1
00:00:00,750 --> 00:00:13,609
Bueno, pues venga, vamos a ver. Continuamos con nuestro movimiento armónico simple, ¿vale? A ver, os voy a poner las ecuaciones para que las tengamos presentes a la hora de hacer los problemas, ¿de acuerdo?

2
00:00:13,609 --> 00:00:29,390
A ver, recordad, x, ¿qué es? Representa la posición de la partícula, ¿vale? Y viene dado como a por el seno de omega t más phi, ¿de acuerdo?

3
00:00:30,010 --> 00:00:45,070
x representa la posición del sistema o de la partícula, lo que tengamos, que tiene un movimiento armónico simple.

4
00:00:45,070 --> 00:00:49,250
Ahora voy a decir que es cada cosa

5
00:00:49,250 --> 00:00:50,390
para que lo tengáis en cuenta

6
00:00:50,390 --> 00:00:51,149
¿Vale?

7
00:00:59,149 --> 00:01:00,390
¿Con respecto a qué?

8
00:01:01,149 --> 00:01:01,850
¿Qué estáis viendo?

9
00:01:11,140 --> 00:01:12,939
Bueno, puede haber alguna fórmula

10
00:01:12,939 --> 00:01:14,620
que esté relacionada con el seno del ángulo

11
00:01:14,620 --> 00:01:27,019
Claro, a ver entonces

12
00:01:27,019 --> 00:01:28,799
X, elongación

13
00:01:28,799 --> 00:01:31,420
Bueno, venga, ya, seguimos

14
00:01:31,420 --> 00:01:33,219
X representa la posición

15
00:01:33,219 --> 00:01:33,760
¿De acuerdo?

16
00:01:35,000 --> 00:01:37,140
Pero es lo que se llama

17
00:01:37,140 --> 00:01:38,420
Elongación, ¿de acuerdo?

18
00:01:39,000 --> 00:01:43,040
A es la amplitud máxima

19
00:01:43,040 --> 00:01:44,099
Que ya lo vimos ayer

20
00:01:44,099 --> 00:02:10,680
A ver, amplitud máxima. Bueno, pues estas dos se dan en metros, ¿de acuerdo? Vale. Luego, omega. Omega se le llama pulsación o frecuencia angular. Frecuencia angular.

21
00:02:10,680 --> 00:02:39,560
Amplitud. Bueno, a ver, perdona. Sí, bueno, hay amplitud máxima. Amplitud es la elongación, vamos a poner aquí elongación máxima. Se me ha olvidado poner elongación. Elongación máxima. La amplitud es la elongación máxima, ¿de acuerdo? ¿Vale? Que se da en metros. A ver, X es la elongación, la elongación máxima se denomina amplitud y se dan en metros más 2, ¿de acuerdo? Venga.

22
00:02:39,560 --> 00:03:08,370
A ver, omega es la pulsación o frecuencia angular que se mide en radianes por segundo, ¿de acuerdo? ¿Vale? T es el tiempo que se mide en segundos y phi es la fase inicial que se mide en radianes, ¿de acuerdo? ¿Vale?

23
00:03:08,370 --> 00:03:35,189
Vale. Bueno, pues esta es la primera que tenemos que tener. Luego, otras cosas. Vamos a ver. Vamos a poner aquí, voy a poner aquí en otro color, en rojo, ¿vale? Para que veáis que podemos sacar aquí de provecho para hacer un problema, ¿de acuerdo? Vale. A ver, omega, ¿cómo lo podemos calcular? Pues hay veces que me lo dan no como omega, sino que me dicen la frecuencia del movimiento, ¿de acuerdo? ¿Vale?

24
00:03:35,189 --> 00:03:52,490
De manera que omega lo puedo calcular como 2pi por f y hay veces que me dan el periodo del movimiento, 2pi entre t. Si os acordáis, estas ecuaciones eran propias del movimiento circular uniforme, pero que también se pueden utilizar aquí, ¿de acuerdo? ¿Vale o no?

25
00:03:52,490 --> 00:03:57,069
Ya os expliqué por qué

26
00:03:57,069 --> 00:04:01,610
Si no lo sabe alguien, pues le remito a los vídeos

27
00:04:01,610 --> 00:04:04,969
¿De acuerdo? ¿Vale? Pues venga, seguimos

28
00:04:04,969 --> 00:04:09,370
Fi, ¿cómo lo vamos a calcular? Este fi

29
00:04:09,370 --> 00:04:12,710
Fi lo vamos a calcular cuando

30
00:04:12,710 --> 00:04:17,649
T valga 0, por eso se denomina fase

31
00:04:17,649 --> 00:04:23,220
inicial, ¿de acuerdo? ¿Vale?

32
00:04:24,060 --> 00:04:27,459
¿Sí? Vale. Esto por un lado. Venga, primera fórmula.

33
00:04:28,360 --> 00:04:33,839
Segunda fórmula. Segunda fórmula que tenemos que considerar es v, velocidad.

34
00:04:34,839 --> 00:04:41,319
Que lo único que tenéis que saber es que se calcula como la derivada de x con respecto al tiempo.

35
00:04:41,839 --> 00:04:45,420
No hace falta saberse la fórmula de memoria, la que voy a poner ahora.

36
00:04:45,420 --> 00:04:52,639
¿De acuerdo? ¿Vale? ¿Pero qué pasa? Bueno, pues que podemos hacer dos cosas.

37
00:04:52,639 --> 00:05:00,439
o bien no sabemos esta primera y no sabemos que la velocidad se calcula como la derivada de x con respecto al tiempo

38
00:05:00,439 --> 00:05:04,980
o bien no sabemos la fórmula de memoria de la velocidad, ¿de acuerdo?

39
00:05:05,540 --> 00:05:09,980
A mí me gusta que aprendáis a utilizar las derivadas porque ya así vais manejando, pero bueno.

40
00:05:10,560 --> 00:05:16,860
A ver, si hacemos la derivada nos quedaría a, que es la constante que tenemos aquí,

41
00:05:16,939 --> 00:05:19,259
por la derivada del seno es el coseno, ¿os acordáis?

