10,889 --> 00:06:20,629 Y la tangente de 2 alfa nos queda 2 por tangente de alfa partido de 1 menos la tangente 54 00:06:20,629 --> 00:06:27,550 cuadrada de alfa. Bien, hemos visto ya tres de los bloques que tenemos que saber, pero realmente con 55 00:06:27,550 --> 00:06:35,310 la suma sacaríamos todos. Vamos con los otros dos que nos quedan. El ángulo mitad. Borro y vuelvo. 56 00:06:39,079 --> 00:06:47,639 Ángulo mitad. El ángulo mitad es alfa partido de 2. Queremos sacar el seno de ese alfa partido por 2, 57 00:06:47,639 --> 00:06:50,800 El coseno de alfa partido por 2 58 00:06:50,800 --> 00:06:54,220 Y la tangente de alfa partido por 2 59 00:06:54,220 --> 00:06:58,439 El seno de alfa partido por 2 60 00:06:58,439 --> 00:07:01,860 Es la raíz cuadrada positiva y negativa 61 00:07:01,860 --> 00:07:06,199 De 1 menos el coseno de alfa partido por 2 62 00:07:06,199 --> 00:07:08,040 Parece más complicado 63 00:07:08,040 --> 00:07:11,160 Pero realmente luego veréis que nos facilita el trabajo 64 00:07:11,160 --> 00:07:13,860 El coseno de alfa medios 65 00:07:13,860 --> 00:07:17,620 De nuevo, la raíz casi igual que el seno 66 00:07:17,620 --> 00:07:23,240 pero con un más, uno más coseno de alfa partido de dos 67 00:07:23,240 --> 00:07:27,199 y la tangente vuelve a ser el seno entre el coseno 68 00:07:27,199 --> 00:07:32,180 que si hacéis cuentas, si dividimos esto entre esto 69 00:07:32,180 --> 00:07:37,339 al ser raíces entran dentro de la misma raíz y se nos van los dosis 70 00:07:37,339 --> 00:07:45,339 ¿lo veis? ¿qué nos queda? pues lo del seno arriba y lo del coseno debajo 71 00:07:45,339 --> 00:07:52,259 Esto sería lo que nos quedaría como fórmulas del ángulo mitad. 72 00:07:52,779 --> 00:07:57,779 Y nos queda lo último, que son sumas y restas de senos y cosenos. 73 00:07:59,259 --> 00:08:04,240 Empezamos por la suma del seno. 74 00:08:04,240 --> 00:08:08,639 Seno de alfa a lo que le quiero sumar el seno de otro ángulo beta. 75 00:08:09,040 --> 00:08:12,360 Cuidado, no confundir con seno de alfa más beta. 76 00:08:12,720 --> 00:08:14,079 Aquí estoy sumando el ángulo. 77 00:08:14,079 --> 00:08:18,839 Aquí no, aquí estoy sumando dos senos distintos. 78 00:08:19,800 --> 00:08:25,379 ¿Qué fórmula tenemos que aprendernos de la suma de los senos? 79 00:08:25,959 --> 00:08:37,580 Pues es la siguiente, 2 por el seno de la suma de los dos ángulos partido por 2 por el coseno de la resta de los ángulos partido de 2. 80 00:08:37,580 --> 00:08:43,200 Con la resta, seno de alfa menos seno de beta 81 00:08:43,200 --> 00:08:49,360 Es 2 por el coseno de la suma de los dos partido de 2 82 00:08:49,360 --> 00:08:55,279 Por el seno de la resta de los dos partido de 2 83 00:08:55,279 --> 00:09:00,519 Con los cosenos, coseno de alfa más coseno de beta 84 00:09:00,519 --> 00:09:05,679 2 por coseno de alfa más beta partido de 2 85 00:09:05,679 --> 00:09:23,440 por el coseno de alfa menos beta partido de 2, última, la resta, coseno de alfa menos coseno de beta, ojo, menos 2 por el seno de alfa más beta partido de 2 86 00:09:23,440 --> 00:09:28,080 por el seno de alfa menos beta partido de 2. 87 00:09:28,720 --> 00:09:30,279 ¿Truco para saberse esto? 88 00:09:31,120 --> 00:09:36,539 En todos aparecen doses, menos en el último que aparece un menos 2. 89 00:09:37,600 --> 00:09:40,639 El orden es seno más seno, seno menos coseno. 90 00:09:41,220 --> 00:09:44,019 Digamos, el seno es como lo primero que se aprende, 91 00:09:44,019 --> 00:09:46,620 por lo primero el seno, la suma y luego la resta, 92 00:09:46,720 --> 00:09:49,039 y después el coseno, la suma y luego la resta. 93 00:09:49,399 --> 00:09:51,000 2, 2, 2, menos 2. 