1
00:00:00,050 --> 00:00:05,710
Bien, hoy vamos a estudiar perímetros y áreas de polígonos regulares.

2
00:00:06,209 --> 00:00:14,250
Recordamos que los polígonos regulares son aquellos que tienen los lados y los ángulos iguales.

3
00:00:14,470 --> 00:00:24,050
Por ejemplo, este polígono que tenemos aquí es un hexágono porque tiene uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis lados.

4
00:00:24,050 --> 00:00:32,149
Por tanto, esto es un hexágono. Sabemos que es un hexágono regular porque tiene los seis lados iguales.

5
00:00:32,590 --> 00:00:41,450
Vamos a suponer que miden 10 centímetros y los seis ángulos iguales. En este caso son seis ángulos obtusos.

6
00:00:42,229 --> 00:00:47,649
Bien, lo primero que vamos a hacer es hallar el perímetro de esta figura.

7
00:00:47,649 --> 00:00:59,070
Para hallar el perímetro de una figura necesito hacer la suma de todos sus lados, por lo que el perímetro es igual a la suma de los lados de un polígono.

8
00:00:59,289 --> 00:01:07,530
En este caso, como hemos dicho que es un polígono regular de lado 10 centímetros y los lados de un polígono regular son iguales,

9
00:01:07,530 --> 00:01:21,510
Sabemos que el perímetro de un hexágono regular equivaldría a la suma de sus lados y por tanto el perímetro de este hexágono regular son seis lados iguales,

10
00:01:21,510 --> 00:01:33,209
10 más 10 más 10 más 10 más 10, o lado más lado más lado más lado, si el lado son 10 centímetros, el perímetro es igual a 6 veces 10, por tanto serían 60 centímetros.

11
00:01:33,209 --> 00:01:42,969
Vamos a trabajar ahora con el área del polígono regular, con el área de este hexágono.

12
00:01:43,569 --> 00:01:57,590
Para saber el área lo primero que tenemos que saber es que todos los pentágonos regulares están dentro de una circunferencia y esa circunferencia tiene un centro, cada uno de los vértices están en esta circunferencia.

13
00:01:57,590 --> 00:02:08,590
Si cogemos este centro y unimos con los vértices de esta figura, lo que hacemos es dividir la figura en triángulos iguales.

14
00:02:08,590 --> 00:02:27,370
En el caso del hexágono y solo en el caso del hexágono, estos triángulos son equiláteros. En el resto de los polígonos regulares, los triángulos en los que queda dividida la figura son triángulos isósceles, es decir, que tienen dos lados iguales y uno diferente.

15
00:02:27,370 --> 00:02:32,330
Pero como ya he dicho, esto es un hexágono y en este caso es un triángulo equilátero.

16
00:02:32,949 --> 00:02:39,349
Otra cosa que es importante saber a la hora de calcular el área de un hexágono o de cualquier polígono regular

17
00:02:39,349 --> 00:02:49,610
es que la perpendicular que une el centro de la circunferencia con el lado contrario de cada uno de los triángulos,

18
00:02:49,729 --> 00:02:55,530
realmente se podría hacer en cada uno de ellos, a esta línea se la conoce como apotema.

19
00:02:55,530 --> 00:03:05,550
Si yo pienso que es un triángulo y solamente me fijo en el triángulo, esta sería la altura de cada uno de los triángulos en los que queda dividido

20
00:03:05,550 --> 00:03:15,449
Pero recordamos que cuando hablamos de la línea que une el centro de la circunferencia con el lado opuesto a esta línea

21
00:03:15,449 --> 00:03:22,129
No se la va a conocer como altura del polígono, se la conoce como apotema del polígono regular

22
00:03:22,129 --> 00:03:40,490
Bien, que no se nos olvide este dato. Una vez que tenemos, como veis aquí, el hexágono dividido en seis partes iguales con cada uno de sus lados, tenemos un lado azul, un lado naranja, un lado rojo, un lado amarillo, un lado morado y un lado verde.