42
00:05:19,259 --> 00:05:21,680
que lo hemos visto, vale

43
00:05:21,680 --> 00:05:24,079
coseno, dejo un huequecito

44
00:05:24,079 --> 00:05:26,040
de omega t más fi

45
00:05:26,040 --> 00:05:27,899
y luego por la derivada

46
00:05:27,899 --> 00:05:29,600
de esto, de este ángulo

47
00:05:29,600 --> 00:05:31,759
omega t más fi con respecto a t

48
00:05:31,759 --> 00:05:33,660
pues omega, ¿de acuerdo?

49
00:05:34,480 --> 00:05:34,699
¿sí?

50
00:05:35,639 --> 00:05:37,500
de aquí se puede obtener una expresión

51
00:05:37,500 --> 00:05:39,319
que la velocidad máxima

52
00:05:39,319 --> 00:05:41,939
es igual a

53
00:05:41,939 --> 00:05:43,920
por omega, ¿cuándo vamos a

54
00:05:43,920 --> 00:05:45,379
tener esta velocidad máxima?

55
00:05:46,439 --> 00:05:48,160
a ver, voy a poner en lugar de un paréntesis

56
00:05:48,160 --> 00:06:04,100
Vamos a poner aquí una flecha. A ver, ¿cuándo vamos a tener esta velocidad máxima? Vamos a tener velocidad máxima cuando el coseno de omega t más pi sea igual a 1, ¿de acuerdo?

57
00:06:04,100 --> 00:06:23,180
¿Esto lo entendéis también o no? ¿Sí? ¿Cómo que bueno? Cuando sea igual a 1. A ver, pongo aquí en rojo la explicación que ya lo dije ayer. Lo que no puede ser es que nos pongamos a estudiar otra asignatura, la hacemos ahí conectada al ordenador y hacemos esto de presencia, nada.

58
00:06:24,139 --> 00:06:32,000
Venga, a ver, decía, yo tengo que v es igual a por omega por el coseno de omega t más pi, ¿de acuerdo?

59
00:06:32,920 --> 00:06:41,600
¿Vale o no? Vale. Bueno, pues a ver, coseno de cualquier ángulo, ¿entre qué valores puede variar?

60
00:06:41,720 --> 00:06:45,600
Entre más 1 y menos 1, luego el valor mayor es más 1, ¿no?

61
00:06:46,120 --> 00:06:51,639
Si yo multiplico el valor mayor por a por omega, voy a tener el valor mayor de la velocidad.

62
00:06:52,199 --> 00:06:52,920
¿Lo veis todos o no?

63
00:06:53,180 --> 00:06:59,860
si luego cuando tendré velocidad máxima cuando esto valga 1 lo entendéis todos

64
00:07:00,500 --> 00:07:01,800
sí o no

65
00:07:01,800 --> 00:07:03,060
sí

66
00:07:03,060 --> 00:07:05,060
todos todos

67
00:07:05,579 --> 00:07:07,579
Sí o no

68
00:07:07,800 --> 00:07:13,019
vale con lo cual esto cuando el coseno de todo esto vale 1

69
00:07:14,160 --> 00:07:16,459
tengo la velocidad máxima en algún problema

70
00:07:16,459 --> 00:07:41,560
Me pueden preguntar cuál es la velocidad máxima. Pues simplemente multiplico a por omega. ¿De acuerdo? ¿Vale o no? Ya está. Vale. Bien, otra fórmula. Otra fórmula, ¿cuál es? La aceleración. La aceleración que es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. ¿De acuerdo? Venga.

71
00:07:41,560 --> 00:08:04,740
Y a ver, entonces, si yo quiero calcular la aceleración, tendríamos que poner la derivada de esta función con respecto al tiempo, es decir, a por omega, la derivada del coseno menos seno, pongo un menos delante, seno de omega t más fi.

72
00:08:04,740 --> 00:08:25,300
Y ahora por la derivada otra vez de omega t más fi, que es omega, ¿no? Pues lo pongo como cuadrado. ¿Vale o no? ¿Sí? ¿Vale o no? Bien, entonces, a ver, cosas importantes que tenemos que tener en cuenta, sobre todo para la hora de hacer los problemas.

73
00:08:26,100 --> 00:08:32,799
Fijaos que aquí he puesto x en función de t, v en función de t, a en función de t,

74
00:08:32,799 --> 00:08:40,639
pero también podemos tener tanto la v como la a, lo podemos tener como funciones de x,

75
00:08:40,779 --> 00:08:44,659
es decir, que las pongamos en función de x, que hay veces que nos interesa, ¿vale?

76
00:08:44,940 --> 00:08:49,620
Es decir, puedo tener la velocidad no en función de t como la tenemos aquí.

77
00:08:49,620 --> 00:08:53,159
¿Entendéis lo que quiero decir cuando digo función de t?

78
00:08:54,360 --> 00:08:55,940
Que depende de t, vamos

79
00:08:55,940 --> 00:08:56,960
¿Sí o no?

80
00:08:57,580 --> 00:08:58,879
Vale, pues a ver

81
00:08:58,879 --> 00:09:03,240
Si yo quiero calcular la velocidad en función de x

82
00:09:03,240 --> 00:09:10,039
Tenemos que poner más menos omega raíz cuadrada de a cuadrado menos x al cuadrado

83
00:09:10,039 --> 00:09:10,700
¿Vale?

84
00:09:10,700 --> 00:09:21,240
A ver, esto se deduce de la v igual a a por omega coseno de omega t más pi.

85
00:09:21,879 --> 00:09:23,019
¿Sabéis de dónde sale, no?

86
00:09:24,720 --> 00:09:26,139
No sabemos de dónde sale.

87
00:09:27,659 --> 00:09:29,759
¿Lo hemos visto en clase?

88
00:09:30,379 --> 00:09:31,720
Pues lo miráis en el vídeo, ¿cómo se hace?

89
00:09:31,799 --> 00:09:33,600
No lo voy a... porque se tarda un rato, ¿vale?

90
00:09:34,019 --> 00:09:34,779
No lo voy a explicar.

91
00:09:35,899 --> 00:09:39,700
Esta es cuando quiero poner la v en función de x.

