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00:00:00,000 --> 00:00:11,000
Hola, este vídeo es la continuación del ejercicio anterior que nos pedía el cálculo de la raíz quinta de 3,150.

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00:00:12,140 --> 00:00:19,199
Hemos obtenido cinco raíces, donde la primera era la raíz quinta de 3,30 grados.

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00:00:19,600 --> 00:00:25,920
Entonces, voy a hacer la representación gráfica de lo que va a resultar un pentágono

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00:00:25,920 --> 00:00:36,000
y podemos ver ahí tanto el cálculo del perímetro como del lado, que antes yo he supuesto que era 2,

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00:00:36,100 --> 00:00:42,439
para que veáis cuánto da realmente de una forma gráfica y precisa con GeoGebra.

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00:00:43,000 --> 00:00:49,439
Para eso yo defino la constante mod, por ejemplo, que es módulo, que es 3 elevado a 1 quinto.

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00:00:49,439 --> 00:00:55,679
3 elevado a 1 quinto, que es 1,25, eso es la raíz quinta de 3.

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00:00:55,920 --> 00:01:11,379
También defino el ángulo alfa, lo defino como 30 grados, 30 grados en radianes es igual que pi sexto, pi sabemos que es 180, pues 180 entre 6 son 30 grados.

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00:01:11,379 --> 00:01:35,579
Entonces, ¿cómo represento yo el número complejo en GeoGebra? Pues de la forma trigonométrica. Esto es el módulo, tengo el módulo que es 1,25 y yo lo multiplico por coseno de alfa, coseno de alfa, más y seno de alfa.

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00:01:35,579 --> 00:01:50,260
Con lo cual me aparece Z1 que es la forma binómica de raíz quinta de 3, 30 grados.

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00:01:50,379 --> 00:02:01,719
Si no nos creemos mucho que esta es la forma binómica, vamos a verlo gráficamente como sería.

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00:02:01,719 --> 00:02:18,759
Para eso yo voy a crear una circunferencia de centro el 0,0 y que pase por este punto de aquí que es la primera raíz, que es raíz quinta de 3, 30 grados.

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00:02:18,759 --> 00:02:24,099
Si nos fijamos, el radio es precisamente 1,25.

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00:02:24,520 --> 00:02:32,080
1,25. Si yo aquí selecciono este punto de aquí, es 1,25, 0.

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00:02:32,080 --> 00:02:43,419
¿Lo veis? Es la intersección del eje de las X con esta circunferencia que une el radio con Z1, que es la primera raíz.

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00:02:43,419 --> 00:02:58,780
Con lo cual, puedo comprobar que este módulo de aquí, este segmento que une A con Z sub 1, si yo le digo a ver cuánto mide F, pues vemos que es 1,25.

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00:02:59,039 --> 00:03:06,139
Con lo cual, la raíz quinta de 3, yo lo hago a la calculadora, me tiene que dar 1,25.

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00:03:06,139 --> 00:03:20,000
Voy a comprobar que realmente este ángulo de aquí es 30 grados. Para eso lo que hago es calculo cuántos grados hay entre AB y Z1.

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00:03:20,000 --> 00:03:34,939
Y aquí me aparece, perdón, aquí me aparece, lo voy a hacer de nuevo, ángulo, tengo B, tengo A y tengo Z sub 1.

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00:03:35,159 --> 00:03:37,860
Con lo cual aquí me aparece que es 30 grados.

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00:03:41,960 --> 00:03:47,979
¿Vale? Entonces, ¿qué ocurre? Pues voy a quitar un poquito de zoom y lo que voy a hacer es,

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00:03:47,979 --> 00:04:11,759
Como las distintas raíces, las cinco raíces, tienen el mismo módulo, pero se le suma 360 entre 5, que es 72 grados, lo que voy a crear aquí es un nuevo punto a partir de Z1, donde forme 72 grados con el eje.

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00:04:11,759 --> 00:04:21,420
Y si os fijáis, me ha creado aquí el punto Z2, que entre Z1 y Z2 hay 72 grados.

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00:04:21,600 --> 00:04:30,500
Me voy a crear ahora el tercero, es decir, de Z2 al centro, yo me creo otro con 72 grados y esta es la tercera raíz.

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00:04:30,579 --> 00:04:36,860
Esta tercera raíz era raíz quinta de 3, 174 grados.

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00:04:36,860 --> 00:04:56,759
Voy a hacer el mismo proceso para crearme la raíz cuarta. Z4 es la raíz quinta de 3, 246 grados. Y ya por último me creo el último, que es Z5, que es raíz quinta de 3, 318.

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00:04:56,759 --> 00:05:16,839
Si yo aquí, por ejemplo, volviese a hacer uno nuevo, el Z sub 6, veo que me va a coincidir Z1. Voy a hacerlo y vais a ver cómo Z1 se va a convertir ahora en Z6. Así se va replicando y se van repitiendo las raíces.

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00:05:16,839 --> 00:05:32,379
Lo voy a deshacer, ¿vale? Entonces, yo ya aquí puedo formar el polígono uniendo z1 con z2 con z3 con z4 con z5 y luego otra vez lo cierro en z1.

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00:05:32,639 --> 00:05:43,040
Si os fijáis, yo tengo un polígono regular. Siempre las raíces de un número complejo me van a formar un polígono regular.

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00:05:43,040 --> 00:05:56,819
¿Qué es la raíz cúbica? Voy a tener un triángulo equilátero. ¿Qué es la raíz cuarta? Voy a tener un cuadrado. ¿Qué es la raíz quinta? Como en este caso voy a tener un pentágono regular donde todos los lados son iguales.

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00:05:56,819 --> 00:06:13,339
Si no nos lo creemos, voy a hacer esto de aquí, me va a medir la distancia, tanto de G, que mide 1,46, como H, como I, vemos, como J, como K, todos los lados miden 1,46.

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00:06:13,660 --> 00:06:21,459
¿Cómo lo podría hacer yo en el cuaderno que no tenemos en el examen GeoGebra? Pues aplicando el teorema del cateto.

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00:06:21,459 --> 00:06:32,639
Yo sé que este lado F, que mide 1,25, que es el radio, también va a medir desde el centro a Z2.

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00:06:33,480 --> 00:06:40,379
Este lado L, si yo le digo a medir, pues como es el radio, pues 1,25 también.

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00:06:41,019 --> 00:06:48,759
Entonces, si yo tengo el triángulo Z2 origen Z1, este triángulo de aquí,

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00:06:48,759 --> 00:06:59,060
Yo sé que entre Z1 y Z2 hay 72 grados. 72 grados es la división de 360 entre 6, que me da 72.

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00:06:59,639 --> 00:07:05,180
Con lo cual yo sé que este lado es 1.25, este otro lado es el radio, también 1.25.

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00:07:05,639 --> 00:07:09,660
Yo podría hallar G con el teorema del cateto.

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00:07:09,980 --> 00:07:16,100
Yo os invito a que lo hagáis con el teorema del cateto y os sale que este lado mide 1.46.

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00:07:16,100 --> 00:07:26,139
Por lo tanto, yo ya puedo medir el perímetro de este polígono regular. De hecho, me da 7,32.

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00:07:26,660 --> 00:07:29,800
Probarlo ustedes y comprobar que es así.

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00:07:30,639 --> 00:07:34,720
Espero que os haya gustado porque a mí esto, la verdad, que me flipa muchísimo.