94 00:09:51,000 --> 00:10:02,159 ¿Cómo va? Primero, seno, coseno, siempre semisuma, semirresta, semisuma, semirresta, semisuma, semirresta, semisuma, semirresta, 95 00:10:02,600 --> 00:10:11,960 seno, coseno, del revés, coseno, seno, y cuando metemos los cosenos, son iguales, coseno, coseno, y seno, seno. 96 00:10:12,419 --> 00:10:14,980 Bueno, si os ayuda, perfecto. 97 00:10:14,980 --> 00:10:31,279 Estas son todas, no hay más fórmulas, son unas cuantas, lo sé, pero al final fijaros, son cinco bloques, está la suma de ángulos, la resta de ángulos, ángulo doble, ángulo mitad y este bloque de sumas y restas de senos y cosenos. 98 00:10:31,279 --> 00:10:40,139 Pero en verdad, de esos cinco bloques hay tres que con saber la suma los sacamos, por lo tanto realmente son tres bloques que aprender. 99 00:10:40,139 --> 00:10:47,720 El punto número 2 de teoría de este tema son las ecuaciones trigonométricas 100 00:10:47,720 --> 00:10:53,179 Sí, señores, vamos a hacer ecuaciones con senos, cosenos, tangentes, etc. 101 00:10:53,820 --> 00:10:58,139 Dos cosas muy simples que es lo único que tenemos que saber de este tipo de ecuaciones 102 00:10:58,139 --> 00:11:02,000 La primera es que lo tenemos que comprobar siempre 103 00:11:02,000 --> 00:11:07,360 Hay que comprobar siempre las soluciones 104 00:11:07,360 --> 00:11:18,860 ¿Por qué? Porque nos pueden aparecer soluciones extrañas que realmente no son soluciones 105 00:11:18,860 --> 00:11:23,200 Os recuerdo, ¿en qué ecuaciones teníamos que comprobar las soluciones? 106 00:11:23,200 --> 00:11:32,059 En las raíces, en los logaritmos de cualquier base y en los partido por algo con x debajo 107 00:11:32,059 --> 00:11:35,539 Pues en las trigonométricas también 108 00:11:35,539 --> 00:11:39,340 Lo metemos dentro de la lista de ecuaciones que tenemos que comprobar 109 00:11:39,919 --> 00:11:47,100 Segundo punto y último que tenemos que saber de las ecuaciones trigonométricas es que hay infinitas soluciones. 110 00:11:50,059 --> 00:11:52,480 ¿Por qué? Porque las soluciones van a ser ángulos. 111 00:11:53,139 --> 00:11:58,340 Un ángulo alfa realmente es lo mismo que ese ángulo más 360 grados, ¿no? 112 00:11:59,019 --> 00:12:06,529 Y lo mismo si le vuelvo a sumar 360, más 2 por 360. 113 00:12:07,090 --> 00:12:10,529 Y lo mismo si se lo vuelvo a sumar, 3 por 360. 114 00:12:10,529 --> 00:12:19,450 y así hasta el infinito. Puedo sumar tantas veces como yo quiera 360 multiplicado por un número 115 00:12:19,450 --> 00:12:24,149 y ese número que pertenezca a n, a los naturales. 116 00:12:24,909 --> 00:12:33,980 ¿Qué quiero decir con esto? Pues que si yo tengo que este ángulo es la solución, este también lo va a ser. 117 00:12:34,820 --> 00:12:38,039 Si doy 27 vueltas también lo va a ser, etc. 118 00:12:38,580 --> 00:12:41,299 ¿Quiere decir esto que tenga que poner todas las soluciones? 119 00:12:41,759 --> 00:12:44,840 Pues no, si que son infinitas, nunca acabaría de escribirlas. 120 00:12:45,340 --> 00:12:55,799 Solo hace falta dar los que están entre 0 grados y 360 grados. 121 00:12:56,080 --> 00:13:01,440 Dicho de otra forma, 0 radianes y 2 pi radianes. 122 00:13:02,460 --> 00:13:05,799 Únicamente tenemos que dar los ángulos que están en este intervalo, 123 00:13:05,799 --> 00:13:13,100 intervalo, pero tenemos que ser conscientes de que hay infinitas soluciones. El tercer y último punto 124 00:13:13,100 --> 00:13:17,379 de la teoría de este tema son las funciones trigonométricas, que ya sabéis cuáles son. Son 125 00:13:17,379 --> 00:13:25,480 el seno de alfa, el coseno de alfa, la tangente de alfa y también otras como la cosecante de un 126 00:13:25,480 --> 00:13:32,080 ángulo, que os recuerdo que es 1 partido por el seno de alfa, es decir, la inversa del seno. También 127 00:13:32,080 --> 00:13:40,460 lo podemos escribir como seno de alfa elevado a menos 1, la secante de alfa, que es la inversa 128 00:13:40,460 --> 00:13:48,840 del coseno, la cotangente de alfa, que es 1 partido por la tangente, tenemos también 129 