1
00:00:00,000 --> 00:00:11,960
La función cuadrática es aquella que está definida por un polinomio de segundo grado

2
00:00:11,960 --> 00:00:18,460
de la forma número por x cuadrado más número por x más otro número que llamábamos el

3
00:00:18,460 --> 00:00:19,640
término independiente.

4
00:00:21,140 --> 00:00:27,300
Tenéis que saber que si la expresión algebraica es un polinomio de segundo grado, la gráfica

5
00:00:27,300 --> 00:00:29,359
de esta función es una parábola.

6
00:00:30,000 --> 00:00:40,939
que es una curva que puede ser hacia arriba cuando el número que multiplica a x cuadrado es positivo

7
00:00:40,939 --> 00:00:49,039
o puede ser hacia abajo cuando el número que multiplica a x cuadrado es un número negativo.

8
00:00:50,679 --> 00:00:57,500
Esta curva denominada parábola tiene un punto que se llama vértice.

9
00:00:57,500 --> 00:01:02,880
en el primer caso es un mínimo absoluto y relativo

10
00:01:02,880 --> 00:01:08,560
y en el segundo caso, es decir, cuando a es negativo

11
00:01:08,560 --> 00:01:12,920
el vértice es un máximo absoluto y relativo

12
00:01:12,920 --> 00:01:21,099
Además, la parábola es simétrica respecto a un eje que pasa por su vértice

13
00:01:21,099 --> 00:01:25,000
y su ecuación es x igual a la x del vértice

14
00:01:25,000 --> 00:01:33,180
El eje de simetría nos permitirá dibujar puntos a partir de otros encontrados sin necesidad de realizar la tabla de valores.

15
00:01:35,239 --> 00:01:39,400
Las coordenadas del vértice vienen dadas por las siguientes expresiones.

16
00:01:39,579 --> 00:01:49,960
La x del vértice se calcula dividiendo menos b entre 2a, siendo b el coeficiente que multiplica la x y a el coeficiente de x cuadrado.

17
00:01:49,960 --> 00:01:56,920
La coordenada y del vértice la obtendremos a partir del valor de la función para la x del vértice

18
00:01:56,920 --> 00:02:00,020
Veamos el siguiente ejemplo

19
00:02:00,020 --> 00:02:03,160
Dada la función 2x cuadrado menos 6x menos 1

20
00:02:03,160 --> 00:02:06,900
Vamos a hacer la forma estimada de la gráfica

21
00:02:06,900 --> 00:02:11,180
Hallar las coordenadas del vértice y encontrar la ecuación del eje de simetría

22
00:02:11,180 --> 00:02:17,340
El coeficiente de x cuadrado es 2

23
00:02:17,340 --> 00:02:21,900
A es 2, un número positivo

24
00:02:21,900 --> 00:02:27,920
Por lo tanto, sabemos que la gráfica va a ser una parábola hacia arriba

25
00:02:27,920 --> 00:02:32,180
Escribimos el valor de los coeficientes

26
00:02:32,180 --> 00:02:35,520
A, que es el número que multiplica X cuadrado, es 2

27
00:02:35,520 --> 00:02:39,439
B, el número que multiplica la X, es menos 6

28
00:02:39,439 --> 00:02:44,659
Y C, el término independiente, es menos 1

29
00:02:44,659 --> 00:02:52,740
La x del vértice viene dada por la expresión menos b dividido entre 2a.

30
00:02:54,300 --> 00:03:00,900
Escribimos en el numerador el opuesto de b, que es 6, dividido entre 2 por la a, que vale 2.

31
00:03:01,460 --> 00:03:03,280
Así nos queda 6 cuartos.

32
00:03:03,780 --> 00:03:06,840
Simplificando la fracción entre 2 nos queda 3 medios.

33
00:03:06,840 --> 00:03:15,259
La ecuación del eje de simetría, que es una recta perpendicular al eje X, es X igual a 3 medios.

34
00:03:16,439 --> 00:03:23,360
Para hallar la coordenada Y del vértice vamos a sustituir en la función el valor de la X del vértice.

