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00:00:00,690 --> 00:00:06,990
Bienvenidos a esta sesión número 3 de la segunda evaluación. En esta unidad,

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00:00:06,990 --> 00:00:11,490
en esta sesión, vamos a hablar de los elementos geométricos en el espacio y también de los cuerpos

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00:00:11,490 --> 00:00:17,609
geométricos. Recordamos que los elementos geométricos en el espacio son el punto,

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00:00:17,609 --> 00:00:25,050
la recta y el plano. La recta es una sucesión infinita de puntos y queda definida a partir de

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00:00:25,050 --> 00:00:35,450
dos puntos. Para obtener un plano necesitamos dos rectas paralelas o que se corten en un punto o

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00:00:35,450 --> 00:00:42,390
tres puntos. Con esos elementos podemos dibujar un plano. ¿Cuáles son las posiciones relativas en

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00:00:42,390 --> 00:00:48,149
el espacio entre rectas y entre planos? Empecemos por las primeras. Dos rectas en el espacio pueden

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00:00:48,149 --> 00:00:55,649
ser paralelas, se cortan en un punto o se cruzan. Esto de cruzar, por ejemplo, si tú con cinta

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00:00:55,649 --> 00:01:03,189
aislante de color rojo tiras una recta en el suelo y otra en el techo sin que ellas sean paralelas,

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00:01:03,429 --> 00:01:10,150
esas dos rectas jamás se cortarán y tampoco tienen por qué ser paralelas, pues decimos que se cruzan.

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00:01:10,150 --> 00:01:22,920
Aquí tenéis un ejemplo. Las rectas R, S y T están en el plano pi R, R, S y T.

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00:01:23,819 --> 00:01:37,920
Vemos que T y S son paralelas, que RT, RS serían rectas secantes y veis también que la recta S y la recta U se cruzan.

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00:01:37,920 --> 00:01:42,599
No van a ser rectas paralelas ni tampoco se van a cortar.

14
00:01:43,019 --> 00:01:46,379
Muy bien, pasemos a ver las posiciones relativas entre planos.

15
00:01:46,900 --> 00:01:49,680
Los planos en el espacio pueden ser paralelos.

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00:01:49,859 --> 00:01:53,879
Si ningún punto coincide de un plano con otro, no se cortan en una recta.

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00:01:53,959 --> 00:01:55,620
Y son secantes si tienen una recta en común.

18
00:01:56,099 --> 00:02:00,819
Ejemplo, el plano pi, que es la cara superior de este hexahedro o cubo,

19
00:02:01,459 --> 00:02:06,599
y el plano alfa son secantes y se cortan según la recta D.

20
00:02:07,459 --> 00:02:11,020
El plano pi y el del suelo serían paralelos.

21
00:02:13,449 --> 00:02:16,289
¿Y qué le pasa a la recta respecto al plano?

22
00:02:16,750 --> 00:02:22,550
Esa recta puede estar contenida en el plano, puede ser paralel a él o puede ser secante.

23
00:02:28,969 --> 00:02:34,870
En el cubo anterior veíamos que el plano pi contenía a las rectas R, S y T.

24
00:02:35,229 --> 00:02:38,750
La recta U, sin embargo, corta al plano pi en el punto D.

25
00:02:40,889 --> 00:02:43,490
Pasemos a los cuerpos geométricos.

26
00:02:43,509 --> 00:02:47,610
Bueno, pues por un lado tenemos los poliedros y por otro los cuerpos redondos.

27
00:02:48,090 --> 00:02:51,509
Y los cuerpos redondos son el cilindro, el cono y la esfera.

28
00:02:51,789 --> 00:02:56,250
Los elementos que definen estos cuerpos son los siguientes.

29
00:02:56,889 --> 00:03:03,569
Tenemos una base inferior o superior y la superficie lateral que es curva.

30
00:03:04,210 --> 00:03:09,710
En un cono tenemos un vértice, una base y una superficie lateral.

31
00:03:09,710 --> 00:03:18,310
En la esfera tenemos un radio o diámetro, si es que pasa por el centro de la esfera, y el centro que es el centro del cuerpo.

32
00:03:18,889 --> 00:03:24,169
Los poliedros pueden ser convexos o cóncavos, como observamos aquí.

33
00:03:24,569 --> 00:03:29,389
Cóncavo es que elegís dos puntos que pertenecen al interior del poliedro, incluidas sus caras,

34
00:03:29,889 --> 00:03:35,590
y al unirlos, parte de ese segmento de unión quedaría fuera del poliedro.

