1
00:00:00,830 --> 00:00:09,230
Bueno, vamos a empezar con la grabación de la clase de hoy, que en el instituto tenía pulsado un botón y se ha grabado sin sonido.

2
00:00:10,570 --> 00:00:20,210
Así que la voy a grabar aquí. Abrimos GeoGebra 5 y como veis, inicialmente no se ve la vista gráfica 3D.

3
00:00:20,730 --> 00:00:24,750
Cuando se abre, se podía haber elegido aquí, pero si no, podemos ir simplemente a Vista,

4
00:00:24,750 --> 00:00:31,210
quitamos la vista gráfica y ponemos la vista gráficas 3D

5
00:00:31,210 --> 00:00:41,670
de tal manera que las dos ventanas que tengamos sean la vista algebraica y la vista gráfica 3D

6
00:00:41,670 --> 00:00:45,450
que es donde vamos a trabajar

7
00:00:45,450 --> 00:00:50,090
vamos a empezar simplemente por poner un punto

8
00:00:50,090 --> 00:00:55,429
hago clic y como veis nos ha puesto el punto aquí con decimales

9
00:00:55,429 --> 00:01:00,810
que está ahí, que está en el plano Z0

10
00:01:00,810 --> 00:01:05,349
porque aquí lo que vemos, aunque todavía no definamos

11
00:01:05,349 --> 00:01:11,049
sistema ortonormal, etcétera, que lo haremos al final de este vídeo precisamente

12
00:01:11,049 --> 00:01:16,310
pues tenemos que el eje X va a ser la línea roja

13
00:01:16,310 --> 00:01:20,090
el eje rojo, el eje Y el eje verde

14
00:01:20,090 --> 00:01:22,549
y el eje Z el eje azul

15
00:01:22,549 --> 00:01:24,709
hemos puesto un punto A

16
00:01:24,709 --> 00:01:27,189
y siempre que elijamos una herramienta

17
00:01:27,189 --> 00:01:28,730
y luego queramos hacer otra cosa

18
00:01:28,730 --> 00:01:31,409
que no sea elegir otra herramienta

19
00:01:31,409 --> 00:01:33,209
debemos volver a elige y mueve

20
00:01:33,209 --> 00:01:36,969
fijaos también que si yo estoy en otra herramienta

21
00:01:36,969 --> 00:01:38,530
y pulso la tecla escape

22
00:01:38,530 --> 00:01:41,870
el automáticamente salta elige y mueve

23
00:01:41,870 --> 00:01:45,349
o sea que en este caso es un atajo de teclado muy interesante

24
00:01:45,349 --> 00:01:48,010
usar la tecla escape

25
00:01:48,010 --> 00:01:50,650
bueno, pues puedo mover el punto A

26
00:01:50,650 --> 00:01:52,349
y como veis

27
00:01:52,349 --> 00:01:54,090
cuando yo muevo el punto A

28
00:01:54,090 --> 00:01:55,750
sale aquí una crucecita

29
00:01:55,750 --> 00:01:57,290
al pasar por encima

30
00:01:57,290 --> 00:01:59,670
que lo que me dice

31
00:01:59,670 --> 00:02:01,670
es que puedo mover el punto A

32
00:02:01,670 --> 00:02:03,609
en el plano en el que estoy

33
00:02:03,609 --> 00:02:05,930
si os dais cuenta, aunque siga

34
00:02:05,930 --> 00:02:07,430
sin querer hablar de coordenadas

35
00:02:07,430 --> 00:02:09,650
la Z siempre vale 0

36
00:02:09,650 --> 00:02:11,389
y cuando estoy viendo

37
00:02:11,389 --> 00:02:13,330
la cruz esta

38
00:02:13,330 --> 00:02:23,370
doy al clic izquierdo del ratón, pues cambia y ahora lo que puedo hacer es levantar el punto A, por ejemplo hasta ahí.

39
00:02:24,770 --> 00:02:31,030
No se ve muy bien que ya no esté en el eje Z, salvo porque aquí ya no pone 0 sino 1,13,

40
00:02:31,590 --> 00:02:38,330
pero si yo muevo la vista 3D con el botón derecho del ratón, clic y arrastrar,

41
00:02:38,330 --> 00:02:55,150
clic y arrastrar sobre la zona de la vista 3D pues ya si que se ve perfectamente que no está en el plano Z0

42
00:02:55,150 --> 00:03:04,469
si yo ahora pincho aquí se me abre un submenú que en este caso como tengo seleccionado el punto pues todavía afecta al punto

43
00:03:04,469 --> 00:03:14,370
Pero si yo hago clic con el botón izquierdo en cualquier parte del dibujo blanco, pues resulta que ya sale este otro submenú.

44
00:03:14,789 --> 00:03:20,370
En este otro submenú hay un botón que me interesa muchísimo siempre, que es la casita esta.

45
00:03:20,810 --> 00:03:24,449
Pinchamos en la casita y todo vuelve a su posición.