92
00:09:39,700 --> 00:10:04,419
Aquí está en función de x, no aparece la t, aparece la x, ¿de acuerdo? ¿Vale? Y luego, en cuanto a la aceleración, pues es más fácil de ver, ¿por qué? Porque si yo pongo, mirad, la aceleración como menos a por omega cuadrado, lo que nos ha salido antes, seno de omega t más phi, si yo recojo esto, a ver, mirad, voy a poner, a ver si me deja pintar en rojo, aquí.

93
00:10:04,419 --> 00:10:17,200
Si cojo esta a y este seno de omega t más phi, todo esto, ¿qué es? ¿A qué es x? ¿Sí o no? ¿A que a por seno de omega t más phi es x? ¿Sí?

94
00:10:17,200 --> 00:10:42,159
¿Me voy siguiendo? Luego, ¿qué me queda entonces? Me queda que la aceleración en función de x es igual a menos omega cuadrado por x. Esta es en función de qué? De x igual que aquí tengo la v en función de x. ¿Entendido? ¿Vale? Dependiendo de dónde... A ver, ¿por qué nos interesa poner la aceleración y la velocidad en función de x?

95
00:10:42,159 --> 00:10:48,940
porque si nosotros entendemos venga vamos a ver si entendemos todo esto ya

96
00:10:48,940 --> 00:10:52,419
nos queda claro no me importa repetirlo porque el movimiento armónico simple es

97
00:10:52,419 --> 00:10:58,220
un poquito raro en cuanto a comparado con los demás a ver a ver aquí

98
00:10:58,220 --> 00:11:02,879
tendríamos x igual a 0 que es la posición de equilibrio aquí tengo x igual

99
00:11:02,879 --> 00:11:09,559
a y aquí tengo x igual a menos a de acuerdo entonces en esta posición fijaos

100
00:11:09,559 --> 00:11:17,620
Vamos a ver, cuando x vale 0, si yo quiero saber la velocidad, ¿qué le pasa a esa velocidad?

101
00:11:18,000 --> 00:11:26,360
Me cojo la expresión, esta de aquí, esta de aquí, más menos omega raíz cuadrada de a cuadrado menos x al cuadrado, ¿no?

102
00:11:26,580 --> 00:11:30,460
Y sustituyo para x igual a 0, ¿lo veis todos? ¿Vale o no?

103
00:11:30,460 --> 00:11:39,460
si para x igual a cero pongo aquí x 0 no ha cuadrado menos cero

104
00:11:39,460 --> 00:11:43,820
cuadrado ha cuadrado va diciendo esto que estoy aquí raíz cuadrada de a

105
00:11:43,820 --> 00:11:50,860
cuadrado cuánto queda a no si o no raíz cuadrada de a cuadrado a si o no me

106
00:11:50,860 --> 00:11:57,259
estáis siguiendo todos si luego nos queda al final que v es igual a más

107
00:11:57,259 --> 00:12:02,700
menos omega por a omega por ahora hemos dicho que es la velocidad máxima

108
00:12:02,700 --> 00:12:07,899
a que si a que esto corresponde a una velocidad máxima pues entonces en este

109
00:12:07,899 --> 00:12:12,840
punto en la posición de equilibrio tenemos vamos a ponerle positivo vale

110
00:12:12,840 --> 00:12:21,519
tenemos la velocidad máxima de acuerdo vale o no si vale por otro lado aquí en

111
00:12:21,519 --> 00:12:33,759
En x igual a, para x igual a, sustituimos v es igual a más menos omega que multiplica a cuadrado y en lugar de x pongo a, pues a cuadrado.

112
00:12:34,299 --> 00:12:34,679
¿Qué queda?

113
00:12:35,620 --> 00:12:38,000
A cuadrado menos a cuadrado, cero.

114
00:12:38,000 --> 00:12:48,700
A ver, ¿concuerda con lo que sabemos que si el movimiento es, a ver, desde la posición 1 a la 2 y a la 3 el movimiento es este?

115
00:12:48,700 --> 00:13:17,179
Aquí lo que ocurre con la bolita del péndulo es que esta bolita se deja caer. Si se deja caer la bolita, ¿qué quiere decir? Que la velocidad es 0, ¿no? Vale, va adquiriendo velocidad, tiene velocidad máxima, la bolita tiene la suficiente energía como para ir para arriba otra vez y cuando está aquí en la posición 3, vuelve a tener velocidad 0 porque cuando llega a la velocidad, a la posición 3, velocidad 0, se vuelve otra vez hacia la posición 2.

116
00:13:17,179 --> 00:13:20,259
Es como dejarse caer otra vez, ¿lo veis o no?

117
00:13:20,740 --> 00:13:23,240
¿Sí? Es decir, en los extremos tenemos velocidad cero

118
00:13:23,240 --> 00:13:27,720
¿Por qué? Va para acá, llega aquí, se para y vuelve para acá

119
00:13:27,720 --> 00:13:30,039
¿Lo veis? ¿Vale? ¿Entendido o no?

120
00:13:30,659 --> 00:13:35,340
Vale, entonces, aquí cuando hagamos los cálculos para x igual a menos a

121
00:13:35,340 --> 00:13:39,740
También me tiene que salir velocidad cero, es decir, más menos omega

122
00:13:39,740 --> 00:13:45,360
A cuadrado menos, mirad, sería menos a al cuadrado

123
00:13:46,320 --> 00:13:49,580
Menos a, con paréntesis, al cuadrado, a cuadrado, ¿no?

124
00:13:50,419 --> 00:13:52,179
A cuadrado menos a cuadrado, 0.

125
00:13:52,580 --> 00:13:55,399
Nos sale 0 otra vez, es decir, aquí tengo velocidad 0.

126
00:13:55,500 --> 00:13:58,440
¿Veis que cuadra con lo que pasa realmente con el péndulo?

127
00:13:59,059 --> 00:13:59,480
¿Sí o no?

128
00:14:00,559 --> 00:14:00,879
Vale.

129
00:14:01,240 --> 00:14:06,919
Y luego, en cuanto a la aceleración, esto ya lo expliqué ayer, pero bueno, lo repito para que lo tengamos claro,

130
00:14:07,019 --> 00:14:08,679
si no entonces nos vamos a tener un problema, ¿vale?

131
00:14:09,139 --> 00:14:13,299
Venga, a ver, en cuanto a la aceleración, vamos ahora con la aceleración.

132
00:14:13,299 --> 00:14:14,919
Esto era con la velocidad.

