1
00:00:00,940 --> 00:00:12,359
Vamos a resolver el problema de la PAU de Madrid de la convocatoria de septiembre de 2016, modelo A, ejercicio 2, que tiene este enunciado.

2
00:00:12,560 --> 00:00:20,000
Nos dan dos rectas, una en formato de corte de dos planos y otra en formato paramétrico, y nos hacen una serie de preguntas.

3
00:00:20,679 --> 00:00:27,940
Para contestar dichas preguntas nos interesa, lo primero de todo, calcular la recta R en formato paramétrico.

4
00:00:27,940 --> 00:00:33,539
paramétrico. Para ello, lo que hacemos es calcular un punto que pertenezca a la recta

5
00:00:33,539 --> 00:00:41,880
R, dando un valor a la X, sustituyendo las dos ecuaciones de los dos planos y resolviendo,

6
00:00:42,280 --> 00:00:50,100
que nos queda Y3, YZ0. Así que el punto 1, 3, 0 es un punto de la recta R. Para calcular

7
00:00:50,100 --> 00:00:55,539
el vector director de la recta R, hacemos el producto vectorial de los dos vectores

8
00:00:55,539 --> 00:01:01,219
perpendiculares a cada uno de los planos, es decir, formados por sus coeficientes.

9
00:01:01,659 --> 00:01:07,519
Aunque aquí nos lo hace GeoGebra, nosotros lo que haremos será construir la matriz IJK

10
00:01:07,519 --> 00:01:13,760
1, 0, menos 2, que son los coeficientes, y 1, 1, 1, que son los coeficientes del segundo plano,

11
00:01:13,760 --> 00:01:23,480
y calcular el determinante de dicha matriz, que nos da 2, menos 3, 1, como obviamente nos había dicho ya GeoGebra.

12
00:01:24,420 --> 00:01:34,200
Ahora lo que vamos a hacer es pintar ese vector y la recta, así que esa es la recta R, podemos ocultar el vector.

13
00:01:34,939 --> 00:01:43,200
Vamos pues ya a contestar a la pregunta del apartado A, vamos a obtener la recta que pasa por el punto P105, vamos a pintar P,

14
00:01:43,200 --> 00:01:47,560
y que corta perpendicularmente a R

15
00:01:47,560 --> 00:01:49,840
para eso necesitamos un paso previo

16
00:01:49,840 --> 00:01:54,319
que es calcular el plano perpendicular a la recta R

17
00:01:54,319 --> 00:01:56,280
que pasa por 1, 0, 5

18
00:01:56,280 --> 00:01:58,260
como quiero la ecuación de un plano

19
00:01:58,260 --> 00:02:00,760
y además tengo el vector perpendicular

20
00:02:00,760 --> 00:02:03,680
2, menos 3, 1 que hemos sacado en el apartado anterior

21
00:02:03,680 --> 00:02:07,040
pues simplemente escribo la ecuación normal del plano

22
00:02:07,040 --> 00:02:09,740
haciendo que pase por el punto 1, 0, 5

23
00:02:09,740 --> 00:02:10,300
que es P

24
00:02:10,300 --> 00:02:12,319
me sale este plano

25
00:02:12,319 --> 00:02:22,120
que si le pinto, pues se ve claramente en el dibujo, que es perpendicular a la recta y que pasa por P.

26
00:02:23,379 --> 00:02:31,460
Ahora lo que vamos a hacer es la intersección de dicho plano con la recta para obtener un punto Q que estará aquí.

27
00:02:32,280 --> 00:02:35,340
Para eso cogemos ahí dos maneras.

28
00:02:35,340 --> 00:02:49,539
Una manera es, como nos dan la recta R en forma de dos planos, le añadimos como tercer plano el que acabamos de calcular, el azul del dibujo, y resolvemos por Cramer.

29
00:02:50,340 --> 00:02:54,020
Nos sale 3, 0, 1, que serían las coordenadas de este punto.

30
00:02:54,020 --> 00:03:06,280
La otra manera es coger la recta R en formato paramétrico y sustituirla en el plano azul que hemos calculado.

31
00:03:07,419 --> 00:03:23,580
Nos saldrá una ecuación en lambda que si la resolvemos nos da lambda igual a 1 y si ahora sustituimos en la recta pues nos sale obviamente 3, 0, 1.

32
00:03:24,020 --> 00:03:30,000
igual que cuando hicimos Cramer en el sistema de tres ecuaciones.

33
00:03:32,020 --> 00:03:38,939
Pintamos el punto Q y que obviamente vemos que está sobre la recta R y en el plano que queríamos

34
00:03:38,939 --> 00:03:47,199
y ahora ya simplemente trazaremos el punto, el vector PQ que sería el 2, 0, menos 4

35
00:03:47,199 --> 00:04:01,800
y con el punto P y el vector 2, 0, menos 4, pues tenemos la recta 1 más 2 lambda, 0, 5 menos 4 lambda, que es la respuesta al apartado A.

