1 00:00:01,580 --> 00:00:12,099 Bueno, muy buenas a todo el mundo, espero que estéis muy bien, que hayáis descansado este fin de, que hayáis recuperado las fuerzas y que vayáis a por todas con las matemáticas. 2 00:00:12,759 --> 00:00:24,739 Ya que hoy es la última clase del tema, este trimestre encima es el más corto, así que esta última clase antes de Semana Santa y después de Semana Santa nos quedarían otras cuatro, si no recuerdo mal, incluido el repaso y el examen. 3 00:00:25,399 --> 00:00:31,239 Creo que serían, no sé si son cuatro más el repaso o tres más el repaso, yo creo que son cuatro más el repaso. 4 00:00:32,420 --> 00:00:34,159 Pero bueno, cuatro o cinco clases más. 5 00:00:35,240 --> 00:00:40,899 Entonces, como siempre, os recuerdo mi correo a torrespatino.madrid.org, ¿vale? 6 00:00:41,880 --> 00:00:43,500 Para cualquier duda, ¿vale? 7 00:00:43,520 --> 00:00:50,100 Y si no, en vez de mandarme un correo podéis venir a la tutoría de las seis de la tarde los jueves, ¿vale? 8 00:00:50,100 --> 00:00:51,820 Los jueves a las seis de la tarde, de seis a siete. 9 00:00:53,060 --> 00:01:01,100 Cualquier duda tanto de matemáticas, de ciencias o cualquier duda que tengáis respecto a, yo que sé, cosas generales, ¿vale? 10 00:01:01,579 --> 00:01:05,480 Respecto a qué pasaría la evaluación extraordinaria, ordinaria, etc. 11 00:01:07,200 --> 00:01:11,760 Bueno, entonces, vamos con la geometría de espacio. 12 00:01:12,260 --> 00:01:15,819 Acordéis que empezamos dando cosas básicas como ángulos, rectas, etc., planos. 13 00:01:16,579 --> 00:01:18,599 Luego nos pasamos a la geometría del plano. 14 00:01:21,379 --> 00:01:27,099 Estoy moviendo polígonos y otras figuras planas como el círculo o la circunferencia, el círculo o lo de dentro. 15 00:01:27,099 --> 00:01:29,640 Y ahora vamos con la geometría del espacio. 16 00:01:29,640 --> 00:01:47,719 Vamos a ver unas figuras que son así redondas y las planas. Las figuras en el plano que eran planas, o sea, que no tenían curvas, como por ejemplo la circunferencia, se llamaban polígonos. 17 00:01:47,719 --> 00:01:59,299 Pues las figuras que están formadas por polígonos, pero en vez de orden, 3D, es como una combinación de polígonos, se llaman poliedros, que es por ejemplo esto de aquí. 18 00:01:59,640 --> 00:02:09,919 Es como una combinación entre un rectángulo, más otro, más otro el de atrás, más otro el del lado, y luego un cuadrado aquí, ¿vale? 19 00:02:10,719 --> 00:02:15,080 Entonces, más otro cuadrado aquí, en esta parte que no se ve, que es la que está apoyada en el suelo. 20 00:02:15,759 --> 00:02:21,379 Entonces, una combinación de seis polígonos forman, pues, este poliedro, por ejemplo. 21 00:02:22,199 --> 00:02:23,520 Entonces, las combinaciones son múltiples. 22 00:02:24,419 --> 00:02:25,800 Combinan muchísimos polígonos. 23 00:02:25,800 --> 00:02:30,280 Básicamente, un poliedro es un polígono pero en 3D 24 00:02:30,280 --> 00:02:33,639 Es decir, porque esto es en 2D, que es como una pared 25 00:02:33,639 --> 00:02:34,759 Es como, por ejemplo, una casa 26 00:02:34,759 --> 00:02:38,340 Los polígonos son las paredes, que son rectángulos normalmente 27 00:02:38,340 --> 00:02:41,759 Porque suelen ser más largos que altos 28 00:02:41,759 --> 00:02:46,539 Las paredes, pues, como si las paredes fueran los polígonos de la casa 29 00:02:46,539 --> 00:02:48,860 Y la casa fuera el poliedro 30 00:02:48,860 --> 00:02:53,379 Cuatro paredes forman el poliedro 31 00:02:53,379 --> 00:02:59,900 Vale, entonces, tienen distintos elementos, ¿vale? Algunos que ya estaban, pero tienen distintos 32 00:02:59,900 --> 00:03:03,240 ¿Os acordáis que teníamos sobre todo vértices, lados y diagonales? 33 00:03:03,360 --> 00:03:05,860 Pues ahora tenemos los vértices también, que son como las esquinas, ¿no? 34 00:03:07,039 --> 00:03:11,560 Lo que pasa es que ahora los lados de los polígonos se van a llamar aristas, ¿vale? 35 00:03:11,620 --> 00:03:15,000 Son como los que antes eran lados de los polígonos, ¿no? 36 00:03:15,000 --> 00:03:23,360 Esto era un lado del polígono, este, este y este, pues estos son cuatro aristas que forman esta cara, ¿vale? 37 00:03:23,379 --> 00:03:25,819 Porque ahora un concepto nuevo van a ser las caras. 38 00:03:26,419 --> 00:03:28,319 Caras como si fueran las paredes, para que entendáis. 39 00:03:29,060 --> 00:03:31,139 Entonces, ¿este poliedro cuántas caras tiene? 40 00:03:31,199 --> 00:03:32,039 Pues tienen seis. 41 00:03:32,819 --> 00:03:37,099 Arriba, abajo, derecha, izquierda y delante y atrás. 42 00:03:38,060 --> 00:03:38,639 Para que entendáis. 43 00:03:39,419 --> 00:03:39,620 ¿Vale? 44 00:03:40,520 --> 00:03:43,159 Entonces, cara, como si fueran las paredes, ¿vale? 45 00:03:43,259 --> 00:03:45,319 Es decir, es que es eso, tal cual, las caras. 46 00:03:46,219 --> 00:03:51,180 Es como las caras equivalen a los polígonos que forman el poliedro. 47 00:03:51,180 --> 00:03:59,860 Los vértices son como los puntos de intersección entre las aristas, que son como los lados de esos polígonos. 48 00:04:00,819 --> 00:04:06,580 Y las aristas son eso, unen dos vértices, por lo tanto es equivalente a los lados de los polígonos. 49 00:04:08,020 --> 00:04:12,060 Bueno, entonces, bueno, esto es simplemente un concepto que se llama ángulo diedro. 50 00:04:12,560 --> 00:04:20,019 Igual que un ángulo era una región delimitada por dos semirrectas, pues un ángulo diedro es una región delimitada por dos planos. 51 00:04:20,019 --> 00:04:25,759 Nada, simplemente eso. No creo que lo pregunte, así que simplemente un concepto que hay que saber porque no nos piden y ya está. 52 00:04:26,300 --> 00:04:27,459 Yo lo he dado y ya está. 53 00:04:28,360 --> 00:04:37,839 Luego, vamos a ver, esto esperemos que no sea muy lioso, vamos a ver posiciones relativas de puntos, rectas y planos en el espacio, es decir, en 3D. 54 00:04:38,740 --> 00:04:42,399 Igual que veíamos rectas en 2D, cuando se juntaban secantes, etc. 55 00:04:42,860 --> 00:04:46,560 Pues ahora una mezcla entre rectas, planos y puntos. 56 00:04:46,560 --> 00:04:51,560 primero pasamos con las posiciones relativas de dos rectas 57 00:04:51,560 --> 00:04:57,439 entonces dos rectas son secantes y se cortan en un punto 58 00:04:57,439 --> 00:04:58,139 esto ya lo hemos visto 59 00:04:58,139 --> 00:05:01,699 luego dos rectas son paralelas si no tienen puntos en común 60 00:05:01,699 --> 00:05:03,319 y nunca se van a cortar básicamente 61 00:05:03,319 --> 00:05:05,220 esto y esto son lo contrario 62 00:05:05,220 --> 00:05:07,639 estas no se cortan nunca porque no tienen ningún punto en común 63 00:05:07,639 --> 00:05:10,639 y estas se cortan en un punto en común que sería este 64 00:05:10,639 --> 00:05:14,800 y cuidado ahora que claro como le estamos sumando los planos 65 00:05:14,800 --> 00:05:33,600 Pues ahora tenemos el concepto de rectas que se cruzan, que son como dos rectas que están en, se pueden confundir con las paralelas, pero la diferencia aquí es que, por ejemplo, la recta verde está en el plano de arriba y la recta naranja, creo que parece ser que es naranja o marrón, está en el plano de abajo. 66 00:05:33,600 --> 00:05:57,379 Con lo cual, en realidad, aparte de no cortarse, ¿vale? Están en planos diferentes. Entonces, aparte de no tener puntos en común, tienen planos diferentes. Mientras que las paralelas tienen el mismo plano. No sé si me explico. Están a la misma altura. En cambio, aquí hay una encima de otra, aparte de estar una más a la izquierda que otra. O más a la derecha. ¿Vale? Esta está más a la izquierda, esta más a la derecha. 67 00:05:57,379 --> 00:06:16,420 Y luego están las coincidentes, que es que están en el mismo plano y aparte están superpuestas, es decir, justo están como si las pegáramos con celu, ¿vale? Están pegadas, superpuestas, ¿no? Es como si fuera, por ejemplo, dos ladrillos, ¿vale? 68 00:06:16,420 --> 00:06:23,100 Entonces, aparte de estar en el mismo plano, coinciden estar una encima de otra, superpuestas 69 00:06:23,100 --> 00:06:26,259 ¿Vale? Estas son las posiciones relativas de dos rectas 70 00:06:26,259 --> 00:06:28,560 Secantes, paralelas, se cruzan o coincidentes 71 00:06:28,560 --> 00:06:31,180 ¿Vale? Siguiente concepto 72 00:06:31,180 --> 00:06:32,759 Ahora, posiciones relativas de dos planos 73 00:06:32,759 --> 00:06:34,160 Hemos visto dos rectas, pues ahora dos planos 74 00:06:34,160 --> 00:06:36,240 Y luego mezclaremos rectas con planos 75 00:06:36,240 --> 00:06:39,959 Entonces, dos planos secantes, pues lo mismo que con las rectas 76 00:06:39,959 --> 00:06:45,959 Son, en este caso, dos planos que se cortan en una misma recta 77 00:06:45,959 --> 00:06:50,120 tenemos esta recta que corta el plano vertical con la horizontal 78 00:06:50,120 --> 00:06:54,259 es similar a lo que pasaba con las rectas y los puntos 79 00:06:54,259 --> 00:06:56,160 pues ahora con los planos y las rectas 80 00:06:56,160 --> 00:07:01,420 dos planos que se cortan en una recta son planos secantes 81 00:07:01,420 --> 00:07:06,660 dos planos que no se cortan nunca, no tienen ningún punto o ninguna recta en común 82 00:07:06,660 --> 00:07:10,819 pues son paralelos, es lo mismo que las rectas pero en 2D 83 00:07:10,819 --> 00:07:13,800 si os dais cuenta hay coincidentes igual que las rectas coincidentes 84 00:07:13,800 --> 00:07:21,480 son dos planos que están superpuestos, uno encima del otro, ¿vale? Entonces, es similar, lo único que aquí no hay que se cruzan, ¿por qué? 85 00:07:21,540 --> 00:07:29,720 Porque ya directamente son dos planos, si ponemos dos planos diferentes ya serían paralelos, es como que estas dos se fusionan en los planos, ¿vale? 86 00:07:30,560 --> 00:07:37,959 Porque aquí la única diferencia entre esta y esta es que las rectas que se cruzan también están en diferente plano, pero claro, si aquí ya estamos hablando de plano, 87 00:07:37,959 --> 00:07:44,779 no tendría sentido poner otro plano, entonces es como que estas dos se fusionan en el concepto paralelos 88 00:07:44,779 --> 00:07:50,480 por eso hay tres en vez de cuatro, básicamente, tampoco me voy a extender mucho en esto, o sea yo creo que se entiende 89 00:07:50,480 --> 00:07:56,000 y además son conceptos que a lo mejor lo puedo preguntar en la tarea pero en el examen como tal no creo 90 00:07:56,000 --> 00:08:02,699 son conceptos básicos, o sea casi siempre cuando empezamos a ver algo, geometría plana o del espacio lo que sea 91 00:08:02,699 --> 00:08:04,800 empezamos con conceptos que nos van a entender 92 00:08:04,800 --> 00:08:07,160 nos van a ayudar a entender 93 00:08:07,160 --> 00:08:08,620 lo que viene después, con lo cual 94 00:08:08,620 --> 00:08:10,139 como tal no se pregunta 95 00:08:10,139 --> 00:08:12,860 pero necesitamos tener esos conceptos 96 00:08:12,860 --> 00:08:14,639 para hacer bien los ejercicios siguientes 97 00:08:14,639 --> 00:08:15,620 ¿vale? 98 00:08:16,699 --> 00:08:18,819 a eso me refiero, y por último tenemos 99 00:08:18,819 --> 00:08:20,800 posiciones relativas de una recta y un plano 100 00:08:20,800 --> 00:08:23,079 ahora, hemos hecho dos rectas, dos planos 101 00:08:23,079 --> 00:08:24,579 y ahora una recta y un plano, es como 102 00:08:24,579 --> 00:08:26,300 que las juntamos ahora 103 00:08:26,300 --> 00:08:29,019 entonces por ejemplo, aquí el plano 104 00:08:29,019 --> 00:08:30,279 y la recta serían secantes 105 00:08:31,220 --> 00:08:33,980 Esta línea así, que es de otro color, es como que atraviesa el plano. 106 00:08:34,419 --> 00:08:37,279 Con lo cual, esta recta corta el plano en el punto A. 107 00:08:37,899 --> 00:08:39,980 Es como que tenemos el plano, imaginaos que es una mesa, 108 00:08:40,659 --> 00:08:45,740 y una varilla de vidrio que atraviesa la mesa. 109 00:08:46,120 --> 00:08:48,740 Básicamente eso sería una recta y un plano secante. 110 00:08:48,899 --> 00:08:50,159 El plano sería la mesa. 111 00:08:51,179 --> 00:08:54,639 Luego, una recta y un plano paralelas son que no tienen ningún punto en común. 112 00:08:54,639 --> 00:09:03,200 Es como si tenemos una mesa y al lado ponemos en suspensión un palo o una varilla de vidrio o lo que sea. 113 00:09:03,940 --> 00:09:09,740 Y luego coincidente es como si la recta está contenida en el plan. 114 00:09:10,080 --> 00:09:18,919 Es como si hiciéramos un agujero así, cogemos la mesa y trazamos con la radial un agujero así, lo cortamos así. 115 00:09:18,919 --> 00:09:40,059 Entonces, metemos un palo entre medias y juntamos las dos partes de la mesa, ¿vale? Para que se entienda un poco. Es como que, no es que está encima, no es poner un palo encima de la mesa, ¿vale? Es como que está incluido dentro de la mesa, ¿vale? Es como si fuera una recta dentro de la mesa, ¿vale? 116 00:09:42,230 --> 00:09:45,610 Y nada, estas son preguntas un poco para ver si habéis entendido estos conceptos. 