1 00:00:00,720 --> 00:00:02,060 Vamos a ver este ejercicio. 2 00:00:02,339 --> 00:00:06,360 Nos dan una función que es el valor absoluto de x partido por x cuadrado más 1. 3 00:00:06,980 --> 00:00:10,019 Y solo me piden analizar la monotonía y los extremos relativos. 4 00:00:10,699 --> 00:00:16,480 Este ejercicio cuando cayó en la evau el apartado b era calcular un área utilizando integrales, 5 00:00:17,000 --> 00:00:20,160 pero como todavía no lo hemos visto, pues no he puesto ese apartado. 6 00:00:20,579 --> 00:00:22,199 Entonces, a ver, tenemos un valor absoluto. 7 00:00:22,579 --> 00:00:26,980 Lo que tenemos que hacer lo primero es escribir la función desarrollando ese valor absoluto. 8 00:00:26,980 --> 00:00:49,979 Os recuerdo aquí a la derecha que el valor absoluto de algo, le voy a llamar algo, por definición es ese algo si el algo es mayor que cero y menos ese algo si el algo es menor que cero. 9 00:00:49,979 --> 00:00:55,479 Para el igual lo podemos poner en el lado que queráis, o en el mayor o en el menor, como queráis, ¿vale? 10 00:00:55,539 --> 00:00:59,240 Es decir, que si lo que yo tengo es el valor absoluto de x, como es en este caso, 11 00:00:59,859 --> 00:01:04,799 el valor absoluto de x es x cuando x es mayor o igual que cero, si le pongo arriba, 12 00:01:05,019 --> 00:01:12,700 y menos x cuando x es, uy, qué fea me ha quedado, cuando x es menor que cero, ¿vale? 13 00:01:13,599 --> 00:01:15,939 Esto es lo que nosotros tenemos que tener en mente. 14 00:01:15,939 --> 00:01:38,079 Vale, pues borramos. Vamos a desarrollar ya esta función. ¿Cómo quedaría? La función f de x sería, el valor absoluto solamente está arriba, luego la parte del denominador va a quedar siempre igual, pues sería x en positivo partido por x cuadrado más 1, 15 00:01:38,079 --> 00:01:41,959 cuando la x es mayor o igual que cero 16 00:01:41,959 --> 00:01:47,439 y la x en negativo, es decir, menos x partido por x cuadrado más uno 17 00:01:47,439 --> 00:01:49,780 cuando la x es menor que cero. 18 00:01:49,959 --> 00:01:53,260 Ojo, que he empezado poniendo arriba el mayor y abajo el menor. 19 00:01:53,420 --> 00:01:55,719 Siempre ponemos las funciones definidas a trozos al revés. 20 00:01:56,260 --> 00:01:58,420 Arriba el menor y abajo el mayor. 21 00:01:58,939 --> 00:02:02,239 Pero bueno, en el fondo da lo mismo, pero tenemos que tener cuidado con eso. 22 00:02:02,239 --> 00:02:10,039 para analizar la monotonía necesitamos calcular la derivada primero 23 00:02:10,039 --> 00:02:13,099 pero para que exista la derivada la función tiene que ser continua 24 00:02:13,099 --> 00:02:16,539 lo primero que tenemos que hacer es ver si esta función es continua 25 00:02:16,539 --> 00:02:22,219 el único punto en el que la función f de x se anula 26 00:02:22,219 --> 00:02:25,900 donde no estaría definida serían los puntos en los que el denominador se anula 27 00:02:25,900 --> 00:02:27,580 pero esto nunca se anula 28 00:02:27,580 --> 00:02:32,180 es decir, x cuadrado más 1 siempre es distinto de 0 29 00:02:32,180 --> 00:02:40,259 Pero eso significa que el dominio de f de x van a ser todos los números reales, ¿vale? 30 00:02:41,360 --> 00:02:47,879 Va a ser continua en cada uno de los trocitos porque es un cociente de polinomios y el denominador no se anula. 