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00:00:12,339 --> 00:00:17,480
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,480 --> 00:00:21,800
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,800 --> 00:00:33,359
de la unidad AR3 dedicada a la matemática financiera. En la videoclase de hoy estudiaremos

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00:00:33,359 --> 00:00:37,359
la amortización de préstamos y resolveremos los ejercicios propuestos 12 y 13.

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00:00:47,549 --> 00:00:52,789
En esta última sección de la unidad vamos a amortizar una deuda, vamos a cancelar una

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00:00:52,789 --> 00:00:58,630
deuda. Como vemos aquí en la introducción teórica supongamos que contemos una deuda de mayúscula y la

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00:00:58,630 --> 00:01:07,430
queremos pagar durante un periodo de t años haciendo ingresos de anualidades a minúscula al finalizar

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00:01:07,430 --> 00:01:12,989
cada uno de los años de vida de la deuda para que estas anualidades junto con sus intereses

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00:01:12,989 --> 00:01:20,129
compuestos calculados con un rédito r que estarán 30 por 1 podamos cancelar. Hemos de pagar no sólo

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00:01:20,129 --> 00:01:26,709
la deuda D, sino que además hemos de pagar los intereses compuestos de esta deuda que se calculan

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00:01:26,709 --> 00:01:32,629
con el mismo rédito R-. Para ver el desarrollo teórico vamos a hacer algo muy similar a lo que

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00:01:32,629 --> 00:01:37,430
hicimos en la sección anterior hablando de capitalización. En primer lugar vamos a calcular

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00:01:37,430 --> 00:01:44,730
el capital que se puede juntar con las anualidades y sus intereses compuestos. Empezamos año tras

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00:01:44,730 --> 00:01:51,269
año. La primera anualidad, como vemos aquí, va a estar depositada durante T-1 años. La

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00:01:51,269 --> 00:01:55,769
gran diferencia entre la amortización y la capitalización es que en el caso de la capitalización

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00:01:55,769 --> 00:02:00,549
las anualidades se pagan al inicio de cada año, mientras que en el caso de la amortización

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00:02:00,549 --> 00:02:05,969
las anualidades se pagan al final de cada año. De tal forma que la primera anualidad

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00:02:05,969 --> 00:02:12,050
la pagó cuando ya ha transcurrido un año. Si el préstamo vive T años, esa anualidad

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00:02:12,050 --> 00:02:19,669
ha estado depositada en el banco T-1 años. ¿Cuál es el capital que se forma con esa anualidad y sus

20
00:02:19,669 --> 00:02:25,150
intereses compuestos cuando han transcurrido T-1 años? Hemos de ir a la fórmula del capital del

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00:02:25,150 --> 00:02:31,509
interés compuesto y esa primera anualidad va a generar un capital transcurridos T-1 años que se

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00:02:31,509 --> 00:02:37,990
calcula de esta manera. Anualidad por 1 más R elevado a T-. La segunda anualidad cuando han

23
00:02:37,990 --> 00:02:43,990
transcurrido dos años estará depositada durante t menos dos años y el capital que forma se calculará

24
00:02:43,990 --> 00:02:50,509
con esta fórmula a por 1 más r elevado a t menos 2. La tercera anualidad estará depositada t menos

25
00:02:50,509 --> 00:02:56,789
tres años y el capital que se forma con esa tercera anualidad es anualidad por 1 más r elevado a t

26
00:02:56,789 --> 00:03:04,030
menos 3. Vemos que obtenemos expresiones análogas al caso de la capitalización. En este caso los

27
00:03:04,030 --> 00:03:11,250
exponentes son T-1, T-2, T-3, para la cuarta anualidad T-4, para la quinta anualidad T-5

28
00:03:11,250 --> 00:03:16,349
y así sucesivamente. ¿Qué es lo que ocurre con la última anualidad? La última anualidad

29
00:03:16,349 --> 00:03:22,469
se paga al final del todo, no llega a estar depositada en el banco ningún tiempo, sino

30
00:03:22,469 --> 00:03:27,550
que con el último pago de la última anualidad se amortiza la deuda. Así pues, la última

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00:03:27,550 --> 00:03:33,569
anualidad, la teésima, la última, a la cancelación de la deuda, produce un capital que es igual

32
00:03:33,569 --> 00:03:39,370
a la anualidad. No hay un término extra puesto que no genera intereses. ¿Cuál es el capital