46
00:03:24,830 --> 00:03:32,250
Yo me pongo de cualquier manera rara, cambio la escala, solo tengo que pinchar en la casita

47
00:03:32,250 --> 00:03:35,449
y todo se pone otra vez como al principio

48
00:03:35,449 --> 00:03:38,830
así que es muy útil este botón de la casita

49
00:03:38,830 --> 00:03:43,250
por otro lado, solo ahora para hacer las prácticas

50
00:03:43,250 --> 00:03:45,050
porque después podemos querer cualquier valor

51
00:03:45,050 --> 00:03:49,150
si yo pincho aquí en lo que parece una herradura

52
00:03:49,150 --> 00:03:52,310
que en realidad es un imán y elijo fijado a cuadrícula

53
00:03:52,310 --> 00:03:55,409
resulta que yo ahora cuando mueva A

54
00:03:55,409 --> 00:03:57,590
por ejemplo hacia abajo o hacia arriba

55
00:03:57,590 --> 00:03:59,770
o hacia los lados

56
00:03:59,770 --> 00:04:09,969
ya siempre me va a poner que estemos con valores enteros, valores enteros aquí, ¿vale?

57
00:04:10,129 --> 00:04:13,770
Y para localizar un punto pues va a ser más sencillo.

58
00:04:15,389 --> 00:04:21,529
También, si vuelvo a llamar al submenú este, pues podemos quitar o poner los ejes,

59
00:04:21,829 --> 00:04:28,129
quitar o poner una malla o una cuadrícula en el plano Z0 o incluso quitar el propio plano.

60
00:04:28,129 --> 00:04:38,389
también pinchando aquí podemos sacar una especie de cubo que hace como cuando sobre todo cuando

61
00:04:38,389 --> 00:04:46,790
hacemos un movimiento que parezca más que estamos en 3d no como más inmersivo pero bueno esto cada

62
00:04:46,790 --> 00:04:57,509
uno que haga lo que le guste además yo puedo pinchar aquí bueno voy a subirle un momento

63
00:04:57,509 --> 00:05:05,470
el punto a 2 para que tenga tres números diferentes decía si yo pincho aquí nos vamos

64
00:05:07,329 --> 00:05:18,009
plano z 0 y por tanto dado dos veces y por tanto estoy en lo que sería la vista gráfica normal

65
00:05:18,009 --> 00:05:32,230
x 3 y 1 vale si pincho en el segundo pues ahora estamos en el eje y 0 entonces tenemos x y z y

66
00:05:32,230 --> 00:05:41,089
si pincho aquí pues ya estamos en el plano x 0 es decir tengo y tengo z por supuesto haciendo

67
00:05:41,089 --> 00:05:46,589
clic puedo mover los puntos por aquí y solo se moverá en ese plano obviamente si pincho aquí

68
00:05:46,589 --> 00:05:53,910
es como la casita pero solamente la rotación me explico si yo doy con la rueda del ratón

69
00:05:53,910 --> 00:06:00,410
y digamos me acerco cuando pincho en la casa y bueno y además me muevo cuando pincho en la

70
00:06:00,410 --> 00:06:11,089
casita está me pone la vista estándar pero no me ha cambiado otra vez los ejes sin embargo si

71
00:06:11,089 --> 00:06:16,709
pincho en la casita del principio si vuelve a la posición inicial todo con la misma escala

72
00:06:16,709 --> 00:06:25,490
centradito así que eso que os quede claro cómo se manejan todas estas cosas luego aquí ya os

73
00:06:25,490 --> 00:06:31,790
dije en clase que hay un botón para incluso si os ponéis con charol azul y rojo os hacéis unas

74
00:06:31,790 --> 00:06:40,370
gafas 3d y yo lo he probado y se ve bastante bastante bien vale muy bien pues esto era todo

75
00:06:40,370 --> 00:06:44,269
sobre GeoGebra, vamos a empezar con objetos matemáticos

76
00:06:44,269 --> 00:06:48,250
para eso vamos a poner otro punto, así que pinchamos

77
00:06:48,250 --> 00:06:52,490
aquí, ponemos otro punto, como veis se pone otra vez

78
00:06:52,490 --> 00:06:55,389
en el plano Z0

79
00:06:55,389 --> 00:06:58,810
y ahora pues lo voy simplemente

80
00:06:58,810 --> 00:07:03,509
como no había dado el IGI 9, os dais cuenta

81
00:07:03,509 --> 00:07:06,829
este botón es deshacer, lo mismo que CTRL Z

82
00:07:06,829 --> 00:07:15,689
doy escape para irme a elige y mueve y ahora subo B por ejemplo hasta 5

83
00:07:15,689 --> 00:07:19,189
muy bien, ahora que ya tengo A y B

84
00:07:19,189 --> 00:07:23,810
ahí los tenéis, pues voy a hacer mi objeto vector

85
00:07:23,810 --> 00:07:27,470
si yo pincho aquí, tengo vector

86
00:07:27,470 --> 00:07:32,110
puedo pinchar aquí y aquí o puedo pinchar en la vista algebraica

