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00:00:12,460 --> 00:00:18,120
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:18,120 --> 00:00:22,839
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,839 --> 00:00:34,780
de la unidad AL1 dedicada a las matrices. En la videoclase de hoy estudiaremos la potenciación

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00:00:34,780 --> 00:00:52,259
de matrices. En esta videoclase vamos a estudiar la potenciación de matrices. Esto podemos

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00:00:52,259 --> 00:00:56,820
hacerlo una vez que ya hemos estudiado el producto de matrices. Si queremos calcular

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00:00:56,820 --> 00:01:03,380
una matriz a elevado a n, un número natural, lo que tenemos que hacer es, recordando cuál es la

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00:01:03,380 --> 00:01:10,920
definición de potencia, multiplicar a por sí misma n veces. Como vemos aquí, para poder realizar esta

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00:01:10,920 --> 00:01:15,859
multiplicación sucesiva lo que necesitamos es que la matriz a sea cuadrada, puesto que si no las

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00:01:15,859 --> 00:01:21,620
dimensiones no van a ser las adecuadas. Vamos a obtener a elevado a n una potencia que va a ser

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00:01:21,620 --> 00:01:27,719
también cuadrada del mismo orden que la matriz A. Y como vemos aquí, en el caso particular en el que

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00:01:27,719 --> 00:01:34,040
se nos pida calcular potencias con un exponente grande, a elevado 84, a elevado 2.124, o en el

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00:01:34,040 --> 00:01:39,540
caso en el que se nos pida una expresión algebraica para la potencia enésima de una matriz, con n un

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00:01:39,540 --> 00:01:45,700
número natural cualquiera, lo que tenemos que hacer es calcular las primeras potencias al cuadrado,

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00:01:45,840 --> 00:01:50,840
al cubo, a la cuarta, a la quinta, hasta que nos demos cuenta de que nos encontramos con una de

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00:01:50,840 --> 00:01:57,840
dos posibilidades. La primera es que al calcular al cuadrado, al cubo, a la cuarta, etcétera, nos

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00:01:57,840 --> 00:02:03,239
demos cuenta de que obtenemos cíclicamente los mismos resultados y eso va a ser así porque en

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00:02:03,239 --> 00:02:09,659
algún momento al calcular a elevado a la séptima, al cubo, alguna de esas potencias va a ser la

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00:02:09,659 --> 00:02:15,539
matriz identidad. De tal manera que la siguiente potencia va a ser i por a igual a a, la siguiente

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00:02:15,539 --> 00:02:22,379
a por a al cuadrado y así sucesivamente. De esta manera podríamos dar una fórmula

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00:02:22,379 --> 00:02:28,520
para la potencia enésima y podríamos determinar, calculando restos, cuál va a ser el resultado

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00:02:28,520 --> 00:02:34,500
de a elevado a 85 o cualquier exponente grande. La otra posibilidad va a ser que nos demos

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00:02:34,500 --> 00:02:39,460
cuenta de que no vamos a encontrarnos con una repetición cíclica, pero sí que los

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00:02:39,460 --> 00:02:44,939
elementos que ocupan una determinada posición dentro de a al cuadrado, al cubo, a la cuarta,

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00:02:44,939 --> 00:02:50,620
etcétera cumplen con una cierta ley de recurrencia puede ser que sean todos iguales pueden ser que

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00:02:50,620 --> 00:03:02,419
alternen 1 menos 1 1 menos 1 podría ser que fuera la secuencia 1 2 3 4 o la potencia 1 2 4 8 en el

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00:03:02,419 --> 00:03:08,120
caso en el que nos encontremos con una recurrencia podríamos dar una fórmula para la potencia enésima

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00:03:08,120 --> 00:03:16,139
Y en ese caso podríamos calcular cuáles son a elevado a 84, a elevado a una potencia con un exponente arbitrario, grande o no.

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00:03:17,060 --> 00:03:26,699
Con esto que hemos comentado, con esto que hemos visto, podríamos resolver estos ejercicios que resolveremos en clase, que veremos en videoclases sucesivas.

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00:03:27,300 --> 00:03:35,219
Este primer ejercicio 8 es el más directo. Tenemos una matriz a cuadrada de orden 2 y se nos pide a cuadrado al cubo y a la cuarta, directo.

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00:03:35,219 --> 00:03:56,840
En estos ejercicios 9 y 10 tenemos una matriz A cuadrada de orden 3 y se nos pide que calculemos las matrices A cuadrado al cubo a la cuarta puntos sucesivos, tantas como sean necesarios para encontrar un patrón que nos permita determinar de una forma sencilla las matrices A elevado a 72, a 70, 86, 81, etc.

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00:03:57,620 --> 00:04:02,560
Así preguntado tiene pinta de que nos vayamos a encontrar con una repetición cíclica.

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00:04:03,539 --> 00:04:15,639
Por último, en este ejercicio 11 tenemos esta matriz, también cuadrada de orden 3, y no se nos dice cómo, pero se nos pide la expresión algebraica para las matrices a elevado a n, a n y números naturales.

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00:04:16,639 --> 00:04:22,339
No se nos dice cómo, pero sabemos, lo hemos comentado, que tendremos que calcular al cuadrado, al cubo, a la cuarta, etc.

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00:04:22,339 --> 00:04:33,879
Y buscaremos ese patrón de repetición o bien directamente ese patrón de recurrencia que nos permita determinar todos los elementos de la matriz A elevado a n.

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00:04:34,259 --> 00:04:40,240
Como he dicho anteriormente, revisaremos estos ejercicios en clase, los veremos en videoclases sucesivas.

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00:04:40,240 --> 00:04:48,800
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:04:49,540 --> 00:04:53,639
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:04:54,439 --> 00:04:59,199
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:04:59,800 --> 00:05:01,160
Un saludo y hasta pronto.