31 00:02:48,379 --> 00:02:54,520 Lo que tengo que ver es si la función es continua en el 0, que es justamente donde cambia, donde puede saltar. 32 00:02:54,520 --> 00:03:04,400 entonces para ver si f de x continua en x igual 0 33 00:03:04,400 --> 00:03:11,039 lo que tenemos que mirar es si f de 0 es igual al límite 34 00:03:11,039 --> 00:03:15,139 cuando x tiende a 0 por la izquierda de f de x 35 00:03:15,139 --> 00:03:20,840 y es igual al límite cuando x tiende a 0 por la derecha de f de x 36 00:03:20,840 --> 00:03:24,800 mis límites ya empiezan a no entenderse, a parecer un garabato 37 00:03:24,800 --> 00:03:30,939 vale, a ver, en este caso el f de 0 va con el límite a por la derecha 38 00:03:30,939 --> 00:03:33,740 porque lo he puesto en el mayor, luego esto va a ser igual 39 00:03:33,740 --> 00:03:36,740 que el límite cuando x tiende a 0 por la derecha 40 00:03:36,740 --> 00:03:40,099 de x partido por x cuadrado más 1 41 00:03:40,099 --> 00:03:44,719 esto es 0 partido de 1, es decir, 0 42 00:03:44,719 --> 00:03:49,860 el otro límite cuando x tiende a 0 por la izquierda 43 00:03:49,860 --> 00:03:53,240 de menos x partido por x cuadrado más 1 44 00:03:53,240 --> 00:03:57,360 arriba sigue siendo 0 y abajo sigue siendo 1, es decir, 0. 45 00:03:57,860 --> 00:04:07,419 Los valores coinciden, luego esto significa que f de x es continua en x igual 0 46 00:04:07,419 --> 00:04:12,139 y por lo que hemos dicho antes que la función que cada uno de los trocitos era continua 47 00:04:12,139 --> 00:04:17,420 significa que f de x es continua en r. 48 00:04:17,420 --> 00:04:39,579 Y esto es algo importante que vamos a necesitar a la hora de estudiar la monotonía, ¿vale? Ver dónde es creciente y dónde es decreciente. En clase os comenté también que tendríamos que estudiar si la función era derivable en el 0, pero bueno, yo creo que lo podemos un poco hacer sin estudiarlo para que sea un poquito menos lioso. 49 00:04:39,579 --> 00:04:45,860 A ver, ahora para estudiar la monotonía necesitamos saber donde la derivada primera es positiva o negativa 50 00:04:45,860 --> 00:04:48,959 Pues lo primero que tenemos que hacer es calcular la derivada primera 51 00:04:48,959 --> 00:04:54,259 Y ya sabemos que el dominio es todo R y que además es continua en todos los números reales 52 00:04:54,259 --> 00:04:56,480 Vale, pues vamos a ver, f' de x 53 00:04:56,480 --> 00:05:05,939 f' de x es un cociente, luego la derivada del numerador que es 1 por el denominador sin derivar, por x cuadrado más 1 54 00:05:05,939 --> 00:05:11,620 menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador que es 2x 55 00:05:11,620 --> 00:05:17,360 y todo partido por x cuadrado más 1 todo al cuadrado, ¿vale? 56 00:05:17,399 --> 00:05:18,519 por el cuadrado del denominador. 