23
00:03:40,490 --> 00:03:47,710
Es importante recordar que esta figura queda dividida en seis triángulos iguales para calcular su área.

24
00:03:47,949 --> 00:04:01,270
Una forma muy sencilla sería calcular el área de uno de los triángulos, por ejemplo, el lado del triángulo rosa tendría su base y tendría su altura, que sería el apotema,

25
00:04:01,270 --> 00:04:11,129
y como es un hexágono que tiene seis triángulos iguales, pues sabiendo el área de uno de ellos podría conocer el área total que es toda la superficie.

26
00:04:11,530 --> 00:04:20,269
Pero en este caso vamos a buscar cuál es la fórmula que me sirve para averiguar la superficie o el área de cualquier polígono regular.

27
00:04:21,149 --> 00:04:30,149
Una vez que tengo mi hexágono dividido en triángulos iguales, voy a fijarme en uno de ellos, por ejemplo en el naranja.

28
00:04:30,149 --> 00:04:43,370
Y lo que voy a hacer es cambiar la disposición de estos triángulos para obtener una figura geométrica ya conocida de la cual será mucho más fácil obtener el área.

29
00:04:43,850 --> 00:04:50,910
Voy colocando todos los triángulos, el triángulo naranja y los coloco de esta manera.

30
00:04:51,430 --> 00:04:59,149
Vamos a mover esto un poquito y los coloco de esta manera.

31
00:04:59,149 --> 00:05:08,110
Tenemos el triángulo naranja, el triángulo rojo, el triángulo azul, el triángulo amarillo, el triángulo verde y el triángulo rosa

32
00:05:08,110 --> 00:05:12,170
Y aquí obtengo una figura geométrica ya conocida

33
00:05:12,170 --> 00:05:19,990
Esto es un romboide, es un cuadrilátero paralelogramo que tiene los lados paralelos 2 a 2

34
00:05:19,990 --> 00:05:22,870
Por lo tanto los lados son iguales 2 a 2

35
00:05:22,870 --> 00:05:26,949
Este lado y este lado son iguales, este lado y este lado son iguales

36
00:05:26,949 --> 00:05:30,850
Este lado con este lado son paralelos, igual que este con este.

37
00:05:31,769 --> 00:05:36,550
Colocamos la figura para poder apreciar perfectamente que se trata de un romboide.

38
00:05:37,329 --> 00:05:46,129
Y ahora tendríamos que recordar cuál es el área de esta figura, cómo es el área de un romboide.

39
00:05:46,870 --> 00:05:53,870
El área del romboide, como tenemos aquí, es la base por la altura.

40
00:05:53,870 --> 00:05:56,889
Esto ya lo estudiamos cuando estudiamos el área del romboide.

41
00:05:56,949 --> 00:06:03,730
simplemente recordar la base y la altura. ¿Qué necesitamos saber? Necesitamos saber que al

42
00:06:03,730 --> 00:06:10,329
recolocar los triángulos que formaban el hexágono formando otra figura, el área del hexágono sigue

43
00:06:10,329 --> 00:06:17,149
siendo la misma, no ha variado. La superficie que ocupa esta figura y la superficie que ocupa esta

44
00:06:17,149 --> 00:06:23,129
figura es la misma, por tanto el área del hexágono es igual al área del romboide. Si yo sé que el

45
00:06:23,129 --> 00:06:34,519
área del romboide es igual a la base por altura, tengo que el área del romboide es igual a la base

46
00:06:34,519 --> 00:06:47,050
por la altura. Lo único que nos ocurre ahora es que no conocemos los datos de la base ni los datos

47
00:06:47,050 --> 00:06:58,180
de la altura, solamente sabemos que el lado del hexágono son 10 centímetros y que la apotema,

48
00:06:58,180 --> 00:07:06,779
que es esta línea que está aquí o la altura del triángulo son 1,732. Estos datos normalmente

