1
00:00:00,370 --> 00:00:10,750
Bien, vamos a hacer el ejercicio 1.2.4 de los exámenes de la EBAU, ¿de acuerdo?

2
00:00:11,970 --> 00:00:19,109
Entonces, dice, nos dan, veis que nos dan una matriz, dos matrices A y B, ¿de acuerdo?

3
00:00:19,649 --> 00:00:25,589
En primer lugar nos piden, dice, determínese si A y B son inversibles.

4
00:00:25,589 --> 00:00:40,170
Y en su caso, calcular la matriz inversa. Claro, para poder calcular la matriz inversa, tiene que ser inversible. ¿Sí o no? ¿De acuerdo? Vamos a ello.

5
00:00:41,509 --> 00:00:47,250
Bien, en principio, ¿cuándo una matriz es inversible? Cuando tiene inversa.

6
00:00:47,929 --> 00:00:55,270
Pero, ¿qué condición utilizamos nosotros para ver si es inversible? Pues que el determinante sea distinto de cero.

7
00:00:55,270 --> 00:00:59,869
¿De acuerdo o no? Bien, vamos a ello

8
00:00:59,869 --> 00:01:02,429
Os pongo aquí la condición

9
00:01:02,429 --> 00:01:11,769
Una matriz A es inversible si y solamente si el determinante de A es distinto de 0

10
00:01:11,769 --> 00:01:19,450
¿Vale? Por lo tanto, lo único que tenemos que hacer es calcular el determinante de A y el determinante de B

11
00:01:19,450 --> 00:01:23,469
Para ver cuáles de las dos son inversibles

12
00:01:23,469 --> 00:01:45,920
¿Es claro? Vamos a ello. Tenemos aquí la matriz A. Vamos a ver cómo es el determinante de A. ¿De acuerdo? Bien, el determinante de A, permitirme que lo sobrescriba aquí, sería, quito esto así, es este determinante.

13
00:01:45,920 --> 00:01:50,140
¿Vale? Hacemos este determinante

14
00:01:50,140 --> 00:01:54,980
Primero, multiplicamos los elementos de la diagonal principal

15
00:01:54,980 --> 00:01:58,000
Que es igual a cero

16
00:01:58,000 --> 00:02:01,099
Porque está aquí el cero, ¿sí o no?

17
00:02:01,859 --> 00:02:02,200
Bien

18
00:02:02,200 --> 00:02:07,180
Segundo, cogemos una diagonal paralela a la principal

19
00:02:07,180 --> 00:02:11,000
La cruzamos con el opuesto y multiplicamos

20
00:02:11,000 --> 00:02:28,460
Sería menos 3 por menos 4 por menos 3 por menos 4 por menos 1. Y esto es igual a menos por menos más, más por menos menos, 12.

21
00:02:28,460 --> 00:02:31,740
¿De acuerdo?

22
00:02:32,479 --> 00:02:34,960
Ahora hacemos lo mismo con

23
00:02:34,960 --> 00:02:38,000
La otra diagonal secundaria

24
00:02:38,000 --> 00:02:39,259
Que es paralela a la

25
00:02:39,259 --> 00:02:40,919
La diagonal principal

26
00:02:40,919 --> 00:02:42,840
Cogemos la paralela

27
00:02:42,840 --> 00:02:44,719
Y la cruzamos con el opuesto

28
00:02:44,719 --> 00:02:47,699
Y entonces nos da lugar

29
00:02:47,699 --> 00:02:50,199
Al siguiente elemento

30
00:02:50,199 --> 00:02:51,159
Que hay que sumar

31
00:02:51,159 --> 00:02:52,599
Que es 5 por 1

32
00:02:52,599 --> 00:02:54,259
Por menos 3

33
00:02:54,259 --> 00:02:56,000
Menos 15

34
00:02:56,000 --> 00:02:59,020
¿Bien hasta aquí?

35
00:02:59,900 --> 00:03:10,199
¿Y ahora qué hacemos? Pues cogemos la diagonal secundaria, que es esta, y multiplicamos sus elementos.