87
00:07:32,110 --> 00:07:34,529
que normalmente va a ser todavía más fácil

88
00:07:34,529 --> 00:07:39,910
ya tengo, voy a elegir 9, ya tengo mi vector AB

89
00:07:39,910 --> 00:07:42,290
esto es lo que llamamos un vector fijo

90
00:07:42,290 --> 00:07:46,389
porque tiene origen y extremo

91
00:07:46,389 --> 00:07:49,029
origen y extremo

92
00:07:49,029 --> 00:07:52,709
el origen es A y el extremo que es donde se pone la flechita B

93
00:07:52,709 --> 00:07:58,389
y a ese vector le llamaríamos AB con flechita encima

94
00:07:58,389 --> 00:08:00,990
porque es un vector fijo

95
00:08:00,990 --> 00:08:04,370
de momento aquí no nos fijemos en esto

96
00:08:04,370 --> 00:08:11,350
Ahora lo vamos a explicar. Una vez que yo tengo ese vector, se define con módulo, dirección y sentido.

97
00:08:11,769 --> 00:08:17,930
El módulo es la longitud del vector. Como todavía no tenemos coordenadas, para nosotros la longitud del vector

98
00:08:17,930 --> 00:08:24,389
podríamos hacerla diciendo a GeoGebra que nos mide al segmento. El segmento vale 3,74.

99
00:08:25,290 --> 00:08:32,309
Ese sería el módulo del vector AB. La dirección sería la de la recta que lo contiene.

100
00:08:32,309 --> 00:08:39,210
Así que si pinchamos en la herramienta recta A y B, pues tenemos la recta que lo contiene.

101
00:08:39,490 --> 00:08:51,990
Quizás es el momento de ahora en propiedades cambiar el color y el grosor de nuestro vector y de la recta que lo contiene.

102
00:08:51,990 --> 00:09:08,169
Por ejemplo, lo hacemos así de finito. Vale, pues ya tengo el vector AB y la dirección es la recta que lo contiene. Esta es la dirección del vector.

103
00:09:08,169 --> 00:09:12,450
sentido es de A a B, el que indica la flecha

104
00:09:12,450 --> 00:09:15,450
esta dirección tiene dos sentidos

105
00:09:15,450 --> 00:09:19,470
que es cuando os he contado lo de que en tráfico

106
00:09:19,470 --> 00:09:21,590
lo que llaman dirección prohibida

107
00:09:21,590 --> 00:09:24,389
para nosotros sería sentido prohibido

108
00:09:24,389 --> 00:09:27,730
y lo que en tráfico llaman circulación prohibida

109
00:09:27,730 --> 00:09:29,750
es lo de que es la dirección

110
00:09:29,750 --> 00:09:32,470
también quiero llamaros la atención

111
00:09:32,470 --> 00:09:34,210
aunque poco todavía

112
00:09:34,210 --> 00:09:39,750
en la forma vectorial de escribir la recta.

113
00:09:39,990 --> 00:09:43,830
Esto lo dimos en primer de bachillerato en 2D.

114
00:09:44,690 --> 00:09:48,110
Tenemos un punto y un vector, que es lo que define una recta.

115
00:09:48,110 --> 00:09:50,669
Pero de momento no nos fijaremos mucho en eso.

116
00:09:51,110 --> 00:09:56,269
Simplemente lo que quería era tener módulo, dirección y sentido.

117
00:09:57,070 --> 00:10:03,950
Ahora viene, cuando os he dicho en clase, que soltaréis el ratón.

118
00:10:04,210 --> 00:10:10,769
soltamos el ratón, damos CTRL-C, perdón, primero hay que seleccionar el vector,

119
00:10:11,009 --> 00:10:18,730
si no, no puedo dar CTRL-C, CTRL-C, ahora damos CTRL-V y nos ha pegado otro vector,

120
00:10:18,730 --> 00:10:26,970
le selecciono con el ratón y ahora con el teclado lo muevo, ese otro vector,

121
00:10:26,970 --> 00:10:30,129
vuelvo a dar control V

122
00:10:30,129 --> 00:10:33,710
selecciono U2 que llama aquí

123
00:10:33,710 --> 00:10:36,649
y por ejemplo me lo llevo aquí

124
00:10:36,649 --> 00:10:39,610
y vuelvo a dar control V

125
00:10:39,610 --> 00:10:43,669
vamos a hacer 3 más que en total haya 4

126
00:10:43,669 --> 00:10:47,509
y lo muevo aquí y un poquito para adelante

127
00:10:47,509 --> 00:10:52,389
de tal manera que ahora lo que tengo es 4 vectores

128
00:10:52,389 --> 00:10:56,330
4 vectores y estos 4 vectores tienen el mismo módulo

129
00:10:56,330 --> 00:10:59,950
son exactamente igual de largos, la misma dirección

130
00:10:59,950 --> 00:11:04,549
porque las rectas que lo contienen son paralelas

131
00:11:04,549 --> 00:11:08,389
y el mismo sentido, así que se dice que estos vectores son

132
00:11:08,389 --> 00:11:12,029
equipolentes, esto que voy a decir no lo he dicho en clase

133
00:11:12,029 --> 00:11:16,330
pero lo digo ahora, para saber si dos vectores son equipolentes

