1
00:00:00,710 --> 00:00:03,950
Hola, buenos días. Vamos a grabar la clase.

2
00:00:04,669 --> 00:00:07,290
Estoy viendo a todo el mundo. Hoy es 4 ya, San Carlos.

3
00:00:07,790 --> 00:00:09,589
Vamos a ver, 4 de noviembre, ojo.

4
00:00:10,369 --> 00:00:12,050
Chavales, nos quedan...

5
00:00:12,710 --> 00:00:15,929
Nos quedan muy poquitas horas de clase

6
00:00:15,929 --> 00:00:19,010
y el tema 6 tiene mandanga.

7
00:00:19,609 --> 00:00:21,609
Entonces, hoy quiero acabar este tema.

8
00:00:21,750 --> 00:00:24,129
Os mandé que os leyera y que tuvierais el detalle

9
00:00:24,129 --> 00:00:26,109
de leer lo que quedaba del tema, que no es mucho.

10
00:00:26,109 --> 00:00:28,670
entonces, importante de este tema

11
00:00:28,670 --> 00:00:30,170
de este tema premio

12
00:00:30,170 --> 00:00:32,689
bueno, el producto escalar

13
00:00:32,689 --> 00:00:34,829
que ya lo vimos, el producto escalar al final

14
00:00:34,829 --> 00:00:36,649
el escalar lo que nos dice es que sea

15
00:00:36,649 --> 00:00:38,649
un número, tiene esta formulita

16
00:00:38,649 --> 00:00:40,149
de aquí y después

17
00:00:40,149 --> 00:00:42,590
lo que tenemos que ver es

18
00:00:42,590 --> 00:00:44,509
la proyección

19
00:00:44,509 --> 00:00:45,890
el coseno del ángulo

20
00:00:45,890 --> 00:00:48,210
entre dos

21
00:00:48,210 --> 00:00:50,530
vectores, pero cuando yo hago

22
00:00:50,530 --> 00:00:52,609
el producto escalar de dos vectores lo que me da

23
00:00:52,609 --> 00:00:54,049
es un número, me da un escalar

24
00:00:54,049 --> 00:01:16,689
¿Vale? Entonces, cuando las coordenadas tanto de u como de v son respecto a una base ortonormal, ese producto escalar, en vez de resolverlo con esta fórmula de aquí, pues lo resolvemos multiplicando componente a componente, es decir, la primera de uno con la primera de otro más la segunda del uno con la segunda del otro más la tercera del uno con la tercera del otro si estamos en R3.

25
00:01:16,689 --> 00:01:29,409
Si estamos en R2, pues primera por primera más segunda por segunda. Si estamos en R4, primera por primera más segunda por segunda, tercera por tercera, cuarta por cuarta. Pero en el espacio, como estamos en el tema por espacio, se hace así.

26
00:01:29,409 --> 00:01:50,790
Entonces, complementando esta fórmula de aquí junto con la fórmula del producto escalar, que es su definición, nosotros podemos hallar, bueno, pues el producto escalar, evidentemente, el ángulo que forman los dos ángulos, la proyección de un ángulo sobre el otro y el vector proyecto de un ángulo, de un vector sobre otro.

27
00:01:50,790 --> 00:01:59,209
¿Vale? Entonces, ahora lo que vamos a ver es el producto vectorial, ¿vale? Producto vectorial.

28
00:01:59,329 --> 00:02:07,129
Y entonces, ¿qué ocurre? Pues que el producto vectorial, en vez de devolverme un número, lo que me va a devolver es otro vector.

29
00:02:07,430 --> 00:02:17,270
Por eso se llama producto vectorial, ¿de acuerdo? Entonces, ¿qué ocurre? Pues el producto vectorial de dos vectores u y v es un nuevo vector y se representa así.

30
00:02:17,270 --> 00:02:40,250
Es decir, el producto escalar nosotros lo que hacíamos era el u con la flechita por v, pero el producto vectorial se representa por u un aspa, el signo de multiplicación que aprendíamos en primaria, y una v.

31
00:02:40,250 --> 00:02:56,219
Y entonces se define del siguiente modo. Si U y V son linealmente independientes, ¿qué significa que U y V sean linealmente independientes? ¿Qué significa? Que no son coplanarios. Entonces, ¿qué son?

32
00:02:56,219 --> 00:03:00,349
I don't know I know from here

33
00:03:00,349 --> 00:03:02,930
si son linealmente independientes

34
00:03:02,930 --> 00:03:03,710
¿qué ocurre?

35
00:03:06,389 --> 00:03:09,250
forman una base, pueden formar una base

36
00:03:09,250 --> 00:03:11,430
pero precisamente si son coplanarios

37
00:03:11,430 --> 00:03:12,629
¿vale Andrés? al contrario

38
00:03:12,629 --> 00:03:15,289
si son linealmente independientes

39
00:03:15,289 --> 00:03:17,210
lo que significa es que no están

40
00:03:17,210 --> 00:03:19,050
en la misma dirección, no están

41
00:03:19,050 --> 00:03:21,330
contenidos en la misma recta o en rectas

42
00:03:21,330 --> 00:03:22,509
paralelas ¿vale?

43
00:03:22,969 --> 00:03:24,569
entonces son coplanarios

44
00:03:24,569 --> 00:03:27,270
ten cuidado Andrés, si son linealmente

45
00:03:27,270 --> 00:03:29,229
independientes significa que no

46
00:03:29,229 --> 00:03:34,490
están sobre la misma dirección, ¿vale? No están sobre la misma recta o sobre rectas paralelas,

47
00:03:34,889 --> 00:03:41,770
sí son coplanarios. Y entonces, ¿qué característica tiene si dos vectores son linealmente independientes

48
00:03:41,770 --> 00:03:47,949
y yo hago su producto vectorial? Pues que el módulo de ese producto vectorial es el módulo

49
00:03:47,949 --> 00:03:53,610
de u por el módulo de v por el seno del ángulo que forma. Tened cuidado porque el producto escalar

50
00:03:53,610 --> 00:04:17,250
Aquí era el coseno, ¿de acuerdo? Y aquí es el seno. Y daros cuenta que cuando multiplicamos el módulo de u con el módulo de v por el coseno del u y v, lo que me daba es un escalar, me da un número. Aquí ahora igual. Me va a volver a dar un número, ¿de acuerdo? Pero ese número que es el módulo del vector resultante de hacer el producto vectorial de u y v.

51
00:04:17,250 --> 00:04:19,529
¿Lo entendéis? ¿Veis la diferencia?

52
00:04:20,089 --> 00:04:21,889
En el producto escalar me dan un número

53
00:04:21,889 --> 00:04:24,350
Y en el producto vectorial me dan un vector

54
00:04:24,350 --> 00:04:25,930
Un vector cuyo módulo

55
00:04:25,930 --> 00:04:27,689
Daros cuenta por qué está definido

56
00:04:27,689 --> 00:04:29,990
P3, por qué está definido un vector

57
00:04:29,990 --> 00:04:31,670
¿Qué tres cosas definen un vector?

58
00:04:34,980 --> 00:04:35,459
Fernando

59
00:04:35,459 --> 00:04:36,899
¿Qué tres cosas definen un vector?

60
00:04:37,480 --> 00:04:38,879
Módulo, dirección y sentido

61
00:04:38,879 --> 00:04:40,040
Módulo, dirección y sentido

62
00:04:40,040 --> 00:04:42,660
Bueno, pues el módulo de este vector resultante

63
00:04:42,660 --> 00:04:45,279
De hacer el producto vectorial de u por v

64
00:04:45,279 --> 00:04:47,240
Su módulo es la multiplicación

65
00:04:47,240 --> 00:04:50,819
del módulo de uno por el módulo del otro por el seno del ángulo que forma, ¿vale?

66
00:04:51,339 --> 00:04:57,379
¿La dirección qué es? Pues esto es un puntazo porque nos da un vector perpendicular

67
00:04:57,379 --> 00:05:05,160
tanto a U como a V. U y V son linealmente independientes. U y V forman un plano, ¿de acuerdo?

68
00:05:05,439 --> 00:05:12,160
Si esto es U y esto es V, forman este plano de aquí, ¿lo veis? Que forman este plano.

69
00:05:12,160 --> 00:05:22,019
Bueno, pues si yo hago el producto vectorial de u y v, tengo un vector que es perpendicular a los dos.

70
00:05:22,100 --> 00:05:26,019
Es decir, tengo un vector perpendicular a ese plano.

71
00:05:26,860 --> 00:05:27,240
¿De acuerdo?

72
00:05:28,180 --> 00:05:29,120
¿Todo el mundo esto lo ve?

73
00:05:29,959 --> 00:05:30,240
Sí.

74
00:05:31,379 --> 00:05:35,579
Esto es el producto vectorial de u por v.

75
00:05:36,139 --> 00:05:40,699
u y v son linealmente independientes, es decir, son coplanarios, forman un plano.

76
00:05:40,699 --> 00:05:58,279
Pues cuando yo hago el producto vectorial de U y V, lo que obtengo es otro vector, ¿de acuerdo? Otro vector que es perpendicular a ambos, que es perpendicular a ambos, perpendicular al plano que forman U y V.

77
00:05:58,279 --> 00:06:00,720
y después ocurre una cosa

78
00:06:00,720 --> 00:06:01,699
el sentido

79
00:06:01,699 --> 00:06:04,500
si el ángulo es más chico

80
00:06:04,500 --> 00:06:06,319
que 180 va hacia arriba

81
00:06:06,319 --> 00:06:07,720
pero si

82
00:06:07,720 --> 00:06:10,920
el ángulo que forman

83
00:06:10,920 --> 00:06:12,120
es mayor que 180

84
00:06:12,120 --> 00:06:13,240
va hacia abajo

85
00:06:13,240 --> 00:06:15,240
¿alguien de aquí ha dado

86
00:06:15,240 --> 00:06:17,519
en física

87
00:06:17,519 --> 00:06:19,579
lo de la mano?

88
00:06:20,079 --> 00:06:22,180
lo de Maxwell, ¿no? ¿habéis visto lo de Maxwell?

89
00:06:22,540 --> 00:06:24,319
pues esto es exactamente igual

90
00:06:24,319 --> 00:06:26,100
es decir, tú con la mano derecha

91
00:06:26,100 --> 00:06:28,040
es muy importante, aquí los zurdos tened cuidado

92
00:06:28,040 --> 00:06:35,399
Con la mano derecha tú te llevas de U a V y entonces es hacia arriba.