36
00:03:10,199 --> 00:03:27,759
Estos ya van a restar, ¿verdad? Luego voy a coger esta otra, ¿se ve? Y luego esta otra, ¿se entiende?

37
00:03:27,759 --> 00:03:48,039
Entonces, y todos estos van a restar, ¿vale? Entonces, venga, el primero, la diagonal secundaria, menos 1 por menos 4 por menos 3. Primero el signo es negativo, porque hay tres negativos, ¿no? 1, 4 por 3, 12. Menos 12.

38
00:03:48,039 --> 00:03:54,099
Pero hay que poner menos menos 12

39
00:03:54,099 --> 00:03:55,340
¿Se entiende o no?

40
00:03:58,419 --> 00:03:58,960
¿Se ve o no?

41
00:03:59,259 --> 00:04:02,099
Porque es diagonal secundaria, está restando

42
00:04:02,099 --> 00:04:03,500
La siguiente, ¿cuál sería?

43
00:04:03,879 --> 00:04:05,599
La de esta, la del amarillito, ¿no?

44
00:04:06,599 --> 00:04:10,500
Que es 1 por menos 4 por 4

45
00:04:10,500 --> 00:04:13,180
Menos 16

46
00:04:13,180 --> 00:04:16,120
Hay que poner menos menos 16

47
00:04:16,120 --> 00:04:18,079
¿Sí o no?

48
00:04:18,079 --> 00:04:24,060
Y finalmente este, el rojito, que da 0 porque tiene un factor que es 0

49
00:04:24,060 --> 00:04:26,639
¿Se ve o no? Por lo tanto es menos 0

50
00:04:26,639 --> 00:04:31,980
Y ahora, bueno, ponemos menos 12, limpiamos la operación

51
00:04:31,980 --> 00:04:35,360
Esto es más 12, menos por menos más, menos por menos más

52
00:04:35,360 --> 00:04:38,879
16, este de aquí se va con este

53
00:04:38,879 --> 00:04:40,800
Esto es 15

54
00:04:40,800 --> 00:04:44,699
Esto es 1, es distinto de 0

55
00:04:44,699 --> 00:04:46,839
Entonces es inversible

56
00:04:46,839 --> 00:04:55,910
La matriz A es inversible

57
00:04:55,910 --> 00:04:57,709
¿De acuerdo?

58
00:04:58,529 --> 00:05:01,430
Ahora calculemos, por tanto, la inversa de A

59
00:05:01,430 --> 00:05:05,350
Me dicen que si es inversible, calcule la inversa

60
00:05:05,350 --> 00:05:08,829
Bien, haríamos, por tanto, la matriz inversa

61
00:05:08,829 --> 00:05:12,290
¿Vale? Mediante esta expresión

62
00:05:12,290 --> 00:05:13,730
¿Vale?

63
00:05:14,470 --> 00:05:15,329
¿De acuerdo?

64
00:05:16,569 --> 00:05:17,110
Bien

65
00:05:17,110 --> 00:05:39,910
Bien, vais a ver que el resultado es el siguiente. Bien, si calculamos la matriz inversa veréis rápidamente que la matriz inversa es esta de aquí, ¿de acuerdo? No la hago porque eso sería, digamos, motivo de otro vídeo, para no enmarañar, ¿vale?

66
00:05:39,910 --> 00:05:58,329
Entonces, ya tenemos la matriz inversa. Lo hacéis vosotros en casa y comprobáis que es esa, ¿vale? Bien, en cuanto a B, faltaría ver si la matriz B es inversible, para lo cual calcularíamos el determinante de B.

67
00:05:58,329 --> 00:06:32,189
¿Y una duda? ¿Vale? Me he saltado el paso, ¿vale? ¿Algún inconveniente? Vale, seguimos. Pasadla al otro lado. O mejor, sumar en ambos miembros B. ¿Se entiende o no?

68
00:06:32,189 --> 00:06:40,649
Sumaremos B a ambos miembros de la ecuación

69
00:06:40,649 --> 00:06:54,069
¿Y ahora qué haríamos?