117 00:09:45,710 --> 00:09:48,710 Entonces, os lo he dejado aquí ya escrito porque digo, no me voy a perder más tiempo. 118 00:09:49,250 --> 00:09:51,490 ¿Cuántos planos pasan por una recta? Pues infinitos, ¿no? 119 00:09:52,570 --> 00:09:56,870 Por esta recta puede haber un plano así, otro plano vertical, otro plano en diagonal, etc. 120 00:09:57,289 --> 00:09:57,649 Infinitos. 121 00:09:57,809 --> 00:10:01,710 Igual que es lo mismo exactamente que cuántas rectas pasan por un punto, 122 00:10:02,169 --> 00:10:03,549 que es lo que ven aquí, infinitas rectas. 123 00:10:04,250 --> 00:10:07,009 Y luego aquí tenemos estas dos preguntas que son semejantes también, ¿no? 124 00:10:07,110 --> 00:10:10,389 La A y la C son semejantes, por eso son infinitos, ¿no? 125 00:10:10,389 --> 00:10:14,710 Lo único que una son rectas por un punto y otra plano por una recta. 126 00:10:15,789 --> 00:10:17,470 Y la otra son también semejantes. 127 00:10:17,649 --> 00:10:19,669 ¿Cuántos planos pasan por dos rectas que se cortan? 128 00:10:19,909 --> 00:10:21,629 Pues un único plano, ¿no? 129 00:10:21,769 --> 00:10:24,690 Dos rectas que se cortan, ¿dónde está? 130 00:10:24,970 --> 00:10:28,610 Aquí, por dos rectas que se cortan, solo hay este plano, ¿vale? 131 00:10:29,350 --> 00:10:31,289 Que son dos rectas secantes. 132 00:10:31,870 --> 00:10:34,169 Y luego, ¿cuántos planos pasan por dos rectas paralelas? 133 00:10:34,250 --> 00:10:36,649 También un único plano, lo que tenemos aquí, ¿no? 134 00:10:36,649 --> 00:10:38,549 Dos rectas paralelas y tienen un único plano. 135 00:10:38,549 --> 00:10:42,509 Otra cosa es que fueran dos rectas que se cruzan, entonces ya habría dos planos. 136 00:10:43,350 --> 00:10:44,190 ¿Entendéis un poquito? 137 00:10:44,610 --> 00:10:49,090 Básicamente es un pequeño repaso de lo que hemos dado en el punto 7. 138 00:10:50,029 --> 00:10:56,990 Así que vamos a empezar por el punto más importante junto con el punto 9 de la geometría del espacio. 139 00:10:57,370 --> 00:11:01,350 Por la geometría del espacio vamos a tener el punto 7, punto 8, punto 9 y punto 10, 140 00:11:01,389 --> 00:11:04,149 es decir, los cuatro últimos puntos del tema. 141 00:11:04,149 --> 00:11:06,570 el punto 1 y el punto 4 142 00:11:06,570 --> 00:11:08,809 son los que menos importancia le voy a dar 143 00:11:08,809 --> 00:11:10,710 son más conceptos así del espacio 144 00:11:10,710 --> 00:11:12,470 más de tener visión espacial, etc 145 00:11:12,470 --> 00:11:14,889 y donde más problemas puedo 146 00:11:14,889 --> 00:11:16,809 o sea, donde más ejercicios como tal 147 00:11:16,809 --> 00:11:18,809 de hacer problemas para el examen y eso 148 00:11:18,809 --> 00:11:20,549 puedo hacer es con el 8 149 00:11:20,549 --> 00:11:22,450 y sobre todo, sobre todo con el 9 150 00:11:22,450 --> 00:11:24,769 el 9 es lo que más le voy a dedicar 151 00:11:24,769 --> 00:11:26,730 ¿vale? pues el 8 es un poco 152 00:11:26,730 --> 00:11:29,049 conocer los tipos de poliedros, etc 153 00:11:29,049 --> 00:11:30,690 igual que los polígonos 154 00:11:30,690 --> 00:11:33,029 por de 5 caras, pentágono, etc 155 00:11:33,029 --> 00:11:48,889 Pues aquí parecido es clasificación y luego un poquito ver una formulita y os lo voy a poner, que ya lo he escaneado, que luego lo subiré, un ejercicio que es el 19 del libro para que veamos si se cumple esa regla siempre. 156 00:11:50,029 --> 00:11:58,149 Entonces, vamos a ello. Lo primero, igual que la definición de polígono, pues la definición de polígono. Sabéis que definiciones en matemáticas no voy a preguntar. 157 00:11:58,149 --> 00:12:02,029 son para que, tengo que poner la definición 158 00:12:02,029 --> 00:12:06,250 para luego, primero la pongo así, de manera teórica y luego de manera práctica 159 00:12:06,250 --> 00:12:10,009 lo vemos, entonces un poliedro es una región del espacio 160 00:12:10,009 --> 00:12:14,070 limitada por polígonos, lo que he dicho está formada por polígonos, ¿cuántos polígonos 161 00:12:14,070 --> 00:12:17,970 tendría este poliedro? uno aquí, arriba, otro abajo 162 00:12:17,970 --> 00:12:21,690 delante, detrás, ya van cuatro, y izquierda, derecha, ya van seis 163 00:12:21,690 --> 00:12:25,889 dos, más dos, más dos 164 00:12:25,889 --> 00:12:28,090 delante y atrás. Y tiene 165 00:12:28,090 --> 00:12:29,809 aristas, tiene caras y tiene vértices. 166 00:12:30,350 --> 00:12:32,169 Entonces luego hay que ver 167 00:12:32,169 --> 00:12:34,110 cuántos tiene caras. Dependiendo del poliedro 168 00:12:34,110 --> 00:12:36,029 tendrá unas aristas, unas caras, 169 00:12:36,110 --> 00:12:38,070 unos vértices. Entonces hay una 170 00:12:38,070 --> 00:12:40,190 fórmula que ahora veremos que sólo funciona 171 00:12:40,190 --> 00:12:41,950 para un tipo de polígonos, o sea 172 00:12:41,950 --> 00:12:43,269 de poliedros, que son regulares. 173 00:12:43,909 --> 00:12:45,769 Cuando diga polígonos 174 00:12:45,769 --> 00:12:47,429 y me quiera referir a 175 00:12:47,429 --> 00:12:49,809 poliedros, a lo mejor os dais cuenta en el vídeo. 176 00:12:50,070 --> 00:12:52,110 Lo digo por la dilesia que a veces me voy a confundir. 177 00:12:52,450 --> 00:12:53,789 Como ambos empiezan por poli, pues 178 00:12:53,789 --> 00:12:55,629 a lo mejor me lío. 179 00:12:55,889 --> 00:12:58,250 Normalmente me iba a referir a poliedros 180 00:12:58,250 --> 00:13:00,250 A menos que diga las caras 181 00:13:00,250 --> 00:13:02,149 Que las caras sí que son polígonos 182 00:13:02,149 --> 00:13:05,529 Bueno, entonces vamos a clasificar los poliedros 183 00:13:05,529 --> 00:13:07,289 Se pueden clasificar de dos formas 184 00:13:07,289 --> 00:13:08,389 Igual que los polígonos 185 00:13:08,389 --> 00:13:09,250 Teníamos de varias formas 186 00:13:09,250 --> 00:13:11,490 Aquí sí que he querido decir polígono, ¿vale? 187 00:13:11,509 --> 00:13:13,070 No siempre que... 188 00:13:13,070 --> 00:13:14,669 Casi estoy liando más cuando digo eso 189 00:13:14,669 --> 00:13:18,289 O sea, se entiende cuando a lo mejor 190 00:13:18,289 --> 00:13:21,129 Digo la palabra polígono cuando quiero decir poliedro 191 00:13:21,129 --> 00:13:24,950 Eso ya, supongo que cada persona lo entenderá 192 00:13:24,950 --> 00:13:27,250 A ver, que no creo que me equivoque mucho, pero digo por si me equivoco alguna vez. 193 00:13:27,830 --> 00:13:29,289 Entonces vamos a clasificar los poliedros. 194 00:13:30,169 --> 00:13:31,830 Se puede clasificar de dos formas. 195 00:13:32,309 --> 00:13:37,470 Una es según su forma geométrica y otra es según la regularidad de sus caras. 196 00:13:39,169 --> 00:13:41,110 Entonces la primera es muy sencilla. 197 00:13:41,350 --> 00:13:45,470 Tenemos polígono, aquí sí que me he equivocado, poliedro con beso, ¿veis? 198 00:13:45,470 --> 00:13:49,570 Se nota cuando quiero decir poliedro y me equivoco al decir poliedro. 199 00:13:49,750 --> 00:13:52,269 Poliedro con beso y poliedro con cao. 200 00:13:52,269 --> 00:14:11,590 El converso es, por así decirlo, el más sencillo de ver. ¿Por qué? Porque todas sus caras son semejantes en el sentido de que tú este objeto que tiene así forma de poliedro, tú lo dejas en el suelo y se puede apoyar en todas sus caras. 201 00:14:11,590 --> 00:14:13,889 Es decir, tú lo dejas así como está y se apoya en esta cara. 202 00:14:15,210 --> 00:14:21,950 Le das la vuelta así para que se apoye en este rectángulo y también se queda apoyado en este también, en este también. 203 00:14:22,070 --> 00:14:25,549 Es decir, es un poliedro que puede apoyarse en todas sus caras. 204 00:14:26,169 --> 00:14:33,110 En cambio, el cóncavo tiene alguna de sus caras en las que no se pueda apoyar en el plano, es decir, en una mesa. 205 00:14:33,730 --> 00:14:35,529 ¿Cuáles serían las caras en las que no se puede apoyar? 206 00:14:35,909 --> 00:14:40,629 Por ejemplo, en esta, la de adelante sí se puede apoyar, en la de la derecha también, izquierda también, atrás también. 207 00:14:40,629 --> 00:14:52,169 Pero, ¿qué pasa? Las dos caras de arriba no se puede apoyar. ¿Por qué? Se quedaría apoyado entre esta arista y esta arista, ¿no? Y luego todo esto se quedaría hueco, ¿no? 208 00:14:52,750 --> 00:15:01,110 Entonces, esto básicamente, esto se entiende, ¿no? Se puede apoyar en estas cuatro caras, pero en estas dos caras de arriba no se puede apoyar, sino que se apoyan sus aristas. 209 00:15:01,690 --> 00:15:10,840 Entonces, sería cóncavo, ¿vale? Acordaos un poco. Cóncavo cuando no se puede apoyar en alguna cara y convexo cuando en todas se puede apoyar. 210 00:15:10,840 --> 00:15:13,720 y luego la clasificación más común es 211 00:15:13,720 --> 00:15:15,580 según la regularidad de sus caras 212 00:15:15,580 --> 00:15:17,519 igual que tenemos polígono regular 213 00:15:17,519 --> 00:15:19,720 y regular, pues también tenemos poliedro 214 00:15:19,720 --> 00:15:21,519 regular e irregular 215 00:15:21,519 --> 00:15:23,000 pues 216 00:15:23,000 --> 00:15:24,620 exactamente lo mismo que lo otro 217 00:15:24,620 --> 00:15:27,019 aquí poliedro regular es si tiene todas sus 218 00:15:27,019 --> 00:15:29,399 caras regulares 219 00:15:29,399 --> 00:15:31,720 es decir, sabéis que 220 00:15:31,720 --> 00:15:33,600 los poliedros 221 00:15:33,600 --> 00:15:34,720 están formados por polígonos, pues 222 00:15:34,720 --> 00:15:36,899 si todos sus 223 00:15:36,899 --> 00:15:39,799 todos los polígonos que lo forman 224 00:15:39,799 --> 00:15:43,500 ¿Son regulares? Es decir, pentágono, cuadrado, etcétera. 225 00:15:43,659 --> 00:15:44,659 Rectángulo no sería regular. 226 00:15:46,659 --> 00:15:54,320 Entonces son pentágono, cuadrado, etcétera, triángulo, equilátero, ¿vale? 227 00:15:54,320 --> 00:15:56,639 Porque el isórceles y escaleno no es regular. 228 00:15:57,179 --> 00:16:01,659 Pues sabéis que un polígono regular es que tiene todos sus lados ángulos iguales y vértices. 229 00:16:02,360 --> 00:16:03,360 Entonces aquí es algo parecido. 230 00:16:03,360 --> 00:16:05,639 tiene que tener todas sus caras 231 00:16:05,639 --> 00:16:07,840 iguales y todos sus vértices 232 00:16:07,840 --> 00:16:09,840 con el mismo número de aristas 233 00:16:09,840 --> 00:16:11,320 y por tanto también 234 00:16:11,320 --> 00:16:12,919 los mismos ángulos 235 00:16:12,919 --> 00:16:15,679 es decir, básicamente está 236 00:16:15,679 --> 00:16:17,740 formado por los mismos polígonos y tienen que 237 00:16:17,740 --> 00:16:19,460 ser esos polígonos regulares, por ejemplo 238 00:16:19,460 --> 00:16:21,779 este está formado por pentágonos, entonces todas sus caras 239 00:16:21,779 --> 00:16:22,740 son pentágonos 240 00:16:22,740 --> 00:16:25,860 otro, pues puede estar formado por 241 00:16:25,860 --> 00:16:27,320 todo triángulos, pues a lo mejor 242 00:16:27,320 --> 00:16:29,080 triángulo, triángulo, triángulo, etcétera 243 00:16:29,080 --> 00:16:30,980 o por, no sé 244 00:16:30,980 --> 00:16:32,919 octógonos, ¿no? pues 245 00:16:33,360 --> 00:16:37,620 Pues va todo el rato por, está formado por polígonos de 8 caras. 246 00:16:38,820 --> 00:16:42,360 Veréis que no hay muchos, solo hay 5 polígonos regulares, todos los demás son irregulares. 247 00:16:43,399 --> 00:16:48,240 Hay mucho menos poliedros regulares que polígonos. 248 00:16:48,679 --> 00:16:52,840 Ahora no sé si he dicho antes la palabra polígono o poliedro. 249 00:16:53,700 --> 00:16:54,500 Así que lo voy a repetir. 250 00:16:54,820 --> 00:16:58,840 Solo hay 5 poliedros regulares, el resto de poliedros son irregulares. 251 00:16:59,740 --> 00:17:01,340 Es que creo que he dicho polígono en vez de poliedro. 252 00:17:03,360 --> 00:17:08,960 Aquí la dilesia va a hacer que me equivoque mucho y lo que no quiero es equivocaros a vosotros, ¿vale? 253 00:17:09,440 --> 00:17:10,279 Pero se entiende. 254 00:17:11,059 --> 00:17:11,940 Estoy hablando ahora de poliedros. 255 00:17:12,339 --> 00:17:15,140 Solo hay 5 poliedros regulares, el resto son irregulares. 256 00:17:15,599 --> 00:17:23,240 Cosa que en polígonos, ahora sí que quiero decir polígonos, en polígonos sí que había bastante más regulares, ¿no? 257 00:17:23,759 --> 00:17:25,160 No solo 5, ¿no? 258 00:17:25,220 --> 00:17:30,599 Según las caras, pues podemos tener de 3, 4, 5, así, muchísimos más, ¿vale? 259 00:17:31,400 --> 00:17:34,460 Entonces, ¿entendéis la diferencia entre polígono regular y regular? 