93
00:06:35,860 --> 00:06:40,220
Pero si me lo llevo de V a U es hacia abajo.

94
00:06:40,680 --> 00:06:41,019
¿De acuerdo?

95
00:06:41,639 --> 00:06:41,779
¿Sí?

96
00:06:42,899 --> 00:06:44,680
Pues aquí exactamente igual.

97
00:06:45,279 --> 00:06:46,579
Entonces, ¿qué ocurre?

98
00:06:46,660 --> 00:06:52,420
Que tomamos el ángulo siempre en sentido positivo, es decir, contrario al movimiento de las agujas del reloj.

99
00:06:52,839 --> 00:06:53,439
Antiorario.

100
00:06:53,439 --> 00:06:59,819
Siempre nos vamos, si nos vamos de u a v, tenemos que ir siempre en sentido anterior, ¿vale?

101
00:07:00,240 --> 00:07:04,279
Entonces, ¿qué ocurre si u y v son linealmente dependientes?

102
00:07:04,399 --> 00:07:08,300
¿Qué significa si yo tengo dos vectores que son linealmente dependientes?

103
00:07:08,379 --> 00:07:09,019
¿Qué significa?

104
00:07:11,100 --> 00:07:12,819
Que están en la misma recta, muy bien.

105
00:07:13,079 --> 00:07:17,639
Entonces, ¿cuánto es el ángulo que forman esos dos vectores linealmente dependientes?

106
00:07:18,259 --> 00:07:18,819
¿Eh?

107
00:07:19,360 --> 00:07:19,639
Cero.

108
00:07:19,939 --> 00:07:21,579
¿Y cuánto es el seno de cero?

109
00:07:25,259 --> 00:07:25,720
Sorry.

110
00:07:26,060 --> 00:07:27,100
¿Seno de cero?

111
00:07:27,779 --> 00:07:28,860
Ximena, ¿estás dormida?

112
00:07:30,019 --> 00:07:30,920
¿Seno de cero?

113
00:07:31,980 --> 00:07:32,579
Cero.

114
00:07:32,920 --> 00:07:34,160
Entonces, ¿cuál es su módulo?

115
00:07:34,899 --> 00:07:35,500
Cero.

116
00:07:35,899 --> 00:07:36,120
¿Vale?

117
00:07:36,379 --> 00:07:41,339
Entonces, si yo tengo dos vectores linealmente dependientes,

118
00:07:41,459 --> 00:07:44,180
significa que están en la misma recta, ¿vale?

119
00:07:44,379 --> 00:07:48,439
¿Y cómo serán las coordenadas de esos dos vectores linealmente dependientes?

120
00:07:48,540 --> 00:07:48,980
¿Cómo son?

121
00:07:49,779 --> 00:07:50,939
Las coordenadas.

122
00:07:54,139 --> 00:07:54,699
Proporcionales.

123
00:07:55,199 --> 00:07:55,439
¿Vale?

124
00:07:55,839 --> 00:07:56,399
Proporcionales.

125
00:07:56,399 --> 00:08:01,759
Si las coordenadas son proporcionales, son linealmente dependientes, ¿vale?

126
00:08:02,319 --> 00:08:06,680
Si las coordenadas no son proporcionales, todas, ¿vale?

127
00:08:06,680 --> 00:08:10,079
Las tres coordenadas son linealmente independientes y son coplanarias.

128
00:08:11,360 --> 00:08:13,139
¿Tenemos claro lo del producto vectorial?

129
00:08:13,639 --> 00:08:13,879
¿Sí?

130
00:08:14,620 --> 00:08:14,980
Venga.

131
00:08:19,540 --> 00:08:22,639
Venga, vamos a hallar, por ejemplo, vamos a hacer un ejercicio.

132
00:08:26,230 --> 00:08:27,029
El vector U.

133
00:08:27,029 --> 00:08:29,310
Venga, ¿tu número favorito, Mariela?

134
00:08:30,310 --> 00:08:31,029
¿El 2?

135
00:08:31,550 --> 00:08:32,090
¿Prasero?

136
00:08:33,730 --> 00:08:34,570
¿3?

137
00:08:35,450 --> 00:08:36,830
¿Y Carla?

138
00:08:37,990 --> 00:08:38,830
7.

139
00:08:39,690 --> 00:08:44,730
Venga, Diego, dime un vector lineal dependiente al U.

140
00:08:45,809 --> 00:08:47,210
Linealmente dependiente.

141
00:08:48,769 --> 00:08:49,269
A U.

142
00:08:55,879 --> 00:08:59,399
Diego, 4, 6, 14.

143
00:09:01,809 --> 00:09:02,250
¿Vale?

144
00:09:02,250 --> 00:09:09,690
4, 6, 14. Entonces, si yo hago el producto vectorial, ¿cuánto me va a salir el producto vectorial de u por v?

145
00:09:11,470 --> 00:09:28,539
Cero. ¿Vale? Cero. ¿Sí? Porque el ángulo que forman el seno de u y v, ¿vale?

146
00:09:28,539 --> 00:09:30,220
es cero, porque

147
00:09:30,220 --> 00:09:32,679
el ángulo que forma

148
00:09:32,679 --> 00:09:34,179
u y v

149
00:09:34,179 --> 00:09:36,799
es cero grados.

150
00:09:37,220 --> 00:09:37,379
¿Vale?

151
00:09:38,320 --> 00:09:40,360
Y estos son

152
00:09:40,360 --> 00:09:42,519
linealmente

153
00:09:42,519 --> 00:09:44,539
linealmente

154
00:09:46,000 --> 00:09:46,539
dependientes

155
00:09:47,919 --> 00:09:53,440
tienen la misma dirección.

156
00:09:54,240 --> 00:09:56,120
Tienen la misma dirección.

157
00:09:57,480 --> 00:09:58,399
Pues seguimos.

158
00:10:01,559 --> 00:10:02,039
Dime, hija.

159
00:10:04,100 --> 00:10:08,779
estar en la misma recta o en paralela

160
00:10:08,779 --> 00:10:12,509
determinante de que

161
00:10:12,509 --> 00:10:16,210
de las dos rectas

162
00:10:16,210 --> 00:10:17,370
pero de determinante cual

163
00:10:17,370 --> 00:10:24,230
pues si de 2 a 2

164
00:10:24,230 --> 00:10:26,470
de 2 a 4 por cuanto tienes que multiplicar

165
00:10:26,470 --> 00:10:28,450
por 2

166
00:10:28,450 --> 00:10:30,210
y si este también lo multiplicas por 2

167
00:10:30,210 --> 00:10:31,809
y este lo multiplicas por 2

168
00:10:31,809 --> 00:10:36,690
Pero si fuese el número adecuado para hacer un determinante, que es nada más.

169
00:10:36,870 --> 00:10:40,169
Sí, aquí tú, ahora lo vamos a ver, ahora lo vamos a ver con la definición.

170
00:10:40,350 --> 00:10:46,110
Pero si tú te ves, por ejemplo, 2, 3, 7 y 4, 6, 14, ¿vale?

171
00:10:46,629 --> 00:10:50,389
Esta es tu matriz A, esta matriz es 2 por 3, ¿verdad?

172
00:10:50,909 --> 00:10:51,210
¿Sí o no?

173
00:10:51,570 --> 00:10:53,570
¿Cuál es el rango máximo de esta matriz?

174
00:10:54,370 --> 00:10:55,629
2, ¿vale?

175
00:10:55,629 --> 00:10:58,529
Entonces, ¿cuántos menores de orden?

176
00:10:58,850 --> 00:11:00,429
Yo tengo 3 columnas.

177
00:11:00,429 --> 00:11:04,269
¿Cuántos menores de orden 2 tengo en una matriz 2x3?

178
00:11:10,049 --> 00:11:13,169
¿Cuántos menores de orden 2 tengo en una matriz 2x3?

179
00:11:14,129 --> 00:11:16,669
¿Cuántos menores de orden 2 tengo en una matriz?

180
00:11:19,320 --> 00:11:21,220
Tengo 3, lo había dicho bien.

181
00:11:21,360 --> 00:11:23,159
3 sobre 2 de 3 cojo 2.

182
00:11:23,580 --> 00:11:25,120
¿Y esto os acordáis de esta fórmula?

183
00:11:26,639 --> 00:11:29,460
2 factorial, 1 factorial, 3 factorial.

184
00:11:29,720 --> 00:11:31,379
¿No habéis dado los números combinatorios ustedes?

185
00:11:32,559 --> 00:11:34,340
¿Habéis dado los números combinatorios?

186
00:11:34,340 --> 00:11:37,480
Esto es 3

187
00:11:37,480 --> 00:11:39,279
¿Y qué 3 combinaciones son?

188
00:11:39,980 --> 00:11:40,559
1 y 2

189
00:11:40,559 --> 00:11:43,039
1 y 3, 2 y 3

190
00:11:43,039 --> 00:11:45,740
¿Vale? Entonces, si yo hago el determinante

191
00:11:45,740 --> 00:11:46,679
Con la 1 y con la 2

192
00:11:46,679 --> 00:11:48,419
Es 2, 3, 4, 6

193
00:11:48,419 --> 00:11:51,200
Esto es 0, ¿verdad? 12 menos 12

194
00:11:51,200 --> 00:11:52,799
Es 0, además que son

195
00:11:52,799 --> 00:11:54,220
Proporcionales

196
00:11:54,220 --> 00:11:57,659
Si cojo la 1 y la 3, es 2, 7, 4, 14

197
00:11:57,659 --> 00:11:59,159
Si te das cuenta

198
00:11:59,159 --> 00:12:01,120
Esto es 28 menos 28, 0

199
00:12:01,120 --> 00:12:03,279
Y si cojo la 2 y la 3

200
00:12:03,279 --> 00:12:05,799
es 3, 7, 6 y 14

201
00:12:05,799 --> 00:12:07,759
3 por 14

202
00:12:07,759 --> 00:12:09,440
es 42, menos 6 por 7

203
00:12:09,440 --> 00:12:10,720
es 42, es 0

204
00:12:10,720 --> 00:12:15,639
si son perpendiculares

205
00:12:15,639 --> 00:12:16,740
el producto escalar es 0

206
00:12:16,740 --> 00:12:19,519
pero lo que yo quiero que veáis

207
00:12:19,519 --> 00:12:20,539
es que como

208
00:12:20,539 --> 00:12:23,080
si dos

209
00:12:23,080 --> 00:12:24,279
son

210
00:12:24,279 --> 00:12:27,720
proporcionales

211
00:12:27,720 --> 00:12:29,600
divido componente a componente

212
00:12:29,600 --> 00:12:31,519
y si todo me da

213
00:12:31,519 --> 00:12:33,240
igual, es que es lo mismo

214
00:12:33,240 --> 00:12:36,740
En este caso es fácil porque Diego ha multiplicado por 2.