70
00:06:55,009 --> 00:07:00,310
Pues lo que haríamos es despejar de aquí X

71
00:07:00,310 --> 00:07:02,389
¿Cómo?

72
00:07:03,310 --> 00:07:08,970
Mandando al otro lado esta matriz A

73
00:07:08,970 --> 00:07:11,910
¿Sí o no? Pero con cuidado, ¿eh?

74
00:07:12,850 --> 00:07:16,129
¿Qué es esto de mandando al otro lado? En realidad no se puede hacer eso

75
00:07:16,129 --> 00:07:42,420
Lo que hago es multiplicar ambos miembros por la inversa de A. ¿Entendéis? Multiplicaríamos esto por A a la menos 1 y esto por A a la menos 1. ¿Para qué? Para que A por A a la menos 1 se transforme en la identidad. ¿Qué es la identidad?

76
00:07:42,420 --> 00:08:07,779
Y así quedará despejada la X. Vamos a verlo. X por A por A a la menos 1. Como este miembro lo he multiplicado por A a la menos 1 por su derecha, recordad que la multiplicación de matrices no es conmutativo.

77
00:08:07,779 --> 00:08:13,740
Por lo tanto, es importante distinguir si estoy multiplicando por la izquierda o por la derecha.

78
00:08:14,199 --> 00:08:15,519
¿Estamos de acuerdo con esto o no?

79
00:08:17,480 --> 00:08:21,819
Entonces, según esto es, ¿cómo multiplico este miembro por a a la menos 1?

80
00:08:22,379 --> 00:08:28,759
Pues para conservar la igualdad, debo de multiplicar este miembro por a a la menos 1.

81
00:08:30,579 --> 00:08:31,319
¿Entendéis o no?

82
00:08:31,639 --> 00:08:34,019
Y ahora la pregunta es, ¿estaría bien si escribo esto?

83
00:08:38,259 --> 00:08:38,940
¿Estaría bien?

84
00:08:39,940 --> 00:08:43,230
No oigo.

85
00:08:43,610 --> 00:09:06,320
Ahora, no está bien, porque tiene que ser por la derecha. ¿Se entiende o no? Y mirad, ya tengo despejada la X, porque esto de aquí, ¿a qué es igual? A la identidad.

86
00:09:06,320 --> 00:09:10,549
O sea que se va uno con otro

87
00:09:10,549 --> 00:09:12,669
Y me queda que

88
00:09:12,669 --> 00:09:13,669
X

89
00:09:13,669 --> 00:09:16,309
Es igual a

90
00:09:16,309 --> 00:09:18,409
2Y

91
00:09:18,409 --> 00:09:20,610
Más B

92
00:09:20,610 --> 00:09:22,850
Por A a la menos 1

93
00:09:22,850 --> 00:09:26,129
Lo único que me queda es operar

94
00:09:26,129 --> 00:09:27,710
2Y más B

95
00:09:27,710 --> 00:09:29,789
Y multiplicarlo por A a la menos 1

96
00:09:29,789 --> 00:09:30,909
Tengo todo esto

97
00:09:30,909 --> 00:09:33,370
¿Sí o no? Lo hacemos

98
00:09:33,370 --> 00:09:34,710
¿Vale? Venga

99
00:09:34,710 --> 00:09:37,950
2Y más B

100
00:09:37,950 --> 00:10:00,159
¿A qué es igual? Bien, B, ¿B qué matriz es, por cierto? B es esta matriz, ¿no? Es de orden 3x3, por lo tanto, ¿y cómo tiene que ser? La identidad de orden 3x3. ¿Esto se entiende o no?

101
00:10:00,159 --> 00:10:02,240
Más B

102
00:10:02,240 --> 00:10:04,879
Bien, vemos que

103
00:10:04,879 --> 00:10:07,419
Simplificar esto

104
00:10:07,419 --> 00:10:08,960
Y esto al operar me quedaría

105
00:10:08,960 --> 00:10:13,960
2, 0, 0

106
00:10:13,960 --> 00:10:15,200
0, 2, 0

107
00:10:15,200 --> 00:10:19,679
Más la matriz B

108
00:10:19,679 --> 00:10:28,990
¿De acuerdo?