133
00:14:15,360 --> 00:14:36,799
Pues venga, con la aceleración, ¿qué pasa? Hacemos lo mismo, x igual a, sustituyo a igual a menos omega cuadrado por a, ¿de acuerdo? ¿Lo veis o no? Vale, para x igual a cero, a igual a menos omega cuadrado por cero, cero, aquí en la posición de equilibrio la aceleración es cero.

134
00:14:36,799 --> 00:14:47,340
¿Lo veis? Cuando A, cuando X es igual a A, entonces la aceleración aquí es menos omega cuadrado por A

135
00:14:47,340 --> 00:14:55,200
¿Pero qué pasa cuando X es igual a menos A? Pues la aceleración es menos omega cuadrado por menos A

136
00:14:55,200 --> 00:14:58,519
Es decir, omega cuadrado por A, esta es positiva

137
00:14:58,519 --> 00:15:05,940
¿Lo veis todos o no? ¿Sí? ¿Vale? Mireia, ¿sí o no?

138
00:15:06,799 --> 00:15:12,100
Bueno. ¿Cómo que bueno? Ay, Dios mío, no sé para qué hablo. A ver, venga, ¿qué pasa?

139
00:15:13,379 --> 00:15:23,820
Es que no sé en qué estás sustituyendo las cosas. ¿Cómo que no? A ver, aquí, aquí, yo tengo que a es menos omega cuadrado por x, ¿no?

140
00:15:24,320 --> 00:15:36,159
Y lo que hago es poner x igual a, sustituyo a, x igual a cero, sustituyo cero, cero por lo que sea cero, la aceleración es cero en la posición de equilibrio, ¿vale?

141
00:15:36,799 --> 00:15:53,000
Luego, x igual a menos a, aquí. Estoy sustituyendo estos valores de x, los sustituyo aquí. Estos valores de x los sustituyo aquí. ¿Vale? ¿De acuerdo? ¿Sí o no?

142
00:15:53,000 --> 00:15:58,879
entonces mirad lo que decía ayer vamos a pintarlo de otro color y aquí si yo

143
00:15:58,879 --> 00:16:03,200
considero la aceleración la aceleración aunque yo la tenga puesta sin módulo

144
00:16:03,200 --> 00:16:08,840
realmente es un vector no sí o no y entonces si es un vector positivo porque

145
00:16:08,840 --> 00:16:14,419
esto es positivo viene para acá vale aquí tengo un signo negativo la

146
00:16:14,419 --> 00:16:19,580
aceleración entonces vendrá para acá un vector negativo lo veis o no vale y

147
00:16:19,580 --> 00:16:26,940
Y sabiendo, por el segundo principio de la dinámica, que F es igual a M por A, no sé si os suena esto de algo.

148
00:16:27,879 --> 00:16:29,539
¿No? ¿Os suena de algo?

149
00:16:33,070 --> 00:16:36,509
Venga, entonces, a ver, bueno, F es igual a M por A.

150
00:16:41,559 --> 00:16:42,480
A ver si llegamos aquí.

151
00:16:42,860 --> 00:16:45,620
Segundo principio de la dinámica, F es igual a M por A.

152
00:16:46,179 --> 00:16:48,159
Fuerza igual a masa por aceleración.

153
00:16:48,759 --> 00:16:48,860
¿Vale?

154
00:16:49,480 --> 00:16:52,100
Entonces, ¿la masa cómo es? ¿Una masa puede ser negativa?

155
00:16:52,919 --> 00:16:53,360
No.

156
00:16:53,700 --> 00:16:54,799
Pues es positiva siempre.

157
00:16:55,019 --> 00:17:17,019
Entonces, ¿esto qué quiere decir? Si este vector es positivo porque va hacia la derecha, entonces positivo con positivo, positivo, la fuerza también va a ser positiva, la fuerza va a venir para acá. ¿Vale o no? Si este vector es negativo, como tengo positivo con negativo, me va a salir un vector F negativo, viene para acá. ¿Vale o no?

158
00:17:17,019 --> 00:17:43,039
¿Y esta fuerza qué significa cuando estoy en el péndulo? Se va a significar que yo tengo una fuerza que va para acá, a la izquierda y esta va hacia la derecha, ¿de acuerdo? ¿Vale o no? ¿Y esta fuerza qué significa? Pues significa que claro, que si yo tengo esta bolita aquí, está en la posición 3, si hay una fuerza que hace que vaya hacia la posición de equilibrio, pues va a ir hacia acá, hacia la posición de equilibrio, ¿de acuerdo?

159
00:17:43,039 --> 00:18:11,220
Y en este sentido, cuando está en la posición 1, va a tender a ir hacia acá. Estas fuerzas lo que hacen es intentar que la bolita vaya hacia la posición de equilibrio, ¿de acuerdo? ¿Entendido o no? ¿Vale? ¿Todo el mundo de acuerdo? Bueno, pues con esto, que yo pensaba que fuera un formulario, resulta que va a ser el resumen de todo lo que estamos viendo, porque si no, entonces no os enteráis de nada, ¿vale? Vamos a empezar a ver qué tipo de ejercicio nos pueden plantear, ¿vale? ¿De acuerdo?

160
00:18:11,220 --> 00:18:28,980
Bueno, a ver, los ejercicios tipo que nos pueden plantear son... No, a ver, no le pongas un calificativo aquí cuando todavía no sabemos lo que es. Ya he dicho que tampoco lo voy a poner demasiado complicado, ¿vale? Vamos a poner aquí un ejemplo.

161
00:18:28,980 --> 00:18:36,839
Venga, a ver, y vamos a hacer el primero tipo que nos podemos encontrar, ¿vale?

162
00:18:36,839 --> 00:19:15,059
Y es, dada la siguiente ecuación de la posición para un movimiento armónico simple, ponemos la ecuación, por ejemplo, x igual a 5 por el seno de pi por t más pi medios.

163
00:19:15,059 --> 00:19:18,099
Y esto está dado en metros.

164
00:19:20,630 --> 00:19:36,809
Dada la siguiente ecuación, indica las siguientes características.

165
00:19:47,079 --> 00:20:05,519
Amplitud, periodo, frecuencia y fase inicial.

166
00:20:05,519 --> 00:20:34,420
El B calcula la elongación para T igual a 0,5 segundos.