260 00:17:34,819 --> 00:17:41,400 Regular está formado por polígonos regulares y siempre es el mismo polígono, básicamente. 261 00:17:42,839 --> 00:17:43,380 Para que entendáis. 262 00:17:43,640 --> 00:17:46,140 Bueno, siempre el mío, sobre todo, está formado por polígonos regulares. 263 00:17:46,319 --> 00:17:49,400 Y por tanto, todos sus vértices tienen las mismas aristas. 264 00:17:49,400 --> 00:17:52,619 Es decir, este vértice tiene tres aristas, este también, etc. 265 00:17:53,559 --> 00:17:54,960 Y regular es cuando no pasa eso. 266 00:17:55,099 --> 00:17:56,200 Por ejemplo, aquí, ¿qué pasa? 267 00:17:56,559 --> 00:17:59,519 Está formado por triángulos y también por rectángulos. 268 00:17:59,519 --> 00:18:01,700 rectángulo es un polígono no regular 269 00:18:01,700 --> 00:18:03,819 por lo tanto, si alguna de sus caras 270 00:18:03,819 --> 00:18:05,480 no es un polígono regular, irregular 271 00:18:05,480 --> 00:18:07,619 así que esto que sería una pirámide 272 00:18:07,619 --> 00:18:09,599 una especie de pirámide, pues ya 273 00:18:09,599 --> 00:18:10,680 no sería regular 274 00:18:10,680 --> 00:18:13,940 una pirámide, un tipo de prisma, etc 275 00:18:13,940 --> 00:18:15,220 claro, lo queremos 276 00:18:15,220 --> 00:18:17,740 entonces, aquí vemos los 5 tipos 277 00:18:17,740 --> 00:18:19,519 de poliedros regulares 278 00:18:19,519 --> 00:18:21,660 solo hay 5, está el de traedro 279 00:18:21,660 --> 00:18:23,559 que está formado por 4 280 00:18:23,559 --> 00:18:25,319 triángulos 281 00:18:25,319 --> 00:18:27,539 ¿vale? 4 triángulos 282 00:18:27,539 --> 00:18:29,619 equiláteros, para que sea regular 283 00:18:29,619 --> 00:18:31,539 el hexahedro está formado 284 00:18:31,539 --> 00:18:33,579 por 6 cuadrados 285 00:18:33,579 --> 00:18:34,700 ¿vale? 286 00:18:35,480 --> 00:18:37,500 el octahedro que está formado por 287 00:18:37,500 --> 00:18:39,480 ahí viene su nombre, por 8 288 00:18:39,480 --> 00:18:41,799 triángulos equiláteros, el dodecaedro 289 00:18:41,799 --> 00:18:44,039 que está formado por 12 pentágonos 290 00:18:44,039 --> 00:18:45,420 ¿veis? pentágonos regulares 291 00:18:45,420 --> 00:18:47,599 entonces, si os dais cuenta, este es 292 00:18:47,599 --> 00:18:49,680 el poliedro y aquí es como si abrimos 293 00:18:49,680 --> 00:18:51,539 ¿no? lo típico de formar una 294 00:18:51,539 --> 00:18:53,480 figura con, que os lo dan así 295 00:18:53,480 --> 00:18:55,220 medio montado, entonces tenéis que juntar 296 00:18:55,220 --> 00:18:57,500 pegando caras, y por último 297 00:18:57,500 --> 00:19:07,019 como helicosaedro, que es el más raro, que está formado por, ¿cuántos eran aquí? 20, creo, por 20 triángulos equilaterales. 298 00:19:08,680 --> 00:19:15,059 Entonces, en los poliedros regulares, solo en los regulares, se cumple la relación de Euler, que dice así. 299 00:19:15,460 --> 00:19:20,279 Dice que el número de caras más el número de vértices, es decir, ¿vale? Sabéis lo que son las caras, ¿no? 300 00:19:20,279 --> 00:19:26,900 Por ejemplo, aquí, el hexaedro tendría 6. El número de caras, que son 6, más el número de vértices, ¿vale? 301 00:19:26,900 --> 00:19:35,960 Número de vértices, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 6 más 8 son 14, es igual al número de aristas más 2. 302 00:19:36,720 --> 00:19:43,359 Número de aristas son como los lados, ¿no? 1, 2, 3, los lados del polígono que lo forman. 303 00:19:43,519 --> 00:19:51,319 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. 12 más 2, 14. 304 00:19:51,319 --> 00:19:56,119 6 caras más 8 vértices, 14 305 00:19:56,119 --> 00:19:58,819 es decir, 6 más 8 es igual a 12 más 2 306 00:19:58,819 --> 00:20:01,059 entonces, hay un ejercicio 307 00:20:01,059 --> 00:20:02,579 que es el 19 del libro 308 00:20:02,579 --> 00:20:04,319 de la página 118 309 00:20:04,319 --> 00:20:06,140 que lo tengo aquí 310 00:20:06,140 --> 00:20:08,119 entonces es de comprobar la relación de Euler 311 00:20:08,119 --> 00:20:10,619 en los 5 poliedros regulares 312 00:20:10,619 --> 00:20:12,859 entonces aquí tenéis todos el tetraedro, el hexaedro 313 00:20:12,859 --> 00:20:16,859 6 más 8 es igual a 12 más 2 314 00:20:16,859 --> 00:20:17,900 ¿por qué es? 315 00:20:18,380 --> 00:20:19,779 la relación de Euler dice así 316 00:20:19,779 --> 00:20:21,920 dice el número de caras 317 00:20:21,920 --> 00:20:24,079 más el número de vértices 318 00:20:24,079 --> 00:20:26,519 pues es v, es igual a el número de aristas 319 00:20:26,519 --> 00:20:28,220 más 2, siempre se cumple 320 00:20:28,220 --> 00:20:30,759 octaedro tiene 8 caras 321 00:20:30,759 --> 00:20:32,759 6 vértices y 2 aristas 322 00:20:32,759 --> 00:20:34,299 6 más 323 00:20:34,299 --> 00:20:36,539 8 más 6, 14 324 00:20:36,539 --> 00:20:38,680 es igual a 12 más 2, 14 325 00:20:38,680 --> 00:20:41,079 igual que el 2 decaedro 326 00:20:41,079 --> 00:20:41,599 y cosaedro 327 00:20:41,599 --> 00:20:43,019 hay una cosa 328 00:20:43,019 --> 00:20:46,039 no sé si se habrán dado cuenta 329 00:20:46,039 --> 00:20:48,980 que porque excepto el tetraedro 330 00:20:48,980 --> 00:20:54,019 el resto, son como dos parejas que son al revés 331 00:20:54,019 --> 00:20:57,579 me refiero, el número de caras y vértices, si os dais cuenta, es como que van al revés 332 00:20:57,579 --> 00:21:01,200 por ejemplo, quitando el tetraedro, el hexaedro y octaedro 333 00:21:01,200 --> 00:21:06,160 tiene exactamente al contrario de caras y vértices, el hexaedro 6 y 8 334 00:21:06,160 --> 00:21:08,279 por lo tanto, da 14 335 00:21:08,279 --> 00:21:12,880 y por lo tanto tiene las mismas aristas, porque tiene que dar 336 00:21:12,880 --> 00:21:17,660 12 más 2 tiene que ser 14, pasa lo mismo que con el dodecaedro 337 00:21:17,660 --> 00:21:28,559 y el icosaedro, que tienen, el dodecaedro tiene 12 y 20, ¿vale? Por lo tanto da 32, por lo tanto tiene que tener 30 aristas, 338 00:21:28,779 --> 00:21:34,079 y el icosaedro tiene al revés, 22 en vez de 12 y 20, por lo tanto tiene las mismas aristas. 339 00:21:34,200 --> 00:21:40,240 Si os dais cuenta, esaedro y octaedro tienen las mismas aristas, por lo tanto tienen sus caras y vértices intercambiados, 340 00:21:40,240 --> 00:21:42,400 y el dodecaedro y cosaedro 341 00:21:42,400 --> 00:21:44,380 igual, entre ellos 342 00:21:44,380 --> 00:21:46,180 pues son como esta pareja 343 00:21:46,180 --> 00:21:47,500 semejante 344 00:21:47,500 --> 00:21:50,680 ¿vale? esta pareja también semejante 345 00:21:50,680 --> 00:21:51,859 y luego el tetraedro va por libre 346 00:21:51,859 --> 00:21:54,759 que tiene 4 caras, 4 vértices y 6 aristas 347 00:21:54,759 --> 00:21:55,400 ¿no? 348 00:21:56,119 --> 00:21:58,140 si alguien se ha dado cuenta, es simplemente 349 00:21:58,140 --> 00:22:00,059 una anécdota 350 00:22:00,059 --> 00:22:02,519 ¿vale? no soy matemático, supongo que tiene 351 00:22:02,519 --> 00:22:04,599 una relación matemática, pero no voy a entrar 352 00:22:04,599 --> 00:22:04,880 en ella 353 00:22:04,880 --> 00:22:08,099 total, me refiero 354 00:22:08,099 --> 00:22:09,619 os va a dar igual 355 00:22:09,619 --> 00:22:11,559 simplemente por 356 00:22:11,559 --> 00:22:13,380 por si alguien 357 00:22:13,380 --> 00:22:14,380 pues la había anotado 358 00:22:14,380 --> 00:22:14,579 ¿no? 359 00:22:14,880 --> 00:22:15,880 había alguna relación 360 00:22:15,880 --> 00:22:16,119 ¿no? 361 00:22:16,119 --> 00:22:16,880 entre el número de aristas 362 00:22:16,880 --> 00:22:17,880 que eran iguales entre estos 363 00:22:17,880 --> 00:22:18,420 y aquí 364 00:22:18,420 --> 00:22:19,460 etcétera 365 00:22:19,460 --> 00:22:20,400 bueno 366 00:22:20,400 --> 00:22:21,279 entonces simplemente esto 367 00:22:21,279 --> 00:22:22,400 como esto lo tengo escaneado 368 00:22:22,400 --> 00:22:22,880 entonces 369 00:22:22,880 --> 00:22:24,339 lo que quiero es que la clase de hoy 370 00:22:24,339 --> 00:22:25,099 no dure tanto 371 00:22:25,099 --> 00:22:26,220 entonces por eso 372 00:22:26,220 --> 00:22:28,079 me he hecho los ejercicios antes 373 00:22:28,079 --> 00:22:28,700 ¿vale? 374 00:22:30,079 --> 00:22:30,559 y 375 00:22:30,559 --> 00:22:32,059 los he escaneado 376 00:22:32,059 --> 00:22:33,440 y así 377 00:22:33,440 --> 00:22:34,400 no pierdo tanto tiempo 378 00:22:34,400 --> 00:22:35,440 escribiendo 379 00:22:35,440 --> 00:22:36,380 y aparte 380 00:22:36,380 --> 00:22:37,099 se entiende mejor 381 00:22:37,099 --> 00:22:37,680 mi letra 382 00:22:37,680 --> 00:22:38,400 aquí 383 00:22:38,400 --> 00:22:39,160 que yo pienso 384 00:22:39,160 --> 00:22:43,200 que en la pizarra táctil esta, porque se escribe un poco más 385 00:22:43,200 --> 00:22:47,059 la sensibilidad mala con el lápiz táctil, etcétera 386 00:22:47,059 --> 00:22:51,039 aparte que mi letra no era la típica para que me pidieran 387 00:22:51,039 --> 00:22:53,740 apuntes, pero bueno, tampoco es la de un médico 388 00:22:53,740 --> 00:22:58,700 así que bueno, por lo menos yo creo que se suele entender aquí, entonces 389 00:22:58,700 --> 00:23:03,059 hemos visto ya los poliedros regulares 390 00:23:03,059 --> 00:23:06,420 pues ahora vamos a ver los irregulares, ¿vale? 391 00:23:06,420 --> 00:23:21,819 Que suelen verse dos, ¿vale? Los más comunes son el prisma y la pirámide, ¿vale? Entonces el prisma es un poliedro que tiene dos bases, ¿vale? Que las bases pueden ser pentágono, hexágono, etcétera, ¿vale? 392 00:23:21,819 --> 00:23:39,799 Pero tiene que ser dos bases y luego está formado por caras laterales que son normalmente rectángulos, ¿vale? 393 00:23:40,500 --> 00:23:51,099 Entonces son paralelogramos, es decir, son polígonos de cuatro lados, pero suelen ser rectángulos, ¿vale? 394 00:23:51,099 --> 00:23:59,000 Porque normalmente la altura es mayor que la altura del polígono en este caso, ¿vale? 395 00:23:59,259 --> 00:24:00,339 Entonces tiene esta forma. 396 00:24:01,039 --> 00:24:07,299 Ahora, la diferencia con, por así decirlo, con la pirámide es que la pirámide está formada por una sola base. 397 00:24:07,660 --> 00:24:08,859 Aquí hay dos, primera diferencia. 398 00:24:10,119 --> 00:24:13,119 Luego, esta base puede ser exactamente lo mismo que aquí. 399 00:24:13,240 --> 00:24:18,039 Es decir, puede ser un hexágono, puede ser un pentágono, puede ser un cuadrado, un rectángulo, etc. 400 00:24:18,039 --> 00:24:39,980 La diferencia es que las caras laterales, mientras que aquí eran rectangulares, o a lo mejor podían ser cuadradas, aquí sí o sí van a ser triangulares. ¿Por qué? Porque al tener una sola base, se van a juntar todas en un vértice, en un pico. Con lo cual, solo hay un polígono que junte una base con un pico, que es el triángulo. 401 00:24:39,980 --> 00:24:43,819 ¿vale? entonces esta es la forma de un prisma y esta es la forma de una pirámide 402 00:24:43,819 --> 00:24:46,960 supongo que la habéis visto alguna vez las formas, sobre todo la pirámide 403 00:24:46,960 --> 00:24:51,599 normalmente habéis visto las de Egipto que son pirámides 404 00:24:51,599 --> 00:24:54,720 que tienen una base cuadrada, entonces aquí tienes 405 00:24:54,720 --> 00:24:59,740 la pirámide que es un hexágono, o sea una base que es un hexágono, pero bueno, el concepto es igual 406 00:24:59,740 --> 00:25:03,900 ¿vale? entonces estos son los dos poliedros irregulares principales 407 00:25:03,900 --> 00:25:07,819 con lo cual cuando veamos ahora después las áreas y volúmenes 408 00:25:07,819 --> 00:25:10,980 La vamos a ver solo para estos poliedros. 409 00:25:11,859 --> 00:25:20,319 Para los poliedros regulares no se suele utilizar tanto porque, sobre todo, queremos adaptar un poquito las matemáticas a la actualidad, a la realidad. 410 00:25:21,319 --> 00:25:26,160 Y hay muchas más formas en la realidad, como prismas y como pirámides. 411 00:25:27,259 --> 00:25:32,839 Y luego vamos a ver, aparte, otros tres cuerpos, pero serían redondos. 412 00:25:32,960 --> 00:25:34,539 ¿Por qué? Porque tienen alguna circunferencia. 