134
00:11:16,330 --> 00:11:20,250
que se ve aquí muy fácil, podríamos hacer

135
00:11:20,250 --> 00:11:24,169
dos cosas, o bien unir origen con origen y extremo

136
00:11:24,169 --> 00:11:31,450
extremo y tiene que quedar un paralelogramo o bien unir origen con extremo y extremo con origen y

137
00:11:31,450 --> 00:11:38,269
tienen que cortarse en el punto medio de lo que estoy uniendo de acuerdo pero vamos eso no nos

138
00:11:38,269 --> 00:11:43,009
importa demasiado en este caso simplemente que veáis que tengo cuatro vectores fijos

139
00:11:43,009 --> 00:11:49,269
equipolente estos cuatro vectores fijos equipolentes forman lo que se llama una

140
00:11:49,269 --> 00:11:56,710
clase de equivalencia y vamos a pasar el concepto abstracto muy complicado de

141
00:11:56,710 --> 00:12:02,990
vector fijo a vector libre de vector fijo a vector libre

142
00:12:02,990 --> 00:12:08,789
estos cuatro vectores fijos en realidad tienen como representante canónico el

143
00:12:08,789 --> 00:12:16,590
mismo vector libre que si lo dijéramos así es el 1 2 3 es como si esto indicará

144
00:12:16,590 --> 00:12:28,710
los pasos que doy, 1 en el x, 2 en el y, 3 en el z, da igual de donde salga, luego saldré de un sitio o de otro, pero doy un paso en el x, 2 en el y, 3 en el z,

145
00:12:28,889 --> 00:12:42,830
por lo tanto, obtendré vectores equipolentes. El vector libre es un concepto abstracto, no se puede ver, el vector fijo es estos, son 4 vectores fijos,

146
00:12:42,830 --> 00:12:49,409
Yo tengo el vector libre 1, 2, 3, y en cuanto le pegue en un sitio, para que se vea, ya es un vector fijo.

147
00:12:49,850 --> 00:12:54,389
Pero, sin embargo, nosotros vamos a trabajar con el concepto abstracto vector libre.

148
00:12:54,590 --> 00:13:01,230
Y todas las operaciones y todas las cosas las vamos a hacer operando con vectores libres,

149
00:13:01,250 --> 00:13:05,570
aunque simplemente sea un concepto abstracto.

150
00:13:05,950 --> 00:13:12,669
¿Vale? Muy bien. Esto os lo he explicado en clase, como que un medio, dos cuartos, tres sextos, cuatro octavos,

151
00:13:12,830 --> 00:13:17,370
Son la misma fracción equivalente a 0,5.

152
00:13:17,490 --> 00:13:20,230
Vamos a decirlo en decimales para que lo entendáis todavía mejor.

153
00:13:21,289 --> 00:13:23,809
Cuando yo quiero sumar un medio más dos tercios,

154
00:13:24,129 --> 00:13:27,110
utilizo una fracción equivalente a un medio tres sextos.

155
00:13:27,669 --> 00:13:28,090
¿De acuerdo?

156
00:13:28,710 --> 00:13:31,710
Pues aquí, cuando yo quiera sumar vectores libres,

157
00:13:32,250 --> 00:13:35,809
pues obtendré un vector equipolente que le pintaré donde me dé la gana.

158
00:13:35,809 --> 00:13:42,509
O en otras palabras, hablar de vectores libres indica que yo puedo mover los vectores fijos.

159
00:13:42,509 --> 00:14:01,409
Y siguen siendo el mismo vector libre. Muy bien, ya lo tengo. Voy a borrar todo esto que hemos utilizado para explicarlo. No merece la pena ocultarlo. También podría haber utilizado estos botones.

160
00:14:01,409 --> 00:14:04,149
ya no, porque ya empezaba a borrar

161
00:14:04,149 --> 00:14:08,649
y volvemos a nuestro concepto original

162
00:14:08,649 --> 00:14:09,850
que es este

163
00:14:09,850 --> 00:14:15,009
y que ya tengo mi vector con módulo de dirección y sentido

164
00:14:15,009 --> 00:14:17,750
y ya sé lo que significaría un vector libre

165
00:14:17,750 --> 00:14:22,909
vamos a ver la suma de vectores libres

166
00:14:22,909 --> 00:14:27,350
entonces, yo podría hacer cualquier vector

167
00:14:27,350 --> 00:14:30,970
pero voy a hacer uno que salga de A

168
00:14:30,970 --> 00:14:45,769
Y voy a inventarme primero un punto, voy a hacer el punto C, esta es una nueva manera de crear puntos, C igual, y aquí voy a poner las coordenadas de C entre paréntesis.

169
00:14:45,769 --> 00:14:58,309
Por ejemplo, podría poner 1, 0, bueno, o 1, 2, mejor, 1, 2, 3.

170
00:14:58,990 --> 00:15:04,750
Pues ponemos 1, 2, 3 y ya tengo el punto C.

171
00:15:04,970 --> 00:15:07,269
Doy Enter y ahí tengo el punto C.

172
00:15:08,090 --> 00:15:08,490
¿Lo veis?