215
00:12:37,480 --> 00:12:41,500
Otro fácil aquí es, por ejemplo, el W, pues le cambio el signo.

216
00:12:42,220 --> 00:12:45,539
Menos 2, menos 3, menos 7, también son proporcionales.

217
00:12:45,759 --> 00:12:47,059
Lo he multiplicado por menos 1.

218
00:12:48,220 --> 00:12:52,379
Y entonces son linealmente dependientes.

219
00:12:52,820 --> 00:12:53,860
Venga, seguimos.

220
00:12:55,220 --> 00:12:57,360
Propiedades del producto vectorial.

221
00:12:57,799 --> 00:12:59,100
Esto es súper importante.

222
00:12:59,899 --> 00:13:06,519
Geométricamente, ¿qué significa el producto vectorial de dos vectores?

223
00:13:07,259 --> 00:13:08,340
¿Qué es lo que significa?

224
00:13:08,799 --> 00:13:11,399
Fijaros que si son linealmente dependientes,

225
00:13:11,539 --> 00:13:15,779
¿cómo es el producto vectorial de dos vectores linealmente dependientes

226
00:13:15,779 --> 00:13:17,220
que están en la misma recta?

227
00:13:17,220 --> 00:13:26,080
Entonces, si U y V son, lo voy a poner así, linealmente dependientes,

228
00:13:26,080 --> 00:13:27,879
están en la misma

229
00:13:27,879 --> 00:13:29,299
recta, están

230
00:13:29,299 --> 00:13:31,360
en la misma recta, ¿vale?

231
00:13:32,019 --> 00:13:33,460
en la misma dirección

232
00:13:33,460 --> 00:13:35,980
están en la misma

233
00:13:35,980 --> 00:13:41,379
dirección y entonces

234
00:13:41,379 --> 00:13:42,100
u

235
00:13:42,100 --> 00:13:44,960
por v, siendo el

236
00:13:44,960 --> 00:13:46,820
producto vectorial, es 0

237
00:13:46,820 --> 00:13:48,279
entonces si yo tengo aquí

238
00:13:48,279 --> 00:13:50,460
por ejemplo esta recta, ¿vale?

239
00:13:50,460 --> 00:13:52,500
y yo ahora cojo aquí

240
00:13:52,500 --> 00:13:54,519
y tengo un vector v

241
00:13:54,519 --> 00:13:58,149
no sé si se va a ver aquí

242
00:13:58,149 --> 00:13:59,870
y otro vector

243
00:13:59,870 --> 00:14:03,230
Porque es la misma dirección, ¿vale?

244
00:14:03,649 --> 00:14:09,610
Esto es u, coño, esto es u y esto es v, ¿vale?

245
00:14:10,690 --> 00:14:11,909
¿Qué es lo que ocurre?

246
00:14:11,909 --> 00:14:18,590
Pues que su producto vectorial es cero.

247
00:14:18,870 --> 00:14:26,509
Pero si u y v son linealmente independientes, ¿vale?

248
00:14:26,909 --> 00:14:27,870
¿Qué ocurre?

249
00:14:27,870 --> 00:14:30,350
son coplanarios

250
00:14:30,350 --> 00:14:32,049
y si son coplanarios

251
00:14:32,049 --> 00:14:32,870
¿qué significa?

252
00:14:34,490 --> 00:14:36,289
chavales, si yo tengo por ejemplo

253
00:14:36,289 --> 00:14:38,350
aquí, yo tengo aquí el U

254
00:14:38,350 --> 00:14:43,529
y ahora tengo aquí el V

255
00:14:43,529 --> 00:14:47,740
es decir, yo aquí

256
00:14:47,740 --> 00:14:48,320
tengo el U

257
00:14:48,320 --> 00:14:50,559
y yo tengo aquí el V

258
00:14:50,559 --> 00:14:52,700
¿están en la misma dirección?

259
00:14:53,580 --> 00:14:55,580
natillas, entonces realmente

260
00:14:55,580 --> 00:14:56,659
¿qué forman esto?

261
00:14:57,340 --> 00:14:59,059
esto de aquí, chavales

262
00:14:59,059 --> 00:15:01,620
forman un plano, ¿veis que son

263
00:15:01,620 --> 00:15:03,360
coplanarios? ¿sí o no?

264
00:15:03,440 --> 00:15:07,759
Y si yo formo que es un paralelogramo, ¿os acordáis de lo que era un paralelogramo?

265
00:15:12,509 --> 00:15:13,110
Paralelogramo.

266
00:15:17,110 --> 00:15:18,970
Efectivamente, efectivamente.

267
00:15:19,250 --> 00:15:22,970
Es decir, el paralelogramo, ¿cómo se sumaban los vectores?

268
00:15:23,110 --> 00:15:26,389
¿Os acordáis cuál sería, cómo sumábamos los vectores u y v?

269
00:15:26,870 --> 00:15:29,009
Yo, precisamente, muy bien, Kiyo.

270
00:15:31,539 --> 00:15:34,120
Esto de aquí era u más v, ¿verdad?

271
00:15:35,379 --> 00:15:37,120
Yo formaba aquí el paralelogramo.

272
00:15:37,919 --> 00:15:43,559
Y esto de aquí era u más v, u más v.

273
00:15:43,559 --> 00:15:55,039
Pues entonces, geométricamente, el producto vectorial de u por v, su módulo,

274
00:15:56,059 --> 00:16:06,419
el módulo de u por v, es el área del paralelogramo definido por esos dos vectores.

275
00:16:07,200 --> 00:16:07,559
¿De acuerdo?

276
00:16:07,919 --> 00:16:12,659
Si o no, es el área formada por los dos vectores.

277
00:16:12,759 --> 00:16:16,519
Daros cuenta, chavales, cómo se demostraría esto de aquí.

278
00:16:17,480 --> 00:16:20,399
Si yo, chavales, lo voy a hacer más grande, ¿vale?

279
00:16:27,559 --> 00:16:28,740
Ese es mi U, por ejemplo.

280
00:16:29,759 --> 00:16:32,639
Y esta es mi V, ¿vale?

281
00:16:33,519 --> 00:16:37,740
Si yo formo el paralelogramo, lo voy a hacer en otro color.

282
00:16:38,899 --> 00:16:40,399
Esto lo tenéis que imaginar, ¿vale?

283
00:16:40,399 --> 00:16:41,019
Porque esto,

284
00:16:42,720 --> 00:16:44,700
imagina en el sentido de que

285
00:16:44,700 --> 00:16:47,759
no son restos, ¿vale?

286
00:16:48,480 --> 00:16:51,860
Si esto estuviese bien dibujado,

287
00:16:52,519 --> 00:16:52,720
¿vale?

288
00:16:52,860 --> 00:16:54,080
Si esto estuviese bien dibujado,

289
00:16:54,419 --> 00:16:55,799
este es un paralelogramo.

290
00:16:55,919 --> 00:16:56,200
¿Sí o no?

291
00:16:56,779 --> 00:16:58,740
¿Cuál es el área de un paralelogramo?

292
00:16:58,759 --> 00:16:59,620
¿Alguien me lo sabe decir?

293
00:17:00,799 --> 00:17:01,840
Base por altura.

294
00:17:02,179 --> 00:17:02,659
¿Qué me lo ha dicho?

295
00:17:03,500 --> 00:17:04,359
¿Y tú quién eres?

296
00:17:05,319 --> 00:17:07,319
El único que va a dibujo.

297
00:17:08,299 --> 00:17:09,599
¿Para eso vale también dibujo?

298
00:17:10,400 --> 00:17:14,039
Base, la altura es esto, ¿verdad, chavales?

299
00:17:14,539 --> 00:17:14,960
¿Sí o no?

300
00:17:17,759 --> 00:17:19,839
Si yo este vector de aquí, que es el u,

301
00:17:20,680 --> 00:17:23,079
y este vector de aquí, que es el v,

302
00:17:23,700 --> 00:17:28,700
la proyección de v sobre u era esto de aquí, ¿verdad?

303
00:17:29,259 --> 00:17:30,319
La proyección.

304
00:17:30,319 --> 00:17:31,880
Y esto de aquí, ¿qué era?

305
00:17:32,420 --> 00:17:38,299
Esto realmente era v por el coseno de alfa, ¿sí o no?

306
00:17:39,460 --> 00:17:39,859
¿Sí o no?

307
00:17:40,200 --> 00:17:40,859
Esto de aquí.

308
00:17:40,859 --> 00:17:42,160
esto es

309
00:17:42,160 --> 00:17:44,299
v por el coseno de alfa

310
00:17:44,299 --> 00:17:46,099
pero es que la altura

311
00:17:46,099 --> 00:17:48,440
me dice que es la altura

312
00:17:48,440 --> 00:17:50,420
la altura que es

313
00:17:50,420 --> 00:17:51,440
es v

314
00:17:51,440 --> 00:17:55,460
por el seno de alfa

315
00:17:55,460 --> 00:17:56,859
¿esto lo veis todo el mundo o no?

316
00:17:57,900 --> 00:17:59,259
¿lo veis todo el mundo o no?

317
00:18:01,349 --> 00:18:02,869
cuando yo descomponía

318
00:18:02,869 --> 00:18:03,769
la fuerza v

319
00:18:03,769 --> 00:18:05,910
la descomponía tanto aquí como aquí

320
00:18:05,910 --> 00:18:06,509
¿lo veis?

321
00:18:08,490 --> 00:18:10,269
la v la descompongo

322
00:18:10,269 --> 00:18:13,549
tanto la VX como la VI, ¿sí o no?