167
00:20:37,009 --> 00:20:42,599
C, escribe la ecuación de la velocidad.

168
00:20:50,420 --> 00:20:53,500
Y aquí dentro de la misma pregunta, ¿cuál será la velocidad máxima?

169
00:20:55,500 --> 00:20:57,640
¿Cuál será la velocidad máxima?

170
00:20:57,640 --> 00:21:09,680
Y D, escribe la ecuación de la aceleración.

171
00:21:09,759 --> 00:21:32,819
A ver, esto es un ejemplo de algo, un ejercicio en el que podemos sacar mucho provecho de incluso simplemente una ecuación. ¿De acuerdo? ¿Vale? Que puede ser uno que se puede preguntar. A ver, pues vamos a ello. Vamos a ver.

172
00:21:33,660 --> 00:21:35,359
Mirad, nos dan esta ecuación, ¿no?

173
00:21:35,839 --> 00:21:39,180
Esta ecuación significa muchas cosas, ¿por qué?

174
00:21:39,180 --> 00:21:54,079
A ver, tenemos, en primer lugar, x igual a 5 seno de pi t más pi medios, y esto está dado en metros, ¿vale?

175
00:21:54,480 --> 00:22:02,539
A ver, si a mí me preguntan todas estas cosas, lo que tengo que hacer es comparar con la ecuación general, más genérica que tenemos, ¿no?

176
00:22:02,539 --> 00:22:16,299
¿Cuál es la ecuación genérica? La ecuación genérica no es x igual a por el seno de omega t más pi, ¿a que sí? ¿No? ¿No es esa, Javier?

177
00:22:16,299 --> 00:22:21,599
Entonces, si yo quiero saber todas esas cosas que me piden

178
00:22:21,599 --> 00:22:24,759
Yo tengo que comparar la ecuación que me dan

179
00:22:24,759 --> 00:22:27,019
Con la ecuación genérica, ¿de acuerdo?

180
00:22:28,099 --> 00:22:28,619
¿Vale o no?

181
00:22:29,420 --> 00:22:33,099
Entonces, a ver, es muy fácil, si es que esta parte es muy fácil

182
00:22:33,099 --> 00:22:33,900
Ya veréis como sí

183
00:22:33,900 --> 00:22:39,119
A ver, mirad, a mí me preguntan en primer lugar cuál es la amplitud

184
00:22:39,119 --> 00:22:41,319
Bueno, pues entonces, ¿qué hago?

185
00:22:41,500 --> 00:22:46,079
Comparo esto con esto, ¿qué es lo que multiplica aquí al seno de lo que sea?

186
00:22:46,299 --> 00:22:50,339
A, pues aquí lo mismo, lo que multiplica el seno de lo que sea, A, ¿vale?

187
00:22:50,819 --> 00:22:59,119
Lo hago entonces, A vale 5, y como esta X está expresada en metros, 5 metros, ¿lo veis?

188
00:22:59,819 --> 00:23:03,319
¿Sí o no? Vale, hay algunas cosas que ni se calculan, se ven directamente.

189
00:23:04,119 --> 00:23:08,619
Después me preguntan, el periodo, ¿el periodo cómo lo puedo calcular?

190
00:23:08,619 --> 00:23:27,019
A ver, yo tengo aquí A seno de omega, ¿lo veis? T más phi. ¿Lo veis todos o no? Es decir, yo aquí reconozco que omega es pi radianes por segundo. ¿Lo veis todos o no comparando nada más?

191
00:23:27,019 --> 00:23:49,759
Claro, esto es una pi, ¿vale? No, es una pi, ¿vale o no? ¿De acuerdo? Luego entonces, ¿esto para qué me puede servir? Pues si a mí me preguntan el periodo y la frecuencia, pues para coger esta expresión 2pi entre t o 2pi por f.

192
00:23:49,759 --> 00:24:05,680
Lo puedo calcular de dos maneras, ¿vale? ¿De acuerdo? Es decir, puedo coger esta primera expresión de aquí, puedo coger que omega es 2pi entre t y entonces el periodo será 2pi entre omega. ¿Lo veis todos o no?

193
00:24:05,680 --> 00:24:24,500
Claro, todas las que han aparecido aquí, que las he puesto aquí en un resumen muy resumido de todo lo que hemos visto. Entonces, sería 2pi, ¿cuánto vale? ¿No hemos dicho que es pi? Pi y pi se simplifican, nos quedan 2 segundos. ¿De acuerdo? ¿Sí o no?

194
00:24:24,500 --> 00:24:34,019
Todos, también podemos para calcular, esto para calcular, a ver vamos a ir poniendo aquí, para calcular amplitud, periodo, para calcular frecuencia

195
00:24:34,019 --> 00:24:46,180
Para calcular frecuencia podemos hacer dos cosas, o bien decimos que omega es 2pi por f y f entonces será omega entre 2pi, ¿lo veis o no?

196
00:24:46,180 --> 00:24:49,640
es decir, pi entre 2 pi

197
00:24:49,640 --> 00:24:52,960
un medio, 0,5 segundos

198
00:24:52,960 --> 00:24:54,599
¿todo el mundo lo ve?

199
00:24:55,779 --> 00:24:56,460
¿sí o no?

200
00:24:58,279 --> 00:24:59,059
¿sí o no?

201
00:24:59,240 --> 00:25:02,440
le he espejado a la F nada más, yo soy omega, que me lo dice la fórmula

202
00:25:02,440 --> 00:25:05,000
¿no? ¿vale? ¿lo veis todos?

203
00:25:05,960 --> 00:25:08,799
¿sí? vale, o bien puedo hacer, esto sería una manera

204
00:25:08,799 --> 00:25:12,200
de otra manera, pues simplemente diciendo

205
00:25:12,200 --> 00:25:15,380
que la frecuencia es el inverso del periodo

206
00:25:15,380 --> 00:25:38,500
¿De acuerdo? Es decir, 1 entre 2, pues 0,5, a ver, segundos al menos 1, ¿eh, chicos? Segundos al menos 1, ¿de acuerdo? Aquí, o hercios, ¿vale? ¿Lo veis todos o no? ¿Sí? ¿Queda claro? O sea, que puedo ir de las dos maneras. ¿Está entendido? Vale, bueno, a ver, más cosas que nos pueden preguntar.