33
00:03:39,370 --> 00:03:44,909
total? Que entonces obtenemos con estas anualidades y sus intereses compuestos. Análogamente

34
00:03:44,909 --> 00:03:49,110
como hicimos en la sección anterior, lo que vamos a hacer es sumar capital 1, capital

35
00:03:49,110 --> 00:03:55,090
2, capital 3, etcétera, capital T-1 hasta el último, el capital T. Esta expresión

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00:03:55,090 --> 00:04:00,009
sustituimos cada uno de los capitales por estas fórmulas que vemos aquí. Anualidad

37
00:04:00,009 --> 00:04:07,110
por 1 más el rédito elevado a t-1 más anualidad por 1 más el rédito elevado a t-2 y así sucesivamente

38
00:04:07,110 --> 00:04:13,250
hasta el último, más la anualidad. Vemos que podemos sacar de factor común en este caso sólo

39
00:04:13,250 --> 00:04:18,490
a la anualidad puesto que el último término no contiene más que ello. Así que vamos a poner esto

40
00:04:18,490 --> 00:04:26,610
como anualidad factor común de 1 más r elevado a t-1 más 1 más r elevado a t-2 etcétera etcétera

41
00:04:26,610 --> 00:04:31,069
hasta finalmente 1. Cuando sacamos del factor común a la a, nos queda un 1.

42
00:04:31,990 --> 00:04:35,610
Igual que nos pasaba en la sección anterior, podemos identificar dentro de estos corchetes

43
00:04:36,149 --> 00:04:39,709
la suma de los t primeros términos de una progresión geométrica,

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00:04:40,310 --> 00:04:44,529
cuyo primer término es 1, y cuya razón es 1 más r.

45
00:04:44,790 --> 00:04:49,689
Aquí veo 1, 1 por 1 más r, el siguiente término sería 1 más r al cuadrado,

46
00:04:49,790 --> 00:04:53,449
y así sucesivamente hasta llegar a este 1 más r elevado a t menos 1.

47
00:04:53,449 --> 00:05:06,470
Lo que hacemos es utilizar la fórmula para la suma de los T primeros términos y lo que vamos a hacer es obtener para el capital final esta expresión que vemos aquí, anualidad por y lo que tendríamos como la suma de estos términos.

48
00:05:06,470 --> 00:05:09,930
1 más r elevado a t menos 1 dividido entre r.

49
00:05:11,089 --> 00:05:21,290
Este capital, como he dicho hace unos minutos, tiene que ser capaz de ser igual a la deuda más sus intereses compuestos.

50
00:05:21,290 --> 00:05:28,430
Este capital no es igual a la deuda, sino a el capital final de esta deuda con los intereses compuestos.

51
00:05:29,310 --> 00:05:35,990
Ese capital sería igual a deuda por 1 más r elevado a t, utilizando la fórmula del interés compuesto.

52
00:05:36,470 --> 00:05:45,509
Y entonces lo que vamos a hacer es igualar el capital que hemos obtenido anteriormente con este que vemos aquí, que es el que corresponde a la deuda, para poder amortizarla.

53
00:05:45,850 --> 00:05:56,629
Así pues, lo que vamos a hacer es tomar a por esta fracción, 1 más r elevado a t menos 1 dividido entre r, igual a la deuda por 1 más r elevado a t.

54
00:05:57,649 --> 00:06:04,670
Nosotros lo que queremos hacer es calcular la anualidad, cuáles son esos pagos anuales que debemos hacer al final de cada año.

55
00:06:04,670 --> 00:06:08,350
y entonces lo que podemos hacer es despejar de aquí la anualidad.

56
00:06:09,129 --> 00:06:13,370
Esta r, el rédito que tenemos aquí dividiendo, lo vamos a pasar al otro miembro multiplicando

57
00:06:13,370 --> 00:06:18,329
y en cuanto a 1 más r elevado a t menos 1 que está aquí multiplicando, lo pasamos al otro miembro dividiendo.

58
00:06:18,750 --> 00:06:21,769
Y entonces vemos que la anualidad se puede calcular de esta forma.

59
00:06:22,430 --> 00:06:28,410
Deuda por rédito por 1 más rédito elevado a t, todo ello dividido entre 1 más rédito elevado a t menos 1.

60
00:06:29,290 --> 00:06:46,209
No aquí la deducción, pero podríamos calcular cuál es la deuda que podríamos contraer, teniendo en cuenta que podemos permitirnos pagar una cierta anualidad con un cierto rédito durante un cierto tiempo, sin más que de esta expresión despejar la deuda en función de la anualidad y el resto de elementos.