35
00:03:36,370 --> 00:03:38,069
¿A qué llamamos vértice?

36
00:03:38,710 --> 00:03:42,990
Pues donde las aristas se cortan o donde las caras confluyen.

37
00:03:43,509 --> 00:03:44,509
¿Qué es una arista?

38
00:03:44,610 --> 00:03:47,289
Donde dos caras se cortan, son secantes.

39
00:03:50,370 --> 00:03:54,349
Vale, en los poliedros convexos se va a cumplir siempre el teorema de Euler.

40
00:03:54,889 --> 00:04:02,409
Este teorema que dice que la suma del número de caras más el número de vértices es igual al de aristas más 2.

41
00:04:05,500 --> 00:04:07,240
¿A qué llamamos poliedros regulares?

42
00:04:07,719 --> 00:04:12,360
Bueno, esto también se ha llamado tradicionalmente sólidos platónicos.

43
00:04:12,479 --> 00:04:17,300
son poliedros con todas las caras iguales

44
00:04:17,300 --> 00:04:20,720
mira, si las caras, aquí tenéis un cuadro de resumen fabuloso

45
00:04:20,720 --> 00:04:23,579
no es mío, por eso lo digo, esto es de marea verde como el resto del material

46
00:04:23,579 --> 00:04:27,220
si tienes cuatro caras, tienes un tetraedro

47
00:04:27,220 --> 00:04:29,259
y todas las caras son triangulares

48
00:04:29,259 --> 00:04:31,560
tiene cuatro vértices y seis aristas

49
00:04:31,560 --> 00:04:36,379
si tú aquí, acuérdate

50
00:04:36,379 --> 00:04:38,540
sumas las caras más los vértices

51
00:04:38,540 --> 00:04:41,100
cuatro más cuatro es ocho, es igual a las aristas

52
00:04:41,100 --> 00:04:48,240
más 2. 6 más 2 es 8. Y esto lo puedes hacer para todos estos poliedros. El cubo o hexaedro

53
00:04:48,240 --> 00:04:57,959
tiene 6 caras y todas son cuadrados. Este de aquí es un octaedro. Tienes 8 triángulos

54
00:04:57,959 --> 00:05:05,120
equiláteros. En el dodecaedro tienes 12 caras, son pentágonos regulares. Y en el icosaedro

55
00:05:05,120 --> 00:05:12,259
tienes 20 y 20 caras y todas son triángulos equiláteros de acuerdo si tú analizas pues

56
00:05:12,259 --> 00:05:19,360
para el vídeo recuerda el teorema de euler caras más vértices igual aristas más dos vas a ver que

57
00:05:19,360 --> 00:05:28,569
se cumplen todos estos poliedros vale si a mí me da por desarrollar sobre una superficie abrir

58
00:05:28,569 --> 00:05:35,829
todas las caras de esos poliedros tendríamos aquí los desarrollos es muy útil entender el desarrollo

59
00:05:35,829 --> 00:05:42,689
de estos poliedros para entender cómo se puede calcular el área lateral o el área total de estos

60
00:05:42,689 --> 00:05:50,850
poliedros. Vamos a ver ahora. Hay dos poliedros muy importantes, los prismas y las pirámides.

61
00:05:51,149 --> 00:05:58,870
Empecemos por el primero. Un prisma recto, si es regular, te apoyas en un polígono regular,

62
00:05:59,149 --> 00:06:05,370
que puede ser desde un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono, y las caras laterales

63
00:06:05,370 --> 00:06:08,269
van a ser perpendiculares a la base.

64
00:06:08,949 --> 00:06:13,149
Si no son perpendiculares, tu prisma va a ser oblicuo.

65
00:06:13,370 --> 00:06:16,170
¿Qué quiere decir? Pues que las caras laterales de esta figura

66
00:06:16,170 --> 00:06:20,069
no forman 90 grados con la base donde se apoya.

67
00:06:21,069 --> 00:06:25,389
La altura es la distancia de los centros de las bases.

68
00:06:26,189 --> 00:06:32,529
Aquí, por ejemplo, la altura va a ser algo mayor

69
00:06:32,529 --> 00:06:35,490
que la arista lateral.

70
00:06:35,790 --> 00:06:37,790
Aquí las aristas laterales verticales

71
00:06:37,790 --> 00:06:39,069
y la altura es la misma.