207
00:25:38,500 --> 00:26:01,759
Nos pueden preguntar la fase inicial, pero ¿cuál es la fase inicial? Lo estamos viendo, phi es igual a cuánto? A pi medios, phi es igual a pi medios. Es decir, que nos pueden poner un problema, radianes, en el que lo que tenemos que hacer es simplemente comparar la ecuación genérica con la ecuación que me dan, ¿entendido?

208
00:26:01,759 --> 00:26:05,640
Venga, a ver, seguimos

209
00:26:05,640 --> 00:26:09,940
Ahora me pregunta la elongación para t igual a 0,5 segundos

210
00:26:09,940 --> 00:26:12,960
¿Qué tenemos que hacer? A ver, ¿cuál es la expresión

211
00:26:12,960 --> 00:26:17,200
para la elongación? No es esta que me dan

212
00:26:17,200 --> 00:26:21,380
5 seno de pi t más pi medios, ¿sí o no?

213
00:26:22,099 --> 00:26:25,920
5 seno de pi por t más pi medios

214
00:26:25,920 --> 00:26:29,900
Si a mí me pregunta la elongación, yo tengo que calcular esta x, ¿sí o no?

215
00:26:31,759 --> 00:26:35,940
¿Todos? Venga.

216
00:26:36,539 --> 00:26:40,779
Entonces, como me dicen para t igual a 0,5 segundos,

217
00:26:42,779 --> 00:26:50,480
a ver, se trata simplemente de sustituir 5 por el seno de pi por 0,5,

218
00:26:51,079 --> 00:26:53,680
pi por 0,5 lo puedo poner como pi medios, ¿no?

219
00:26:53,940 --> 00:26:56,480
Lo voy a poner así para que se reúten los cálculos más fáciles.

220
00:26:57,339 --> 00:27:00,740
¿Sí o no? ¿Todos? Vale.

221
00:27:00,740 --> 00:27:13,519
Pi medios más pi medios, pi. ¿Todo el mundo ve que esto es pi? Vale. Realmente me queda 5 por el seno de pi. ¿Y el seno de pi cuánto vale?

222
00:27:13,519 --> 00:27:19,900
A ver, una de dos

223
00:27:19,900 --> 00:27:21,339
O bien no sabemos

224
00:27:21,339 --> 00:27:24,200
En lo que ocurre en una circunferencia

225
00:27:24,200 --> 00:27:25,299
De radio 1

226
00:27:25,299 --> 00:27:27,940
Y decimos, pi cuánto es

227
00:27:27,940 --> 00:27:30,180
Si voy desde aquí para acá, esto es pi, ¿no?

228
00:27:30,859 --> 00:27:31,319
¿Sí o no?

229
00:27:31,740 --> 00:27:33,680
Entonces, a ver

230
00:27:33,680 --> 00:27:34,619
Mal

231
00:27:34,619 --> 00:27:36,599
Mal

232
00:27:36,599 --> 00:27:41,960
Uy, pero tú has puesto bien la calculadora

233
00:27:41,960 --> 00:27:43,200
No

234
00:27:43,200 --> 00:28:06,940
Ya te digo yo que no. A ver, entonces, a ver, ¿el seno cómo lo representamos? Con, digamos, la parte vertical, ¿no? Aquella vertical, pues no. El seno de cero, cero. Y el seno de pi también. Entonces, esto es cero. Cero metros. A ver, o bien, si cogemos la calculadora, la cogemos bien. A ver, Javier, vuelve a hacer otra vez el seno de pi.

235
00:28:06,940 --> 00:28:16,690
vale, a ver, dime

236
00:28:16,690 --> 00:28:18,970
¿en qué modo lo tienes? ¿en radianes?

237
00:28:19,089 --> 00:28:19,769
¿en grados?

238
00:28:21,309 --> 00:28:22,869
pues no, en de gris no vale

239
00:28:22,869 --> 00:28:24,829
hay que ponerlo

240
00:28:24,829 --> 00:28:26,609
en radianes, pásalo a radianes

241
00:28:26,609 --> 00:28:28,670
¿cómo que se pone eso?

242
00:28:28,789 --> 00:28:29,670
ponle el modo

243
00:28:29,670 --> 00:28:31,869
mode, venga, dale

244
00:28:31,869 --> 00:28:34,450
a ver, dale otra vez a mode

245
00:28:34,450 --> 00:28:38,690
a ver, ¿ya? ¿ya lo tienes

246
00:28:38,690 --> 00:28:40,509
en radianes? ahora

247
00:28:40,509 --> 00:28:41,690
calcula seno de pi

248
00:28:41,690 --> 00:28:47,170
A ver, ¿habéis visto?

249
00:28:47,730 --> 00:28:49,930
A ver, cuando aparece

250
00:28:49,930 --> 00:28:52,049
que el seno de pi

251
00:28:52,049 --> 00:28:54,170
nos sale un numerito, el que no es

252
00:28:54,170 --> 00:28:56,009
o sea, que es distinto de cero, quiere decir

253
00:28:56,009 --> 00:28:58,190
que algo hemos hecho mal con la calculadora, no vale decirlo

254
00:28:58,190 --> 00:29:00,250
dice la calculadora. ¿Qué tenemos que hacer?

255
00:29:00,609 --> 00:29:01,670
Pues lo que hacemos es

256
00:29:01,670 --> 00:29:04,069
ponemos el modo

257
00:29:04,069 --> 00:29:05,589
radian, ¿de acuerdo?

258
00:29:05,930 --> 00:29:07,569
Se me está durmiendo Marcos

259
00:29:07,569 --> 00:29:09,970
Venga, ¿vale? Y entonces

260
00:29:09,970 --> 00:29:25,809
Entonces ya tenemos x. Vamos con lo siguiente. A ver, ahora me preguntan cuál es la velocidad. ¿Vale? ¿Estamos entendiendo? Venga, la velocidad. ¿Cómo calculo la velocidad? Bien, pues a ver, o la fórmula o bien otra cosa.

261
00:29:25,809 --> 00:29:48,410
Hacemos la derivada de esta x con respecto al tiempo. ¿Lo veis? Que sería 5. La derivada del seno, el coseno. Coseno de pi por t más pi medios. Y por la derivada de pi por t más pi medios con respecto a t.