173
00:15:08,490 --> 00:15:21,830
Si ahora yo hago el vector AC, pues ya tengo dos vectores con el mismo punto de aplicación o con el mismo origen.

174
00:15:22,149 --> 00:15:27,330
Voy a poner este vector en rojo y también más gordito.

175
00:15:29,029 --> 00:15:32,210
Lo que voy a hacer ahora es sumar esos dos vectores.

176
00:15:32,210 --> 00:15:35,289
lo que yo puedo hacer para sumar esos dos vectores

177
00:15:35,289 --> 00:15:36,409
voy a ocultar esto

178
00:15:36,409 --> 00:15:39,070
lo que yo puedo hacer para sumar esos dos vectores

179
00:15:39,070 --> 00:15:41,230
es ponerles en el mismo origen

180
00:15:41,230 --> 00:15:44,269
efectivamente los dos tienen origen A

181
00:15:44,269 --> 00:15:47,850
y hacer la regla del paralelogramo

182
00:15:47,850 --> 00:15:50,129
¿en qué consistía la regla del paralelogramo?

183
00:15:50,250 --> 00:15:53,210
en que si yo hago rectas primero

184
00:15:53,210 --> 00:15:56,009
esta ya la tenía, la voy a poner

185
00:15:56,009 --> 00:15:58,070
la recta C

186
00:15:58,070 --> 00:16:02,509
y ahora hago una paralela

187
00:16:02,509 --> 00:16:07,570
a la primera que pinté que pase por C

188
00:16:07,570 --> 00:16:11,350
y una paralela a la segunda que pinté

189
00:16:11,350 --> 00:16:13,549
que pase por B, por ejemplo

190
00:16:13,549 --> 00:16:19,169
pues veis que ahí he formado un paralelogramo

191
00:16:19,169 --> 00:16:22,470
el punto de intersección

192
00:16:22,470 --> 00:16:28,000
entre esas dos rectas

193
00:16:28,000 --> 00:16:30,179
que es D

194
00:16:30,179 --> 00:16:34,419
será el punto que me marcará ahora

195
00:16:34,419 --> 00:16:36,279
poder hacer el vector suma

196
00:16:36,279 --> 00:16:38,559
y ahora vuelvo a coger el vector

197
00:16:38,559 --> 00:16:40,100
y pincho a

198
00:16:40,100 --> 00:16:42,080
Avila Dinamarca

199
00:16:42,080 --> 00:16:44,159
pues tengo el vector suma

200
00:16:44,159 --> 00:16:46,220
esto lo he sumado haciendo

201
00:16:46,220 --> 00:16:48,419
la regla del paralelogramo

202
00:16:49,379 --> 00:16:49,820
¿de acuerdo?

203
00:16:50,159 --> 00:16:52,379
en general nosotros no vamos a

204
00:16:52,379 --> 00:16:54,299
utilizar la regla del paralelogramo

205
00:16:54,299 --> 00:16:56,100
voy a ocultar todos estos

206
00:16:56,100 --> 00:16:58,360
y también

207
00:16:58,360 --> 00:16:59,840
voy a ocultar el vector W

208
00:16:59,840 --> 00:17:02,460
y el punto D, luego los volveremos

209
00:17:02,460 --> 00:17:02,860
a poner

210
00:17:02,860 --> 00:17:19,359
¿Cuál es la manera normal de nosotros sumar vectores que además sirve para sumar tres o cuatro vectores?

211
00:17:19,359 --> 00:17:25,859
Pues es poner el vector v libre detrás de b

212
00:17:25,859 --> 00:17:28,319
¿Cómo se escribe eso en GeoGebra?

213
00:17:28,319 --> 00:17:38,599
Pues escribo la palabra vector, abro paréntesis y pongo dos veces el origen del vector, en nuestro caso b.

214
00:17:39,740 --> 00:17:45,599
Y ahora detrás del segundo b doy más y escribo el vector que quiero, por ejemplo v.

215
00:17:46,640 --> 00:17:55,039
Como veis, cuando doy enter, lo que he hecho ha sido un vector equipolente a ac saliendo de b.

216
00:17:55,039 --> 00:18:00,599
eso me marcaría un punto aquí que es de antes

217
00:18:00,599 --> 00:18:06,299
y por supuesto uniendo origen del primer vector y extremo del último vector

218
00:18:06,299 --> 00:18:11,140
pues tenemos simplemente el vector suma

219
00:18:11,140 --> 00:18:14,579
¿veis? en vez de con la regla del paralelogramo

220
00:18:14,579 --> 00:18:16,200
concatenando vectores

221
00:18:16,200 --> 00:18:18,480
ahora podríamos quitar esto

222
00:18:18,480 --> 00:18:21,640
ahí he puesto u más v

223
00:18:21,640 --> 00:18:24,579
ese es el vector u más v

224
00:18:24,579 --> 00:18:28,240
¿vale? muy bien

225
00:18:28,240 --> 00:18:30,799
¿qué le pasa al vector u más v?

226
00:18:30,799 --> 00:18:32,559
¿qué es la suma?