35
00:03:23,360 --> 00:03:30,600
Cambiando la x por 3 medios en la fórmula de nuestra función

36
00:03:30,600 --> 00:03:37,560
obtenemos 2 por 3 medios elevado al cuadrado

37
00:03:37,560 --> 00:03:43,020
menos 6 por 3 medios menos 1

38
00:03:43,020 --> 00:03:48,080
Hacemos las operaciones respetando el orden de prioridad

39
00:03:48,080 --> 00:03:55,120
Y así nos queda 2 por 9 cuartos menos 18 medios menos 1.

40
00:03:56,439 --> 00:04:03,700
Realizando el producto obtenemos 18 cuartos menos 18 medios menos 1.

41
00:04:05,620 --> 00:04:15,060
A continuación ponemos el denominador común, que sería el mínimo común múltiplo de 4 y 2 y 1, que es 4, y hallamos los nuevos numeradores.

42
00:04:15,060 --> 00:04:32,079
El primero se queda como está, pero en el segundo caso, recordad, se hace 4 entre 2 y el resultado es por 18, así que nos queda 36, y 4 entre 1 sería 4 por 1, 4.

43
00:04:32,079 --> 00:04:39,259
Así obtenemos menos 22 cuartos

44
00:04:39,259 --> 00:04:43,139
Y simplificando la fracción entre 2, menos 11 medios

45
00:04:43,139 --> 00:04:45,800
Esa es la coordenada I del vértice

46
00:04:45,800 --> 00:04:50,779
Las coordenadas del vértice son 3 medios menos 11 medios

47
00:04:53,779 --> 00:04:58,939
Veamos el siguiente ejemplo para representar una función cuadrática

48
00:04:58,939 --> 00:05:07,920
y estudiar sus propiedades del dominio, recorrido, continuidad, crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos absolutos y relativos.

49
00:05:10,100 --> 00:05:15,779
Para representar las funciones cuadráticas vamos a seguir los siguientes pasos.

50
00:05:19,980 --> 00:05:24,680
Comenzamos analizando el signo de a, el coeficiente de x al cuadrado.

51
00:05:24,680 --> 00:05:28,060
escribo los coeficientes de la función

52
00:05:28,060 --> 00:05:32,879
a es 1, b que es el número que multiplica la x es 2

53
00:05:32,879 --> 00:05:36,620
y c que es el término independiente es menos 8

54
00:05:36,620 --> 00:05:39,920
Podemos ver que como a es un número positivo

55
00:05:39,920 --> 00:05:44,019
la forma de nuestra parábola va a ser hacia arriba

56
00:05:44,019 --> 00:05:47,379
El vértice será un mínimo absoluto y relativo

57
00:05:47,379 --> 00:05:55,600
Como segundo paso hallamos las coordenadas del vértice

58
00:05:55,600 --> 00:05:59,779
La x del vértice viene dada por la expresión menos b entre 2a

59
00:05:59,779 --> 00:06:05,699
Es decir, el opuesto de b que es menos 2 dividido por 2 por 1

60
00:06:05,699 --> 00:06:09,740
Esto nos queda menos 2 entre 2 que da menos 1

61
00:06:09,740 --> 00:06:15,399
La y del vértice la obtenemos sustituyendo la x del vértice en la fórmula de nuestra función

62
00:06:15,400 --> 00:06:26,780
Es decir, f de menos 1. Así obtenemos menos 1 al cuadrado. Fijaros que pongo un paréntesis porque es una potencia de base negativa.

63
00:06:27,040 --> 00:06:29,460
Más 2 por menos 1, menos 8.

64
00:06:33,340 --> 00:06:42,140
Realizando las operaciones nos queda 1 menos 2 menos 8. Es decir, menos 1 menos 8 que nos da menos 9.

65
00:06:42,680 --> 00:06:47,479
Las coordenadas del vértice son por tanto menos 1, menos 9.

66
00:06:49,199 --> 00:06:52,659
Continuamos hallando los puntos de corte con los ejes.