36
00:04:01,800 --> 00:04:06,039
pasa por el punto P y corta perpendicularmente a R

37
00:04:06,039 --> 00:04:08,539
como vamos a ver si pintamos el plano

38
00:04:08,539 --> 00:04:14,259
el ángulo pues se ve ahí claramente que alfa es 90

39
00:04:14,259 --> 00:04:17,800
el que forma la recta negra y la recta azul

40
00:04:17,800 --> 00:04:22,800
lo que vamos a hacer ahora pues es ya para hacer el apartado B

41
00:04:22,800 --> 00:04:25,600
ocultar todas estas cosas

42
00:04:25,600 --> 00:04:31,000
el ángulo, el plano, la recta, el vector PQ

43
00:04:31,000 --> 00:04:33,360
y los puntos P y Q

44
00:04:33,360 --> 00:04:38,220
ya podemos pasar al siguiente apartado

45
00:04:38,220 --> 00:04:40,860
para eso vamos a pintar la recta S

46
00:04:40,860 --> 00:04:42,920
lo primero, tenemos el punto B

47
00:04:42,920 --> 00:04:45,680
que sería 2, 1, 0

48
00:04:45,680 --> 00:04:48,199
y el vector V

49
00:04:48,199 --> 00:04:50,339
1, menos 3, 1

50
00:04:50,339 --> 00:04:55,379
los coeficientes de los lambda

51
00:04:55,379 --> 00:05:00,100
y ya podemos pintar la recta roja

52
00:05:00,100 --> 00:05:02,019
se ve fácilmente

53
00:05:02,019 --> 00:05:05,139
que las dos rectas se cruzan

54
00:05:05,139 --> 00:05:05,699
¿de acuerdo?

55
00:05:06,379 --> 00:05:08,519
R y S son esas dos rectas

56
00:05:08,519 --> 00:05:10,980
vamos a hacer ahora el plano

57
00:05:10,980 --> 00:05:12,519
que contiene a la recta R

58
00:05:12,519 --> 00:05:14,699
y es paralelo a S

59
00:05:14,699 --> 00:05:16,480
para ello

60
00:05:16,480 --> 00:05:19,959
pues lo que vamos a hacer

61
00:05:19,959 --> 00:05:21,519
es el determinante

62
00:05:21,519 --> 00:05:23,680
en la primera fila ponemos

63
00:05:23,680 --> 00:05:25,939
X menos un punto por el que queremos que pase

64
00:05:25,939 --> 00:05:27,660
yo he cogido el punto A

65
00:05:27,660 --> 00:05:28,600
obviamente

66
00:05:28,600 --> 00:05:30,120
que pertenece a R

67
00:05:30,120 --> 00:05:30,980
1, 3, 0

68
00:05:30,980 --> 00:05:35,860
y los vectores directores de R y de S.

69
00:05:37,079 --> 00:05:41,579
Entonces, porque tiene que contener a R y tiene que ser paralelo a S.

70
00:05:42,220 --> 00:05:46,279
Y me sale este plano, menos y menos 3Z más 3 igual a 0.

71
00:05:46,279 --> 00:05:53,120
Le pintamos y vemos que contiene a la recta roja, ahí lo vemos bien,

72
00:05:53,120 --> 00:06:06,660
y es paralelo a la recta, contiene la recta azul, perdón, y es paralelo a la recta roja, ahí es donde se vería perfectamente, ¿de acuerdo?

73
00:06:07,519 --> 00:06:18,279
Bueno, pues entonces esa es la respuesta al apartado b, menos i menos 3z más 3 igual a 0.

74
00:06:18,279 --> 00:06:28,040
Y por último vamos a ocultar el plano este B y por último vamos a hallar la distancia entre dos rectas que se cruzan.

75
00:06:28,040 --> 00:06:52,839
Para hallar la distancia entre dos rectas que se cruzan, simplemente voy a hacer la fórmula conocida en la que primero voy a construir el vector AB, 1-2, 0, y con los vectores U y V forman entre los tres un paralelepípedo, podríamos intentar acercarnos,

76
00:06:52,839 --> 00:07:04,819
forman entre los tres un paralelepípedo que tiene de área el determinante,

77
00:07:04,899 --> 00:07:12,480
estamos haciendo el producto mixto, de los vectores AB, el vector U y el vector V.

78
00:07:13,339 --> 00:07:14,879
Ese producto mixto me da 2.

79
00:07:15,879 --> 00:07:21,019
Ahora, para calcular la base del paralelepípedo y que al dividirme de la altura,

80
00:07:21,019 --> 00:07:33,060
que es la distancia entre dos rectas que se cruzan, pues calculamos el determinante con la matriz IJK, el vector U y el vector V,

81
00:07:33,420 --> 00:07:42,720
que por cierto ya lo habíamos hecho aquí, por eso me da 0, menos 1, menos 3, que son los coeficientes del plano que hicimos en el apartado B.

82
00:07:42,720 --> 00:07:48,139
calculamos la longitud de ese vector

83
00:07:48,139 --> 00:07:50,639
y me da raíz de 10

84
00:07:50,639 --> 00:07:54,939
así que finalmente la distancia entre las dos rectas que se cruzan

85
00:07:54,939 --> 00:07:59,860
será simplemente 2 entre raíz de 10

86
00:07:59,860 --> 00:08:02,699
que racionalizado da raíz de 10 partido por 5

87
00:08:02,699 --> 00:08:07,160
y en decimal 0,63

88
00:08:07,160 --> 00:08:11,120
que por cierto si utilizamos la instrucción de GeoGebra

89
00:08:11,120 --> 00:08:14,040
distancia entre dos rectas

90
00:08:14,040 --> 00:08:16,899
pues nos da exactamente el mismo valor

91
00:08:16,899 --> 00:08:19,100
lo que nos confirma que lo hemos hecho bien

92
00:08:19,100 --> 00:08:21,519
y ya hemos terminado el ejercicio