227
00:18:33,940 --> 00:18:37,680
pues que resulta que si yo cojo la herramienta plano

228
00:18:37,680 --> 00:18:42,799
que pasa por tres puntos y pincho en a, b y c

229
00:18:42,799 --> 00:18:46,500
como veis se pinta un plano

230
00:18:46,500 --> 00:18:49,779
se pinta un plano

231
00:18:49,779 --> 00:18:59,200
que contiene los tres vectores, es decir, el vector suma es siempre coplanario

232
00:18:59,200 --> 00:19:02,980
con los dos vectores que lo engendran, están siempre en el mismo plano.

233
00:19:03,420 --> 00:19:10,700
Además, fijaos qué curioso, el plano P, que ya veis cómo se escribe,

234
00:19:11,200 --> 00:19:18,299
como una ecuación de tres incógnitas, si le doy botón derecho, elijo representación 2D,

235
00:19:18,299 --> 00:19:26,460
resulta que siempre puedo verlo en un dibujo aparte, en una ventana aparte

236
00:19:26,460 --> 00:19:31,440
y eso me puede tener muchas utilidades en ejercicios que no se vean bien

237
00:19:31,440 --> 00:19:38,619
lo que he hecho ha sido, digamos, hacer una vista 2D del plano azul, del plano P

238
00:19:38,619 --> 00:19:45,019
vale, si yo tocara alguna de estas cosas pues se reflejaría inmediatamente aquí

239
00:19:45,019 --> 00:19:48,559
y viceversa, eso es también llamativo

240
00:19:48,559 --> 00:19:52,819
muy bien, de momento vamos a cerrar este

241
00:19:52,819 --> 00:19:56,859
plan, pues ya sé como se hace

242
00:19:56,859 --> 00:19:58,759
la suma de vectores

243
00:19:58,759 --> 00:20:04,799
también podemos hacer, si ocultamos

244
00:20:04,799 --> 00:20:07,200
la suma, a ver, la suma era w

245
00:20:07,200 --> 00:20:12,880
podemos hacer la multiplicación de un número por un vector

246
00:20:12,880 --> 00:20:17,319
¿Cómo es la multiplicación de un número por un vector?

247
00:20:18,099 --> 00:20:24,599
Pues otro vector que tiene la misma dirección, por tanto está sobre la misma recta

248
00:20:24,599 --> 00:20:31,059
El módulo multiplicado por el número, es decir, se multiplica la longitud por el número

249
00:20:31,059 --> 00:20:34,720
Y sentido el del signo del número que multiplique

250
00:20:34,720 --> 00:20:39,859
Me explico, si yo quiero pintar un vector que sea por ejemplo 2u

251
00:20:39,859 --> 00:20:44,539
escribo vector, acordaros del truco que os he dicho

252
00:20:44,539 --> 00:20:47,119
a, a, porque queremos que salga de a

253
00:20:47,119 --> 00:20:52,940
porque si solo escribo un vector, GeoGebra tiene la manía de pintarlo saliendo siempre del 0, 0

254
00:20:52,940 --> 00:20:56,640
entonces para que no salgan del 0, 0 se hace este truco

255
00:20:56,640 --> 00:20:59,259
y ahora más dos veces u

256
00:20:59,259 --> 00:21:03,740
y ahí tengo el vector 2u

257
00:21:03,740 --> 00:21:06,660
de acuerdo, ahí tengo el vector 2u

258
00:21:06,660 --> 00:21:14,619
Como veis, está en la misma línea, que era esta, y tiene de longitud el doble.

259
00:21:14,779 --> 00:21:23,140
Por supuesto el vector 2u no es lo que se ve negro, tendría que quizá ocultar u para que veáis lo que es el vector 2u.

260
00:21:23,319 --> 00:21:30,619
El vector 2u es desde a hasta el final, hasta aquí, tampoco estorbaría b.

261
00:21:30,619 --> 00:21:41,980
Ese es el vector 2u, incluso si queréis, pues le podemos poner un color verde oscuro, y ahí tenéis el vector 2u.

262
00:21:42,819 --> 00:21:49,539
¿De acuerdo? El verde es 2 veces u, cuando u era esto.

263
00:21:50,200 --> 00:21:53,079
¿Vale? Perfecto, muy bien.

264
00:21:53,079 --> 00:22:00,940
El multiplicar un número por un vector me permite ya pasar a restar vectores

265
00:22:00,940 --> 00:22:05,920
Es decir, ahora yo podría hacer, por ejemplo, u menos v

266
00:22:05,920 --> 00:22:07,960
¿Cómo sería menos v?

267
00:22:08,500 --> 00:22:11,599
Esto en clase lo he explicado muy rápido y es mejor que os fijéis aquí

268
00:22:11,599 --> 00:22:13,220
¿Cómo sería menos v?

269
00:22:13,220 --> 00:22:21,410
Pues saliendo de a, yo podría escribir vector a, menos v

270
00:22:21,410 --> 00:22:28,250
y ese sería el vector menos v.

271
00:22:28,710 --> 00:22:35,130
Ahora, ¿cómo se haría u menos v?

