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00:00:00,500 --> 00:00:06,059
Hola a todos, en este tutorial vamos a usar la integral de Riemann para calcular la longitud

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00:00:06,059 --> 00:00:11,259
de la gráfica de una función continua. El problema que nos ocupa es que tenemos una

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00:00:11,259 --> 00:00:31,530
función continua definida en un intervalo cerrado a b. Además de la continuidad que

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00:00:31,530 --> 00:00:37,030
nos asegura la derivabilidad por Riemann, la integrabilidad por Riemann, vamos a exigir

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00:00:37,030 --> 00:00:47,840
que sea derivable en el abierto. Pues vamos a utilizar el teorema del valor medio del cálculo diferencial.

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00:00:49,100 --> 00:00:55,780
La integral de Riemann nos dice que necesitamos crear una partición de mi intervalo AB

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00:00:55,780 --> 00:01:03,299
en una serie de puntos que nos creen una serie de subintervalos cuya longitud máxima tiende a cero.

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00:01:03,299 --> 00:01:20,060
Bien, pues si dividimos el intervalo AB en n más 1 puntos, que nos creen n subintervalos, todos ellos de longitud b menos a partido por n,

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00:01:23,019 --> 00:01:33,079
vamos a poder garantizar que cuando la n es suficientemente grande, esa longitud tiende a cero y estamos en las hipótesis de la integral de Riemann.

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00:01:33,079 --> 00:01:38,760
¿Cómo vamos a hacer uso de la integral para aproximar la longitud?

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00:01:40,099 --> 00:01:45,560
Bien, mediante la poligonal que une las imágenes de estos valores.

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00:01:46,219 --> 00:02:09,000
Si yo me centro en cualquiera de estos segmentos, voy a poder calcular su longitud por el teorema de Pitágoras.

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00:02:09,819 --> 00:02:11,539
De la siguiente manera.

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00:02:11,539 --> 00:02:30,960
Ahora, el triángulo generado tiene de base la diferencia de los puntos y de altura la diferencia de las imágenes.

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00:02:33,120 --> 00:02:55,110
Así pues, utilizando el teorema de Pitágoras, si elevamos los catetos al cuadrado y tomamos la raíz cuadrada,

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00:02:55,110 --> 00:02:59,629
vamos a obtener exactamente la longitud de esa hipotenusa buscada.

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00:02:59,629 --> 00:03:05,990
y como en nuestro caso la diferencia de las bases es constantemente b menos a partido por n

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00:03:05,990 --> 00:03:18,169
y lo hemos llamado incremento de x, esta expresión se transforma en esta otra

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00:03:18,169 --> 00:03:23,250
que sacando incremento de x, factor común, pues es una cantidad positiva

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00:03:23,250 --> 00:03:42,180
y sale incremento de x fuera.

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00:03:44,610 --> 00:03:50,169
Ahora aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral

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00:03:50,169 --> 00:03:56,840
que nos dice que si en unos intervalos cerrados

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00:03:56,840 --> 00:04:01,099
la función es continua y en los abiertos derivable

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00:04:01,099 --> 00:04:04,780
cosa que vamos a aplicar a cada uno de los subintervalos

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00:04:04,780 --> 00:04:07,560
existe un valor entre medias

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00:04:07,560 --> 00:04:19,589
cuya derivada es justamente

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00:04:19,589 --> 00:04:23,490
paralela a la secante de los puntos que los une

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00:04:23,490 --> 00:04:29,800
es decir, el cociente que tenemos en la fórmula de arriba

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00:04:29,800 --> 00:04:39,310
lo que hace que nuestra fórmula se simplifique todavía más.

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00:04:39,990 --> 00:04:51,230
En estas condiciones, si hacemos que la n tienda a infinito, esa longitud tiende a cero

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00:04:51,230 --> 00:05:13,860
y podemos crear el sumatorio de esta nueva hipotenusa por el incremento de x

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00:05:13,860 --> 00:05:25,009
que hace, según la integral de Riemann, que sea exactamente el valor de la raíz cuadrada

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00:05:25,009 --> 00:05:28,970
de la función derivada al cuadrado por el diferencial de x.

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00:05:30,589 --> 00:05:37,990
Ya hemos podido calcular la longitud de estas poligonales

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00:05:37,990 --> 00:05:40,350
que cuando la n tiende a infinito

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00:05:40,350 --> 00:05:42,569
va a coincidir exactamente

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00:05:42,569 --> 00:05:44,149
con el valor

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00:05:44,149 --> 00:05:46,529
de la longitud de la gráfica buscada

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00:05:46,529 --> 00:05:49,670
bien, espero que se haya entendido

40
00:05:49,670 --> 00:05:50,509
un saludo