57 00:05:19,480 --> 00:05:23,879 Esto sería x cuadrado menos, esto es menos 2x cuadrado, 58 00:05:23,879 --> 00:05:29,620 luego me queda menos x cuadrado más 1 o 1 menos x cuadrado, como lo queréis poner, 59 00:05:30,259 --> 00:05:33,540 partido por x cuadrado más 1 al cuadrado 60 00:05:35,939 --> 00:05:40,439 que 0, ¿vale? Recordar que en las derivadas quitamos el igual. Para derivar la de abajo 61 00:05:40,439 --> 00:05:44,519 no volvemos a hacer la misma derivada, porque es justamente lo mismo, es la misma función 62 00:05:44,519 --> 00:05:49,259 pero con un menos delante, el menos es una constante, podría salir fuera de la derivada. 63 00:05:49,740 --> 00:05:54,579 Luego aquí lo que nos va a quedar va a ser menos el valor de la derivada que he obtenido 64 00:05:54,579 --> 00:06:02,779 antes, menos x cuadrado más 1 partido por x cuadrado más 1 al cuadrado, o lo que es 65 00:06:02,779 --> 00:06:11,980 lo mismo, x cuadrado menos 1 entre x cuadrado más 1 al cuadrado, y esto es cuando la x 66 00:06:11,980 --> 00:06:19,560 es menor que 0, ¿vale? Y ahora lo que tenemos que ver es el crecimiento cuando la función, 67 00:06:20,079 --> 00:06:24,839 cuando esa función es positiva o negativa, ¿vale? Entonces lo primero que tenemos que 68 00:06:24,839 --> 00:06:30,439 hacer en cada uno de los trocitos es igualar a 0 para ver los posibles puntos críticos. 69 00:06:30,439 --> 00:06:33,860 lo que os había comentado en clase aquí ahora mismo 70 00:06:33,860 --> 00:06:37,420 si nos pusiéramos a calcular la derivada del 0 71 00:06:37,420 --> 00:06:39,720 es decir, el límite por la izquierda y por la derecha 72 00:06:39,720 --> 00:06:42,279 veríamos que el resultado es distinto 73 00:06:42,279 --> 00:06:43,879 la función no es derivable en el 0 74 00:06:43,879 --> 00:06:47,360 ya os comenté que los valores absolutos normalmente son picudos 75 00:06:47,360 --> 00:06:49,660 y en el punto en el que tiene el pico 76 00:06:49,660 --> 00:06:51,180 la función no es derivable 77 00:06:51,180 --> 00:06:54,060 pero en principio tampoco lo necesitaríamos 78 00:06:54,060 --> 00:06:58,160 para hacer el estudio de la monotonía 79 00:06:58,160 --> 00:06:59,860 o eso creo, según lo vayamos viendo 80 00:06:59,860 --> 00:07:01,939 Iré viendo si se necesita o no 81 00:07:01,939 --> 00:07:03,560 Voy a subir un poquito 82 00:07:03,560 --> 00:07:05,500 Voy a quedar solamente con la función 83 00:07:05,500 --> 00:07:08,800 Y vamos a ir viendo el primer trozo 84 00:07:08,800 --> 00:07:10,560 En el x mayor que 0 85 00:07:10,560 --> 00:07:14,959 Vamos a ver donde se anula la derivada 86 00:07:14,959 --> 00:07:17,019 Es decir, menos x cuadrado más 1 87 00:07:17,019 --> 00:07:21,879 Partido por x cuadrado más 1 al cuadrado 88 00:07:21,879 --> 00:07:22,779 Igual a 0 89 00:07:22,779 --> 00:07:27,740 Esto significa que menos x cuadrado más 1 es igual a 0 90 00:07:27,740 --> 00:07:29,279 O lo que es lo mismo 91 00:07:29,279 --> 00:07:33,300 que x cuadrado es igual a 1 92 00:07:33,300 --> 00:07:37,519 o lo que es lo mismo que x es igual a más menos, más menos 1, ¿vale? 93 00:07:37,800 --> 00:07:40,100 Como estoy en la parte positiva de las x, 94 00:07:40,620 --> 00:07:45,420 aquí solo me sirve la solución x igual a 1, ¿vale? 95 00:07:45,720 --> 00:07:48,600 Pero fijaos, si yo ahora hago el estudio en el otro trozo, 96 00:07:48,699 --> 00:07:49,959 cuando la x es menor que 0, 97 00:07:50,959 --> 00:07:55,040 la función es la