262
00:29:48,410 --> 00:29:52,869
¿Cuál es la derivada de pi t más pi medios con respecto a t?

263
00:29:54,329 --> 00:29:56,710
A ver, pi medios, la derivada de pi medios, ¿cuál es?

264
00:29:57,970 --> 00:29:58,309
Pi.

265
00:29:59,250 --> 00:29:59,730
Aguantad.

266
00:30:00,750 --> 00:30:01,529
Dos pi.

267
00:30:06,410 --> 00:30:08,029
Me va a dar algo, directamente.

268
00:30:08,410 --> 00:30:14,049
A ver, ¿no os dije que la derivada es una variación?

269
00:30:14,630 --> 00:30:16,230
Es pequeñita, pero es una variación.

270
00:30:16,230 --> 00:30:38,230
Vale. Si yo tengo la variación de una constante, ¿una constante varía? No. Entonces, ¿cuál es la variación de una constante? Cero. ¿Cuál es la derivada de una constante? Cero. Entonces, pi medios, cero. ¿Vale? Ahora, pi por t. Venga, ¿qué le pasa a pi por t? Ahora quiero derivar pi por t. ¿Cuál es la derivada de pi por t?

271
00:30:38,230 --> 00:30:45,470
¿Cuál es la derivada de 3X?

272
00:30:51,470 --> 00:30:53,109
¿Estáis dando derivadas matemáticas?

273
00:30:54,230 --> 00:30:55,970
Sí, que lo sé

274
00:30:55,970 --> 00:30:57,710
Sé que lo sé, venga

275
00:30:57,710 --> 00:31:01,069
Ya, ya, siempre estáis acabando de empezar

276
00:31:01,069 --> 00:31:03,250
A ver, a ver

277
00:31:03,250 --> 00:31:05,309
Si yo quiero hacer la derivada

278
00:31:05,309 --> 00:31:08,150
de, voy a poner

279
00:31:08,150 --> 00:31:10,190
x al cubo, venga, ¿cuál es

280
00:31:10,190 --> 00:31:11,569
la derivada de x al cubo?

281
00:31:13,269 --> 00:31:14,069
¿Cuál es?

282
00:31:14,750 --> 00:31:16,190
3x al cuadrado, vale

283
00:31:16,190 --> 00:31:17,630
¿Qué hacéis entonces?

284
00:31:18,250 --> 00:31:19,509
Cogeis esto

285
00:31:19,509 --> 00:31:21,289
lo lleváis para acá

286
00:31:21,289 --> 00:31:22,890
y este numerito

287
00:31:22,890 --> 00:31:26,029
queda aquí, pero ¿cómo? Como 3

288
00:31:26,029 --> 00:31:27,309
menos 1, ¿de acuerdo?

289
00:31:30,000 --> 00:31:31,819
A ver, pues también no sabéis esto

290
00:31:31,819 --> 00:31:33,160
si lo explican no sé cuántas veces

291
00:31:33,160 --> 00:31:35,480
A ver, otra vez

292
00:31:35,480 --> 00:31:58,559
Otro. Por ejemplo, de x a la cuarta. El 4. A ver. El 4 lo paso para acá. Y ahora, x. Y ahora, en lugar de 4, pongo 4 menos 1. Se le quita la unidad a ese exponente. Luego quedaría 4x cubo. ¿Vale o no?

293
00:31:58,559 --> 00:32:17,799
Ahora, a ver, si yo quiero derivar 3x como decía antes, ¿cuál es la derivada? Sería el 3 y por la derivada de x. Pero es que este x, a ver, es como si estuviera elevado a 1, ¿no?

294
00:32:17,799 --> 00:32:36,819
Entonces, se pondría 1 por x elevado a 1 menos 1, 0. Luego entonces, ¿algo elevado a 0? ¿Algo elevado a 0? 1. Luego entonces, 1 por 3 y por 1, 3.

295
00:32:36,819 --> 00:32:54,319
Es decir, cuando yo tengo 3X, la derivada es lo que acompaña a la X3. Pues por la misma razón, si yo quiero derivar omega T, a ver, vamos a poner que sea, vamos a ponerlo así, imaginaos que es igual a omega T.

296
00:32:54,319 --> 00:33:04,579
Si yo quiero hacer la derivada de i con respecto a ahora la variable t, ¿cuál será la derivada? Omega. ¿Lo veis o no? ¿Entendido?

297
00:33:04,579 --> 00:33:17,339
Vale, ya

298
00:33:17,339 --> 00:33:18,180
¿De acuerdo?

299
00:33:19,039 --> 00:33:20,039
Venga, entonces

300
00:33:20,039 --> 00:33:23,440
Si yo quiero derivar esto

301
00:33:23,440 --> 00:33:25,539
Que aquí nos hemos quedado

302
00:33:25,539 --> 00:33:26,440
¿Vale?

303
00:33:27,539 --> 00:33:29,619
Pi por T más pi medios

304
00:33:29,619 --> 00:33:31,400
¿Cuál es la derivada de esto?

305
00:33:34,319 --> 00:33:38,210
Pi

306
00:33:38,210 --> 00:33:41,259
¿Vale o no?

307
00:33:42,680 --> 00:33:45,099
No, no vale.

308
00:33:46,700 --> 00:33:47,140
¡Ay!

309
00:33:48,140 --> 00:33:49,140
Las matemáticas.

310
00:33:49,339 --> 00:33:49,920
Venga, a ver.

311
00:33:50,559 --> 00:33:51,140
Vamos a ver.

312
00:33:51,480 --> 00:33:52,240
Atendedme todos.

313
00:33:52,619 --> 00:33:53,099
Vamos a ver.

314
00:33:58,369 --> 00:34:00,730
Tengo algo que multiplica a t.

315
00:34:02,490 --> 00:34:03,430
Más pi medios.

316
00:34:03,630 --> 00:34:04,869
Pi medios es una constante.

317
00:34:05,029 --> 00:34:06,450
Hemos dicho que no tiene derivada.

318
00:34:06,849 --> 00:34:07,130
Es cero.

319
00:34:07,630 --> 00:34:08,710
Luego esto, fuera.