72
00:06:41,310 --> 00:06:44,269
Este es el desarrollo de un prisma hexagonal recto.

73
00:06:48,769 --> 00:06:52,189
Aquí está la definición de lo que os acabo de explicar,

74
00:06:52,889 --> 00:06:54,350
pero vamos a hablar de un caso particular

75
00:06:54,350 --> 00:06:55,810
que aparece a partir de aquí.

76
00:06:56,670 --> 00:06:59,110
Los prismas cuadrangulares tienen otros nombres,

77
00:06:59,250 --> 00:07:01,550
por ejemplo, como los paralepípedos.

78
00:07:01,550 --> 00:07:04,949
Si todas sus caras son paralogramos,

79
00:07:04,949 --> 00:07:08,490
Ese paralelepípedo se llama ortoedro

80
00:07:08,490 --> 00:07:09,550
Una caja de zapatos

81
00:07:09,550 --> 00:07:13,610
Si todas las caras del paralelepípedo son cuadradas

82
00:07:13,610 --> 00:07:16,610
Lo que tenemos es un hexaedro o cubo

83
00:07:16,610 --> 00:07:19,290
El teorema de Pitágoras

84
00:07:19,290 --> 00:07:23,709
El teorema de Pitágoras es el que se aplica a triángulos rectángulos

85
00:07:23,709 --> 00:07:25,550
En un ortoedro

86
00:07:25,550 --> 00:07:29,689
Tú vas a tener una diagonal

87
00:07:29,689 --> 00:07:32,029
En el espacio

88
00:07:32,029 --> 00:07:33,110
Que es lo que hace

89
00:07:33,110 --> 00:07:39,149
Une un vértice con otro, no consecutivo, pero el más alejado.

90
00:07:39,329 --> 00:07:43,149
Por ejemplo, este vértice tú lo podrías unir con ese, pero están en la misma cara.

91
00:07:43,449 --> 00:07:47,990
No es el que está más alejado, el que está más alejado es el este de aquí, el opuesto.

92
00:07:48,910 --> 00:07:54,769
¿Vale? Entonces, ¿cómo calculamos el valor de este segmento?

93
00:07:55,310 --> 00:07:57,810
Pues aplicas Pitágoras dos veces.

94
00:07:57,810 --> 00:08:06,350
Por un lado, si conoces el valor de las aristas de la cara, A y B, puedes calcular el valor de la diagonal.

95
00:08:07,009 --> 00:08:16,810
¿Conoces también la altura? Pues mira, esta diagonal, mayúscula, la diagonal más grande, interior a S para el epípedo,

96
00:08:17,490 --> 00:08:21,490
es esta diagonal al cuadrado más C al cuadrado.

97
00:08:21,829 --> 00:08:25,230
Aquí tienes el ejemplo, la teoría.

98
00:08:25,230 --> 00:08:30,389
Si tú quieres saber el valor de la diagonal de tu ortoedro

99
00:08:30,389 --> 00:08:34,250
Ese cuadrado tiene que desaparecer y aparecería aquí una red cuadrada

100
00:08:34,250 --> 00:08:36,389
Aquí tienes un ejercicio

101
00:08:36,389 --> 00:08:41,809
Deciros que esto es muy interesante para el examen de la segunda evaluación fundamental

102
00:08:41,809 --> 00:08:43,509
Pitágoras en el espacio

103
00:08:43,509 --> 00:08:46,370
¿De acuerdo? No digáis que no se ha avisado

104
00:08:46,370 --> 00:08:49,929
Vale, seguimos con los poliedros

105
00:08:49,929 --> 00:08:57,009
Pues la otra figura fundamental, el otro cuerpo geométrico fundamental es una pirámide.

106
00:08:57,250 --> 00:09:08,309
¿Qué diferencia tiene respecto al prisma? Pues que en las bases solo existe una y el resto de las caras, si es un prisma recto, son triángulos isósceles.

107
00:09:08,970 --> 00:09:16,730
Aquí tenéis un desarrollo, ves que estos triángulos son las caras laterales de nuestra pirámide, son triángulos isósceles.

108
00:09:17,490 --> 00:09:22,149
La altura sería la distancia que hay del vértice al centro de la cara.

109
00:09:25,980 --> 00:09:27,679
¿A qué llamamos troncos?

110
00:09:28,120 --> 00:09:34,299
Pues imagínate que yo en la pirámide anterior le quiero dar un corte por un plano paralelo a la base.