misma, pero multiplicada por menos 1, ¿vale? 98 00:07:55,060 --> 00:07:57,459 Es decir, que si yo la igualo a 0, 99 00:07:57,459 --> 00:08:00,779 la ecuación que obtengo es la misma que tenía antes 100 00:08:00,779 --> 00:08:03,279 x cuadrado menos 1 igual a 0 101 00:08:03,279 --> 00:08:06,360 por lo tanto obtengo que x es igual a más menos 1 102 00:08:06,360 --> 00:08:10,600 luego en este caso la solución que me sirve es la x igual a menos 1 103 00:08:10,600 --> 00:08:13,759 este es el trocito que me sirve 104 00:08:13,759 --> 00:08:14,779 ¿vale? 105 00:08:15,540 --> 00:08:17,720 bien, pues a ver, hacemos nuestra tabla 106 00:08:17,720 --> 00:08:20,040 como la función era continua 107 00:08:20,040 --> 00:08:22,779 en mi tabla voy a intentar subir 108 00:08:22,779 --> 00:08:24,980 la voy a hacer un poquito más pequeño 109 00:08:24,980 --> 00:08:28,879 Para poder tener un poquito más de espacio 110 00:08:28,879 --> 00:08:32,820 En la tabla que tenemos que poner 111 00:08:32,820 --> 00:08:37,350 Aquí ponemos el menos infinito 112 00:08:37,350 --> 00:08:39,990 Aquí ponemos el menos uno 113 00:08:39,990 --> 00:08:42,190 Aquí ponemos el más uno 114 00:08:42,190 --> 00:08:44,509 Y aquí ponemos el más infinito 115 00:08:44,509 --> 00:08:45,470 ¿Vale? 116 00:08:46,889 --> 00:08:47,490 Fijaos 117 00:08:47,490 --> 00:08:51,129 Bueno, ¿qué tendríamos que poner también? 118 00:08:51,490 --> 00:08:52,370 El cero 119 00:08:52,370 --> 00:08:53,289 ¿Por qué? 120 00:08:54,289 --> 00:08:55,769 Porque en el cero 121 00:08:55,769 --> 00:09:03,409 o bueno, lo tendríamos que tener en cuenta a la hora que, o sea, para poder, a ver si entiendéis lo que quiero decir. 122 00:09:03,850 --> 00:09:08,690 La derivada está en dos trozos y justamente el 0 es el punto en el que lo rompe. 123 00:09:09,210 --> 00:09:15,629 Yo tengo que especificar en cada uno de los trozos, es decir, tendré que poner aquí la primera función, 124 00:09:15,769 --> 00:09:19,090 la primera derivada es el menos x cuadrado más 1. 125 00:09:19,710 --> 00:09:25,149 Fijaos que los denominadores es al cuadrado, por lo tanto, para el signo me va a dar lo mismo. 126 00:09:25,769 --> 00:09:38,070 x cuadrado más 1 al cuadrado, y el otro trocito de la derivada es el x cuadrado más 1 partido por el x cuadrado más 1 al cuadrado. 127 00:09:38,330 --> 00:09:48,049 ¿Qué ocurre? Que el primero es para los mayores que 0, por eso he dicho que tendríamos que poner aquí también el 0, ¿vale? 128 00:09:48,769 --> 00:09:54,389 Porque esta primera función es para los x mayores que 0, y esto es para los x menores que 0, 129 00:09:54,389 --> 00:10:03,049 o lo que es lo mismo, este trozo de aquí no me sirve, solo es para la parte de la derecha que he dejado sin marcar 130 00:10:03,049 --> 00:10:10,350 y en el segundo solamente es para los negativos, este trozo de aquí no me interesa porque no tiene función, ¿vale? 131 00:10:10,850 --> 00:10:19,190 Entonces cogeríamos un valor, por ejemplo, en el 0 aquí podríamos coger, voy a cambiar de color a la hora de cogerlo, ¿vale? 132 00:10:19,190 --> 00:10:24,110 Voy a coger aquí, por ejemplo, el 0,5 y aquí vamos a coger el 2. 