320
00:34:09,670 --> 00:34:09,869
¿Vale?

321
00:34:09,949 --> 00:34:11,050
A la hora de derivarlo.

322
00:34:11,409 --> 00:34:12,610
Y ahora, pi por t.

323
00:34:13,269 --> 00:34:14,849
Pi por t es lo de igual que 3x.

324
00:34:14,849 --> 00:34:17,190
¿No hemos dicho que la derivada de 3x es 3?

325
00:34:17,650 --> 00:34:19,170
Es decir, lo que acompaña a la x

326
00:34:19,170 --> 00:34:21,389
Pues aquí lo mismo, pi por t

327
00:34:21,389 --> 00:34:23,190
Con respecto a t

328
00:34:23,190 --> 00:34:25,329
La derivada es pi, ¿sí o no?

329
00:34:25,849 --> 00:34:27,449
Porque el procedimiento sería el mismo

330
00:34:27,449 --> 00:34:29,329
Vamos a ver, si yo quiero derivar esto

331
00:34:29,329 --> 00:34:31,329
Si yo quiero derivar, vamos a ver

332
00:34:31,329 --> 00:34:32,090
Si nos enteramos

333
00:34:32,090 --> 00:34:35,150
Si yo tengo una función, voy a poner aquí la i

334
00:34:35,150 --> 00:34:37,949
¿Vale? Venga, y esta es pi por t

335
00:34:37,949 --> 00:34:39,849
Y yo quiero derivar

336
00:34:39,849 --> 00:34:41,630
La i con respecto a t

337
00:34:41,630 --> 00:34:43,389
¿Vale? Sería

338
00:34:43,389 --> 00:34:44,769
Pi que es el numerito

339
00:34:44,769 --> 00:34:47,570
Esto es como si estuviera elevado a 1

340
00:34:47,570 --> 00:34:49,269
¿Vale o no?

341
00:34:49,829 --> 00:34:52,090
Quedaría 1 por t

342
00:34:52,090 --> 00:34:54,389
Elevado a 1 menos 1

343
00:34:54,389 --> 00:34:55,650
Todo el mundo de acuerdo

344
00:34:55,650 --> 00:34:58,150
t elevado a 0

345
00:34:58,150 --> 00:34:59,210
1

346
00:34:59,210 --> 00:35:05,119
Esto es 1, luego nos queda pi

347
00:35:05,119 --> 00:35:07,300
¿Veis que es lo que acompaña a la variable?

348
00:35:08,039 --> 00:35:08,579
¿Si o no?

349
00:35:09,000 --> 00:35:09,440
Mireia

350
00:35:09,440 --> 00:35:11,099
¿Si o no?

351
00:35:12,119 --> 00:35:14,539
Por lo cual, la derivada es esto de aquí

352
00:35:14,539 --> 00:35:15,699
Ya tenemos entonces

353
00:35:15,699 --> 00:35:18,639
lo que nos está preguntando, la velocidad

354
00:35:18,639 --> 00:35:20,039
y ahora

355
00:35:20,039 --> 00:35:22,039
¿cuál será la velocidad máxima?

356
00:35:22,099 --> 00:35:24,579
vamos a ponerlo aquí, ¿cuál será la velocidad

357
00:35:24,579 --> 00:35:26,360
máxima? aquella que

358
00:35:26,360 --> 00:35:28,260
hace que el coseno de pi por t

359
00:35:28,260 --> 00:35:29,860
más pi medio sea uno, ¿no?

360
00:35:30,320 --> 00:35:32,559
luego, ¿cuál es la velocidad máxima?

361
00:35:36,039 --> 00:35:37,900
a ver, si esto

362
00:35:37,900 --> 00:35:40,280
a ver, si esto tiene que

363
00:35:40,280 --> 00:35:41,039
ser uno

364
00:35:41,039 --> 00:35:44,480
coseno de pi de todo esto

365
00:35:44,480 --> 00:35:54,940
Tiene que ser 1 para que sea la velocidad máxima, 1 por 5 pi, 5 pi, ¿todo el mundo lo ve? ¿Sí o no?

366
00:35:54,940 --> 00:36:09,440
Lo que hacemos antes de la pi, que es una S. ¿Dónde? Esto es un 5, ¿vale? 5 pi metros por segundo, ¿de acuerdo? ¿Sí o no?

367
00:36:09,440 --> 00:36:12,659
ay, venga, a ver

368
00:36:12,659 --> 00:36:16,480
y ahora nos queda, venga, que nos tiene que dar tiempo

369
00:36:16,480 --> 00:36:21,199
a ver, si yo quiero calcular la aceleración

370
00:36:21,199 --> 00:36:24,239
¿qué tengo que hacer? volver a derivar eso de ahí

371
00:36:24,239 --> 00:36:29,320
¿vale o no? venga, a ver, si quiero calcular

372
00:36:29,320 --> 00:36:32,960
la aceleración, tengo que derivar, venga, nos había salido

373
00:36:32,960 --> 00:36:36,559
5 pi por el coseno, vamos a ver

374
00:36:36,559 --> 00:36:39,860
5pi por coseno de pi

375
00:36:39,860 --> 00:36:41,579
T más pi medios

376
00:36:41,579 --> 00:36:43,420
Venga, ¿cómo

377
00:36:43,420 --> 00:36:45,039
derivo esto?

378
00:36:46,539 --> 00:36:47,639
¿Cómo hago la derivada

379
00:36:47,639 --> 00:36:49,480
de la velocidad con respecto al tiempo?

380
00:36:50,159 --> 00:36:51,380
Sería 5pi

381
00:36:51,380 --> 00:36:52,599
¿La derivada del coseno?

382
00:36:55,409 --> 00:36:56,630
Menos seno

383
00:36:56,630 --> 00:37:01,039
Venga, y ahora

384
00:37:01,039 --> 00:37:02,380
¿Por la derivada de esto?

385
00:37:02,719 --> 00:37:03,860
Pi cuadrado

386
00:37:03,860 --> 00:37:05,800
¿De acuerdo?

387
00:37:06,440 --> 00:37:08,000
Me voy, que tengo un examen color de segundo

388
00:37:08,000 --> 00:37:11,340
¿Entendido?

389
00:37:12,099 --> 00:37:14,820
Venga, Ale.