413 00:25:34,539 --> 00:25:38,559 entonces no serían polígonos como tal, es como polígono 414 00:25:38,559 --> 00:25:41,420 polígono está formado por recta, no por algo curvo 415 00:25:41,420 --> 00:25:46,559 si no sería figura circular, pues ahora parecido, en vez de polígono 416 00:25:46,559 --> 00:25:49,279 sería cuerpo de revolución o cuerpo redondo 417 00:25:49,279 --> 00:25:54,940 vale, entonces vamos a aprender a calcular áreas y volúmenes 418 00:25:54,940 --> 00:25:58,400 de, ¿por qué volúmenes? porque ahora estamos en 3D, con lo cual tenemos 419 00:25:58,400 --> 00:26:02,019 el 3D y dentro de eso el 2D, entonces vamos a calcular área 420 00:26:02,019 --> 00:26:05,400 y volumen de un prisma, de una pirámide 421 00:26:05,400 --> 00:26:09,579 y luego vamos a ver tres cuerpos redondos 422 00:26:09,579 --> 00:26:12,259 que son el cono, que es parecido a la pirámide 423 00:26:12,259 --> 00:26:14,259 lo único que la base es un círculo 424 00:26:14,259 --> 00:26:17,900 un círculo en vez de un hexágono, un pentágono o lo que sea 425 00:26:17,900 --> 00:26:20,779 y luego no tiene triángulos de cara 426 00:26:20,779 --> 00:26:22,180 sino que es redondeado todo 427 00:26:22,180 --> 00:26:25,859 luego vamos a ver el cilindro, que es parecido al prisma 428 00:26:25,859 --> 00:26:28,680 pero las bases son circulares 429 00:26:28,680 --> 00:26:33,940 Por lo tanto, los laterales van a ser también redondeados, van a ser curvos, no van a ser caras como tal. 430 00:26:34,720 --> 00:26:42,140 Y por último, pues tenemos la esfera, que es la más sencilla, que simplemente es como si fuera un círculo, pero un 3D, ¿no? 431 00:26:42,220 --> 00:26:47,440 Un círculo por otro círculo, por otro círculo, infinitos círculos que se van girando y al final forman una esfera. 432 00:26:48,819 --> 00:26:52,299 Que es la más fácil de calcular el área y el volumen. 433 00:26:52,460 --> 00:26:53,619 El más difícil es el cono. 434 00:26:54,359 --> 00:26:56,640 Por lo tanto, no creo que lo pregunten en el examen, pero tengo que verlo. 435 00:26:56,759 --> 00:26:57,779 Por lo menos la fórmula. 436 00:26:57,779 --> 00:27:00,660 vale, bueno esto es lo que acabo de decir 437 00:27:00,660 --> 00:27:01,960 el ejercicio 19 438 00:27:01,960 --> 00:27:03,880 así que vamos con eso 439 00:27:03,880 --> 00:27:06,119 tenemos 27 minutos, vamos a intentar 440 00:27:06,119 --> 00:27:08,519 dar esto en 15, 20 441 00:27:08,519 --> 00:27:09,680 con mucho y 442 00:27:09,680 --> 00:27:12,519 luego el apartado 10 así rápidamente 443 00:27:12,519 --> 00:27:13,640 bueno 444 00:27:13,640 --> 00:27:16,460 esto sí, esto sé que es lo que 445 00:27:16,460 --> 00:27:18,539 más os cuesta y lo más 446 00:27:18,539 --> 00:27:20,660 aburrido que es memorizar 447 00:27:20,660 --> 00:27:22,359 fórmulas, pero es que no hay otra forma 448 00:27:22,359 --> 00:27:23,920 vale 449 00:27:23,920 --> 00:27:26,500 entonces, primero vamos a ver 450 00:27:26,500 --> 00:27:31,539 el área de volumen de poliedros y posteriormente de cuerpos de revolución 451 00:27:31,539 --> 00:27:35,500 o cuerpos redondos. ¿Veis? Entonces, en cuanto haya 452 00:27:35,500 --> 00:27:39,240 alguna figura circular en vez de plana, 453 00:27:39,240 --> 00:27:43,180 o sea, en vez de polígono, una figura circular, pues ya estaríamos hablando de 454 00:27:43,180 --> 00:27:47,000 cuerpo redondo o de revolución en vez de poliedro. Cuidado, 455 00:27:47,440 --> 00:27:51,400 no todo lo que está en 3D es poliedro. Poliedro es cuando solo está formado por líneas rectas. 456 00:27:51,619 --> 00:27:55,359 Cuando haya una línea curva, ya sería cuerpo de revolución 457 00:27:55,359 --> 00:28:07,559 o cuerpo redondo, ¿vale? Pues está entre paréntesis. Bueno, empezamos por el primo en la pirámide. Bueno, para empezar hay que saber diferenciar entre lo que es el área lateral 458 00:28:07,559 --> 00:28:18,039 y el área de las bases, ¿vale? El área de las bases es muy sencilla, se calcula en función de la figura del polígono que tenga. En este caso, como es un hexágono, 459 00:28:18,039 --> 00:28:28,039 Sabéis que los hexágonos se calculaban que era perímetro por el apotema, que era desde el centro hasta la mitad de su lado, dividido entre dos, ¿no? Perímetro por apotema entre dos. 460 00:28:29,240 --> 00:28:40,359 ¿Vale? Y luego, el área lateral, claro, el área lateral en este caso es también según el polígono. ¿Cuál es el área lateral? El área lateral va a ser por altura. 461 00:28:40,359 --> 00:28:58,940 ¿Vale? Entonces, ¿qué podemos hacer? Podemos calcular el área del rectángulo y los otros 6 que hay, ¿no? 1, 2, 3, bueno, los otros 5 en total son 6. 1, 2, 3, 4, 5, de aquí en diagonal para atrás y de aquí en diagonal para adelante, 6. 462 00:28:58,940 --> 00:29:03,180 es calcular el área de este rectángulo y multiplicarlo por 6 463 00:29:03,180 --> 00:29:10,839 o podemos, con los lados estos, calcular el perímetro que va bordeando 464 00:29:10,839 --> 00:29:13,880 es decir, que se equivale al perímetro del hexágono 465 00:29:13,880 --> 00:29:21,960 calculamos su perímetro y luego decimos que el área lateral es el perímetro por la altura 466 00:29:21,960 --> 00:29:26,380 que es lo mismo que si calculamos el área del rectángulo y lo multiplicamos por 6 467 00:29:26,380 --> 00:29:29,440 porque el lado este es igual que este 468 00:29:29,440 --> 00:29:32,339 entonces es simplemente multiplicar este lado por 6 469 00:29:32,339 --> 00:29:34,400 exactamente lo mismo que haríamos 470 00:29:34,400 --> 00:29:38,359 si calculamos el área de esto 471 00:29:38,359 --> 00:29:39,819 y lo multiplicamos por 6 472 00:29:39,819 --> 00:29:43,480 lo único, cada uno como quiera 473 00:29:43,480 --> 00:29:45,799 es o aprenderse una fórmula más 474 00:29:45,799 --> 00:29:48,119 que es el perímetro de la base por la altura 475 00:29:48,119 --> 00:29:50,339 o como todo el mundo se sabe 476 00:29:50,339 --> 00:29:51,319 el área del rectángulo 477 00:29:51,319 --> 00:29:52,819 pues calculáis el área del rectángulo 478 00:29:52,819 --> 00:29:54,420 y lo multiplicáis por 6 porque hay 6 479 00:29:54,420 --> 00:29:55,779 si fuera la base un pentágono 480 00:29:55,779 --> 00:29:57,900 pues habría solo cinco rectángulos, etc. 481 00:29:58,940 --> 00:30:06,380 Vale, y ahora es importante, el área total del prisma será igual a el área del lateral, ¿vale? 482 00:30:07,599 --> 00:30:12,599 El área lateral más dos veces el área de la base, porque hay dos bases. 483 00:30:13,460 --> 00:30:16,700 Cuidado con esto, no es el área lateral más el área de la base, no. 484 00:30:17,140 --> 00:30:21,700 Es el área lateral más dos veces el área de la base, ¿vale? 485 00:30:22,299 --> 00:30:24,380 Entonces, ¿por qué el área lateral no lo multiplicamos? 486 00:30:24,380 --> 00:30:31,880 porque ya lo hemos multiplicado por 6, ¿vale? Si no lo hubierais multiplicado antes, pues sí que ponéis 6 veces el área lateral, ¿vale? 487 00:30:32,019 --> 00:30:39,180 Pero cuando decimos el área lateral, no nos referimos de un solo lateral, sino de todos los laterales conjuntos. En cambio de la base, solemos calcular de solo una base 488 00:30:39,180 --> 00:30:48,799 y luego lo multiplicamos por 2, ¿vale? Entonces, ¿cuál será la total? El área lateral, que es básicamente el rectángulo multiplicado por 6, o el perímetro por la altura, 489 00:30:48,799 --> 00:30:51,079 ¿vale? que es esta fórmula 490 00:30:51,079 --> 00:30:53,220 y el área de la base que es el área del rectángulo 491 00:30:53,220 --> 00:30:55,220 perímetro por apotema, no, perímetro de 492 00:30:55,220 --> 00:30:56,859 lo que es el 493 00:30:56,859 --> 00:30:58,440 polígono que sea la base 494 00:30:58,440 --> 00:31:01,079 por el apotema, ¿vale? que lo tiene que dar 495 00:31:01,079 --> 00:31:01,859 partido de 2 496 00:31:01,859 --> 00:31:04,759 ese será el área de la base, lo multiplicamos por 2 497 00:31:04,759 --> 00:31:06,680 y se lo sumamos al área lateral y nos sale 498 00:31:06,680 --> 00:31:08,819 el área total de 499 00:31:08,819 --> 00:31:11,700 el prisma, y luego el volumen es muy sencillo 500 00:31:11,700 --> 00:31:13,099 ¿vale? lo que más os va a costar es el área 501 00:31:13,099 --> 00:31:14,880 entonces los ejercicios que he visto del libro 502 00:31:14,880 --> 00:31:17,319 suelen preguntar volumen, pero ya aparte le he sumado el área 503 00:31:17,319 --> 00:31:22,880 A lo mejor aquí no está escrito, pero luego cuando lo suba, os lo voy a poner yo 504 00:31:22,880 --> 00:31:27,240 ¿Veis? Aquí calcula el volumen, no sé qué, pues va a ser el área y el volumen 505 00:31:27,240 --> 00:31:32,700 Sí que es verdad que, sobre todo en este, os tendría que dar otro dato 506 00:31:32,700 --> 00:31:35,299 El libro no os da ese dato porque, claro, para el volumen hace falta 507 00:31:35,299 --> 00:31:36,880 Pero si os pide el área, sí 508 00:31:36,880 --> 00:31:40,819 Entonces, yo si os lo preguntara en el examen y eso, o la tarea 509 00:31:40,819 --> 00:31:44,400 Sí que os daría un dato aquí que falta, que es el apotema lateral 510 00:31:44,400 --> 00:31:55,480 Entonces, básicamente este es el área y el volumen del prisma 511 00:31:55,480 --> 00:31:56,859 El volumen es muy sencillito 512 00:31:56,859 --> 00:32:00,940 Es el área de la base, que en este caso es un hexágono, por la altura 513 00:32:00,940 --> 00:32:01,740 Es muy fácil 514 00:32:01,740 --> 00:32:06,259 Es decir, coges esta base, su área, y lo multiplicas por la altura 515 00:32:06,259 --> 00:32:09,700 Entonces, es mucho más sencillo calcular el volumen que el área 516 00:32:09,700 --> 00:32:10,579 ¿Vale? 517 00:32:11,279 --> 00:32:15,880 Porque, sobre todo, para calcular el volumen muchas veces vamos a utilizar algún área 518 00:32:15,880 --> 00:32:21,920 de algún polígono que forman o la base o los lados, etcétera, para calcular el volumen. 519 00:32:22,160 --> 00:32:26,099 Entonces es como que hacemos todo el trabajo sucio, entre comillas, calculando el área 520 00:32:26,099 --> 00:32:28,539 para luego el volumen es simplemente una formulita de nada. 521 00:32:29,400 --> 00:32:30,539 ¿Vale? Y con la pirámide igual. 522 00:32:32,140 --> 00:32:36,259 ¿Vale? Para mí la pirámide es un poquito más difícil a lo mejor porque está la apotema lateral. 523 00:32:36,420 --> 00:32:36,839 ¿Qué es esto? 524 00:32:37,680 --> 00:32:47,079 La apotema lateral es como, por así decirlo, como si fuera la altura de la cara, que en este caso es un triángulo. 525 00:32:47,180 --> 00:32:51,319 Es como si cogemos este triángulo y es la altura de ese triángulo, que es la cara. 526 00:32:53,019 --> 00:32:56,180 Entonces, ¿cuál es la lateral aquí? Porque la de la base es muy fácil. 527 00:32:56,180 --> 00:33:02,799 Si es un cuadrado, pues es lado al cuadrado. Si es un rectángulo, pues es simplemente base por altura. 528 00:33:02,799 --> 00:33:05,759 Si es un pentágono, pues, perímetro por apotema entre 2. 529 00:33:05,880 --> 00:33:07,700 Y si es un hexágono, también, hectágono, etc. 530 00:33:08,039 --> 00:33:10,460 A partir de 4, ya sabéis, ¿no? 531 00:33:10,559 --> 00:33:13,420 De 5 en adelante, pues, es perímetro por apotema entre 2. 532 00:33:14,640 --> 00:33:14,960 ¿Vale? 533 00:33:14,980 --> 00:33:15,700 Porque tiene que ser regular. 534 00:33:17,920 --> 00:33:19,400 No, porque si no, no sabéis la fórmula, ¿no? 535 00:33:19,400 --> 00:33:23,039 Si es un polígono de 4 lados y no es regular, pues, no lo sabéis. 536 00:33:23,339 --> 00:33:24,259 No nos vamos a preguntar. 537 00:33:25,039 --> 00:33:25,160 ¿Vale? 538 00:33:25,799 --> 00:33:26,859 Seguramente haya alguno por ahí. 539 00:33:27,880 --> 00:33:29,099 Entonces, ¿cómo se calcula esto? 540 00:33:29,140 --> 00:33:30,900 El área de la base es muy sencilla, según el polígono. 541 00:33:30,900 --> 00:33:32,619 Y el área lateral lo difícil que es 542 00:33:32,619 --> 00:33:34,480 Perímetro de la base 543 00:33:34,480 --> 00:33:36,000 Por 544 00:33:36,000 --> 00:33:38,339 El apotema lateral 545 00:33:38,339 --> 00:33:39,880 Partido de 2 546 00:33:39,880 --> 00:33:41,640 Eso es aprenderse la fórmula 547 00:33:41,640 --> 00:33:43,240 Si no os aprendéis la fórmula 548 00:33:43,240 --> 00:33:45,019 Lo podéis hacer más sencillito 549 00:33:45,019 --> 00:33:48,680 Que es calcular el área del triángulo 550 00:33:48,680 --> 00:33:49,180 ¿No? 551 00:33:49,240 --> 00:33:51,019 Porque es la cara 552 00:33:51,019 --> 00:33:52,299 Y multiplicarla por 4 553 00:33:52,299 --> 00:33:54,220 Ahí eso estaría dentro 554 00:33:54,220 --> 00:33:55,420 Lo de multiplicar por 4 555 00:33:55,420 --> 00:33:57,000 Estaría incluido en lo del perímetro 556 00:33:57,000 --> 00:33:57,700 ¿No? 557 00:33:57,740 --> 00:33:58,740 Porque el perímetro que es 558 00:33:58,740 --> 00:34:00,220 Multiplicar esto por 4 559 00:34:00,220 --> 00:34:06,660 Pues es lo mismo que si multiplicamos, luego, al final, al calcular la base de esto, lo multiplicamos por 4. 560 00:34:07,140 --> 00:34:13,579 ¿Por qué lo mismo? ¿Por qué? Porque la apotema lateral es exactamente la altura, entonces, y el dividido de 2 viene también en la altura. 