109
00:10:30,870 --> 00:10:32,070
Y al sumar esto

110
00:10:32,070 --> 00:10:34,929
Me quedaría 5, 2

111
00:10:34,929 --> 00:10:36,730
Menos 1

112
00:10:36,730 --> 00:10:39,750
1, perdón

113
00:10:39,750 --> 00:10:42,279
3

114
00:10:42,279 --> 00:10:48,279
1, 1, 0 y menos 3

115
00:10:48,279 --> 00:10:49,159
¿Se entiende?

116
00:10:52,820 --> 00:10:55,659
Perdón, que es un error, es 2 más menos 3

117
00:10:55,659 --> 00:10:57,519
Que es menos 1, ¿vale?

118
00:10:57,519 --> 00:11:02,279
Ya tenemos 2i más b

119
00:11:02,279 --> 00:11:07,139
Y faltaría multiplicar por la inversa de a

120
00:11:07,139 --> 00:11:09,840
Para sacar la incógnita x

121
00:11:09,840 --> 00:11:11,659
¿Se entiende o no?

122
00:11:13,399 --> 00:11:13,600
¿Vale?

123
00:11:14,580 --> 00:11:17,940
Congelar la imagen porque esto lo voy a borrar, ¿vale?

124
00:11:19,019 --> 00:11:23,480
Congelar la imagen en el vídeo, parar el vídeo, copiando y lo borro, ¿de acuerdo?

125
00:11:24,360 --> 00:11:24,620
Bien.

126
00:11:24,620 --> 00:11:41,080
Bien, ya tenemos aquí 2i más b, que multiplicaremos por la inversa de 2i, que ponemos aquí y que lo que nos queda es multiplicarlo, ¿de acuerdo?

127
00:11:41,080 --> 00:12:07,029
Multiplicar esas dos matrices para obtener la matriz X. ¿Es claro? Lo hacemos. Venga. Sería primera fila por primera columna para obtener el elemento de aquí. ¿No? Bien. Multiplicamos las dos matrices y obtenemos esta matriz resultado, que es la matriz incógnita X. ¿Es claro?

128
00:12:07,029 --> 00:12:28,750
Y vamos al apartado 3, que dice calcular A elevado a 86. Bien, ¿qué es esta matriz elevado a 86? Atención, este ejercicio aparenta complicado, ¿sí o no?

129
00:12:29,629 --> 00:12:34,169
Tendríamos que multiplicar A por sí misma 86 veces.

130
00:12:35,330 --> 00:12:36,730
Esto no hay quien lo haga.

131
00:12:37,590 --> 00:12:38,250
¿Estamos de acuerdo?

132
00:12:39,429 --> 00:12:46,250
Vayamos al enunciado a ver si algo nos da alguna pista para ver si puedo calcular esto.

133
00:12:46,250 --> 00:12:48,289
En base a lo que ya sabemos de A.

134
00:12:48,990 --> 00:12:51,649
Sabemos que es invertible y que verifica esta ecuación.

135
00:12:52,549 --> 00:12:54,490
Nada, no nos dice nada de momento.

136
00:12:55,690 --> 00:12:57,149
Yo lo que propongo es lo siguiente.

137
00:12:57,149 --> 00:12:59,190
empecemos a elevar al cuadrado

138
00:12:59,190 --> 00:13:01,169
luego al cubo

139
00:13:01,169 --> 00:13:02,990
una cosa, a elevado a 4

140
00:13:02,990 --> 00:13:05,570
va a ser elevado al cuadrado al cuadrado

141
00:13:05,570 --> 00:13:08,929
¿no? entonces podemos

142
00:13:08,929 --> 00:13:11,350
yo lo que propongo es que veamos

143
00:13:11,350 --> 00:13:15,090
calculemos las primeras potencias de A

144
00:13:15,090 --> 00:13:17,090
para ver si hay algún patrón

145
00:13:17,090 --> 00:13:17,870
que se repite

146
00:13:17,870 --> 00:13:20,769
¿se entiende o no? lo que busco

147
00:13:20,769 --> 00:13:22,889
esto es como se suele trabajar

148
00:13:22,889 --> 00:13:25,009
si tienes que calcular una potencia

149
00:13:25,009 --> 00:13:26,250
tan grande como esta

150
00:13:26,250 --> 00:13:28,210
échate a rezar

151
00:13:28,210 --> 00:13:31,490
Porque hay algún patrón que se repita

152
00:13:31,490 --> 00:13:33,490
¿Se ve la idea o no?

