1
00:00:00,980 --> 00:00:03,480
Vamos a calcular las asíntotas de esta función.

2
00:00:03,839 --> 00:00:08,820
Las asíntotas de una función son rectas a las cuales se aproxima la gráfica de la función

3
00:00:08,820 --> 00:00:10,300
pero nunca llega a cortarla.

4
00:00:10,939 --> 00:00:12,599
Existen tres tipos de asíntotas.

5
00:00:13,099 --> 00:00:16,080
Vamos a empezar por las primeras, que son las asíntotas verticales.

6
00:00:16,480 --> 00:00:22,240
Las asíntotas verticales son rectas verticales y la expresión general de una recta vertical es x igual a a.

7
00:00:22,580 --> 00:00:25,519
Pues diremos que x igual a a es asíntota vertical

8
00:00:25,519 --> 00:00:35,460
si sólo si se cumple que el límite cuando la x tiende a a de la función es más menos infinito.

9
00:00:35,799 --> 00:00:41,600
No sabemos este valor de a al que tenemos que hacer tender la x para que este límite de como resultado el más menos infinito.

10
00:00:42,359 --> 00:00:48,640
Para ello lo que vamos a hacer es calcular el dominio de la función porque los puntos en los que no esté definida la función

11
00:00:48,640 --> 00:00:55,420
es donde tendremos asíntotas verticales. En este caso, el dominio de esta función, por ser racional,

12
00:00:55,840 --> 00:01:02,659
es todos los reales menos el valor menos 4. En este punto es donde tendremos una asíntota vertical.

13
00:01:03,280 --> 00:01:08,480
Para corroborarlo, lo que hacemos es calcular el límite cuando la x tiende a ese punto.

14
00:01:08,980 --> 00:01:13,159
Pero a ese punto nos podemos acercar tanto por la derecha como por la izquierda de la función.

15
00:01:13,159 --> 00:01:28,799
Calculamos estos límites y nosotros sabemos que al sustituir el resultado será la indeterminación que ha partido por 0

16
00:01:28,799 --> 00:01:33,939
que sabemos que como resultado es un infinito, solo falta saber el signo

17
00:01:33,939 --> 00:01:37,659
para ello tomamos un valor próximo al menos 4 por la derecha

18
00:01:37,659 --> 00:01:44,319
Un valor próximo al menos 4 por la derecha sería, por ejemplo, el menos 3,9.

19
00:01:44,959 --> 00:01:54,280
Menos 3,9 al cuadrado sería positivo, menos 3,9 más 4 sería positivo, más entre más, más.

20
00:01:54,959 --> 00:01:59,060
Vamos a coger un número que se aproxime al menos 4 por la izquierda.

21
00:01:59,519 --> 00:02:00,979
Por ejemplo, menos 4,1.

22
00:02:01,120 --> 00:02:05,819
Menos 4,1 al cuadrado sería positivo, pero menos 4,1 más 4 quedaría negativo.

23
00:02:05,820 --> 00:02:17,300
luego más entre menos me quedaría menos. Por lo tanto, puedo afirmar que en x igual a menos 4 voy a tener una asíntota vertical.

24
00:02:19,379 --> 00:02:25,659
Representamos esta función en el sistema de ejes de coordenadas. Aquí tengo el eje de las x, el eje de las y.

25
00:02:25,659 --> 00:02:38,060
las asíntotas se representan por líneas discontinuas, x igual a 1, 2, 3 y 4, este es el menos 4, entonces una línea discontinua.

26
00:02:38,060 --> 00:02:56,180
Bien, si me aproximo al menos 4 por la derecha, o sea, por aquí, la gráfica de la función se va al más infinito, por lo tanto, la función iría por ahí arriba.

27
00:02:56,180 --> 00:03:04,099
Y si me acerco al menos 4 por la izquierda, lo que ocurre es que va al menos infinito, es decir, que la función iría por aquí.

28
00:03:04,099 --> 00:03:12,479
Bien, el siguiente tipo de asíntotas son las asíntotas horizontales

29
00:03:12,479 --> 00:03:19,299
Las asíntotas horizontales son rectas para las al eje de las x que tienen por expresión general y igual a b

30
00:03:19,299 --> 00:03:33,319
Bien, pues diremos que igual a b es asíntota horizontal si y solo si se cumple que el límite cuando la x tiende al más o al menos infinito de la función me da un valor numérico b

31
00:03:33,319 --> 00:03:40,000
Bien, en este caso lo tenemos más fácil puesto que sabemos a quién tiende la x para calcular ese límite

32
00:03:40,000 --> 00:03:47,180
Pues calculamos el límite cuando la x tiende a más infinito de x cuadrado partido por x más 4

33
00:03:47,180 --> 00:03:51,719
Al sustituir en el numerador me sale un infinito y en el denominador otro infinito

34
00:03:51,719 --> 00:03:56,240
Comparando grados, el monomí del mayor grado es x al cuadrado

35
00:03:56,240 --> 00:03:59,099
Por lo tanto el resultado de este límite es un más infinito

36
00:03:59,099 --> 00:04:03,019
Vamos a ver qué ocurre si la x tiende al menos infinito

37
00:04:03,020 --> 00:04:10,560
Ocurriría lo mismo, puesto que el grado del numerador es 2, el grado del denominador es 1,

38
00:04:11,140 --> 00:04:16,040
luego sustituyéndolo, el menos infinito en el x al cuadrado me sale un más infinito.