561 00:34:13,980 --> 00:34:23,300 ¿Por qué? Porque el área del triángulo, ¿sabéis qué es? Base por la altura, ¿no? Vamos a coger este triángulo, que es base por la altura, 562 00:34:23,300 --> 00:34:27,639 que equivale al apotema lateral de la pirámide, ¿vale? Pues eso es AL. 563 00:34:28,239 --> 00:34:31,280 A minúscula es apotema, se puede poner como A o como API. 564 00:34:32,380 --> 00:34:34,400 Y el A mayúscula es área, no las confundáis. 565 00:34:34,519 --> 00:34:37,679 Cuando veáis A minúscula es apotema, no área, ¿vale? 566 00:34:38,199 --> 00:34:42,519 ¿Veis? Aquí esto es área, área, área, apotema, ¿vale? 567 00:34:43,000 --> 00:34:46,199 Entonces, es como si cogéis el triángulo este, quitáis una cara 568 00:34:46,199 --> 00:34:49,219 y calculáis el área del triángulo y lo multipliquéis por 4, 569 00:34:49,300 --> 00:34:50,300 ¿por qué? Porque hay 4 triángulos. 570 00:34:51,039 --> 00:34:52,179 Si hubiera 5, pues por 5. 571 00:34:53,039 --> 00:34:54,880 Yo prefiero eso a aprenderos esta fórmula. 572 00:34:55,219 --> 00:34:56,980 La del volumen sí que la tenéis que aprender, sí o sí, ¿vale? 573 00:34:57,179 --> 00:34:59,280 Aprenderos siempre el área del volumen. 574 00:34:59,500 --> 00:35:09,739 Y yo diría simplemente que para calcular las áreas estas, las laterales y las de la base, os fijéis en lo que son las caras. 575 00:35:10,119 --> 00:35:19,280 Por ejemplo, aquí es simplemente el área total será dos veces el área de un hexágono y luego seis veces el área de este rectángulo. 576 00:35:20,480 --> 00:35:20,539 ¿Vale? 577 00:35:20,539 --> 00:35:23,500 es simplemente sumar el área de todos los polígonos 578 00:35:23,500 --> 00:35:25,420 es como un polígono complejo 579 00:35:25,420 --> 00:35:26,920 pero es súper complejo 580 00:35:26,920 --> 00:35:28,880 y aquí igual es como 581 00:35:28,880 --> 00:35:30,980 el área del triángulo por 4 582 00:35:30,980 --> 00:35:32,519 más 583 00:35:32,519 --> 00:35:35,179 el área de la base, es decir, el área del 584 00:35:35,179 --> 00:35:37,199 cuadrado en este caso, y el volumen es 585 00:35:37,199 --> 00:35:39,119 área de la base, que ya tenemos 586 00:35:39,119 --> 00:35:41,239 la del cuadrado, por altura 587 00:35:41,239 --> 00:35:43,079 partido de 3, muy sencillo 588 00:35:43,079 --> 00:35:45,079 entonces yo, mi recomendación en vez de 589 00:35:45,079 --> 00:35:46,099 aprenderos todo esto es 590 00:35:46,099 --> 00:35:49,000 el área es como, ¿os acordáis del 591 00:35:49,000 --> 00:35:53,079 perímetro en los polígonos, pues esto es semejante 592 00:35:53,079 --> 00:35:57,179 es sumar todas las áreas, el polígono era sumar todos los lados, pues aquí es sumar 593 00:35:57,179 --> 00:36:00,719 todas las áreas, esta área más esta área más las 6 áreas 594 00:36:00,719 --> 00:36:04,039 laterales, que es simplemente hacer la del rectángulo y multiplicarla por 6 595 00:36:04,039 --> 00:36:08,960 y aquí igual, esta más las 4 que son el área del triángulo 596 00:36:08,960 --> 00:36:13,039 y solo aprenderos la fórmula del volumen, yo haría eso para no 597 00:36:13,039 --> 00:36:16,639 mezclar tantas fórmulas y que os equivocáis, sobre todo 598 00:36:16,639 --> 00:36:18,880 En el prisma y pirámide 599 00:36:18,880 --> 00:36:21,539 En los cuerpos redondos ahora veremos que sí que lo vais a tener que aprender 600 00:36:21,539 --> 00:36:23,239 ¿Vale? Pero es muy sencillita 601 00:36:23,239 --> 00:36:25,119 ¿Vale? 602 00:36:25,880 --> 00:36:26,360 Entonces 603 00:36:26,360 --> 00:36:28,000 Siguiente 604 00:36:28,000 --> 00:36:30,460 ¿Vale? Vamos con los cuerpos redondos 605 00:36:30,460 --> 00:36:31,880 Tenemos cilindro, cono 606 00:36:31,880 --> 00:36:33,960 ¿Vale? Y esfera 607 00:36:33,960 --> 00:36:37,500 ¿Por qué vamos a estudiar estos cinco cuerpos geométricos? 608 00:36:37,559 --> 00:36:38,760 Porque son los que más 609 00:36:38,760 --> 00:36:40,079 Veis en la actualidad 610 00:36:40,079 --> 00:36:42,280 Veis muchos cilindros también, veis conos 611 00:36:42,280 --> 00:36:44,860 Caba el chiste fácil 612 00:36:44,860 --> 00:36:45,860 Con Arbeloa, pero no lo voy a decir 613 00:36:45,860 --> 00:36:48,619 luego también esfera, etcétera 614 00:36:48,619 --> 00:36:49,420 entonces 615 00:36:49,420 --> 00:36:52,599 vamos a estudiar sobre todo de cosas que veis 616 00:36:52,599 --> 00:36:54,340 por la calle, por ejemplo 617 00:36:54,340 --> 00:36:56,579 la esfera serían los típicos volardos que están 618 00:36:56,579 --> 00:36:58,880 en Madrid, etcétera 619 00:36:58,880 --> 00:37:00,760 o incluso los cilindros también 620 00:37:00,760 --> 00:37:02,699 esto, lo que hay para no pasar 621 00:37:02,699 --> 00:37:04,179 conos, pues 622 00:37:04,179 --> 00:37:05,519 tanto los que ponen 623 00:37:05,519 --> 00:37:08,860 en la calle, etcétera, pirámides, hay muchos 624 00:37:08,860 --> 00:37:09,800 por ejemplo hay una 625 00:37:09,800 --> 00:37:12,360 estación de Madrid, un barrio que es pirámides 626 00:37:12,360 --> 00:37:14,619 porque tienen un parque con estas esculturas 627 00:37:14,619 --> 00:37:16,260 Prismas, etcétera 628 00:37:16,260 --> 00:37:17,340 Entonces 629 00:37:17,340 --> 00:37:19,340 Vamos con el cilindro 630 00:37:19,340 --> 00:37:21,280 Esto hay que aprenderlo si es así 631 00:37:21,280 --> 00:37:24,219 El área de la base, claro, el área de la base ya la tenéis aprendida 632 00:37:24,219 --> 00:37:25,659 ¿Qué pasa con las bases? 633 00:37:26,320 --> 00:37:28,300 Es un círculo, ¿vale? 634 00:37:28,619 --> 00:37:29,619 Una circunferencia 635 00:37:29,619 --> 00:37:31,300 ¿Vale? Entonces 636 00:37:31,300 --> 00:37:34,059 Sabéis cuál es el área del círculo 637 00:37:34,059 --> 00:37:35,760 ¿No? Que es pi por n al cuadrado 638 00:37:35,760 --> 00:37:36,340 Pues ya está 639 00:37:36,340 --> 00:37:39,440 Es el área de la base por 2, porque tenéis dos círculos 640 00:37:39,440 --> 00:37:39,699 Entonces 641 00:37:39,699 --> 00:37:42,300 ¿El área total cuál será? 642 00:37:42,300 --> 00:37:44,900 el área del círculo por 2, porque tenéis 643 00:37:44,900 --> 00:37:46,179 dos bases, ¿no? dos círculos 644 00:37:46,179 --> 00:37:48,639 más el área lateral, y esta fórmula 645 00:37:48,639 --> 00:37:50,840 sí que la tenéis que aprender, el área lateral 646 00:37:50,840 --> 00:37:52,719 es simplemente esta fórmula, es 647 00:37:52,719 --> 00:37:53,980 parecida 648 00:37:53,980 --> 00:37:56,559 a la longitud del círculo 649 00:37:56,559 --> 00:37:58,699 o sea de la circunferencia, ¿vale? pues sabéis que 650 00:37:58,699 --> 00:38:00,440 área es para círculo, porque lo de dentro 651 00:38:00,440 --> 00:38:02,940 y longitud es para la circunferencia 652 00:38:02,940 --> 00:38:05,099 que es lo de fuera, ¿vale? pero si decís 653 00:38:05,099 --> 00:38:06,519 longitud del círculo no pasa nada 654 00:38:06,519 --> 00:38:08,739 ¿vale? acordaos que es longitud en vez de 655 00:38:08,739 --> 00:38:09,880 perímetro porque no tiene los dos 656 00:38:09,880 --> 00:38:17,559 Bueno, es una tontería, ¿no? Creo que lo pongo a mal si ponéis perímetro en vez de longitud, pero para ser exactos es simplemente eso. 657 00:38:18,400 --> 00:38:22,940 Entonces, aquí el área es como si fuera la del círculo, pero luego multiplicado por la altura. 658 00:38:23,119 --> 00:38:27,820 ¿Os acordáis que la longitud del círculo o la circunferencia es 2πr? 659 00:38:28,139 --> 00:38:33,380 Pues el área lateral es similar, pero luego hay que multiplicarlo por la altura. 660 00:38:33,480 --> 00:38:37,840 ¿Por qué? Porque es como si estuviera formado por infinitas circunferencias, ¿no? 661 00:38:37,840 --> 00:38:41,559 Entonces, hay que multiplicarla por la altura, ¿no? Para ver cuántas hay una encima de otra. 662 00:38:42,360 --> 00:38:43,179 Entonces, acordaos de eso. 663 00:38:44,139 --> 00:38:47,260 Entonces, el cilindro es mucho más sencillo al final que el prisma y la pirámide. 664 00:38:49,159 --> 00:38:54,340 Luego, está el cono que es, para mí, de los cuerpos redondos, de los tres cuerpos redondos, es el más difícil. 665 00:38:56,039 --> 00:39:02,119 Y no me gusta tanto. No creo que lo pregunte, sobre todo porque mezcla aquí el término generatriz, que como tal el libro no lo pone mucho. 666 00:39:02,119 --> 00:39:19,829 Vale, generatrices, esto es como básicamente el apotema, pero claro, no es apotema porque el apotema es a la mitad de un lado, entonces es como si fuera eso, pero con una superficie circular, una superficie redonda. 667 00:39:19,829 --> 00:39:42,570 No es como del vértice aquí hasta la parte esta de abajo, no en la altura porque la altura sería así en vertical, es que es parecido al apotema de la pirámide, pero claro, aquí como no hay lados como tal, ¿no? Porque aquí hay vértices, entonces en la mitad del lado es fácil, pero aquí como no hay vértices como tal, pues es semejante, ¿vale? 668 00:39:42,570 --> 00:39:45,789 no sé si se comprende 669 00:39:45,789 --> 00:39:46,030 entonces 670 00:39:46,030 --> 00:39:47,449 para no complicarlo a vida 671 00:39:47,449 --> 00:39:48,429 no lo voy a preguntar 672 00:39:48,429 --> 00:39:48,630 vale 673 00:39:48,630 --> 00:39:49,210 pero hay que darlo 674 00:39:49,210 --> 00:39:50,670 entonces el área de la base 675 00:39:50,670 --> 00:39:51,369 es muy sencillita 676 00:39:51,369 --> 00:39:51,610 vale 677 00:39:51,610 --> 00:39:52,449 pi por r al cuadrado 678 00:39:52,449 --> 00:39:53,190 porque también hay un círculo 679 00:39:53,190 --> 00:39:54,550 y solo habría uno 680 00:39:54,550 --> 00:39:54,989 por lo tal 681 00:39:54,989 --> 00:39:55,489 el área total 682 00:39:55,489 --> 00:39:55,949 será 683 00:39:55,949 --> 00:39:57,449 el de la de solo una base 684 00:39:57,449 --> 00:39:58,409 más el área lateral 685 00:39:58,409 --> 00:39:59,789 y aquí es donde viene la cosa 686 00:39:59,789 --> 00:40:00,690 el área lateral es 687 00:40:00,690 --> 00:40:02,050 pi por r 688 00:40:02,050 --> 00:40:03,550 por g 689 00:40:03,550 --> 00:40:04,949 vale 690 00:40:04,949 --> 00:40:06,130 por g que es la generatriz 691 00:40:06,130 --> 00:40:08,170 simplemente eso 692 00:40:08,170 --> 00:40:08,789 entonces el área total 693 00:40:08,789 --> 00:40:09,070 será 694 00:40:09,070 --> 00:40:10,070 la lateral 695 00:40:10,070 --> 00:40:10,650 más la de la base 696 00:40:10,650 --> 00:40:10,969 bueno 697 00:40:10,969 --> 00:40:14,329 lo importante aquí en estos dos es el volumen 698 00:40:14,329 --> 00:40:16,190 ¿vale? el volumen del cilindro 699 00:40:16,190 --> 00:40:18,170 es muy sencillo, es el área del círculo 700 00:40:18,170 --> 00:40:20,150 es decir, el área de la base por la altura 701 00:40:20,150 --> 00:40:21,969 y ya está, ¿no? porque es esto 702 00:40:21,969 --> 00:40:23,650 por la altura, es parecido a lo del prisma 703 00:40:23,650 --> 00:40:25,869 que es el área, ¿veis? el área de la base 704 00:40:25,869 --> 00:40:27,949 por la altura, ¿por qué es parecido? 705 00:40:28,110 --> 00:40:30,090 porque el prisma y el cilindro 706 00:40:30,090 --> 00:40:32,250 es que son cuerpos semejantes 707 00:40:32,250 --> 00:40:33,469 ¿veis? lo único que cambia es la base 708 00:40:33,469 --> 00:40:36,269 ¿vale? o sea, es decir, la base aquí es 709 00:40:36,269 --> 00:40:37,969 un polígono y aquí es 710 00:40:37,969 --> 00:40:39,869 una figura circular, ¿vale? 711 00:40:39,869 --> 00:40:41,010 Pero el concepto es similar. 712 00:40:41,210 --> 00:40:45,550 Entonces, claro, yo os he dicho que sobre todo os aprendáis los volúmenes, ¿no? 713 00:40:45,590 --> 00:40:50,210 El área, sobre todo aprenderla en los cuerpos redondos, ¿no? 714 00:40:50,329 --> 00:40:53,650 Porque no es como aquí que lo podéis hacer con las áreas de los polígonos. 715 00:40:54,710 --> 00:40:57,929 Entonces, si os dais cuenta, si os aprendéis el área del prisma, tenéis la del polígono. 716 00:40:58,590 --> 00:41:02,289 Si os aprendéis el área de la primámide, os aprendéis la del cono. 717 00:41:02,389 --> 00:41:02,570 ¿Por qué? 718 00:41:02,570 --> 00:41:03,909 Porque es semejante. 719 00:41:03,989 --> 00:41:08,989 Lo único que aquí tenemos de base un polígono, es decir, un polígono. 