67
00:06:53,319 --> 00:07:01,060
El punto de corte con el eje x se obtiene igualando la variable dependiente, es decir, la y o la función, a 0.

68
00:07:02,180 --> 00:07:04,779
Así obtenemos una ecuación de segundo grado.

69
00:07:05,180 --> 00:07:08,000
x cuadrado más 2x menos 8 igual a 0.

70
00:07:08,000 --> 00:07:11,680
Este caso corresponde a la ecuación general de segundo grado.

71
00:07:12,139 --> 00:07:20,919
con los coeficientes a igual a 1, b igual a 2 y c igual a menos 8.

72
00:07:21,139 --> 00:07:25,699
Debes recordar la fórmula que da las soluciones de la ecuación de segundo grado.

73
00:07:26,459 --> 00:07:30,879
Aplicándola obtenemos menos 2 más menos la raíz cuadrada de 2 al cuadrado,

74
00:07:30,879 --> 00:07:38,919
menos 4 por 1 por menos 8, todo ello dividido entre 2 por a, que en este caso vale 1.

75
00:07:38,920 --> 00:07:49,980
Realizando las operaciones obtenemos que la primera solución es menos 2 más 6 entre 2, es decir, 4 entre 2, que nos queda como resultado 2.

76
00:07:50,460 --> 00:08:04,300
La segunda solución nos queda menos 2 menos 6 dividido entre 2, es decir, menos 8 entre 2, que da como resultado menos 4.

77
00:08:04,300 --> 00:08:12,439
Así hemos obtenido que los puntos de corte de nuestra parábola con el eje X son dos

78
00:08:12,439 --> 00:08:16,879
El punto A, 2, 0 y el punto B, menos 4, 0

79
00:08:16,879 --> 00:08:24,780
Resolver una ecuación de segundo grado consiste en hallar los puntos de corte con el eje X de la parábola

80
00:08:24,780 --> 00:08:26,900
Y podemos tener tres casos

81
00:08:26,900 --> 00:08:34,360
Si b cuadrado menos 4 por a por c da positivo, tendremos dos puntos de corte de la parábola con el eje x.

82
00:08:34,920 --> 00:08:40,540
En el caso de que dé cero, tendremos un único punto de corte con el eje x.

83
00:08:41,139 --> 00:08:45,560
Y en el caso de que dé negativo, la parábola no cortará al eje x.

84
00:08:48,620 --> 00:08:51,379
Continuamos hallando los puntos de corte con el eje y.

85
00:08:51,600 --> 00:08:54,460
Recordad que en este caso cambiamos la x por cero.

86
00:08:54,460 --> 00:09:01,139
Así nos queda 0 al cuadrado más 2 por 0 menos 8, lo cual nos da menos 8

87
00:09:01,139 --> 00:09:08,139
El punto de corte con el eje Y, que vamos a llamar punto C, tiene de coordenadas 0 menos 8

88
00:09:08,139 --> 00:09:12,160
Dibujamos nuestros ejes de coordenadas con la escala apropiada

89
00:09:12,160 --> 00:09:16,519
Y vamos a comenzar a representar los puntos que tenemos hasta ahora

90
00:09:16,519 --> 00:09:23,180
El vértice V tiene de coordenadas menos 1 de X menos 9 de Y

91
00:09:23,180 --> 00:09:39,180
Los puntos de corte con el eje X son el punto A de coordenadas 2, 0 y el punto B de coordenadas menos 4 de X, 0 de Y.

92
00:09:39,740 --> 00:09:47,080
El punto de corte con el eje Y que hemos llamado el punto C tiene de coordenadas 0 de X, menos 8 de Y.

93
00:09:47,080 --> 00:09:57,000
Continuamos dibujando el eje de simetría que es una recta perpendicular al eje x por el valor

94
00:09:57,000 --> 00:10:04,000
menos 1 y además pasa por el vértice de la parábola. La dibujo de forma discontinua.