153
00:13:33,889 --> 00:13:34,129
Bien

154
00:13:34,129 --> 00:13:38,029
Vamos a calcular primero A al cuadrado

155
00:13:38,029 --> 00:13:38,710
¿Os parece?

156
00:13:40,090 --> 00:13:40,490
Bien

157
00:13:40,490 --> 00:13:41,769
Y si lo haces

158
00:13:41,769 --> 00:13:44,110
Bien, si calculas A al cuadrado

159
00:13:44,110 --> 00:13:45,710
Que es A por A

160
00:13:45,710 --> 00:13:50,070
Obtienes esta matriz

161
00:13:50,070 --> 00:13:51,730
Que casualmente

162
00:13:51,730 --> 00:13:55,129
Es la inversa de A

163
00:13:55,129 --> 00:13:56,649
¿Se ve o no?

164
00:13:57,850 --> 00:13:59,710
Aquí está la clave, chicos

165
00:13:59,710 --> 00:14:08,330
Porque ya sabemos que a al cuadrado es igual a a a la menos uno.

166
00:14:09,309 --> 00:14:14,809
Por lo tanto, hay que aprovechar este fenómeno que es vital.

167
00:14:15,129 --> 00:14:17,289
Porque ¿cuánto va a dar a al cubo?

168
00:14:20,370 --> 00:14:27,309
Necesariamente, fijaos, a al cubo es igual a a al cuadrado por a.

169
00:14:27,929 --> 00:14:28,590
¿Sí o no?

170
00:14:28,590 --> 00:14:30,950
Que es lo mismo que

171
00:14:30,950 --> 00:14:33,450
A a la menos 1 por A

172
00:14:33,450 --> 00:14:34,470
¿Y esto a qué es igual?

173
00:14:36,110 --> 00:14:37,529
A la identidad

174
00:14:37,529 --> 00:14:43,740
¿Y cómo va a ser A a la cuarta?

175
00:14:44,279 --> 00:14:46,480
Pues es A al cubo por A

176
00:14:46,480 --> 00:14:51,200
Es lo mismo que la identidad por A

177
00:14:51,200 --> 00:14:52,240
¿Y esto a qué es igual?

178
00:14:56,289 --> 00:14:58,970
A porque la identidad es A

179
00:14:58,970 --> 00:15:00,409
¿Se entiende o no?

180
00:15:01,809 --> 00:15:02,610
¿Se entiende?

181
00:15:02,610 --> 00:15:04,610
A a la cuarta vale A

182
00:15:04,610 --> 00:15:07,110
¿Cuánto va a ser A a la quinta?

183
00:15:07,549 --> 00:15:08,269
Pues mira eso

184
00:15:08,269 --> 00:15:10,649
A a la cuarta por A

185
00:15:10,649 --> 00:15:14,330
¿Pero A a la cuarta quién es?

186
00:15:15,590 --> 00:15:17,129
A es igual a A

187
00:15:17,129 --> 00:15:19,509
O sea que aquí es lo mismo que A por A

188
00:15:19,509 --> 00:15:21,389
Que A es A al cuadrado

189
00:15:21,389 --> 00:15:23,230
¿Pero A al cuadrado quién es?

190
00:15:24,070 --> 00:15:25,129
A a la menos uno

191
00:15:25,129 --> 00:15:27,850
Se está repitiendo ese patrón

192
00:15:27,850 --> 00:15:28,429
¿Lo veis o no?