720 00:41:08,989 --> 00:41:10,369 un polígono 721 00:41:10,369 --> 00:41:14,010 y aquí tenemos una figura 722 00:41:14,010 --> 00:41:14,590 circular 723 00:41:14,590 --> 00:41:16,789 entonces es semejante 724 00:41:16,789 --> 00:41:19,590 el prisma es el primormano del cilindro 725 00:41:19,590 --> 00:41:21,949 y la pirámide es el primormano del cono 726 00:41:21,949 --> 00:41:24,190 con lo cual, porque se parecen las formas 727 00:41:24,190 --> 00:41:25,869 fijaros en las formas que son 728 00:41:25,869 --> 00:41:27,429 muy idénticas, lo único que 729 00:41:27,429 --> 00:41:29,150 estos dos tienen las bases redondeadas 730 00:41:29,150 --> 00:41:32,050 entonces, los volúmenes van a ser 731 00:41:32,050 --> 00:41:33,750 semejantes, entonces si os aprendéis 732 00:41:33,750 --> 00:41:36,110 el volumen del prisma, tenéis el del cilindro 733 00:41:36,110 --> 00:41:37,670 si os aprendéis el de la pirámide 734 00:41:37,670 --> 00:41:40,110 tenéis el del cono, entonces al final solo vais a tener que aprender 735 00:41:40,110 --> 00:41:42,110 tres volúmenes, el de la esfera 736 00:41:42,110 --> 00:41:44,409 el del cilindro o prisma 737 00:41:44,409 --> 00:41:46,610 y el del cono o pirámide 738 00:41:46,610 --> 00:41:47,789 tres volúmenes solo 739 00:41:47,789 --> 00:41:50,469 ¿vale? y luego algunas áreas 740 00:41:50,469 --> 00:41:51,489 el área del cilindro 741 00:41:51,489 --> 00:41:53,889 ¿vale? el área lateral sobre todo porque 742 00:41:53,889 --> 00:41:55,369 la de la base es una tontería 743 00:41:55,369 --> 00:41:58,250 y luego el área lateral del cono, aunque no creo 744 00:41:58,250 --> 00:42:00,010 que lo pregunte, pero bueno es pi r por g 745 00:42:00,010 --> 00:42:02,150 y el área 746 00:42:02,150 --> 00:42:02,969 al final de la esfera 747 00:42:02,969 --> 00:42:05,570 entonces vamos con ello 748 00:42:05,570 --> 00:42:07,349 el área de la esfera es 749 00:42:07,349 --> 00:42:09,730 4 pi por r al cuadrado. 750 00:42:10,909 --> 00:42:11,309 ¿Vale? 751 00:42:11,710 --> 00:42:13,869 Es como el área del círculo 752 00:42:13,869 --> 00:42:15,730 que era pi r al cuadrado, pero por 4. 753 00:42:17,170 --> 00:42:17,929 Por lo que sea. 754 00:42:18,429 --> 00:42:20,010 ¿Vale? Relación matemática tiene seguro, 755 00:42:20,150 --> 00:42:22,110 pero, sinceramente, 756 00:42:22,409 --> 00:42:24,130 como lo he dicho siempre, no soy matemático, 757 00:42:24,389 --> 00:42:25,929 yo me miro la clase, lo que tengo que dar, 758 00:42:25,929 --> 00:42:27,309 los conceptos y eso, pero no 759 00:42:27,309 --> 00:42:29,750 abundo más allá. O sea, yo soy sincero. 760 00:42:29,889 --> 00:42:32,210 O sea, es que no soy matemático. Digo, y no me voy a 761 00:42:32,210 --> 00:42:33,929 estar ahí buscando información 762 00:42:33,929 --> 00:42:35,650 de por qué es por 4 y no por 7. 763 00:42:35,650 --> 00:42:37,650 son conceptos matemáticos que 764 00:42:37,650 --> 00:42:39,369 a mí me da igual, me refiero 765 00:42:39,369 --> 00:42:41,670 yo, si es así 766 00:42:41,670 --> 00:42:44,010 sinceramente, a mí lo que me apasiona es la química 767 00:42:44,010 --> 00:42:45,690 yo matemáticas, porque lo doy 768 00:42:45,690 --> 00:42:47,510 intento prepararme lo mejor posible, pero claro 769 00:42:47,510 --> 00:42:48,590 cosas que 770 00:42:48,590 --> 00:42:51,510 de las que voy a examinar, no otras cosas 771 00:42:51,510 --> 00:42:52,389 ¿vale? 772 00:42:53,230 --> 00:42:55,289 si queréis así más 773 00:42:55,289 --> 00:42:58,070 cosas de matemáticas, peculiaridades 774 00:42:58,070 --> 00:42:59,869 pues, le preguntáis a un matemático 775 00:42:59,869 --> 00:43:01,929 básicamente eso 776 00:43:01,929 --> 00:43:02,969 o sea, es que yo soy sincero 777 00:43:02,969 --> 00:43:06,510 Entonces, el área es como si fuera el área del círculo, pero por 4 778 00:43:06,510 --> 00:43:08,869 ¿Vale? Imaginad que está formado por eso, que sí 779 00:43:08,869 --> 00:43:14,409 Aquí por un círculo, otro círculo que sería así para adelante y para atrás 780 00:43:14,409 --> 00:43:16,650 Otro en diagonal así y otro en diagonal así, y ya está 781 00:43:16,650 --> 00:43:19,269 Más o menos, para que entendáis 782 00:43:19,269 --> 00:43:22,309 Entonces, juntando estos 4 círculos forman la esfera 783 00:43:22,309 --> 00:43:23,789 Entonces, es el área del círculo por 4 784 00:43:23,789 --> 00:43:28,829 Y el volumen es 4 tercios, ¿vale? 785 00:43:29,550 --> 00:43:31,469 Por pi por r al cubo 786 00:43:31,469 --> 00:43:35,750 Claro, aquí ya esta fórmula no tiene nada en común con las otras. 787 00:43:36,389 --> 00:43:38,530 Entonces, ¿qué truco hay aquí? 788 00:43:39,030 --> 00:43:42,269 Claro, en el área, que salen metros cuadrados, centímetros cuadrados. 789 00:43:42,369 --> 00:43:42,570 ¿Por qué? 790 00:43:43,170 --> 00:43:45,530 Porque estamos hablando de áreas, ¿no? 791 00:43:45,550 --> 00:43:48,449 Sabéis, el área de los metros cuadrados que tiene un piso, por ejemplo. 792 00:43:48,989 --> 00:43:52,170 En cambio, en volumen, ya estamos hablando de metros cúbicos, centímetros cúbicos, etc. 793 00:43:52,349 --> 00:43:57,750 Entonces, mientras que aquí es R al cuadrado en el área, en el volumen es R al cubo. 794 00:43:57,750 --> 00:44:13,989 Y luego, como sigue siendo figura circular, pues tiene el pi. Y ahora, como os acordáis que os dije que como si la esfera estuviera formada por 4 círculos, pues tiene un 4. 795 00:44:15,289 --> 00:44:24,530 Pero por lo que sea, se divide entre 3. Entonces, al final, 4 tercios por pi por hora al cubo. Tampoco nos habría que decir por qué 4 tercios, sino 11 medios. 796 00:44:24,530 --> 00:44:26,789 vale, pero simplemente esta fórmula 797 00:44:26,789 --> 00:44:28,590 ya está, entonces 798 00:44:28,590 --> 00:44:30,369 los ejercicios son simplemente de calcular 799 00:44:30,369 --> 00:44:32,349 área-volumen de esto, entonces 800 00:44:32,349 --> 00:44:34,309 como lo tengo aquí preparado 801 00:44:34,309 --> 00:44:35,969 vale, pues 802 00:44:35,969 --> 00:44:37,730 están aquí, entonces 803 00:44:37,730 --> 00:44:40,389 os voy a hacer alguno y los otros 804 00:44:40,389 --> 00:44:42,690 pues 805 00:44:42,690 --> 00:44:44,489 os los subo, bueno, los voy a subir todos 806 00:44:44,489 --> 00:44:46,489 pero voy a intentar hacer estos 807 00:44:46,489 --> 00:44:48,710 en el menor tiempo posible, pues son 44 minutos 808 00:44:48,710 --> 00:44:49,949 no quiero que duren más de 50 809 00:44:49,949 --> 00:44:52,010 entonces aquí por ejemplo tenéis 810 00:44:52,010 --> 00:44:55,530 Vale, os dan, eso sí, los datos 811 00:44:55,530 --> 00:44:57,969 Os dan el apotema del hexágono, que es la base 812 00:44:57,969 --> 00:45:00,010 Y os dan el lado 813 00:45:00,010 --> 00:45:02,949 Pero como es regular, son 4 centímetros, 4, 4, etc 814 00:45:02,949 --> 00:45:04,889 Con lo cual, lo primero es el perímetro de la base 815 00:45:04,889 --> 00:45:06,369 6 por 4, ¿no? 816 00:45:06,369 --> 00:45:08,389 Porque 6 lados que tienen por 4, 24 centímetros 817 00:45:08,389 --> 00:45:09,670 ¿Por qué? 818 00:45:09,789 --> 00:45:12,070 Porque el área de la base será igual a 819 00:45:12,070 --> 00:45:14,070 El área del hexágono, que es 820 00:45:14,070 --> 00:45:16,190 Perímetro por apotema, entre 2 821 00:45:16,190 --> 00:45:18,909 30 centímetros cuadrados mide el área de la base 822 00:45:18,909 --> 00:45:20,550 Luego, el área lateral 823 00:45:20,550 --> 00:45:22,010 este caso es 824 00:45:22,010 --> 00:45:24,789 perímetro de la base por la altura 825 00:45:24,789 --> 00:45:26,750 que es la fórmula que 826 00:45:26,750 --> 00:45:28,329 había para aprenderse 827 00:45:28,329 --> 00:45:29,750 esa o 828 00:45:29,750 --> 00:45:32,730 que esto da 120 centímetros 829 00:45:32,730 --> 00:45:33,969 cuadrados o también 830 00:45:33,969 --> 00:45:36,789 podéis hacer el área del 831 00:45:36,789 --> 00:45:38,610 rectángulo y multiplicarlo por 6 porque 832 00:45:38,610 --> 00:45:39,710 tiene 6 rectángulos 833 00:45:39,710 --> 00:45:41,630 la área es base por altura 834 00:45:41,630 --> 00:45:44,710 4 de base por 5 835 00:45:44,710 --> 00:45:45,989 de altura, 4 por 5, 20 836 00:45:45,989 --> 00:45:48,610 20 por 6, 20 por 5 son 100 837 00:45:48,610 --> 00:45:59,369 más 20, 120. ¿Veis? Da lo mismo. Es aprenderse otra fórmula aparte del área que yo no recomiendo, sobre todo para el prisma y la pirámide, no os aprendáis nada de áreas. 838 00:46:00,050 --> 00:46:10,849 Las áreas son la suma de todos los polígonos que las forman. Esto está formado por 4 triángulos más un cuadrado. Pues hacéis, bueno, más un rectángulo, porque son 3 y 2. 839 00:46:10,849 --> 00:46:13,690 ya que esto está formado por dos hexágonos 840 00:46:13,690 --> 00:46:15,230 y seis 841 00:46:15,230 --> 00:46:17,210 rectángulos, con lo cual 842 00:46:17,210 --> 00:46:19,469 es la suma de las áreas de todos ellos 843 00:46:19,469 --> 00:46:21,269 entonces al final son 844 00:46:21,269 --> 00:46:23,289 120 más, ¿cuántos 845 00:46:23,289 --> 00:46:25,010 hexágonos tiene? 2, pues 846 00:46:25,010 --> 00:46:27,349 2 por 30, 60 847 00:46:27,349 --> 00:46:29,489 60 más 120, 180 848 00:46:29,489 --> 00:46:31,269 y el volumen es 849 00:46:31,269 --> 00:46:33,190 muy sencillo, es el área de la base, es decir 850 00:46:33,190 --> 00:46:35,309 el área del hexágono 851 00:46:35,309 --> 00:46:36,329 por la altura 852 00:46:36,329 --> 00:46:39,590 que es 30 por 5, 150 centímetros 853 00:46:39,590 --> 00:46:40,650 cúbicos 854 00:46:40,650 --> 00:46:44,289 centímetros cuadrados en el área, centímetros cúbicos o metros cúbicos 855 00:46:44,289 --> 00:46:46,469 dependiendo de la medida que os digan 856 00:46:46,469 --> 00:46:48,789 si es centímetro, pues es centímetro por centímetro por centímetro 857 00:46:48,789 --> 00:46:50,590 centímetro al cubo 858 00:46:50,590 --> 00:46:52,869 es como 2 por 2 por 2, 2 al cubo 859 00:46:52,869 --> 00:46:55,710 no solo los números se pueden elevar a potencias 860 00:46:55,710 --> 00:46:56,929 también las unidades 861 00:46:56,929 --> 00:47:01,630 igual que cuando vimos la aceleración era metros partido segundo al cuadrado 862 00:47:01,630 --> 00:47:06,190 bueno, entonces no sé si os habéis dado cuenta 863 00:47:06,190 --> 00:47:08,289 que este número es más pequeño que este 864 00:47:08,289 --> 00:47:19,409 Puede ser. Porque las unidades son distintas. ¿Vale? ¿Qué pasa? Un centímetro cúbico equivale a 10 centímetros cuadrados. ¿No? Porque es un salto más todavía. 865 00:47:19,409 --> 00:47:32,210 Porque sabéis que de centímetro cuadrado a decímetro cuadrado van 10.000, bueno, van 100, o sea, es un salto de, son dos saltos, son dos ceros. 866 00:47:33,670 --> 00:47:38,610 Un centímetro, o mejor dicho, un decímetro cuadrado son 100 centímetros cuadrados. 867 00:47:39,150 --> 00:47:43,989 En cambio, de decímetro cúbico a centímetro cúbico van 1.000, van tres pasos. 868 00:47:43,989 --> 00:47:52,769 Entonces, aunque esto sea 150, si lo pasáramos al cuadrado, entre comillas, serían 1500, ¿vale? 869 00:47:52,769 --> 00:47:57,750 Entonces sería mayor al final, porque la unidad es esta, es mayor que esta, ¿no? 870 00:47:57,889 --> 00:48:00,869 Es como mirar en pasos, que tiene que ir de una cosa a otra. 871 00:48:01,369 --> 00:48:02,929 Pero bueno, es simplemente una curiosidad. 872 00:48:03,230 --> 00:48:04,190 No quiero que os liéis, ¿vale? 873 00:48:04,190 --> 00:48:05,570 Si os vais a liar, no he dicho nada. 874 00:48:06,869 --> 00:48:08,110 Y luego estaría el 21. 875 00:48:09,010 --> 00:48:10,170 Claro, ¿qué pasa aquí? 876 00:48:10,170 --> 00:48:13,409 Que como solo pedían el volumen, que el volumen es simplemente el área de la base, 877 00:48:13,409 --> 00:48:15,469 que es una tontería, por la altura 878 00:48:15,469 --> 00:48:16,130 partido de 3 879 00:48:16,130 --> 00:48:19,849 os dan los lados del rectángulo 880 00:48:19,849 --> 00:48:20,550 3 por 2 881 00:48:20,550 --> 00:48:22,389 y la altura que es 6 882 00:48:22,389 --> 00:48:24,969 la base que es 3 por 2, 6 883 00:48:24,969 --> 00:48:27,510 6 por 6 entre 3, el volumen es muy fácil 884 00:48:27,510 --> 00:48:28,809 12 centímetros cúbicos 885 00:48:28,809 --> 00:48:31,610 pero como quería yo que también os acostumbráis 886 00:48:31,610 --> 00:48:32,449 a calcular las áreas 887 00:48:32,449 --> 00:48:35,469 pues claro, falta aquí el dato 888 00:48:35,469 --> 00:48:37,090 del apotema 889 00:48:37,090 --> 00:48:39,090 de la pirámide, o lo que es lo mismo 890 00:48:39,090 --> 00:48:40,730 la altura del triángulo 891 00:48:40,730 --> 00:48:41,949 entonces 892 00:48:41,949 --> 00:48:44,750 pues lo he sacado por pitágoras 893 00:48:44,750 --> 00:48:46,010 si esto es 6 894 00:48:46,010 --> 00:48:47,769 por la altura de estos 6 895 00:48:47,769 --> 00:48:49,550 es como si dentro de aquí hay un triángulo así 896 00:48:49,550 --> 00:48:51,710 entonces como que 897 00:48:51,710 --> 00:48:53,269 la altura de estos 6 898 00:48:53,269 --> 00:48:54,769 esto será la mitad de 3 899 00:48:54,769 --> 00:48:56,329 1,5 900 00:48:56,329 --> 00:48:57,650 pues ¿cuánto es la apotema? 