323
00:18:14,869 --> 00:18:17,750
Y esto de aquí, si el ángulo que forma entre ellos es alfa,

324
00:18:18,109 --> 00:18:21,910
pues todo el mundo ve que esto mide lo mismo que esto,

325
00:18:22,529 --> 00:18:25,569
que a su vez es lo mismo que mide la altura, ¿sí o no?

326
00:18:26,369 --> 00:18:30,250
Entonces la altura precisamente es V por el seno de alfa.

327
00:18:30,990 --> 00:18:32,470
Entonces, ¿cuánto vale la base?

328
00:18:32,470 --> 00:18:39,569
La base mide U y la altura, ¿cuánto mide?

329
00:18:40,269 --> 00:18:42,670
V por el seno de alfa.

330
00:18:43,009 --> 00:18:47,710
Si yo multiplico U por V por el seno de alfa,

331
00:18:47,910 --> 00:18:51,329
esto que hemos dicho que es el producto vectorial,

332
00:18:51,450 --> 00:18:54,690
el módulo del vector resultante del producto vectorial.

333
00:18:55,190 --> 00:18:58,170
Entonces, la multiplicación, chavales,

334
00:18:58,710 --> 00:19:00,130
el producto vectorial,

335
00:19:00,710 --> 00:19:03,990
precisamente el módulo del vector resultante

336
00:19:03,990 --> 00:19:05,309
de hacer el producto vectorial,

337
00:19:05,789 --> 00:19:08,829
coincide con el área del paralelogramo

338
00:19:08,829 --> 00:19:10,950
que forman esos dos vectores

339
00:19:10,950 --> 00:19:12,869
que son coplanarios.

340
00:19:13,630 --> 00:19:14,269
¿Lo veis o no?

341
00:19:15,210 --> 00:19:16,250
¿Sí? Vale.

342
00:19:17,349 --> 00:19:19,170
Pues chavales, otra cosita más,

343
00:19:19,269 --> 00:19:20,809
otra propiedad. ¿Os acordáis que era

344
00:19:20,809 --> 00:19:22,329
conmutativo el producto escalar?

345
00:19:23,630 --> 00:19:24,089
¿Ya no?

346
00:19:24,849 --> 00:19:26,470
Pues ahora el producto

347
00:19:26,470 --> 00:19:28,690
vectorial no es conmutativo.

348
00:19:29,089 --> 00:19:30,650
¿Y por qué no es conmutativo?

349
00:19:31,190 --> 00:19:33,089
Precisamente por la regla de la mano.

350
00:19:33,670 --> 00:19:34,970
¿Vale? Si tú vas

351
00:19:34,970 --> 00:19:35,789
de u a v,

352
00:19:36,490 --> 00:19:38,730
el vector resultante va hacia arriba

353
00:19:38,730 --> 00:19:40,549
¿lo veis? Pero si yo voy

354
00:19:40,549 --> 00:19:42,690
de V a U, con la mano

355
00:19:42,690 --> 00:19:44,630
derecha yo voy de V a U, ¿hacia

356
00:19:44,630 --> 00:19:46,309
dónde va mi purgada?

357
00:19:46,690 --> 00:19:48,509
Hacia abajo, ¿vale?

358
00:19:48,569 --> 00:19:50,690
Entonces se cumple que si yo

359
00:19:50,690 --> 00:19:53,049
hago el producto vectorial

360
00:19:53,049 --> 00:19:56,650
de U por V, ¿vale?

361
00:19:57,109 --> 00:19:58,269
Da un vector

362
00:19:58,269 --> 00:20:00,769
con un

363
00:20:00,769 --> 00:20:02,750
módulo que es el módulo de U por el módulo

364
00:20:02,750 --> 00:20:04,569
de V por el seno del ángulo que forman

365
00:20:04,569 --> 00:20:06,630
los dos, tiene una dirección

366
00:20:06,630 --> 00:20:08,809
es perpendicular a los dos

367
00:20:08,809 --> 00:20:10,890
y tiene un sentido, imaginaros, hacia arriba

368
00:20:10,890 --> 00:20:12,789
bueno, pues si yo hago el

369
00:20:12,789 --> 00:20:14,710
producto vectorial de v por u

370
00:20:14,710 --> 00:20:16,990
me da el mismo módulo

371
00:20:16,990 --> 00:20:18,549
me da el mismo módulo

372
00:20:18,549 --> 00:20:20,789
me da la misma dirección pero

373
00:20:20,789 --> 00:20:22,690
sentido hacia abajo, ¿vale?

374
00:20:23,930 --> 00:20:25,230
luego, u por u

375
00:20:25,230 --> 00:20:26,910
es decir, si yo hago el producto

376
00:20:26,910 --> 00:20:28,829
vectorial de un vector consigo

377
00:20:28,829 --> 00:20:30,529
mismo, es

378
00:20:30,529 --> 00:20:32,910
cero, ¿por qué? ¿por qué son cero?

379
00:20:34,369 --> 00:20:35,130
porque son

380
00:20:35,130 --> 00:20:41,089
coincidente porque el ángulo que forman entre ellos es 0 y el seno de 0 es 0, ¿vale? Y luego si yo

381
00:20:41,089 --> 00:20:47,069
multiplico un escalar por un vector y luego le hago el producto vectorial con otro, es lo mismo que si

382
00:20:47,069 --> 00:20:53,410
yo hago el producto vectorial de u por v y a todo ello lo multiplico por el escalar a, ¿vale? O es lo

383
00:20:53,410 --> 00:21:00,130
mismo que si yo multiplico el escalar por el otro vector y luego hago el producto vectorial de u por

384
00:21:00,130 --> 00:21:19,009
¿Vale? El producto vectorial no posee la propiedad asociativa, entonces en general u por v por w no es lo mismo a u por v por w. Hay casos en los que sí puede pasar, ¿vale? Pero la mayoría no se cumple la propiedad asociativa.

385
00:21:19,009 --> 00:21:37,369
Y luego, ¿cómo vamos a hallar nosotros realmente esto de aquí? ¿Cómo lo vamos a hallar? Pues precisamente con los determinantes, ¿vale? ¿Cómo hago yo el producto vectorial de dos vectores?

386
00:21:37,369 --> 00:21:58,650
Pues precisamente yo pongo aquí mi i, mi j y mi k, que son los vectores ortonormales de la base formada por el 1, 0, 0, 0, 1, 0 y 0, 0, 1. Pongo aquí mi primer vector, muy importante, primero el primer vector y luego el segundo, y hago el determinante. ¿De acuerdo? ¿Sí o no?

387
00:21:58,650 --> 00:22:02,410
Y después lo que sí se cumple es la propiedad distributiva.

388
00:22:02,690 --> 00:22:04,809
Entonces, vamos a hacer un ejemplito, ¿vale?

389
00:22:05,589 --> 00:22:17,430
Venga, vamos a tener el vector u, las coordenadas eran 2, 3 y 7, ¿verdad?

390
00:22:17,509 --> 00:22:18,250
Me dijisteis.

391
00:22:18,910 --> 00:22:25,609
Vale, pues ahora dime otro vector que no sea coplanario, que no sea coplanario.

392
00:22:26,690 --> 00:22:30,890
Rubén, a Hugo te atreves tú, uno que no sea coplanario.

393
00:22:35,079 --> 00:22:42,440
1, 5 y 8.

394
00:22:43,900 --> 00:22:47,140
¿Y por qué no son coplanarios?

395
00:22:47,359 --> 00:22:51,160
Porque si os fijáis, si yo divido 2 entre 1, ¿cuánto me da?

396
00:22:51,579 --> 00:22:52,099
2.

397
00:22:52,220 --> 00:22:54,180
Y si yo divido 3 entre 5, ¿me da 2?

398
00:22:54,480 --> 00:22:54,759
No.

399
00:22:55,259 --> 00:22:55,480
¿Vale?

400
00:22:55,480 --> 00:23:05,220
Entonces, estos vectores, u y v, son linealmente independientes, son coplanarios.

401
00:23:06,519 --> 00:23:16,220
Chavales, en el examen no pongáis el I, ¿vale? Esto es linealmente independiente, ¿vale?

402
00:23:17,539 --> 00:23:24,339
Lo pongo yo aquí, ahora son coplanarios, ¿de acuerdo?

403
00:23:24,960 --> 00:23:31,299
Entonces, ¿cómo hago el producto vectorial de U y V? Fijaros que fácil.

404
00:23:31,299 --> 00:23:47,740
Dime, hija. No, no estoy. Estoy en la definición de cómo se hace ya el producto vectorial, ¿vale? Entonces, pongo arriba el IJK, ¿vale?, que es una base ortonormal de R3.

405
00:23:47,740 --> 00:24:03,000
Si recordamos, el I es el 1, 0, 0, la J es 0, 1, 0 y acá es 0, 0, 1.

406
00:24:03,599 --> 00:24:09,960
Son perpendiculares entre sí, porque si os fijáis, ¿por qué sé que I y J son perpendiculares?

407
00:24:10,039 --> 00:24:13,519
¿Alguien me lo sabe decir? ¿Por qué I y J son perpendiculares?

408
00:24:14,519 --> 00:24:15,539
¿Quién me lo sabe decir?

409
00:24:15,539 --> 00:24:17,940
porque y es el vector

410
00:24:17,940 --> 00:24:19,200
del fx

411
00:24:19,200 --> 00:24:21,500
y el j del fx

412
00:24:21,500 --> 00:24:23,960
no me vale, es verdad

413
00:24:23,960 --> 00:24:25,460
pero no me vale la respuesta

414
00:24:25,460 --> 00:24:34,140
¿quién me ha dicho eso?

415
00:24:34,420 --> 00:24:36,980
oh, escudero, estupendo

416
00:24:36,980 --> 00:24:40,799
si hago el producto

417
00:24:40,799 --> 00:24:42,900
escalar de y y de j, me voy a escudero

418
00:24:42,900 --> 00:24:44,759
me da cero, ¿vale? ¿cómo hago el producto

419
00:24:44,759 --> 00:24:46,359
escalar? guardáis, uno por cero

420
00:24:46,359 --> 00:24:49,079
más cero por uno, más cero por cero

421
00:24:49,079 --> 00:24:50,599
y eso es cero, ¿vale?