00:13:48,840 --> 00:14:00,159 el arcoseno, no sería de alfa, perdón, sería el arcoseno de un valor que me daría el ángulo 130 00:14:00,159 --> 00:14:08,220 del cual es seno ese valor. Tenemos el arco coseno de un valor, tenemos el arco tangente 131 00:14:08,220 --> 00:14:16,039 de ese valor. ¿Qué me interesa? Me interesan las tres primeras. En concreto, lo que me 132 00:14:16,039 --> 00:14:21,820 interesa es que tengáis clara la forma que tienen. Como seguro que si las dibujo yo me 133 00:14:21,820 --> 00:14:31,200 va a quedar feísimo, he buscado una foto en internet. ¿Qué tenemos aquí? Tenemos 134 00:14:31,200 --> 00:14:38,460 las tres funciones superpuestas, el seno de x en rojo, el coseno de x en verde y la tangente de x 135 00:14:38,460 --> 00:14:45,960 en azul. No debería poner x, debería poner alfa, pero bueno, un ángulo, seno, coseno y tangente de 136 00:14:45,960 --> 00:14:52,639 un ángulo. Analicemos el seno de alfa, ¿dónde se hace cero? Cero, el valor del seno ya sabéis que va 137 00:14:52,639 --> 00:15:02,320 en el eje y, el valor, el valor del seno ya sabéis que va en el eje y, el valor de la función está en 138 00:15:02,320 --> 00:15:09,480 el eje y, y en el eje x lo que vemos es el ángulo que metemos dentro de esa función, ¿vale? ¿Para 139 00:15:09,480 --> 00:15:16,620 qué ángulos se hace cero el seno? Para el ángulo cero, para el ángulo pi, 2pi, no vemos más, pero 140 00:15:16,620 --> 00:15:22,379 esto se repite todo el rato, entonces también nos dará cero para 3pi, 4pi, etcétera. ¿Para qué valor 141 00:15:22,379 --> 00:15:30,240 se hace máximo. Para pi medios, ¿no? Para 90 grados, que vale 1. Luego ya empieza a bajar. Aquí nos lo pone 142 00:15:30,240 --> 00:15:39,019 como 0,5 pi, pero es pi medios. Y mínimo, aquí nos lo pone en 1,5 pi, lo que es 3 pi medios, o lo que es 143 00:15:39,019 --> 00:15:47,379 lo mismo 270 grados. ¿Cuál es el valor mínimo del seno? Menos 1. Y luego vuelve a subir. Es decir, el seno, 144 00:15:47,379 --> 00:15:56,000 el seno, siempre, siempre, siempre, siempre va a estar entre el menos 1 y el 1. 145 00:15:56,399 --> 00:16:00,759 Lo mismo ocurre con el coseno, siempre va a estar entre menos 1 y 1, 146 00:16:01,179 --> 00:16:05,000 lo que pasa que va un poco de calado, mirad la gráfica verde, 147 00:16:05,000 --> 00:16:08,519 la gráfica verde, en los lugares donde el seno se hace 0, 148 00:16:09,700 --> 00:16:14,860 el coseno o se hace máximo 1 o se hace mínimo menos 1, 149 00:16:14,860 --> 00:16:24,279 Y en los puntos donde el seno era máximo o mínimo es donde el coseno se hace cero, en pi medios, en 3pi medios, etc. 150 00:16:25,179 --> 00:16:29,799 ¿Y la tangente? ¿Qué ocurre con la tangente? Que la tangente es el seno entre el coseno. 151 00:16:30,320 --> 00:16:37,159 Cuando el coseno se hace cero, ese valor no existe, por eso tenemos ahí que se dispara para arriba. 152 00:16:37,159 --> 00:16:53,340 ¿Qué ocurre en pi medios? En pi medios hay una asíntota vertical, igual que en 3pi medios, igual que en ese 2,5pi, igual que en menos pi medios, ¿vale? Esto se repite siempre, esto es cíclico, son funciones periódicas. 153 00:16:53,340 --> 00:16:55,240 ¿Qué quiero que sepáis? 154 00:16:55,700 --> 00:16:57,879 La forma que tienen, más o menos 155 00:16:57,879 --> 00:16:59,799 Saberlas dibujar si lo pensáis 156 00:16:59,799 --> 00:17:02,659 Cuando se hacen 0, cuando se hacen 1, cuando se hacen menos 1, etc 157 00:17:02,659 --> 00:17:08,740 Y saber que el seno y el coseno siempre tienen que estar entre menos 1 y 1 158 00:17:08,740 --> 00:17:14,779 Y que la tangente puede variar desde menos infinito a más infinito 159 00:17:14,779 --> 00:17:15,859 Nada más 160 00:17:15,859 --> 00:17:17,660 Con esto terminamos la teoría 161 00:17:17,660 --> 00:17:20,319 A falta de hacer muchos ejercicios 162 00:17:20,319 --> 00:17:21,940 Muchas gracias, chao