901 00:48:57,690 --> 00:48:59,289 la apotema es como la hipotenusa 902 00:48:59,289 --> 00:49:00,969 la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de 903 00:49:00,969 --> 00:49:02,309 esto al cuadrado más esto al cuadrado 904 00:49:02,309 --> 00:49:03,170 claro 905 00:49:03,170 --> 00:49:04,510 lo que pasa 906 00:49:04,510 --> 00:49:06,710 que aquí he hecho una aproximación 907 00:49:06,710 --> 00:49:07,489 claro 908 00:49:07,489 --> 00:49:09,550 tendría que calcular 909 00:49:09,550 --> 00:49:11,590 otro triángulo 910 00:49:11,590 --> 00:49:13,329 con el 911 00:49:13,329 --> 00:49:15,090 este lo he hecho con 912 00:49:15,090 --> 00:49:17,150 1,5 centímetros aquí 913 00:49:17,150 --> 00:49:18,530 pero que pasa, también tendría que hacer uno 914 00:49:18,530 --> 00:49:21,309 tirando por ejemplo el triángulo aquí para adelante, ¿por qué? 915 00:49:21,929 --> 00:49:23,590 porque al ser la base 916 00:49:23,590 --> 00:49:25,130 un rectángulo en vez de un cuadrado 917 00:49:25,130 --> 00:49:26,710 claro, tenemos 918 00:49:26,710 --> 00:49:29,329 aquí dos apotemas 919 00:49:29,329 --> 00:49:31,469 que son más grandes 920 00:49:31,469 --> 00:49:33,329 que las dos apotemas 921 00:49:33,329 --> 00:49:34,849 de delante y de atrás, porque ahora 922 00:49:34,849 --> 00:49:37,670 la mitad de esto es 1, no 1,5 923 00:49:37,670 --> 00:49:39,429 no sé si me entendéis, entonces he hecho una aproximación 924 00:49:39,429 --> 00:49:41,510 esto sobre todo tenéis que hacer para cuando 925 00:49:41,510 --> 00:49:46,909 la base es cuadrada. Entonces, como sólo quería enseñaros de que se puede sacar el 926 00:49:46,909 --> 00:49:51,230 apotema sin que lo den, dando la altura a la pirámide, pues por eso lo he dejado así 927 00:49:51,230 --> 00:49:58,250 aproximando. Pero para que veáis, os he aproximado que este apotema de la derecha y la izquierda 928 00:49:58,250 --> 00:50:02,489 es lo mismo que la cara de delante y de atrás de la pirámide. Cuando no es así, porque 929 00:50:02,489 --> 00:50:07,230 aquí hay una diferencia de centímetros. Pero nada, es una tontería porque os dais 930 00:50:07,230 --> 00:50:11,489 cuenta que si la altura son 6, esto son 6,2, la diferencia entre esto y esto va a 931 00:50:11,489 --> 00:50:13,469 ser una tontería. A lo mejor es de 6,2 932 00:50:13,469 --> 00:50:15,489 a 6,3. Entonces no se nota mucha diferencia. 933 00:50:16,289 --> 00:50:17,769 ¿Vale? Solo quería mostraros 934 00:50:17,769 --> 00:50:19,449 cómo se puede calcular 935 00:50:19,449 --> 00:50:21,349 el apotema 936 00:50:21,349 --> 00:50:23,110 de la pirámide o 937 00:50:23,110 --> 00:50:25,449 la altura del triángulo, 938 00:50:25,570 --> 00:50:26,570 que es básicamente pitágoras. 939 00:50:27,630 --> 00:50:29,610 ¿Vale? Entonces, si yo lo preguntara 940 00:50:29,610 --> 00:50:31,510 el área y el volumen, os daría 941 00:50:31,510 --> 00:50:33,389 este apotema de la pirámide. 942 00:50:34,050 --> 00:50:35,510 O os diría el apotema 943 00:50:35,510 --> 00:50:37,190 de la cara, que es un triángulo. 944 00:50:37,650 --> 00:50:38,829 Os daría la altura, 945 00:50:39,030 --> 00:50:41,250 perdón, el apotema, la altura del triángulo. 946 00:50:41,489 --> 00:50:44,670 Daría la altura del prisma y del triángulo. 947 00:50:44,769 --> 00:50:52,210 Lo que pasa es que, para no liaros entre las alturas, os pondría el apotema lateral, que es equivalente a la altura del triángulo. 948 00:50:52,989 --> 00:50:53,110 ¿Vale? 949 00:50:53,710 --> 00:50:54,750 Os daría el dato. 950 00:50:55,769 --> 00:50:56,150 Y ya está. 951 00:50:56,630 --> 00:50:58,510 El área lateral es... 952 00:50:58,510 --> 00:50:58,969 ¿Os acordáis? 953 00:50:59,230 --> 00:51:03,489 Lo que voy a hacer es calcular las áreas de los triángulos, que es base por la altura. 954 00:51:03,949 --> 00:51:07,050 La altura del triángulo es el apotema lateral de la pirámide. 955 00:51:07,050 --> 00:51:09,409 con lo cual sería 956 00:51:09,409 --> 00:51:10,610 esto por 957 00:51:10,610 --> 00:51:11,489 6 por 2 958 00:51:11,489 --> 00:51:12,650 6 por 2 959 00:51:12,650 --> 00:51:14,269 por 2 960 00:51:14,269 --> 00:51:14,969 dividido entre 2 961 00:51:14,969 --> 00:51:16,190 con lo cual es 6 por 2 962 00:51:16,190 --> 00:51:17,769 esto por 4 963 00:51:17,769 --> 00:51:19,050 6 por 2 por 4 964 00:51:19,050 --> 00:51:20,769 pues nos tiene que dar 965 00:51:20,769 --> 00:51:21,570 aproximadamente 966 00:51:21,570 --> 00:51:23,110 31 centímetros cuadrados 967 00:51:23,110 --> 00:51:24,030 ¿vale? 968 00:51:24,929 --> 00:51:25,409 básicamente 969 00:51:25,409 --> 00:51:25,909 bueno 970 00:51:25,909 --> 00:51:26,710 cuidado 971 00:51:26,710 --> 00:51:28,570 no porque este triángulo 972 00:51:28,570 --> 00:51:29,289 es distinto a este 973 00:51:29,289 --> 00:51:30,510 sería este por 2 974 00:51:30,510 --> 00:51:31,690 y luego con el otro apotema 975 00:51:31,690 --> 00:51:32,670 este por 2 976 00:51:32,670 --> 00:51:34,409 es complicarse la vida 977 00:51:34,409 --> 00:51:35,170 ¿vale? 978 00:51:35,570 --> 00:51:35,989 entonces 979 00:51:35,989 --> 00:51:45,230 Entonces si os pongo una pirámide así será en vez de rectangular cuadrada o os tendré que dar el apotema, si o si, o los apotemas, ¿vale? 980 00:51:45,829 --> 00:51:47,389 Entonces no creo que os complique la vida. 981 00:51:48,369 --> 00:51:50,710 Yo lo haría con los triángulos, ¿vale? 982 00:51:51,429 --> 00:51:58,650 Y os pondría a lo mejor una base cuadrada o de un polígono regular, es decir, un pentágono, hexágono, un cuadrado, pero no un rectángulo. 983 00:51:59,909 --> 00:52:00,309 ¿Vale? 984 00:52:00,309 --> 00:52:06,610 Y luego aquí la esfera y el cilindro son muy fáciles, sobre todo la esfera es muy fácil y el cilindro, ¿vale? 985 00:52:06,829 --> 00:52:10,809 No hay que calcular ni área lateral ni nada, simplemente una fórmula para el área y para el volumen 986 00:52:10,809 --> 00:52:13,909 Y aquí es el área lateral, 2 pi r por h, ¿vale? 987 00:52:13,929 --> 00:52:18,630 Acordaos que es como la del círculo pero multiplicada por la altura porque hay muchos círculos así puestos uno encima de otro 988 00:52:18,630 --> 00:52:20,369 Y la de la base es la del círculo 989 00:52:20,369 --> 00:52:25,269 Entonces la de la total es la de la lateral más dos veces la de la base, ¿por qué? 990 00:52:25,329 --> 00:52:25,949 Porque tiene dos bases 991 00:52:25,949 --> 00:52:28,849 Y el volumen pues es la de la base por la altura 992 00:52:28,849 --> 00:52:30,289 exactamente la del prisma 993 00:52:30,289 --> 00:52:31,730 porque son semejantes, ¿veis? 994 00:52:32,190 --> 00:52:34,809 entonces el cono no lo he puesto porque como es el cuerpo 995 00:52:34,809 --> 00:52:36,070 así más difícil de calcular 996 00:52:36,070 --> 00:52:38,809 o más lioso, mejor dicho, por la generatriz 997 00:52:38,809 --> 00:52:40,829 pues no lo he puesto, ¿vale? 998 00:52:40,849 --> 00:52:42,530 así que en el examen no creo que lo ponga, ni la tarea 999 00:52:42,530 --> 00:52:44,150 ¿vale? 1000 00:52:44,909 --> 00:52:46,190 que podría ponerlo porque entra 1001 00:52:46,190 --> 00:52:48,409 dentro del libro, pero no me gusta 1002 00:52:48,409 --> 00:52:50,250 como soy el profesor, pues hago lo que quiero 1003 00:52:50,250 --> 00:52:52,050 dentro de lo que puedo, ¿vale? 1004 00:52:52,050 --> 00:52:53,550 o sea, dentro de lo que se os pregunta 1005 00:52:53,550 --> 00:52:56,170 simplemente si hay una cosa que no quiero, pues no lo pongo 1006 00:52:56,170 --> 00:52:58,550 porque pienso que hay 1007 00:52:58,550 --> 00:53:00,510 bastante más, no hay otros cuerpos 1008 00:53:00,510 --> 00:53:02,409 otros cuatro cuerpos geométricos 1009 00:53:02,409 --> 00:53:03,349 que me gustan más y ya está 1010 00:53:03,349 --> 00:53:05,150 bueno 1011 00:53:05,150 --> 00:53:08,809 entonces, esto luego lo subiré 1012 00:53:08,809 --> 00:53:10,510 ¿vale? cualquier duda pues sabéis 1013 00:53:10,510 --> 00:53:12,469 que tenemos tutoría los jueves 1014 00:53:12,469 --> 00:53:14,530 a las 6, me podéis preguntar de matemática lo que queráis 1015 00:53:14,530 --> 00:53:16,150 o por correo, aunque 1016 00:53:16,150 --> 00:53:18,329 una duda de matemática por correo 1017 00:53:18,329 --> 00:53:20,190 es más difícil responderla en un escrita 1018 00:53:20,190 --> 00:53:22,150 normalmente en persona 1019 00:53:22,150 --> 00:53:23,309 es más fácil 1020 00:53:23,309 --> 00:53:25,570 o también los miércoles podéis venir 1021 00:53:25,570 --> 00:53:29,190 de 7 a 8 con la clase de mates, o si tienes alguna duda de ciencias, pues de 8 a 9 1022 00:53:29,190 --> 00:53:30,409 bueno 1023 00:53:30,409 --> 00:53:35,210 aunque ciencias es más 1024 00:53:35,210 --> 00:53:40,670 estudiar un poquito, memorizar, y también es más fácil memorizar 1025 00:53:40,670 --> 00:53:44,690 cuando entendéis los conceptos, entonces yo en la clase intento que entendáis los conceptos 1026 00:53:44,690 --> 00:53:48,730 para que sea más fácil memorizarlo, ¿vale? sabéis que el examen de ciencias 1027 00:53:48,730 --> 00:53:52,329 es tipo test, el de matemáticas, no, estoy hablando de ciencias, matemáticas 1028 00:53:52,329 --> 00:53:55,110 son problemas como tal, pero en ciencias 1029 00:53:55,110 --> 00:53:56,250 porque también tenéis ciencias 1030 00:53:56,250 --> 00:53:59,170 y puedo hablar, porque soy vuestro profesor, que es la clase que tenemos después 1031 00:53:59,170 --> 00:54:00,510 pues 1032 00:54:00,510 --> 00:54:02,469 el examen, ya os digo que 1033 00:54:02,469 --> 00:54:04,610 no lo estoy pensando, pero yo creo que va a ser 1034 00:54:04,610 --> 00:54:06,250 o todo tipo test 1035 00:54:06,250 --> 00:54:08,730 o tipo test y algo de verdadero y falso 1036 00:54:08,730 --> 00:54:10,789 no lo sé, de verdadero y falso 1037 00:54:10,789 --> 00:54:12,949 y aparte de ser falso, tenéis que tachar 1038 00:54:12,949 --> 00:54:14,250 lo que sea falso y ponerlo verdadero 1039 00:54:14,250 --> 00:54:16,349 no lo sé, entonces 1040 00:54:16,349 --> 00:54:18,929 en función de cómo sea la tarea 1041 00:54:18,929 --> 00:54:20,949 lo pondré así, si la tarea es 1042 00:54:20,949 --> 00:54:22,929 todo tipo test, pues 1043 00:54:22,929 --> 00:54:24,530 será así. Y si la tarea es 1044 00:54:24,530 --> 00:54:25,309 de 1045 00:54:25,309 --> 00:54:28,809 verdad y falso y de 1046 00:54:28,809 --> 00:54:30,989 que me cambies lo que está mal 1047 00:54:30,989 --> 00:54:32,909 porque normalmente la verdad y falso, solo hay 1048 00:54:32,909 --> 00:54:34,150 una palabra que está mal, ¿no? 1049 00:54:34,809 --> 00:54:36,929 Por ejemplo, a lo mejor os pongo una definición y aquí vale 1050 00:54:36,929 --> 00:54:38,809 en vez de una palabra, otra. Entonces me tacháis esa palabra 1051 00:54:38,809 --> 00:54:40,269 y me ponéis la que está bien, etc. 1052 00:54:41,190 --> 00:54:42,829 Pero bueno, eso lo hablaré ya luego 1053 00:54:42,829 --> 00:54:44,489 en repaso para 1054 00:54:44,489 --> 00:54:46,969 el día antes del examen, 1055 00:54:47,230 --> 00:54:48,449 pues, o sea, la semana antes, pues 1056 00:54:48,449 --> 00:54:50,210 en el repaso lo hablaré. 1057 00:54:50,210 --> 00:54:57,449 Entonces, 54 minutos y me falta poder una cosa. Es que al final me enrollo hablando y no paro. Pero bueno, esto va muy rápido. 1058 00:54:58,210 --> 00:55:06,130 Punto 10. Planos de simetría de un poliedro en el espacio. Bueno, simplemente tenéis que saber que un plano de simetría es como una recta de simetría. 1059 00:55:06,210 --> 00:55:13,329 Lo que pasa es que el eje de simetría, que era una recta, dividía un polígono en dos partes iguales. Pues esto es igual, pero en 3D. 1060 00:55:13,329 --> 00:55:31,449 Es un plano que divide en dos partes iguales un poliedro y muy importante, aparte de dividirlo en partes iguales, que se ha juntado aparte con partes, además de dividirlo en partes iguales, 1061 00:55:31,449 --> 00:55:37,670 Estas partes en las que son divididas tienen que ser imágenes especulares. 1062 00:55:38,070 --> 00:55:48,929 Es decir, este plano divide, en este caso el poliedro este, en una parte que es arriba y otra parte debajo. 