422
00:24:51,160 --> 00:24:56,920
Igualmente con el i y la k, 1 por 0 más 0 por 0 más 0 por 1 es 0.

423
00:24:57,299 --> 00:25:04,200
También con j y k, 0 por 0 es 0, 1 por 0 es 0, 0 por 1 es 0, 0 más 0 más 0 es 0, ¿vale?

424
00:25:04,599 --> 00:25:12,519
Entonces, ¿qué pongo aquí? Fijaros que es fácil, 2, 3, 7 y que pongo 1, 5, 8, ¿vale?

425
00:25:12,940 --> 00:25:16,079
Y chavales, ¿cómo vamos a hacer este determinante?

426
00:25:16,079 --> 00:25:46,059
Pues aquí lo vamos a hacer el desarrollo de un determinante por una fila, por la fila, precisamente la fila primera, ¿vale? Entonces, fijaros, si yo, chavales, lo voy a desarrollar por esta fila de IJK, ¿vale? Cojo, acordaros que era más, menos, más, ¿verdad? Más, menos, más, menos, más, menos, más y voy a hacer esto de aquí, ¿vale?

427
00:25:46,079 --> 00:25:54,140
¿Vale? Entonces, ¿qué ocurre? Pues esto sería más, si yo me cepillo la primera fila y la primera columna,

428
00:25:54,140 --> 00:26:07,450
¿qué me queda? 2, 7, perdona, me queda 3, 7, ¿verdad? 5, 8, yo tengo que multiplicar por cuánto? Por i.

429
00:26:08,470 --> 00:26:15,190
Menos, el menos este de aquí, ¿vale? Si yo me cepillo, ya vale, la primera fila y la segunda columna,

430
00:26:15,190 --> 00:26:23,970
que me queda 2, 7, 1, 8, ¿sí o no?, por j, más, si yo me cepillo la primera fila de

431
00:26:23,970 --> 00:26:31,950
tercera columna, me queda 2, 3, 1, 5, por k, ¿vale?, ¿cuánto vale este determinante?,

432
00:26:31,950 --> 00:26:42,509
24 menos 35 es menos 11i, ¿verdad?, esto es 16, 16 menos 7 es menos 9, ¿no?, menos

433
00:26:42,509 --> 00:26:44,710
9J y esto es

434
00:26:44,710 --> 00:26:46,710
10 menos 3 es 7

435
00:26:46,710 --> 00:26:47,829
más 7K

436
00:26:47,829 --> 00:26:54,430
2 por 8

437
00:26:54,430 --> 00:26:56,650
2 por 8

438
00:26:56,650 --> 00:26:58,789
2 por 8

439
00:26:58,789 --> 00:27:00,470
16

440
00:27:00,470 --> 00:27:02,269
16 menos 7 es 9

441
00:27:02,269 --> 00:27:04,130
con este menos, entonces

442
00:27:04,130 --> 00:27:06,529
¿cuáles serían las coordenadas en R3

443
00:27:06,529 --> 00:27:08,309
del vector? es menos 11

444
00:27:08,309 --> 00:27:09,829
menos 9

445
00:27:09,829 --> 00:27:12,069
7, ¿lo veis?

446
00:27:12,509 --> 00:27:18,609
Entonces, el producto vectorial es otro vector que hallo con este procedimiento.

447
00:27:18,710 --> 00:27:19,170
Dime, Ximena.

448
00:27:19,450 --> 00:27:22,029
¿Por qué en una es menos en la otra?

449
00:27:22,250 --> 00:27:25,269
Porque realmente yo aquí, ¿de dónde viene este más?

450
00:27:25,269 --> 00:27:30,670
Este más es desde menos 1 elevado a 1 más 1.

451
00:27:32,720 --> 00:27:34,299
¿De dónde viene este menos?

452
00:27:34,660 --> 00:27:36,240
Esto era menos 1.

453
00:27:36,720 --> 00:27:37,980
¿Este elemento cuál es, Ximena?

454
00:27:39,579 --> 00:27:40,700
El 1, 2.

455
00:27:41,019 --> 00:27:41,740
1 más 2.

456
00:27:41,740 --> 00:27:44,180
y este más

457
00:27:44,180 --> 00:27:46,720
viene de menos 1

458
00:27:46,720 --> 00:27:48,339
elevado a 1 más 3

459
00:27:48,339 --> 00:27:50,019
¿vale? porque es elemento 1

460
00:27:50,019 --> 00:27:52,200
¿vale? entonces estos son

461
00:27:52,200 --> 00:27:55,279
¿es que es 2 por 8?

462
00:27:58,279 --> 00:27:58,839
venga

463
00:27:58,839 --> 00:28:00,420
si chavales

464
00:28:00,420 --> 00:28:02,380
todo el mundo lo veis fácil, lo veis difícil

465
00:28:02,380 --> 00:28:04,579
este es el producto

466
00:28:04,579 --> 00:28:06,140
el producto, Victoria

467
00:28:06,140 --> 00:28:06,740
dime Elena

468
00:28:06,740 --> 00:28:14,779
de cada uno de ellos

469
00:28:14,779 --> 00:28:15,980
o del producto vectorial

470
00:28:15,980 --> 00:28:18,859
del producto vectorial, vale, lo vamos a hacer

471
00:28:18,859 --> 00:28:19,220
ahora

472
00:28:19,220 --> 00:28:28,779
ahora te lo digo, vale

473
00:28:28,779 --> 00:28:30,460
fijaros

474
00:28:30,460 --> 00:28:31,579
yo primero

475
00:28:31,579 --> 00:28:34,700
hago, imagínate si me dicen

476
00:28:34,700 --> 00:28:54,420
Aquí si me dicen realmente el ángulo que forma, yo antes de hacer el producto vectorial yo me iría al producto escalar, ¿vale? Yo me iría al producto escalar, porque si lo que me piden es el ángulo que forma, en vez de irme al vectorial me voy al escalar y lo que hago es,

477
00:28:54,420 --> 00:29:17,700
Ah, yo el producto escalar, que me va a dar un número, por ejemplo, el u por v, ¿eso qué es? 2 por 1 más 3 por 5 más 7 por 8, ¿vale? Esto es 2 más 15, 7 por 8, 56, ¿vale? Esto es 71, ¿no? 73, si no me equivoco.

478
00:29:17,700 --> 00:29:19,680
¿está bien hecho esto?

479
00:29:20,200 --> 00:29:21,000
creo que sí

480
00:29:21,000 --> 00:29:23,279
entonces, ¿qué ocurre?

481
00:29:23,460 --> 00:29:25,079
que yo sé hallar el módulo de U

482
00:29:25,079 --> 00:29:27,900
el producto escalar es 73

483
00:29:27,900 --> 00:29:28,539
¿vale?

484
00:29:29,200 --> 00:29:30,859
yo sé hallar el módulo de U

485
00:29:30,859 --> 00:29:33,519
pues el módulo de U es tan fácil como la raíz

486
00:29:33,519 --> 00:29:35,099
de 2 al cuadrado

487
00:29:35,099 --> 00:29:37,380
más 3 al cuadrado, más 7 al cuadrado

488
00:29:37,380 --> 00:29:39,839
y esto me tenéis que ayudar un momentillo

489
00:29:39,839 --> 00:29:41,259
esto es 4 más 9

490
00:29:41,259 --> 00:29:42,960
más 49

491
00:29:42,960 --> 00:29:44,759
que esto es

492
00:29:44,759 --> 00:29:47,240
raíz de 63

493
00:29:47,240 --> 00:29:48,960
si no me equivoco, lo estoy haciendo muy ligero

494
00:29:48,960 --> 00:29:51,359
si alguien me puede apoyar con la

495
00:29:51,359 --> 00:29:53,660
calculadora, os lo agradezco

496
00:29:53,660 --> 00:29:55,059
1 al cuadrado

497
00:29:55,059 --> 00:29:57,539
más 5 al cuadrado, más 8 al cuadrado

498
00:29:57,539 --> 00:29:59,140
esto es igual

499
00:29:59,140 --> 00:30:00,940
a 1 más

500
00:30:00,940 --> 00:30:03,119
25, 8 más 8, 8 por 8

501
00:30:03,119 --> 00:30:04,220
64, ¿no?

502
00:30:06,119 --> 00:30:06,380
¿sí?

503
00:30:08,539 --> 00:30:11,160
lo de menos 11 menos 9

504
00:30:11,160 --> 00:30:12,880
7 es el producto

505
00:30:12,880 --> 00:30:14,839
el producto vectorial, ¿vale?

506
00:30:15,579 --> 00:30:17,059
se señala con esto, ¿vale?

507
00:30:17,240 --> 00:30:18,500
este es el producto

508
00:30:18,500 --> 00:30:21,180
vectorial

509
00:30:21,180 --> 00:30:23,700
y ahora lo que pasa es que Elena me ha dicho

510
00:30:23,700 --> 00:30:25,680
si me piden el ángulo que forma

511
00:30:25,680 --> 00:30:27,519
entre ellos, yo en vez de irme al producto

512
00:30:27,519 --> 00:30:29,700
vectorial, me voy a ir al

513
00:30:29,700 --> 00:30:31,259
producto escalar

514
00:30:31,259 --> 00:30:33,319
hago el producto escalar

515
00:30:33,319 --> 00:30:35,799
hallo el módulo de uno, hallo el módulo

516
00:30:35,799 --> 00:30:37,839
del otro, que no sé si esto lo habéis calculado

517
00:30:37,839 --> 00:30:39,380
esto es

518
00:30:39,380 --> 00:30:41,240
65 más 25, 80

519
00:30:41,240 --> 00:30:42,400
no, 90

520
00:30:42,400 --> 00:30:45,220
y ahora que ocurre

521
00:30:45,220 --> 00:30:57,119
Que resulta que el producto esclar es igual al módulo de u por módulo de v por el coseno del ángulo que forma u y v, ¿vale?

522
00:30:57,460 --> 00:31:00,019
Esto sé cuánto vale, que es 73.

523
00:31:00,380 --> 00:31:02,839
Esto sé cuánto vale, que es raíz de 62.

524
00:31:03,359 --> 00:31:04,900
Esto vale raíz de 90.

525
00:31:05,519 --> 00:31:09,319
Despejo esto y luego le hallo el arco coseno, ¿vale?