272
00:22:35,130 --> 00:22:46,950
Pues para hacer el vector u menos v lo voy a hacer pintado que salga de p.

273
00:22:46,950 --> 00:22:51,269
entonces voy a hacer el vector

274
00:22:51,269 --> 00:22:56,319
voy a hacer el vector

275
00:22:56,319 --> 00:23:00,720
c,c

276
00:23:00,720 --> 00:23:05,700
más u menos v

277
00:23:05,700 --> 00:23:07,920
y ahí tenemos

278
00:23:07,920 --> 00:23:12,279
el vector que aquí ha llamado de Dinamarca

279
00:23:12,279 --> 00:23:14,579
que es u

280
00:23:14,579 --> 00:23:18,609
y ahora menos v

281
00:23:18,609 --> 00:23:22,490
en realidad al hacer el vector u menos v saliendo de a

282
00:23:22,490 --> 00:23:27,259
espero que esto no os lie

283
00:23:27,259 --> 00:23:31,619
más u menos v

284
00:23:31,619 --> 00:23:35,299
el vector que me sale es un equipolente

285
00:23:35,299 --> 00:23:37,799
este es el vector u menos v

286
00:23:37,799 --> 00:23:39,960
por la regla del paralelogramo

287
00:23:39,960 --> 00:23:41,660
pero yo, como es un vector libre

288
00:23:41,660 --> 00:23:43,720
le puedo mover a que salga de c

289
00:23:43,720 --> 00:23:47,119
y entonces u menos v va así

290
00:23:47,119 --> 00:23:48,319
¿y esto para qué?

291
00:23:48,559 --> 00:23:50,900
os cuento todo esto cuando podíamos haberlo hecho así

292
00:23:50,900 --> 00:23:53,960
porque es muy interesante ver

293
00:23:53,960 --> 00:23:56,859
que cuando hago u menos v

294
00:23:56,859 --> 00:24:07,180
es un vector que siempre va del extremo de v al extremo de u, u menos v es un vector que va del

295
00:24:07,180 --> 00:24:14,839
extremo de v al extremo de u, además si os acordáis del plano, por supuesto esto está todo en el mismo

296
00:24:14,839 --> 00:24:26,420
plano y si le damos la vista 2D resulta que voy a ocultar todas estas cosas, no, este no,

297
00:24:28,180 --> 00:24:32,819
hay otro vector que quiero contar, este.

298
00:24:34,599 --> 00:24:40,200
Siempre el vector u, que es el azul, más el vector v, que es el rojo,

299
00:24:40,640 --> 00:24:45,539
más el vector resta, u menos v, que es la línea estrecha negra,

300
00:24:46,039 --> 00:24:48,079
van a formar un triángulo.

301
00:24:48,079 --> 00:24:52,799
Y aquí es donde va a entrar a veces en ejercicios trigonometría,

302
00:24:53,839 --> 00:24:57,759
o el teorema del coseno, vamos de trigonometría, o cosas de esas.

303
00:24:57,759 --> 00:25:01,720
¿De acuerdo? O sea, que este es el vector u menos v.

304
00:25:02,700 --> 00:25:03,680
Muy bien.

305
00:25:05,880 --> 00:25:07,680
Vamos a cerrar esta ventana.

306
00:25:09,559 --> 00:25:16,359
¿Qué más me permite el poder multiplicar un número por un vector?

307
00:25:17,200 --> 00:25:20,539
Pues que ahora yo puedo hacer combinaciones lineales.

308
00:25:20,539 --> 00:25:34,759
Combinaciones lineales. Por ejemplo, puedo hacer saliendo de A el vector 5U más 2V.

309
00:25:35,859 --> 00:25:44,019
Y ahí tendríais el vector, que es muy largo, 5U más 2V.

310
00:25:44,160 --> 00:25:47,960
Hemos puesto 5 veces U y detrás 2 veces V.

311
00:25:48,559 --> 00:25:53,299
Este punto en GeoGebra, esto no es de matemáticas, se puede escribir así.

312
00:25:53,299 --> 00:26:05,799
que matemáticamente estaría fatal, vamos a poner que el punto P, por ejemplo, es igual a A más el vector.

313
00:26:06,200 --> 00:26:14,359
¿Por qué esto matemáticamente está mal? Igual que esto matemáticamente está mal, porque estamos sumando puntos y vectores.

314
00:26:14,539 --> 00:26:18,779
El que me ponga esto en el examen es un 0, pero GeoGebra permite escribirlo así.

315
00:26:18,779 --> 00:26:24,599
Ya veremos cómo lo tenemos que escribir nosotros en el siguiente vídeo.

316
00:26:24,759 --> 00:26:27,119
Entonces, ¿veis que ya está el punto gordo aquí?

317
00:26:28,019 --> 00:26:34,519
Ese es el punto P, que es el extremo del vector 5U más V.

318
00:26:35,339 --> 00:26:38,019
Y ya puedo hacer cualquier combinación lineal.

319
00:26:38,299 --> 00:26:43,759
Pero, ¡qué pena! Resulta que todos están en el mismo plano.