95
00:10:04,000 --> 00:10:12,680
La ecuación del eje de simetría es x igual a menos 1. Hallaremos más puntos de la gráfica

96
00:10:12,680 --> 00:10:20,280
de la parábola usando el eje de simetría así como la tabla de valores. Observar que a la derecha

97
00:10:20,280 --> 00:10:27,600
del eje de simetría el punto C se encuentra a distancia un cuadradito de este, por lo tanto a

98
00:10:27,600 --> 00:10:33,660
la izquierda a la misma distancia de un cuadradito tiene que existir otro punto. Para hallar más

99
00:10:33,660 --> 00:10:40,100
puntos dibujo la tabla de valores donde he situado en la columna de la izquierda la X que es la

100
00:10:40,100 --> 00:10:45,259
variable independiente y en la columna de la derecha la expresión algebraica que me permite

101
00:10:45,259 --> 00:10:52,980
calcular el valor de la variable dependiente. Si asignamos a x por ejemplo el valor menos 3

102
00:10:52,980 --> 00:11:00,960
calculamos el valor de la coordenada y sustituyendo en la expresión y es igual entonces a menos 3

103
00:11:00,960 --> 00:11:09,620
entre paréntesis al cuadrado más 2 por menos 3 menos 8. Realizando los cálculos nos queda 9 menos

104
00:11:09,620 --> 00:11:21,039
6, menos 8. Terminando las operaciones obtenemos que la coordenada y es menos 5 y así hemos obtenido

105
00:11:21,039 --> 00:11:29,679
el punto menos 3, menos 5 que representamos en nuestra gráfica. Usando el eje de simetría

106
00:11:29,679 --> 00:11:36,600
observamos que este punto se encuentra a dos cuadraditos a la izquierda del eje de simetría,

107
00:11:36,600 --> 00:11:42,240
Por lo tanto, tiene que haber otro punto a distancia de dos cuadraditos a la derecha.

108
00:11:43,100 --> 00:11:44,560
Lo dibujamos.

109
00:11:50,460 --> 00:11:56,139
Finalmente, unimos los puntos para obtener la gráfica de la parábola, que es una curva.

110
00:11:57,100 --> 00:12:00,920
Tener cuidado al unirlos para que nos queden tramos rectos.

111
00:12:00,920 --> 00:12:05,920
En ese caso, la gráfica correspondería a otra función diferente.

112
00:12:06,600 --> 00:12:11,040
como podría ser la función valor absoluto

113
00:12:11,040 --> 00:12:16,240
además ponemos unas flechas para indicar que la curva continúa hacia arriba

114
00:12:16,240 --> 00:12:20,680
tanto por la izquierda como por la derecha

115
00:12:20,680 --> 00:12:24,259
el dominio de nuestra función

116
00:12:24,259 --> 00:12:28,940
son todos los valores de x que podemos asignar para poder calcular la variable

117
00:12:28,940 --> 00:12:30,399
dependiente

118
00:12:30,399 --> 00:12:32,139
en este caso

119
00:12:32,139 --> 00:12:40,059
Es todo el conjunto de los números reales, lo cual escribimos en forma de intervalo como menos infinito coma infinito.

120
00:12:41,639 --> 00:12:46,519
El recorrido representa el conjunto de valores que toma la variable dependiente.

121
00:12:47,620 --> 00:12:53,120
En nuestra gráfica podemos observar que va desde menos nueve hasta infinito.

122
00:12:53,120 --> 00:13:01,500
La función es continua en todo su dominio

123
00:13:01,500 --> 00:13:04,019
pues se puede dibujar de izquierda a derecha

124
00:13:04,019 --> 00:13:05,700
sin levantar el lápiz del papel

125
00:13:05,700 --> 00:13:12,679
Escribimos ahora los intervalos de crecimiento y decrecimiento

126
00:13:12,679 --> 00:13:15,940
recordando que se dan con valores del eje x

127
00:13:15,940 --> 00:13:21,759
así que decrece desde menos infinito hasta menos 1

128
00:13:21,759 --> 00:13:29,779
crece entre el valor x menos 1 e infinito.

129
00:13:34,939 --> 00:13:42,860
El vértice de coordenadas menos 1 menos 9 es un mínimo absoluto y relativo.