526
00:31:09,319 --> 00:31:26,059
Claro, si yo despejo esto, coseno de u y v es igual realmente a 73 partido raíz de 62 por raíz de 90, pero eso me va a dar el coseno, ¿sí o no?

527
00:31:26,059 --> 00:31:45,539
Entonces, realmente alfa de u y v, ¿vale? Es el arco coseno de 73 partido raíz de 62 raíz de 90, ¿vale? Ahora, esto es, esto lo vimos ya el otro día, esto es el producto escalar.

528
00:31:45,539 --> 00:31:48,440
Ahora con el producto vectorial, fijaros

529
00:31:48,440 --> 00:31:49,940
Me da este ángulo de aquí

530
00:31:49,940 --> 00:31:51,759
¿Lo tenéis apuntado, chavales?

531
00:31:51,759 --> 00:31:52,799
Voy a hacer una cosilla

532
00:31:52,799 --> 00:31:54,380
¿Lo tenéis apuntado o no?

533
00:31:54,880 --> 00:31:57,740
Entonces, recordadme un momentillo

534
00:31:57,740 --> 00:31:58,319
El U

535
00:31:58,319 --> 00:31:59,740
¿El U qué era?

536
00:32:01,220 --> 00:32:02,660
2, 3, 7, ¿no?

537
00:32:03,559 --> 00:32:04,799
2, 3, 7

538
00:32:04,799 --> 00:32:06,920
Y el V que me dijo el Hugo

539
00:32:06,920 --> 00:32:09,160
Era 1, 5, 8

540
00:32:09,160 --> 00:32:10,740
Era un golosón

541
00:32:10,740 --> 00:32:13,980
¿Cuánto me daba el U por V?

542
00:32:13,980 --> 00:32:14,839
me daba

543
00:32:14,839 --> 00:32:18,440
menos 11, menos 9

544
00:32:18,440 --> 00:32:20,140
y 7, ¿verdad?

545
00:32:20,559 --> 00:32:21,920
Fijaros, hemos dicho

546
00:32:21,920 --> 00:32:24,720
del vector resultante

547
00:32:24,720 --> 00:32:25,500
del producto

548
00:32:25,500 --> 00:32:28,400
vectorial. ¿Cómo es ese

549
00:32:28,400 --> 00:32:30,599
vector respecto al u y al v?

550
00:32:30,940 --> 00:32:31,539
¿Cómo es?

551
00:32:36,079 --> 00:32:37,200
Es perpendicular.

552
00:32:37,559 --> 00:32:39,559
Se supone, si este, imaginaros que es

553
00:32:39,559 --> 00:32:41,559
w, resulta

554
00:32:41,559 --> 00:32:43,500
que w es

555
00:32:43,500 --> 00:32:45,440
perpendicular a u. ¿Y cómo

556
00:32:45,440 --> 00:32:46,519
lo compruebo, chavales?

557
00:32:47,079 --> 00:32:49,700
¿Cómo sé que dos vectores son perpendiculares?

558
00:32:50,519 --> 00:32:56,759
Si el producto escalar de u por w me da igual al producto escalar, es un punto, ¿vale?

559
00:32:57,079 --> 00:33:00,579
u por w, aquí sí se cumple la asociativa, ¿vale?

560
00:33:00,960 --> 00:33:03,680
Pues vamos a comprobarlo, ¿vale?

561
00:33:03,680 --> 00:33:07,299
Esto que es menos 11 por 2, ¿verdad?

562
00:33:07,299 --> 00:33:10,279
menos 11 por 2

563
00:33:10,279 --> 00:33:14,140
menos 11 por 2

564
00:33:14,140 --> 00:33:15,259
más

565
00:33:15,259 --> 00:33:17,460
menos 9 por 3

566
00:33:17,460 --> 00:33:18,960
más

567
00:33:18,960 --> 00:33:20,720
7 por 7

568
00:33:20,720 --> 00:33:22,480
y esto da

569
00:33:22,480 --> 00:33:25,220
0 o no, esto da

570
00:33:25,220 --> 00:33:26,299
menos 22, ¿verdad?

571
00:33:26,720 --> 00:33:29,160
menos 22, esto 3 por 9

572
00:33:29,160 --> 00:33:31,339
es 27, menos 27

573
00:33:31,339 --> 00:33:32,980
y esto es 49

574
00:33:32,980 --> 00:33:34,859
efectivamente esto da 0

575
00:33:34,859 --> 00:33:36,420
¿veis como son perpendiculares?

576
00:33:36,420 --> 00:33:52,480
¿Sí o no? Y ahora, igualmente, igualmente, W es perpendicular a V. Vamos a hacer el producto escalar de U por W, ¿vale? Es lo mismo que W por V.

577
00:33:52,480 --> 00:34:24,559
Entonces, ¿esto qué sería? 1 por menos 11, ¿verdad? 1 por menos 11 más 5 por menos 9 más 7 por 8, ¿vale? Esto es menos 11, esto es menos 45, que esto realmente es menos 56 y esto es 56.

578
00:34:24,559 --> 00:34:26,639
entonces esto da cero. ¿Veis cómo

579
00:34:26,639 --> 00:34:28,659
son? ¡Coño! ¿Veis cómo son

580
00:34:28,659 --> 00:34:30,539
perpendiculares? Porque su

581
00:34:30,539 --> 00:34:32,400
producto es claro

582
00:34:32,400 --> 00:34:34,099
es cero. ¿Lo veis?

583
00:34:34,719 --> 00:34:36,340
¿Sí o no? Vale.

584
00:34:36,880 --> 00:34:38,619
Pues entonces, chavales, si yo hubiese

585
00:34:38,619 --> 00:34:39,119
hecho

586
00:34:39,119 --> 00:34:41,980
v por u

587
00:34:41,980 --> 00:34:44,440
v por u, lo hago

588
00:34:44,440 --> 00:34:46,579
igual el producto vectorial. Esto es la

589
00:34:46,579 --> 00:34:48,460
i, esto es la j y esto

590
00:34:48,460 --> 00:34:50,480
es la k. Ahora pongo aquí el

591
00:34:50,480 --> 00:34:51,579
1, 5, 8

592
00:34:51,579 --> 00:34:54,059
y pongo el 2, 3, 7.

593
00:34:54,559 --> 00:35:03,639
Vais a ver cómo las componentes me van a salir 11, 9 y menos 7, ¿vale?

594
00:35:03,840 --> 00:35:06,820
¿Y sabéis por qué me van a salir con signos distintos?

595
00:35:06,960 --> 00:35:07,960
¿Alguien me lo sabe decir?

596
00:35:08,519 --> 00:35:13,659
He cambiado dos filas en el determinante.

597
00:35:13,780 --> 00:35:18,800
He cambiado dos filas en el determinante, propiedades de los determinantes, ¿vale?

598
00:35:18,800 --> 00:35:24,920
Lo que tú has dicho es una consecuencia de las propiedades de los determinantes.

599
00:35:25,099 --> 00:35:30,119
Cuando yo cambio en un determinante dos filas entre ellas o dos columnas entre ellas,

600
00:35:30,480 --> 00:35:35,019
el resultado de ese determinante es el mismo, pero con signo cambiado, ¿vale?

601
00:35:35,980 --> 00:35:36,940
Third thing or fourth thing.

602
00:35:37,500 --> 00:35:38,559
Entonces, hello, how are you?

603
00:35:39,179 --> 00:35:41,079
Entonces, chavales, ¿esto qué es?

604
00:35:41,460 --> 00:35:45,719
Esto es 5, 8, 3, 7 por i, ¿verdad?

605
00:35:45,719 --> 00:35:48,219
menos, esto es

606
00:35:48,219 --> 00:35:50,400
1, 8, 2, 7

607
00:35:50,400 --> 00:35:51,300
por j

608
00:35:51,300 --> 00:35:54,219
más, corregidme si me equivoco

609
00:35:54,219 --> 00:35:55,599
2, 3

610
00:35:55,599 --> 00:35:56,760
por k

611
00:35:56,760 --> 00:36:00,300
5 por 7

612
00:36:00,300 --> 00:36:01,960
35 menos

613
00:36:01,960 --> 00:36:04,280
24 es 11, ¿lo veis?

614
00:36:04,880 --> 00:36:05,539
positivo

615
00:36:05,539 --> 00:36:08,219
11 y 7 menos

616
00:36:08,219 --> 00:36:10,239
16 es menos 9, con este

617
00:36:10,239 --> 00:36:11,679
menos es

618
00:36:11,679 --> 00:36:13,099
más 9j

619
00:36:13,099 --> 00:36:15,920
y 3 menos 10

620
00:36:15,920 --> 00:36:17,539
es menos 7K

621
00:36:17,539 --> 00:36:19,900
¿lo veis? me da 11

622
00:36:19,900 --> 00:36:21,880
9 menos 7

623
00:36:21,880 --> 00:36:23,159
¿todo el mundo?

624
00:36:23,760 --> 00:36:24,239
everybody

625
00:36:24,239 --> 00:36:26,760
yes

626
00:36:26,760 --> 00:36:28,440
every person

627
00:36:28,440 --> 00:36:32,219
entonces chavales, si yo os pregunto

628
00:36:32,219 --> 00:36:34,119
¿cuánto vale

629
00:36:34,119 --> 00:36:35,539
el área? Fernando

630
00:36:35,539 --> 00:36:38,239
te aburro que yo, ¿cuánto vale el área

631
00:36:38,239 --> 00:36:40,119
del paralelogramo?

632
00:36:41,699 --> 00:36:42,159
¿qué hora es

633
00:36:42,159 --> 00:36:47,159
del paralelogramo

634
00:36:47,159 --> 00:36:51,519
que forman

635
00:36:51,519 --> 00:36:52,320
u y v

636
00:36:52,320 --> 00:36:56,139
¿cómo lo puedo hallar?

637
00:36:57,019 --> 00:36:58,260
¿el módulo de qué es?