133 00:10:24,809 --> 00:10:32,450 0,5 al cuadrado sería 0,25 con el menos menos 0,25 más 1 sería positivo. 134 00:10:35,039 --> 00:10:37,879 Ojo que el menos no está en el cuadrado, el menos está fuera. 135 00:10:38,480 --> 00:10:43,840 Y en el 2 sería 2 al cuadrado es 4 menos 4 más 1 menos 3, negativo. 136 00:10:43,840 --> 00:10:51,059 Luego, a ver, tendría que haber puesto aquí el trozo final 137 00:10:51,059 --> 00:10:59,460 Para saber la función que es lo que va a hacer en cada uno de estos trozos 138 00:10:59,460 --> 00:10:59,919 ¿Vale? 139 00:11:00,679 --> 00:11:04,220 Entonces, aquí lo que sé es que la función crece 140 00:11:04,220 --> 00:11:07,559 Y aquí lo que sé es que la función decrece 141 00:11:07,559 --> 00:11:08,940 ¿Vale? 142 00:11:09,759 --> 00:11:12,399 Bien, en la parte de la izquierda 143 00:11:12,399 --> 00:11:17,019 Pues aquí cogemos, por ejemplo, el menos 2 y aquí cogemos, por ejemplo, el menos 0,5. 144 00:11:17,919 --> 00:11:22,879 En el menos 2 lo miramos abajo, menos 2 al cuadrado es 4, 4 más 1, 5 positivo. 145 00:11:23,860 --> 00:11:25,899 Por lo tanto, aquí la función crece. 146 00:11:26,620 --> 00:11:36,850 En el menos 0,5, menos 0,5 al cuadrado, a ver, menos, sí, ¿no? El menos 0,5, vale. 147 00:11:36,850 --> 00:11:39,750 Menos 0.5 al cuadrado 148 00:11:39,750 --> 00:11:41,610 Porque 149 00:11:41,610 --> 00:11:44,070 Lo estoy haciendo bien, ¿verdad? 150 00:11:44,149 --> 00:11:46,450 A ver, espera un momentito que hay algo que me está chirriando 151 00:11:46,450 --> 00:11:49,210 Vale, sabía yo que algo me estaba chirriando 152 00:11:49,210 --> 00:11:50,250 Y es que 153 00:11:50,250 --> 00:11:52,889 No he copiado bien, no sé si os habéis dado cuenta 154 00:11:52,889 --> 00:11:54,629 Ha sido un fallo mío al copiar 155 00:11:54,629 --> 00:11:56,210 Aquí tenemos un menos, ¿verdad? 156 00:11:57,289 --> 00:11:58,070 Y yo que he puesto 157 00:11:58,070 --> 00:11:59,529 Un más 158 00:11:59,529 --> 00:12:02,330 Por eso no me estaba, me estaba saliendo 159 00:12:02,330 --> 00:12:03,309 Estaba yo un poco rayada 160 00:12:03,309 --> 00:12:06,029 Digo, aquí falla algo, no me podía quedar así 161 00:12:06,029 --> 00:12:16,370 Esto es un menos, ¿vale? Entonces vamos a ponerlo bien. Disculparme, yo es complicado a veces no equivocarme cuando lo hago con la tabla. 162 00:12:16,450 --> 00:12:26,509 Esto es x cuadrado menos 1, ¿vale? Pues vamos a ver, en el menos 2 está claro que es negativo, o sea que es positivo porque es menos 2 al cuadrado es 4, 4 menos 1 positivo. 163 00:12:26,509 --> 00:12:37,769 Sin embargo, el menos 0.5 al cuadrado es 0.25, 0.25 menos 1 es menos 0.75, luego este es negativo, ¿vale? Este es el que aquí me estaba chirriando. 164 00:12:38,769 --> 00:12:45,990 Pero es lo que os digo muchas veces, según lo vas haciendo, ves que de repente hay algo como que te descuadra, como que no queda muy claro. 165 00:12:46,590 --> 00:12:53,149 Bueno, pues con esta tablita ya lo tendríamos, porque ¿qué es lo que estamos obteniendo con esta tabla? 