49
00:07:06,779 --> 00:07:12,899
nos los da el problema o nos piden que los obtengamos, pero ya conocemos el lado del

50
00:07:12,899 --> 00:07:22,379
hexágono y la apotema del hexágono, 10 centímetros, 1,732. Bien, ¿qué hacemos para buscar estos

51
00:07:22,379 --> 00:07:27,759
datos que necesitamos para hallar el área? La base y la altura. Vamos a ver la base de

52
00:07:27,759 --> 00:07:33,579
este romboide en función de los datos que tengo de mi hexágono. El hexágono tiene un perímetro que

53
00:07:33,579 --> 00:07:42,600
ya lo vimos, este perímetro son 60 centímetros. Bien, y tengo que estos lados que están aquí de

54
00:07:42,600 --> 00:07:49,800
color están también aquí. Tengo mi lado naranja, mi lado azul y mi lado verde que forman la base

55
00:07:49,800 --> 00:07:58,579
De los seis lados que tiene el hexágono, tres de ellos, el naranja, el azul y el verde, forman la base.

56
00:07:59,220 --> 00:08:11,779
Aquí tengo el contorno de esta figura, pero solamente la mitad de este perímetro es el dato que necesito porque es el que equivale a la base.

57
00:08:12,379 --> 00:08:14,779
Uno, dos y tres.

58
00:08:14,779 --> 00:08:25,779
Por tanto, yo puedo decir que la base de este romboide es igual a la mitad del perímetro del hexágono.

59
00:08:26,220 --> 00:08:33,759
Por lo tanto, donde estaba la base, ahora tengo la mitad del perímetro, que es un dato que ya conozco.

60
00:08:34,120 --> 00:08:36,139
Tengo el perímetro, la mitad es 30.

61
00:08:36,899 --> 00:08:39,240
Bien, y por otro lado, tengo la altura.

62
00:08:39,240 --> 00:08:48,240
Como vemos aquí, la altura del romboide va a coincidir con la altura de cada uno de los triángulos que yo tengo aquí.

63
00:08:49,240 --> 00:08:58,220
Y esta altura en un hexágono, en una figura geométrica que no es el triángulo, tenía un nombre y este nombre es la apotema.

64
00:08:58,639 --> 00:09:07,320
Por lo tanto, en vez de tener la altura del romboide en mi hexágono, esto es la apotema.

65
00:09:07,320 --> 00:09:24,519
De esta manera, yo puedo decir que el área de cualquier figura geométrica regular es la mitad del perímetro por apotema.

66
00:09:24,940 --> 00:09:28,860
Vamos a ver cómo nos quedaría esto en nuestro hexágono.

67
00:09:28,860 --> 00:09:36,759
Área es igual a la mitad del perímetro por la apotema

68
00:09:36,759 --> 00:09:41,539
O lo que es lo mismo, perímetro por apotema partido por 2

69
00:09:41,539 --> 00:09:46,879
La propiedad asociativa de la multiplicación y la división me permite primero multiplicar y luego dividir

70
00:09:46,879 --> 00:09:48,740
O primero dividir y luego multiplicar

71
00:09:48,740 --> 00:09:50,399
Aquí tengo la fórmula

72
00:09:50,399 --> 00:10:00,159
El área de cualquier polígono regular es perímetro por apotema partido de 2.

73
00:10:00,580 --> 00:10:08,379
De cualquier perímetro regular incluiría el cuadrado, que es el cuadrilátero regular, aunque hemos estudiado otra forma de averiguar su área.

74
00:10:08,379 --> 00:10:38,220
Una vez que tengo la fórmula y como ya hemos dicho, sé que el perímetro son 60 centímetros y que la apotema, que es un dato que nos daban en el problema, son 1,732, podemos decir que el área de nuestro hexágono es 60 por 1,732 partido de 2 igual a 5,196, importante medida de superficie.

75
00:10:38,379 --> 00:10:40,539
centímetros cuadrados.