638
00:37:00,400 --> 00:37:02,380
del producto vectorial

639
00:37:02,380 --> 00:37:03,559
y aquí me da igual

640
00:37:03,559 --> 00:37:04,219
coger

641
00:37:04,219 --> 00:37:07,559
me da igual

642
00:37:07,559 --> 00:37:09,179
esto que esto

643
00:37:09,179 --> 00:37:11,059
porque estos dos vectores

644
00:37:11,059 --> 00:37:12,320
tienen el mismo módulo

645
00:37:12,320 --> 00:37:14,139
que es lo que se diferencia

646
00:37:14,139 --> 00:37:15,659
en el sentido

647
00:37:15,659 --> 00:37:22,280
Entonces resulta que si W era U por V

648
00:37:22,280 --> 00:37:27,329
Era por ejemplo menos 11 menos 9

649
00:37:27,329 --> 00:37:31,670
Y 7 si yo hago el módulo de W

650
00:37:31,670 --> 00:37:33,989
¿Cómo se halla el módulo de un vector?

651
00:37:34,329 --> 00:37:36,949
Por la raíz cuadrada de la primera componente

652
00:37:36,949 --> 00:37:37,789
Esto me tenéis que ayudar

653
00:37:37,789 --> 00:37:41,309
Más la segunda componente al cuadrado

654
00:37:41,309 --> 00:37:43,289
Más 7 al cuadrado

655
00:37:43,289 --> 00:37:51,050
Esto, si no me equivoco, es 121 más 81 más 49, la raíz cuadrada.

656
00:37:51,050 --> 00:37:57,489
Y esto que es 121 más 49 es 170, ¿no?

657
00:37:58,150 --> 00:38:03,489
170 más 81 son 251.

658
00:38:03,610 --> 00:38:04,550
Me tenéis que ayudar, ¿eh?

659
00:38:04,610 --> 00:38:05,829
Lo estoy haciendo de cabeza.

660
00:38:05,969 --> 00:38:06,289
¿Está bien?

661
00:38:06,429 --> 00:38:07,010
¿Es correcto?

662
00:38:08,750 --> 00:38:08,929
¿Eh?

663
00:38:10,050 --> 00:38:11,309
¿Tienes un calculador?

664
00:38:11,909 --> 00:38:12,690
Sí, venga.

665
00:38:13,289 --> 00:38:34,610
Pues ese es el módulo y ese es el área, ¿vale? Es decir, si yo tengo aquí mi vector u y aquí mi vector v, forma un paralelogramo, pues el área de esto es raíz de 251 unidades cuadradas.

666
00:38:34,610 --> 00:38:38,860
lo dejas como raíz, ¿vale?

667
00:38:39,860 --> 00:38:42,400
Pero el área, si te pregunto por el área,

668
00:38:42,519 --> 00:38:46,320
me tienes que decir unidades cuadradas, ¿eh?

669
00:38:47,019 --> 00:38:47,360
¿Vale?

670
00:38:47,960 --> 00:38:48,900
¿In thing or not thing?

671
00:38:49,739 --> 00:38:50,780
Venga, let's go.

672
00:38:51,780 --> 00:38:52,519
Venga, chavales.

673
00:38:55,769 --> 00:38:57,829
Entonces, ¿qué sabemos?

674
00:38:58,050 --> 00:39:00,090
Un resumen que aparece en el libro.

675
00:39:00,150 --> 00:39:01,750
El producto vectorial de dos vectores,

676
00:39:01,750 --> 00:39:04,789
sus coordenadas se hacen por el desarrollo

677
00:39:04,789 --> 00:39:08,110
de un determinante por la primera fila, ¿vale?

678
00:39:08,110 --> 00:39:12,789
que es esto de aquí, para hallar el área del paralelogramo determinado por u y por v,

679
00:39:13,389 --> 00:39:18,610
se hace primero el producto vectorial y sobre ese vector se hace el módulo.

680
00:39:19,730 --> 00:39:25,969
Y para obtener un vector perpendicular a otros dos, pues precisamente hemos dicho

681
00:39:25,969 --> 00:39:34,130
que el vector resultante de hacer el producto vectorial de u y v es otro vector v doble

682
00:39:34,130 --> 00:39:36,909
que además es perpendicular a ambos dos, ¿vale?

683
00:39:36,909 --> 00:39:38,829
Entonces, cuando me piden en un ejercicio,

684
00:39:39,530 --> 00:39:42,929
hágame el vector perpendicular a estos dos.

685
00:39:43,269 --> 00:39:45,670
Pues hace el producto bestial,

686
00:39:45,789 --> 00:39:47,170
decía ya el determinante,

687
00:39:47,530 --> 00:39:49,409
y ese vector es perpendicular a ambos.

688
00:39:49,789 --> 00:39:49,889
¿Vale?

689
00:39:50,250 --> 00:39:51,030
Su módulo.

690
00:39:51,250 --> 00:39:54,130
Su módulo es precisamente el área del paralelogramo

691
00:39:54,130 --> 00:39:55,170
que forma 1 y v.

692
00:39:55,769 --> 00:39:56,210
¿Firthing?

693
00:39:56,989 --> 00:39:57,550
Firthing.

694
00:39:58,409 --> 00:39:59,309
Pues venga, chavales,

695
00:39:59,309 --> 00:40:01,309
nos vamos ahí ya a lo último del tema.

696
00:40:02,010 --> 00:40:05,809
Lo último del tema es el producto mixto de tres vectores.

697
00:40:05,809 --> 00:40:30,309
Siempre para el producto escalar, dos vectores. Para el producto vectorial, dos vectores. Y el producto mixto, ¿vale? Se designa así, es decir, yo tengo tres vectores VW, se designa o así o también se designa como el producto escalar de VW, el vectorial de VW,

698
00:40:30,309 --> 00:40:40,070
y al resultado le multiplico el producto, lo diré, el producto, a la gracia, padre.

699
00:40:40,809 --> 00:40:46,409
Entonces, chavales, la interpretación geométrica, y esto es súper importante, ¿vale?

700
00:40:46,590 --> 00:40:55,110
La interpretación geométrica es realmente el volumen del paralelepípedo,

701
00:40:55,110 --> 00:41:05,170
te cagas por la braga vale es fijaros chavales lo voy a copiar a tal cual a ver si me cumpliera

702
00:41:05,170 --> 00:41:17,269
si me cabe fijaros aquí si yo veo voy a la definición es el producto escalar de un por

703
00:41:17,269 --> 00:41:21,309
por el producto vectorial de v por w, ¿de acuerdo?

704
00:41:22,010 --> 00:41:23,309
Entonces, ¿qué ocurre?

705
00:41:23,550 --> 00:41:27,989
Que precisamente es el producto escalar,

706
00:41:28,130 --> 00:41:31,190
porque u por w me da otro vector, ¿verdad?

707
00:41:31,610 --> 00:41:32,329
Me da otro vector.

708
00:41:33,090 --> 00:41:35,110
Imagínate que es h de lena.

709
00:41:35,849 --> 00:41:39,510
u por v me da h de lena, ¿vale?

710
00:41:39,989 --> 00:41:43,309
Entonces, ¿esto qué sería el producto escalar de u por h?

711
00:41:43,449 --> 00:41:46,190
Pues sería u por el módulo de h, ¿verdad?

712
00:41:46,190 --> 00:41:49,809
por el coseno que forma u y h, ¿sí o no?

713
00:41:51,530 --> 00:41:54,090
Y ahora, ¿cuál es el módulo de h?

714
00:41:54,250 --> 00:41:57,329
Pues el módulo de h es precisamente el módulo del producto

715
00:41:57,329 --> 00:42:01,349
de v por w, ¿de acuerdo?

716
00:42:01,769 --> 00:42:04,610
Entonces, ¿aquí qué es lo que estoy teniendo realmente?

717
00:42:05,210 --> 00:42:07,250
v por w, ¿qué era?

718
00:42:07,489 --> 00:42:12,309
El módulo de u por w siendo el producto vectorial,

719
00:42:12,309 --> 00:42:25,989
Pues el área del paralelogramo definido por u por v, es la base de este paralelogramo, ¿lo veis? Yo tengo aquí v y w y luego tengo otro vector que es u, ¿lo veis?

720
00:42:25,989 --> 00:42:46,630
Entonces, el producto, el módulo del producto vectorial de u por v era el área de la base y ahora si yo proyecto realmente, chavales, si yo proyecto realmente el vector u sobre la perpendicular al plano definido por u y por v, ¿vale?

721
00:42:46,630 --> 00:42:48,889
Que la perpendicular es esta, ¿vale?

722
00:42:49,030 --> 00:42:51,389
Si yo lo proyecto, ¿qué es lo que tengo?

723
00:42:51,510 --> 00:42:55,630
Realmente tengo la altura de ese paralelepípedo, ¿vale?

724
00:42:55,849 --> 00:42:58,690
Esta es la explicación de que se va a ir por donde venís.

725
00:42:58,889 --> 00:43:01,329
Yo directamente me aprendo una cosilla.

726
00:43:02,010 --> 00:43:07,110
Igual que el módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo,

727
00:43:07,190 --> 00:43:12,550
el módulo, perdona, el producto mixto es el área de ese paralelo,

728
00:43:12,710 --> 00:43:14,590
de paralelepípedo se llama, ¿vale?

729
00:43:14,590 --> 00:43:16,670
Un paralelogramo son dos dimensiones

730
00:43:16,670 --> 00:43:19,590
y un paralelepípedo son tres dimensiones.

731
00:43:19,909 --> 00:43:21,269
Es esto de aquí, ¿vale?

732
00:43:21,429 --> 00:43:25,329
Es como si yo tengo un paralelogramo y le doy altura, ¿sí?

733
00:43:26,309 --> 00:43:30,949
¿Sabéis la diferencia entre un círculo y un cilindro, no?

734
00:43:31,550 --> 00:43:34,769
Si tú coges el círculo y le das volumen,

735
00:43:35,030 --> 00:43:37,230
lo llevas hacia arriba, te forma un cilindro.

736
00:43:37,590 --> 00:43:40,090
Si yo tengo un paralelogramo y lo llevo hacia arriba,

737
00:43:40,469 --> 00:43:43,590
pues lo que me da es un paralelepípedo de K.

738
00:43:43,590 --> 00:43:46,329
Entonces, si yo en un examen, en un ejercicio te pido,

739
00:43:46,769 --> 00:43:50,869
hállame el área del paralelípedo que forman estos tres vectores.

740
00:43:51,530 --> 00:43:53,570
Pues lo que tenemos que hacer es el producto mixto.

741
00:43:54,409 --> 00:43:55,130
¿Vale, chavales?

742
00:43:55,489 --> 00:43:55,869
¿Sí o no?