166 00:12:53,149 --> 00:12:57,549 pues estamos viendo que en este trocito la función es creciente 167 00:12:57,549 --> 00:13:04,190 aquí es decreciente, aquí es creciente y aquí es decreciente 168 00:13:04,190 --> 00:13:07,389 ¿y qué ocurre? que hemos visto que la función es continua 169 00:13:07,389 --> 00:13:10,669 por lo tanto y que es continua en todo R 170 00:13:10,669 --> 00:13:13,789 y que su dominio son todos los números reales 171 00:13:13,789 --> 00:13:18,090 pues aquí lo que acabamos de observar es que este punto va a ser un máximo 172 00:13:18,090 --> 00:13:23,210 en el menos 1, en el 0 vamos a tener un mínimo 173 00:13:23,210 --> 00:13:27,190 porque aunque la función no sea derivable, como va a hacer el pico 174 00:13:27,190 --> 00:13:30,309 va a ser un mínimo porque la función es continua 175 00:13:30,309 --> 00:13:34,529 y aquí en el punto 1 vamos a tener otro máximo relativo 176 00:13:34,529 --> 00:13:37,929 esto es lo que sacamos simplemente llenando la monotonía 177 00:13:37,929 --> 00:13:42,190 entonces ahora escribimos la respuesta, intervalos de crecimiento 178 00:13:42,190 --> 00:13:46,370 pues la función donde hemos dicho que era creciente del menos infinito 179 00:13:46,370 --> 00:14:04,059 a menos 1, unión 0, 1. ¿Vale? Los intervalos de decrecimiento será del menos 1 al 0, unión 1 infinito. 180 00:14:04,059 --> 00:14:24,779 y luego tenemos en el punto o en los puntos x igual 1 y x igual menos 1 tenemos máximos relativos y en el punto x igual 0 tenemos un mínimo relativo. 181 00:14:24,779 --> 00:14:27,879 Tendríamos que calcular el valor completo del punto 182 00:14:27,879 --> 00:14:30,179 Como me he subido tanto 183 00:14:30,179 --> 00:14:34,000 Vamos a ver, subo otra vez para ver el valor de la función 184 00:14:34,000 --> 00:14:40,559 La función en el 1 sería coger este trocito 185 00:14:40,559 --> 00:14:45,379 Y sería 1 partido de 1 más 1 sería 2 186 00:14:45,379 --> 00:14:52,320 Es decir que tendríamos los máximos relativos en el punto 1, 2 187 00:14:52,320 --> 00:14:57,500 en el 0 si veis al sustituir sería el punto 0,0 188 00:14:57,500 --> 00:15:00,600 y en el punto menos 1 189 00:15:00,600 --> 00:15:03,100 si vuelvo aquí en el menor, menos 1 190 00:15:03,100 --> 00:15:06,720 esto sería 1, bueno sería el mismo valor 191 00:15:06,720 --> 00:15:09,759 porque es el valor absoluto, o sea lo podríamos sustituir directamente la función 192 00:15:09,759 --> 00:15:12,539 no hace falta complicarse con las dos partes 193 00:15:12,539 --> 00:15:16,779 directamente podríamos coger el valor en la función 194 00:15:16,779 --> 00:15:19,200 cuando es 1, menos 1 es el mismo valor 195 00:15:19,200 --> 00:15:21,840 porque el valor absoluto de 1 y de menos 1 es el mismo 196 00:15:21,840 --> 00:15:23,860 Y sería uno partido de dos 197 00:15:23,860 --> 00:15:24,620 ¿Vale? 198 00:15:25,200 --> 00:15:27,220 Luego serían los máximos relativos 199 00:15:27,220 --> 00:15:28,360 En el punto uno, dos 200 00:15:28,360 --> 00:15:30,440 Y en el punto menos uno, dos 201 00:15:30,440 --> 00:15:32,120 Y ya estaría 202 00:15:32,120 --> 00:15:34,600 Sé que cuando lo hemos estado viendo un poco en clase hoy 203 00:15:34,600 --> 00:15:36,919 Os ha parecido un poco como muy complicado 204 00:15:36,919 --> 00:15:39,240 Pero fijaros que no es tan difícil 205 00:15:39,240 --> 00:15:39,960 ¿Vale?