1063 00:55:49,769 --> 00:55:54,170 Y estas dos son imágenes especulares, como si ponemos aquí un espejo y el reflejo de esta es esta. 1064 00:55:54,170 --> 00:56:01,929 Pero en cambio, este plano, claro, divide este poliedro también en dos partes iguales 1065 00:56:01,929 --> 00:56:05,130 Pero el reflejo de esta no es esta 1066 00:56:05,130 --> 00:56:06,849 Porque si nosotros ponemos un espejo aquí 1067 00:56:06,849 --> 00:56:11,329 Claro, si os dais cuenta, este lado es más corto que este 1068 00:56:11,329 --> 00:56:13,869 Entonces el reflejo de este sería un lado más cortito 1069 00:56:13,869 --> 00:56:15,570 Sería así, hasta aquí 1070 00:56:15,570 --> 00:56:18,030 Porque estaría reflejado este lado así en diagonal 1071 00:56:18,030 --> 00:56:22,610 Y luego el reflejo de este sería un lado más largo 1072 00:56:22,610 --> 00:56:24,210 entonces al final el reflejo de esto sería 1073 00:56:24,210 --> 00:56:26,670 aquí, algo así 1074 00:56:26,670 --> 00:56:28,710 esto más largo y esto más cortito 1075 00:56:28,710 --> 00:56:29,710 ¿entendéis? 1076 00:56:30,670 --> 00:56:33,090 aparte de medir el plano en dos partes 1077 00:56:33,090 --> 00:56:34,590 iguales, el poliedro tiene que ser 1078 00:56:34,590 --> 00:56:36,110 imágenes especulares 1079 00:56:36,110 --> 00:56:38,150 como si ponemos un espejo, tiene que ser igual 1080 00:56:38,150 --> 00:56:39,849 entonces, ¿no? 1081 00:56:40,289 --> 00:56:42,730 haced la prueba, vuestras manos son imágenes especulares por ejemplo 1082 00:56:42,730 --> 00:56:44,469 entonces si nosotros ponemos un espejo aquí 1083 00:56:44,469 --> 00:56:47,130 aquí se tiene que reflejar un lado más largo 1084 00:56:47,130 --> 00:56:49,409 porque sería este, y aquí un lado más corto 1085 00:56:49,409 --> 00:56:50,610 con lo cual ocurre al revés 1086 00:56:50,610 --> 00:56:52,190 aquí está el largo y aquí el corto 1087 00:56:52,190 --> 00:56:55,849 entonces sí que lo dividen en dos pero no son imágenes especulares 1088 00:56:55,849 --> 00:56:58,309 tiene que pasar esas dos cosas, que lo dividan en dos partes iguales 1089 00:56:58,309 --> 00:57:01,849 y que las dos partes sean imágenes especulares 1090 00:57:01,849 --> 00:57:02,829 vistas en un espejo 1091 00:57:02,829 --> 00:57:03,750 ¿vale? 1092 00:57:04,610 --> 00:57:09,969 entonces, por ejemplo, ¿cuál es así el poliedro más perfecto en este sentido? 1093 00:57:10,269 --> 00:57:11,550 el cubo, ¿no? 1094 00:57:11,710 --> 00:57:14,269 el poliedro no es muy perfecto porque tiene seis caras iguales 1095 00:57:14,269 --> 00:57:15,710 ¿vale? 1096 00:57:16,289 --> 00:57:23,429 entonces, vamos a ver los planos de simetría de un poliedro 1097 00:57:23,429 --> 00:57:31,269 Entonces, hay dos tipos de planos de simetría. Están los que están paralelos a dos caras apuestas y los que pasan por dos aristas opuestas. 1098 00:57:33,329 --> 00:57:41,050 Entonces, un cubo tiene tres planos de simetría de los que son paralelos a dos caras apuestas. 1099 00:57:41,570 --> 00:57:50,969 Es decir, tenemos aquí dos caras apuestas, esta y la de atrás, pues es un plano que es paralelo a estas caras. 1100 00:57:53,019 --> 00:57:54,739 Voy a ver si me explico. 1101 00:57:55,000 --> 00:57:57,460 voy a empezar al principio 1102 00:57:57,460 --> 00:57:59,139 vale, aquí por ejemplo 1103 00:57:59,139 --> 00:58:01,199 tenemos la cara de arriba 1104 00:58:01,199 --> 00:58:03,239 y la cara de abajo, voy a ir en orden 1105 00:58:03,239 --> 00:58:05,420 porque si no os voy a liar, la cara de arriba y la de abajo 1106 00:58:05,420 --> 00:58:07,219 vale, pues 1107 00:58:07,219 --> 00:58:08,900 ¿no? veis como 1108 00:58:08,900 --> 00:58:11,039 van las caras que son así 1109 00:58:11,039 --> 00:58:13,139 pues este plano va 1110 00:58:13,139 --> 00:58:15,420 paralelo a estas caras porque no lo cortan 1111 00:58:15,420 --> 00:58:17,440 y veis que lo divide 1112 00:58:17,440 --> 00:58:19,360 justo en dos partes iguales 1113 00:58:19,360 --> 00:58:21,079 y especulares, entonces aquí tendríamos un plano 1114 00:58:21,079 --> 00:58:23,099 que divide estas dos caras opuestas 1115 00:58:23,099 --> 00:58:24,280 luego 1116 00:58:24,280 --> 00:58:28,019 Estas dos caras apuestas, derecha e izquierda 1117 00:58:28,019 --> 00:58:30,159 Sería este plano, así como si fuera vertical 1118 00:58:30,159 --> 00:58:32,119 Y luego tendríamos otro 1119 00:58:32,119 --> 00:58:35,280 Que sería así 1120 00:58:35,280 --> 00:58:38,539 Que divide la cara de delante y la de atrás 1121 00:58:38,539 --> 00:58:40,860 ¿Veis? Entonces tiene tres planos de simetría 1122 00:58:40,860 --> 00:58:42,599 Que son paralelos a caras opuestas 1123 00:58:42,599 --> 00:58:45,599 Y luego tendría seis planos de simetría 1124 00:58:45,599 --> 00:58:46,820 Que pasan por vértices opuestos 1125 00:58:46,820 --> 00:58:50,840 Es decir, pasan los vértices estos 1126 00:58:50,840 --> 00:58:52,820 Bueno, o más que los vértices son aristas 1127 00:58:52,820 --> 00:58:54,980 esta arista con esta que es la opuesta 1128 00:58:54,980 --> 00:58:56,239 entonces aquí tenemos un plano 1129 00:58:56,239 --> 00:58:58,539 esta con esta que sería este el 4 1130 00:58:58,539 --> 00:59:00,579 luego tendríamos también 1131 00:59:00,579 --> 00:59:02,599 las aristas de aquí 1132 00:59:02,599 --> 00:59:04,539 ¿vale? por ejemplo sería 1133 00:59:04,539 --> 00:59:06,019 esta de aquí con esta de aquí 1134 00:59:06,019 --> 00:59:07,920 luego también 1135 00:59:07,920 --> 00:59:10,320 serían 1136 00:59:10,320 --> 00:59:12,880 claro, luego también serían aristas 1137 00:59:12,880 --> 00:59:13,659 estas, es que 1138 00:59:13,659 --> 00:59:16,460 a ver, es que no quiero liaros mucho 1139 00:59:16,460 --> 00:59:18,460 porque al final me estoy haciendo yo también un lío 1140 00:59:18,460 --> 00:59:20,719 simplemente aquí lo que tenéis que 1141 00:59:20,719 --> 00:59:22,280 ver es que 1142 00:59:22,280 --> 00:59:27,059 plano de simetría paralelos a caras opuestas hay 3 en un cubo 1143 00:59:27,059 --> 00:59:30,239 vale, entonces en función del poliedro pues habrá más o menos 1144 00:59:30,239 --> 00:59:33,139 entonces tenéis que intentar buscar un poquito los planos, pero bueno 1145 00:59:33,139 --> 00:59:37,420 como con esto podéis tirarlo mucho tiempo no creo que os lo pregunten en el examen 1146 00:59:37,420 --> 00:59:42,260 vale, entonces plano de simetría que pasan por aristas opuestas hay 6 1147 00:59:42,260 --> 00:59:45,900 en el cubo, es decir, entre esta y esta hay una, vale, que sería esta 1148 00:59:45,900 --> 00:59:49,719 entre esta y esta la que acabo de decir, luego serían 1149 00:59:49,719 --> 01:00:04,960 Aquí tenemos unos vértices y unas aristas, ¿vale? Entonces pasa justo por ahí, ¿vale? Este que pasaría por aquí, luego este que sería, claro, como es que no me podéis ver las manos, este sería como así en diagonal para acá, que sería este, y así en diagonal para allá. 1150 01:00:04,960 --> 01:00:08,440 pero bueno, es un poco lioso, entonces aquí tenéis un ejercicio 1151 01:00:08,440 --> 01:00:11,659 que primero es clasificar si el poliedro es cóncavo y convexo 1152 01:00:11,659 --> 01:00:14,280 acordaos, cóncavo es 1153 01:00:14,280 --> 01:00:16,480 que no se puede apoyar en alguno de sus lados 1154 01:00:16,480 --> 01:00:19,739 y convexo que sí, entonces los dos estos son convexos 1155 01:00:19,739 --> 01:00:22,980 porque tú puedes tirar la T así, la empujas 1156 01:00:22,980 --> 01:00:26,280 y se puede apoyar, se puede apoyar también por aquí 1157 01:00:26,280 --> 01:00:29,440 etcétera, bueno, no se puede apoyar del todo 1158 01:00:29,440 --> 01:00:32,300 porque tú puedes ponerla esto así y al final se queda 1159 01:00:32,300 --> 01:00:34,539 con esta arista y esta arista apoyada 1160 01:00:34,539 --> 01:00:37,300 entonces sería cóncavo aquí y aquí convexo 1161 01:00:37,300 --> 01:00:38,360 tú puedes girar esto 1162 01:00:38,360 --> 01:00:41,480 puedes darle la vuelta a cualquier forma 1163 01:00:41,480 --> 01:00:43,179 y se queda apoyado 1164 01:00:43,179 --> 01:00:44,840 con lo cual esto sería convexo 1165 01:00:44,840 --> 01:00:46,480 y la cruz sería cóncavo 1166 01:00:46,480 --> 01:00:46,739 porque 1167 01:00:46,739 --> 01:00:49,800 ¿Veis dónde apunta esto? 1168 01:00:49,900 --> 01:00:51,219 si la empujáis en ese sentido 1169 01:00:51,219 --> 01:00:53,420 al final se quedaría apoyada con esta arista 1170 01:00:53,420 --> 01:00:54,539 y con esta arista 1171 01:00:54,539 --> 01:00:56,619 entonces habría hueco 1172 01:00:56,619 --> 01:00:59,599 con lo cual no se queda apoyada con todas las caras 1173 01:00:59,599 --> 01:01:00,539 ¿Veis? 1174 01:01:00,800 --> 01:01:02,699 la diferencia cóncavo-convexo 1175 01:01:02,699 --> 01:01:03,840 y luego dibujar sus planos 1176 01:01:03,840 --> 01:01:20,460 Por ejemplo, un plano de simetría sería este así, ¿no? Otro plano sería así, ¿no? Justo en vertical, etc. Y entonces aquí, planos de simetría paralelos a caras opuestas, solo he visto dos. Así a priori. 1177 01:01:20,780 --> 01:01:27,940 Luego de las aristas es que son muchos más, pero sobre todo me hacen entrar en estos tres, que son los más comunes, ¿vale? Los menos liosos, los de caras opuestas. Estos son más liosos. 1178 01:01:27,940 --> 01:01:37,719 Y aquí, por ejemplo, tendría tres. Tendría el vertical, el horizontal y también el vertical, pero en vez de delante y detrás, el de izquierda y derecha. 1179 01:01:38,880 --> 01:01:40,400 Es decir, tendría lo mismo que un cubo. 1180 01:01:41,539 --> 01:01:50,599 Así que nada, solo puedo decir que repaséis, sobre todo, muy importante, repasar ejercicios de área y volúmenes, tanto de cuerpos redondos como de poliedros. 1181 01:01:50,599 --> 01:01:53,440 ejercicios de perímetros y áreas 1182 01:01:53,440 --> 01:01:54,679 de 1183 01:01:54,679 --> 01:01:57,039 perímetros y áreas de 1184 01:01:57,039 --> 01:01:59,119 de polígonos, ¿vale? 1185 01:01:59,199 --> 01:02:00,340 y de figuras circulares 1186 01:02:00,340 --> 01:02:03,039 y de polígonos y figuras circulares 1187 01:02:03,039 --> 01:02:05,019 complejas, ¿vale? los que están formadas por 1188 01:02:05,019 --> 01:02:07,179 por más de uno, ¿no? por ejemplo esto 1189 01:02:07,179 --> 01:02:08,940 y luego también pues 1190 01:02:08,940 --> 01:02:10,179 de triángulos 1191 01:02:10,179 --> 01:02:13,139 sobre todo repasar los teoremas 1192 01:02:13,139 --> 01:02:14,980 de Tales, ¿vale? todo esto lo he ejercido 1193 01:02:14,980 --> 01:02:17,119 lo voy a subir, el once novi todo esto, teorema de Tales 1194 01:02:17,119 --> 01:02:17,960 teorema de Pitágoras 1195 01:02:17,960 --> 01:02:19,800 y también 1196 01:02:19,800 --> 01:02:25,900 el ejercicio 4 también repasarlo, un poquito de calcular los ángulos 1197 01:02:25,900 --> 01:02:29,239 porque tendré que preguntar, sobre todo la tarea, algo de ángulos 1198 01:02:29,239 --> 01:02:34,179 de tipo de ángulos, clasificación de ángulos, un poquito de eso 1199 01:02:34,179 --> 01:02:37,820 clasificación de ángulos, etcétera, ya veré, en función de lo que pregunte 1200 01:02:37,820 --> 01:02:41,940 ya veré, entonces al final una hora de clase, perdonad 1201 01:02:41,940 --> 01:02:45,340 si es que al final, que como quiero explicar tantas cosas al final 1202 01:02:45,340 --> 01:02:48,820 se me va el tiempo, pero bueno, simplemente 1203 01:02:48,820 --> 01:02:52,559 dedicación y amor por la profesión 1204 01:02:52,559 --> 01:02:53,739 disculpad pero 1205 01:02:53,739 --> 01:02:56,559 pero bueno, perdonad si me he confundido 1206 01:02:56,559 --> 01:02:58,039 a veces en decir polígono o poliedro 1207 01:02:58,039 --> 01:02:59,940 lo que tiene la iglesia 1208 01:02:59,940 --> 01:03:02,679 así que nada, nos vemos la semana 1209 01:03:02,679 --> 01:03:03,940 que viene con tema nuevo 1210 01:03:03,940 --> 01:03:06,619 este tema ya lo dejamos aparcado 1211 01:03:06,619 --> 01:03:08,699 aquí hasta justo la clase de antes 1212 01:03:08,699 --> 01:03:10,420 que tengáis buen fin de 1213 01:03:10,420 --> 01:03:12,739 repasad cualquier duda me decís 1214 01:03:12,739 --> 01:03:14,619 o venís los jueves 1215 01:03:14,619 --> 01:03:16,420 a las 6 o en matemáticas 1216 01:03:16,420 --> 01:03:18,460 los miércoles a las 7 1217 01:03:18,460 --> 01:03:22,380 cualquier duda al correo o venís a preguntarme 1218 01:03:22,380 --> 01:03:24,960 aunque es mejor que me mandéis un correo para decir 1219 01:03:24,960 --> 01:03:29,039 podemos quedar para una tutoría el jueves a las 6 1220 01:03:29,039 --> 01:03:30,739 o el miércoles a las 7 1221 01:03:30,739 --> 01:03:34,119 tendréis que venir sí o sí 1222 01:03:34,119 --> 01:03:36,760 porque es clase, pasa que es optativa 1223 01:03:36,760 --> 01:03:39,300 que no hace falta que vengáis, pero el que quiera venir a preguntar algo 1224 01:03:39,300 --> 01:03:42,840 puede venir los miércoles de 7 a 8 o de 8 a 9 1225 01:03:42,840 --> 01:03:45,000 para dudas de ciencias 1226 01:03:45,000 --> 01:03:46,519 buen fin de 1227 01:03:46,519 --> 01:03:47,400 estudia mucho 1228 01:03:47,400 --> 01:03:48,300 nos vemos la semana que viene 1229 01:03:48,300 --> 01:03:48,599 hasta luego