743
00:43:57,110 --> 00:43:59,789
Esa es su interpretación geométrica.

744
00:44:00,309 --> 00:44:02,730
Y ahora, su analítica, súper fácil, ¿vale?

745
00:44:03,070 --> 00:44:05,929
Su expresión analítica, ¿vale?

746
00:44:06,369 --> 00:44:09,030
Su expresión analítica, que aquí lo vemos tal,

747
00:44:09,030 --> 00:44:12,309
realmente es si hago el determinante de los tres vectores.

748
00:44:12,309 --> 00:44:34,110
Fijaros que fácil. Su expresión analítica, que aquí te la explica entera, el resumen es muy fácil. Es, chavales, es, diré, el determinante de los tres, ¿vale? El determinante de los tres vectores.

749
00:44:34,110 --> 00:44:49,829
Y ese me da un número, porque el determinante al final me da un número, y entonces ese es el área del paralelelípido que forman los tres, ¿vale? Entonces, si volvemos a nosotros, el U creo que era 2, 3, 7, ¿verdad?

750
00:44:49,829 --> 00:44:52,449
el V era

751
00:44:52,449 --> 00:44:54,349
1, 5, 8

752
00:44:54,349 --> 00:44:56,429
y el W

753
00:44:56,429 --> 00:44:57,630
decirme otro

754
00:44:57,630 --> 00:45:01,670
por ejemplo, menos 2

755
00:45:01,670 --> 00:45:05,250
4, 0

756
00:45:05,250 --> 00:45:06,889
para que tengamos un terapia

757
00:45:06,889 --> 00:45:09,269
entonces si me dicen

758
00:45:09,269 --> 00:45:10,389
¿cuál es el área

759
00:45:10,389 --> 00:45:14,349
del paralelepípedo

760
00:45:14,349 --> 00:45:18,349
paralelepípedo

761
00:45:18,349 --> 00:45:19,289
te cagas

762
00:45:19,289 --> 00:45:21,570
formado

763
00:45:21,570 --> 00:45:24,590
el volumen, gracias

764
00:45:24,590 --> 00:45:28,190
para ver si estabais atentos

765
00:45:28,190 --> 00:45:29,110
volumen

766
00:45:29,110 --> 00:45:33,349
del paralelo formado por

767
00:45:33,349 --> 00:45:34,469
u

768
00:45:34,469 --> 00:45:36,090
v

769
00:45:36,090 --> 00:45:37,969
y w

770
00:45:37,969 --> 00:45:40,590
¿qué tengo que hacer?

771
00:45:40,750 --> 00:45:42,590
simplemente el determinante

772
00:45:42,590 --> 00:45:44,230
de 2, 3, 7

773
00:45:44,230 --> 00:45:46,769
1, 5, 8

774
00:45:46,769 --> 00:45:49,750
y menos 2, 4, 0

775
00:45:49,750 --> 00:45:51,590
¿qué ocurre si esto

776
00:45:51,590 --> 00:45:53,570
me da negativo, chavales, pues

777
00:45:53,570 --> 00:45:54,510
que tengo que hallar

778
00:45:54,510 --> 00:45:57,250
el valor absoluto.

779
00:45:57,650 --> 00:46:01,440
Dime. El volumen

780
00:46:01,440 --> 00:46:03,360
del paralelípedo formado

781
00:46:03,360 --> 00:46:04,639
por estos tres vectores.

782
00:46:08,199 --> 00:46:09,099
Sí, pero que al final

783
00:46:09,099 --> 00:46:11,059
se resume en la forma analítica esto de aquí.

784
00:46:11,519 --> 00:46:12,500
El producto mixto,

785
00:46:12,840 --> 00:46:13,880
el producto mixto,

786
00:46:14,980 --> 00:46:16,820
mira, lo tienes aquí. Elena,

787
00:46:17,380 --> 00:46:19,340
lo que has visto. El producto mixto

788
00:46:19,340 --> 00:46:21,199
de esos tres es realmente

789
00:46:21,199 --> 00:46:23,079
el producto vectorial

790
00:46:23,079 --> 00:46:24,739
de los dos últimos, ¿vale?

791
00:46:25,579 --> 00:46:26,980
Por el

792
00:46:26,980 --> 00:46:28,699
producto escalar con el primero.

793
00:46:29,380 --> 00:46:31,059
Si yo todo esto lo desarrollo,

794
00:46:31,239 --> 00:46:32,800
Elena, si yo todo esto lo

795
00:46:32,800 --> 00:46:34,380
desarrollo, fíjate,

796
00:46:34,900 --> 00:46:37,079
al final lo que tengo es el determinante

797
00:46:37,079 --> 00:46:38,960
de todos ellos. ¿Vale? Entonces,

798
00:46:39,159 --> 00:46:41,199
¿para qué nos vamos a aprender todo? Nos recordamos

799
00:46:41,199 --> 00:46:43,039
que es el determinante. Chavales,

800
00:46:43,159 --> 00:46:45,039
¿qué ocurre si

801
00:46:45,039 --> 00:46:47,519
los tres vectores son coplanarios?

802
00:46:48,079 --> 00:46:49,039
¿Qué ocurre si los

803
00:46:49,039 --> 00:46:50,519
tres vectores son coplanarios?

804
00:46:51,480 --> 00:46:53,059
¿Cómo sé que tres vectores son

805
00:46:53,059 --> 00:46:53,760
coplanarios

806
00:46:53,760 --> 00:46:56,920
el determinante es cero

807
00:46:56,920 --> 00:46:59,059
¿eso es verdad o es mentira?

808
00:47:01,869 --> 00:47:03,150
¿y por qué el determinante

809
00:47:03,150 --> 00:47:05,210
es cero en tres vectores coplanarios?

810
00:47:08,010 --> 00:47:08,730
¿por qué?

811
00:47:10,210 --> 00:47:11,429
porque si son

812
00:47:11,429 --> 00:47:13,309
coplanarios, ¿qué significa que tres

813
00:47:13,309 --> 00:47:15,489
vectores son coplanarios? que uno de ellos

814
00:47:15,489 --> 00:47:17,250
lo puedo poner como

815
00:47:17,250 --> 00:47:19,010
la suma

816
00:47:19,010 --> 00:47:21,230
de una combinación lineal de los

817
00:47:21,230 --> 00:47:22,409
otros dos, ¿lo veis?

818
00:47:22,409 --> 00:47:24,469
y entonces son coplanarios

819
00:47:24,469 --> 00:47:26,570
son linealmente dependientes

820
00:47:26,570 --> 00:47:28,630
su determinante

821
00:47:28,630 --> 00:47:30,469
es cero y entonces si tengo

822
00:47:30,469 --> 00:47:32,030
tres vectores coplanarios

823
00:47:32,030 --> 00:47:33,949
voy a tener volumen

824
00:47:33,949 --> 00:47:36,610
no tiene altura, la altura es

825
00:47:36,610 --> 00:47:38,550
cero, entonces chavales

826
00:47:38,550 --> 00:47:40,409
no sé si alguien ha hecho el determinante

827
00:47:40,409 --> 00:47:42,610
este de aquí, este de aquí yo lo voy

828
00:47:42,610 --> 00:47:44,090
a desarrollar por aquí, ¿vale?

829
00:47:45,909 --> 00:47:46,389
porque

830
00:47:46,389 --> 00:47:47,469
si me da negativo

831
00:47:47,469 --> 00:47:50,489
tenemos que

832
00:47:50,489 --> 00:47:52,309
hacer su valor absoluto, ¿vale? entonces

833
00:47:52,309 --> 00:47:53,849
Esto es más, menos, más.

834
00:47:54,349 --> 00:47:57,789
Esto es menos 2 por el determinante de 3, 7.

835
00:47:57,929 --> 00:47:59,110
Acabo con esto, ¿vale, chavales?

836
00:47:59,230 --> 00:47:59,969
5, 8.

837
00:48:00,849 --> 00:48:04,489
Menos 4 por el determinante de 2, 7.

838
00:48:04,610 --> 00:48:05,369
1, 8, ¿verdad?

839
00:48:07,309 --> 00:48:07,750
Corregirme.

840
00:48:07,889 --> 00:48:11,690
Más 0 por el determinante de 2, 3.

841
00:48:11,789 --> 00:48:12,309
1, 5.

842
00:48:12,469 --> 00:48:13,610
¿Por qué he cogido la tercera?

843
00:48:13,710 --> 00:48:15,309
Porque tengo aquí un 0 y esto es un 0.

844
00:48:15,929 --> 00:48:18,849
Esto es menos 2 que multiplica 3 por 8.

845
00:48:18,849 --> 00:48:20,630
24 menos.

846
00:48:20,630 --> 00:48:47,989
Aquí valor absoluto siempre, ¿eh? Valor absoluto. Menos 2 que multiplica 24 menos 35. Ayudarme, ¿vale? Menos 4 que es 16 menos 7. Y valor absoluto. ¿Y esto cuánto es, chavales? Esto es menos 11, ¿no? Esto es un 22. Menos, esto es un 9, ¿no? 9 menos 36. ¿Te da lo mismo que yo?

847
00:48:47,989 --> 00:48:50,050
me da el valor

848
00:48:50,050 --> 00:48:52,309
absoluto de menos 14

849
00:48:52,309 --> 00:48:54,110
es igual a 14

850
00:48:54,110 --> 00:48:55,730
pero 14 que es chavales

851
00:48:55,730 --> 00:48:58,429
unidades cúbicas

852
00:48:58,429 --> 00:48:59,070
muy bien

853
00:48:59,070 --> 00:49:01,510
unidades cúbicas

854
00:49:01,510 --> 00:49:02,889
vale

855
00:49:02,889 --> 00:49:06,789
o he subido

856
00:49:06,789 --> 00:49:08,789
este puente

857
00:49:08,789 --> 00:49:09,710
el vídeo

858
00:49:09,710 --> 00:49:12,130
con cada uno de los ejercicios

859
00:49:12,130 --> 00:49:14,250
del examen, echarle un vistazo

860
00:49:14,250 --> 00:49:15,690
están subidas las soluciones

861
00:49:15,690 --> 00:49:17,789
y los vídeos explicando cada uno de ellos

862
00:49:17,789 --> 00:49:19,289
echarle un vistazo, ¿vale?