320
00:26:43,759 --> 00:26:49,000
¿Cómo voy de A a un punto que esté por aquí con eso?

321
00:26:49,299 --> 00:26:53,900
Pues no puedo porque solo tengo dos vectores y estamos en tres dimensiones

322
00:26:53,900 --> 00:27:01,019
Entonces necesito un vector que no esté en esas dos dimensiones, en ese plano

323
00:27:01,019 --> 00:27:05,380
Que sí que me permita hacer la combinación lineal

324
00:27:05,380 --> 00:27:14,920
Si yo pongo aquí, por ejemplo, un punto, y ahora la herramienta vector A hasta el punto E,

325
00:27:14,920 --> 00:27:21,079
pues ahora sí, tengo tres vectores, de hecho, grandísimo, pero bueno, es igual,

326
00:27:22,019 --> 00:27:30,680
tengo tres vectores que son linealmente independientes.

327
00:27:31,779 --> 00:27:34,940
Esos tres vectores que son linealmente independientes.

328
00:27:34,940 --> 00:27:37,740
Y con esos tres vectores sí que podría llegar a cualquier punto.

329
00:27:38,240 --> 00:27:42,299
Mediante una combinación lineal de esos tres vectores podría llegar a cualquier punto.

330
00:27:42,940 --> 00:27:50,400
Pero para saber que son linealmente independientes, tengo que ver que lo son.

331
00:27:50,660 --> 00:27:54,380
Entonces, eso lo puedo hacer con lo que hemos aprendido en el tema anterior.

332
00:27:54,380 --> 00:28:05,960
Si yo me voy a la vista CAS y hago un determinante formado por las coordenadas de esos tres vectores,

333
00:28:06,140 --> 00:28:13,420
hoy lo voy a hacer con números, por ejemplo, el vector U era 1, 2, 3, 1, 2, 3,

334
00:28:13,740 --> 00:28:21,960
hay que poner otra, entre otra llave, coma, voy a hacer una matriz.

335
00:28:21,960 --> 00:28:28,200
Segunda fila, otra vez entre llaves, el V, menos 2, 1, 1

336
00:28:28,200 --> 00:28:39,000
Y tercera fila, entre llaves, el I, menos 13, menos 11, 2

337
00:28:39,000 --> 00:28:48,059
Bueno, pues tengo ahí una matriz, como podéis ver

338
00:28:48,059 --> 00:29:00,349
y si yo le pido el determinante, pues me va a salir el dólar uno distinto de cero.

339
00:29:00,769 --> 00:29:04,710
Y por tanto, estos tres vectores son linealmente independientes,

340
00:29:05,289 --> 00:29:09,970
cualquier punto o vector del espacio se va a poner en función de ellos

341
00:29:09,970 --> 00:29:14,109
y diremos que es una base del espacio.

342
00:29:16,160 --> 00:29:19,599
En el siguiente vídeo empezaremos aquí y diciendo, pues en vez de esta base,

343
00:29:19,599 --> 00:29:25,500
que no nos interesa, vamos a coger lo que se llama la base ortonormal.

344
00:29:25,680 --> 00:29:33,839
¿Y cuál es la base ortonormal? Pues el vector i, no vale poner puntos,

345
00:29:34,079 --> 00:29:39,359
hay que escribir la palabra vector, y dentro otro paréntesis para indicar un punto,

346
00:29:39,859 --> 00:29:50,140
que va a ser 1,00, a ver, la i ya estaba cogida,

347
00:29:50,140 --> 00:29:53,619
así que necesitamos buscar i

348
00:29:53,619 --> 00:30:03,589
y ha debido ya coger la i

349
00:30:03,589 --> 00:30:07,420
vamos a borrar este vector

350
00:30:07,420 --> 00:30:11,119
si borro este vector me lo cargo todo

351
00:30:11,119 --> 00:30:13,079
no es este, lo vamos a renombrar

352
00:30:13,079 --> 00:30:15,299
vamos a poner dd

353
00:30:15,299 --> 00:30:19,869
no me deja renombrarlo

354
00:30:19,869 --> 00:30:26,720
vamos a poner ahora

355
00:30:26,720 --> 00:30:28,980
a ver si ahora sí que me deja

356
00:30:28,980 --> 00:30:33,299
definirla ahí

357
00:30:33,299 --> 00:30:35,000
¿veis?

358
00:30:35,559 --> 00:30:37,579
me ha definido, está muy pequeñito

359
00:30:37,579 --> 00:30:39,220
y no se ve

360
00:30:39,220 --> 00:30:41,799
pero ahí

361
00:30:41,799 --> 00:30:44,359
no le he dado enter

362
00:30:44,359 --> 00:30:51,859
da un problema

363
00:30:51,859 --> 00:30:53,180
con la I y la J

364
00:30:53,180 --> 00:30:55,859
así que

365
00:30:55,859 --> 00:30:57,660
lo haré en el próximo vídeo ya

366
00:30:57,660 --> 00:30:59,579
lo de la base

367
00:30:59,579 --> 00:31:01,740
ortogonal, ¿de acuerdo?