111
00:09:34,639 --> 00:09:35,600
Pues lo que me queda es esto.

112
00:09:36,360 --> 00:09:44,879
Los troncos de pirámides regulares y rectos se usan mucho, por ejemplo, en los vasos, en muchos utensilios de cocina, recipientes de cocina.

113
00:09:44,879 --> 00:09:55,259
Después voy a grabar un vídeo específico para ver cómo se desarrollan estas figuras

114
00:09:55,259 --> 00:09:59,940
y cómo se calculan su volumen, porque las fórmulas para estos volúmenes son muy tediosas

115
00:09:59,940 --> 00:10:02,620
y es mucho más fácil calcular de otra manera

116
00:10:02,620 --> 00:10:06,879
¿A qué llamamos cuerpos geométricos redondos?

117
00:10:06,879 --> 00:10:10,259
Pues básicamente son la esfera, el cono y el cilindro

118
00:10:10,259 --> 00:10:24,899
¿De acuerdo? El cono truncado es al cono, el tema tronco de cono también, como es el tronco de pirámide a pirámide y el toroide es la forma típica de un dónus, de un neumático, ¿vale?

119
00:10:25,399 --> 00:10:40,190
Muy importante también esta diapositiva, en concreto esta diapositiva. Un casquete esférico es cuando tú coges una esfera y la cortas de manera que te quedas con esta parte azul.

120
00:10:40,190 --> 00:10:46,529
Si no reúnes la parte de fuera, o sea, tiras dos circunferencias

121
00:10:46,529 --> 00:10:50,809
Y te quedas con el volumen comprendido entre ellas

122
00:10:50,809 --> 00:10:52,990
Esa es una zona, lo anterior es casquete

123
00:10:52,990 --> 00:10:58,509
Uso es la parte exterior en la superficie de la esfera

124
00:10:58,509 --> 00:11:02,250
De cuando coges, por ejemplo, coloquialmente un gajo de naranja

125
00:11:02,250 --> 00:11:07,629
Esto sería el área

126
00:11:07,629 --> 00:11:11,870
La cuña sería el volumen del uso

127
00:11:11,870 --> 00:11:28,350
El sector es el volumen comprendido entre el centro de la esfera y dos circunferencias cuyo diámetro no es el máximo

128
00:11:28,350 --> 00:11:35,210
Es muy importante que nos estudiemos algunos volúmenes

129
00:11:35,210 --> 00:11:40,750
Veréis, el volumen del prisma es el área de la base por la altura.

130
00:11:42,110 --> 00:11:45,929
Vamos a ver también que en el cilindro es muy similar, es el área de la base por la altura.

131
00:11:45,929 --> 00:11:55,909
Y que el volumen de la pirámide es al volumen del prisma, como el volumen del cono es al volumen del cilindro.

132
00:11:55,909 --> 00:12:17,190
Vale, si yo quisiera rellenar el volumen de un prisma a partir del volumen de una pirámide de la misma base y la misma altura, yo necesitaría tres pirámides para rellenar un prisma de la misma base y la misma altura.

133
00:12:17,190 --> 00:12:22,990
Eso que nos indica, pues que si el volumen de un prisma es el de la base por la altura

134
00:12:22,990 --> 00:12:26,210
Cuando estamos con pirámides hay que dividirlo entre 3

135
00:12:26,210 --> 00:12:29,250
Las áreas, yo también voy a hacer algún ejercicio

136
00:12:29,250 --> 00:12:31,230
Yo no me estudiaría esto, ¿vale?

137
00:12:31,669 --> 00:12:32,610
No es nada útil

138
00:12:32,610 --> 00:12:37,769
Yo me estudiaría, pensaría, cómo es el desarrollo de estos poliedros

139
00:12:37,769 --> 00:12:43,250
Vale, en cuanto a volúmenes de cuerpos redondos

140
00:12:43,250 --> 00:12:45,450
La esfera, esto es muy importante, chicos

141
00:12:45,450 --> 00:12:51,070
el área superficial de una esfera es 4 veces pi por radio al cuadrado

142
00:12:51,070 --> 00:12:54,830
y el volumen es 4 tercios de pi r cubo

143
00:12:54,830 --> 00:12:57,070
ok, pasemos al cilindro

144
00:12:57,070 --> 00:12:58,490
el área de la base por la altura

145
00:12:58,490 --> 00:13:00,730
y el cono es eso mismo

146
00:13:00,730 --> 00:13:03,330
área de la base por la altura entre 3