61
00:06:47,110 --> 00:06:56,110
Asimismo, de forma análoga a como habíamos operado en las secciones anteriores, si los pagos no son anuales, sino mensuales, trimestrales, cuatrimestrales, lo que quiera que sea,

62
00:06:56,689 --> 00:07:02,170
hacemos en general n pagos cada año, lo que tenemos que hacer es modificar esta expresión que tenemos aquí,

63
00:07:02,910 --> 00:07:09,870
sustituyendo el rédito por el rédito entre n, el número de pagos que se hace en cada año, como podéis ver, he hecho esas tres sustituciones, aquí, aquí y aquí.

64
00:07:09,870 --> 00:07:18,110
Y en cuanto a T, en lugar de ser el número de años, ahora va a ser el número de pagos realizados, el número de periodos que han transcurrido.

65
00:07:18,430 --> 00:07:22,470
Esa sustitución, en estos dos exponentes, son las que podemos ver aquí.

66
00:07:24,300 --> 00:07:27,639
Como ejemplo, se nos pide que resolvamos este ejercicio 12.

67
00:07:28,519 --> 00:07:35,199
Se nos dice que vamos a contar un préstamo de 50.000 euros que queremos pagar en 5 años al 15% anual.

68
00:07:35,199 --> 00:07:43,660
Y se nos pregunta cuál es la anualidad con la que amortizamos el préstamo y también cuál es la mensualidad, si en lugar de pagar anualmente queremos pagar mensualmente.

69
00:07:44,459 --> 00:07:55,819
Para calcular las anualidades lo que vamos a hacer es tomar directamente la fórmula que acabamos de deducir, sustituyendo la deuda por 50.000 euros, el rédito por 0,15, el tanto por 1 al que equivale este 15%,

70
00:07:55,819 --> 00:08:06,660
Y en cuanto al tiempo, al número de periodos, pues sería 5 años. Operando, llegamos al valor de la anualidad de 14.915,78 euros.

71
00:08:07,519 --> 00:08:23,399
Fijaos que en total, si multiplicamos 5 por la anualidad, no hemos pagado 50.000 euros, sino que hemos pagado un total de 74.578,90, puesto que no estamos pagando solo la deuda, sino la deuda y sus intereses compuestos.

72
00:08:24,040 --> 00:08:27,740
Hemos pagado más o menos una vez y media la deuda que hemos contraído.

73
00:08:28,519 --> 00:08:33,639
En cuanto a las mensualidades, si no queremos hacer los pagos anualmente, si no queremos hacer 12 pagos cada año,

74
00:08:34,200 --> 00:08:39,840
lo que vamos a hacer es tomar la expresión que teníamos y en lugar de poner rédito, pondremos rédito entre n.

75
00:08:40,000 --> 00:08:44,519
En este caso n vale 12, puesto que estamos pagando mensualmente y hay 12 meses en un año.

76
00:08:45,259 --> 00:08:48,899
Y en lugar de t minúscula, pondremos t mayúscula, número de periodos.

77
00:08:49,039 --> 00:08:52,059
No van a ser 5 años, sino el número de meses en 5 años.

78
00:08:52,059 --> 00:09:03,960
Así que vamos a poner 5 por 12, que es un total de 60 meses. Operando adecuadamente, llegamos al valor de, en este caso, las mensualidades de 1.189,50 euros.

79
00:09:04,720 --> 00:09:19,320
Algo interesante es, si multiplicamos esta mensualidad por 12 para ver cuánto hemos pagado en un año, vemos que obtenemos una cantidad de 14.274 euros, que no coincide con los 14.915,78 de la anualidad.

80
00:09:19,320 --> 00:09:27,480
La razón de ser esto es porque si estamos haciendo pagos mensualmente, el primer pago lo hemos hecho transcurrido un mes, no transcurrido un año.

81
00:09:27,960 --> 00:09:32,120
Y todos esos pagos que vamos haciendo antes de que transcurra el año van generando intereses.

82
00:09:32,539 --> 00:09:44,379
Así pues, si hacemos pagos mensuales en lugar de anuales, se genera una mayor cantidad de intereses y entonces los pagos que estamos haciendo transcurrido un año o transcurrido el préstamo completo va a ser menor.