193
00:15:29,710 --> 00:15:30,870
A a la sexta

194
00:15:30,870 --> 00:15:35,250
Va a ser a a la quinta por a

195
00:15:35,250 --> 00:15:40,049
Que es a a la menos uno por a, que es la identidad

196
00:15:40,049 --> 00:15:44,110
Fijaos lo que se está repitiendo, qué patrón, mirad

197
00:15:44,110 --> 00:15:49,820
Vamos a ver, mirad

198
00:15:49,820 --> 00:15:55,320
A a la tres al cubo es la identidad

199
00:15:55,320 --> 00:15:58,000
A a la sexta es la identidad

200
00:15:58,000 --> 00:16:01,480
¿A qué va a ser igual a a la séptima?

201
00:16:02,179 --> 00:16:17,419
Es A. A a la octava será igual a A a la menos uno. Y A a la nueve, ¿quién va a ser? Otra vez la identidad. ¿Se entiende o no?

202
00:16:17,419 --> 00:16:23,899
Entonces, me están pidiendo a elevado a 86

203
00:16:23,899 --> 00:16:31,169
Busquemos, veis que cuando la potencia a todos los exponentes

204
00:16:31,169 --> 00:16:36,269
Múltiplos de 3, es igual a la identidad

205
00:16:36,269 --> 00:16:40,769
Y por tanto, decimos un múltiplo de 3

206
00:16:40,769 --> 00:16:44,009
Que se acerque mucho a 86

207
00:16:44,009 --> 00:16:46,830
Pues el más cercano es

208
00:16:46,830 --> 00:16:51,070
Buscamos, quiero decir, buscamos un múltiplo de 3

209
00:16:51,070 --> 00:16:55,610
El múltiplo de 3 que esté más cerca de 86

210
00:16:55,610 --> 00:17:02,389
84, vamos a ver, la suma de sus cifras es 12

211
00:17:02,389 --> 00:17:05,789
Que es múltiplo de 3, por lo tanto, sí

212
00:17:05,789 --> 00:17:08,009
84 es múltiplo de 3

213
00:17:08,009 --> 00:17:13,759
¿De 3? ¿Sí o no?

214
00:17:13,759 --> 00:17:17,240
Y por tanto, ¿a qué va a ser igual a elevado a 84?

215
00:17:17,240 --> 00:17:25,589
Estamos viendo el comportamiento que cuando el exponente es múltiplo de 3

216
00:17:25,589 --> 00:17:29,089
Es la identidad, ¿sí o no?

217
00:17:30,009 --> 00:17:31,470
Esto es igual a la identidad

218
00:17:31,470 --> 00:17:35,049
¿A qué va a ser igual a elevado a 85?

219
00:17:36,230 --> 00:17:39,410
Pues es a elevado a 84 por a

220
00:17:39,410 --> 00:17:40,930
¿Sí o no?

221
00:17:41,609 --> 00:17:42,529
¿Y esto a qué es igual?

222
00:17:43,529 --> 00:17:44,750
A la identidad

223
00:17:44,750 --> 00:17:46,769
¿Se ha visto aquí?

224
00:17:49,079 --> 00:17:49,779
Que esto es a

225
00:17:49,779 --> 00:18:11,019
Y A elevado a 86 es igual a A elevado a 85 por A. A elevado a 85 es A por A, que es lo mismo que A al cuadrado, que sabemos que es igual a A a la menos 1.

226
00:18:11,019 --> 00:18:14,519
Ya lo hemos calculado antes, que es la matriz esta.

227
00:18:19,609 --> 00:18:23,329
Digo que esto es igual a A a la menos 1, lo hemos visto antes, ¿no?

228
00:18:24,230 --> 00:18:31,559
Lo hemos visto aquí, hemos calculado primero A al cuadrado y hemos visto que daba lo mismo que A a la menos 1.

229
00:18:32,220 --> 00:18:37,920
Esto es lo que nos ha permitido calcular la potencia de manera sencilla, porque si no sería imposible.

230
00:18:41,400 --> 00:18:47,309
Bien, tenemos aquí A elevado a 86.