83
00:09:44,960 --> 00:09:50,159
¿Cuánto sería el pago haciendo pagos mensuales una vez ha transcurrido el préstamo completo?

84
00:09:50,320 --> 00:09:59,179
Bueno, pues si multiplicamos 60 mensualidades por 1.189,50, vemos que en ese caso tenemos que pagar un total de 71.370 euros.

85
00:09:59,340 --> 00:10:09,779
Es más que los 50.000 euros, por supuesto, puesto que tenemos que pagar los 50.000 euros y sus intereses compuestos, pero es menos que si pagamos únicamente cada año.

86
00:10:09,779 --> 00:10:16,980
Insisto, porque en ese caso, haciendo pagos en periodos más cortos, se generan más intereses porque estamos pagando antes.

87
00:10:17,940 --> 00:10:21,759
Un segundo ejemplo sería este ejercicio número 13.

88
00:10:22,399 --> 00:10:26,700
En este caso se nos pregunta cuál es la deuda que podemos contraer con una cierta entidad financiera

89
00:10:26,700 --> 00:10:33,019
si podemos permitirnos pagar hasta 400 euros mensuales durante dos años al 10,5% anual.

90
00:10:33,320 --> 00:10:34,500
¿Qué deuda podría contraer?

91
00:10:35,299 --> 00:10:40,440
Como mencioné anteriormente, lo que vamos a hacer es tomar la fórmula de la anualidad y de ella despejar la deuda.

92
00:10:41,320 --> 00:10:48,019
Esto que tenemos aquí dividiendo lo vamos a pasar multiplicando a la anualidad y esto que tenemos aquí multiplicando a la deuda,

93
00:10:48,019 --> 00:10:55,539
el rédito entre n por 1 más r entre n elevado a t, lo vamos a pasar también dividiendo a la anualidad.

94
00:10:56,019 --> 00:11:01,299
La fórmula que tenemos sería esta. Vamos a calcular la deuda sustituyendo los datos que tenemos.

95
00:11:01,299 --> 00:11:19,899
No es anualidad sino mensualidad. Vamos a sustituir 400 euros. Uno más el rédito, el tanto por uno que equivale 10,5%, que será 0,105. N es el número de pagos que hacemos a lo largo de cada año. Puesto que los pagos son mensuales, aquí pondremos 12.

96
00:11:19,899 --> 00:11:29,639
Y este T mayúscula es el número de periodos que pagamos mensualmente durante dos años, así que 2 por 12 es el número de meses que hay en dos años, que va a ser 24.

97
00:11:30,799 --> 00:11:39,059
Sustituimos todos los datos, operamos y vemos que podemos contraer una deuda de hasta 8.625,14 euros.

98
00:11:39,059 --> 00:11:59,440
Por ejemplo, si nosotros nos planteamos que estamos guardando en casa 400 euros cada mes durante dos años, vemos que 24 por 400 son 9600 euros, más que lo que nosotros estamos pudiendo gastar si financiamos esta deuda.

99
00:12:00,059 --> 00:12:15,480
¿Qué sentido tiene que nosotros hagamos una financiación de una compra en el banco si pagando 400 euros mensuales solo puedo llegar a gastarme 8600, pero si me lo guardo en casita puedo guardar hasta 9600 euros?

100
00:12:16,039 --> 00:12:23,919
La diferencia está en cuándo puedo juntar todo el dinero para poder hacer la compra, para poder tener la deuda.

101
00:12:24,360 --> 00:12:31,379
Si yo me espero al final de los dos años para hacer el gasto, entonces puedo ahorrar hasta 9.600 euros.

102
00:12:31,740 --> 00:12:42,840
Pero si necesito el dinero ahora y ya lo iré pagando, en ese caso, puesto que tengo que pagar no solamente la deuda, sino además sus intereses compuestos, puedo contraer una deuda menor.

103
00:12:43,539 --> 00:12:46,399
Estos 8.625 euros que vemos aquí.

104
00:12:47,059 --> 00:12:51,519
Así, disponer del dinero ahora en lugar de pasados dos años tiene un coste

105
00:12:51,519 --> 00:12:54,779
y es esta diferencia que podemos apreciar en este momento.

106
00:12:54,779 --> 00:13:03,539
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

107
00:13:04,259 --> 00:13:08,360
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

108
00:13:09,179 --> 00:13:13,919
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

109
00:13:14,480 --> 00:13:15,899
Un saludo y hasta pronto.