39
00:04:16,199 --> 00:04:23,439
Por lo tanto, con esto tenemos que podemos afirmar que no existen asíntotas horizontales.

40
00:04:26,220 --> 00:04:32,019
Bien, si no existen asíntotas horizontales, pueden existir asíntotas oblicuas.

41
00:04:32,019 --> 00:04:48,000
Lo que es seguro es que si existen asíntotas horizontales, entonces no existen asíntotas oblicuas.

42
00:04:49,740 --> 00:04:58,180
Como esta función no tiene asíntotas horizontales, puede tener otro tipo de asíntotas, que son las asíntotas oblicuas.

43
00:04:58,180 --> 00:05:05,480
Las asíndotas oblicuas son rectas cuya expresión general es y igual a mx más n.

44
00:05:05,639 --> 00:05:10,139
Como su propio nombre indica, al ser oblicuas tiene una pendiente determinada.

45
00:05:10,819 --> 00:05:14,439
Esos parámetros m y n se calculan de la siguiente manera.

46
00:05:15,220 --> 00:05:25,079
m va a ser el límite, o se calculará calculando el límite cuando la x tiende al más infinito de la función entre x.

47
00:05:25,079 --> 00:05:39,319
y el valor de n se calculará calculando el límite cuando la x tiende al más infinito de la función f de x menos el valor m que me ha salido antes por x.

48
00:05:39,319 --> 00:05:49,219
Vamos a calcularlos en este caso. En este caso m va a ser el límite cuando la x tiende a más infinito de f de x entre x,

49
00:05:49,220 --> 00:06:03,500
Luego tengo x al cuadrado partido por x más 4 entre x. Operando esto de aquí nos queda el límite cuando la x tiende a más infinito de x cuadrado entre x cuadrado más 4x.

50
00:06:04,140 --> 00:06:10,760
Calculando este límite tengo la indeterminación del tipo infinito partido por infinito cuyo resultado en este caso es 1.

51
00:06:11,699 --> 00:06:21,839
Calculamos n y n va a ser el límite cuando la x tiende a más infinito de la función,

52
00:06:23,120 --> 00:06:33,420
que en este caso la función es x cuadrado partido por x más 4 menos el valor de m que me ha salido antes,

53
00:06:33,560 --> 00:06:38,180
que es 1 por x, 1 por x es x, por lo tanto voy a poner simplemente x.

54
00:06:38,180 --> 00:06:57,399
Voy a operar esta fracción que tengo aquí, esto es el límite cuando la x tiende a más infinito de, en el denominador tengo el x más 4 y en el numerador tengo x al cuadrado menos, y ahora sería x por x más 4, es decir, x al cuadrado menos 4x.

55
00:06:57,400 --> 00:07:07,500
Simplificando y operando tengo que el límite cuando la x tiende a más infinito de x cuadrado menos x cuadrado se va

56
00:07:07,500 --> 00:07:11,300
Por lo tanto me queda menos 4x dividido por x más 4

57
00:07:11,300 --> 00:07:17,980
Si calculamos este límite tengo la determinación del tipo infinito partido por infinito cuyo resultado es menos 4

58
00:07:17,980 --> 00:07:28,879
Por lo tanto, tengo que la expresión o la ecuación, mejor dicho, y igual a x menos 4 es una asíntota oblicua de la función.

59
00:07:31,280 --> 00:07:38,860
Ahora solo queda por determinar cómo se coloca o cómo se va a colocar o representar la función con respecto a esta asíntota oblicua.

60
00:07:39,000 --> 00:07:42,240
Para ello, lo primero que tenemos que hacer es representar esta recta.

61
00:07:42,240 --> 00:07:46,560
Al representar esta recta necesitamos una tabla de valores, solo dos.

62
00:07:47,300 --> 00:07:53,500
Si la x vale 0, la y vale menos 4 y si la y vale 0, la x vale 4.

63
00:07:55,100 --> 00:07:57,079
Intentamos pintar lo mejor que podamos.

64
00:08:06,860 --> 00:08:12,060
Solo nos queda por determinar si la función se va a aproximar a esta recta o bien por encima

65
00:08:12,060 --> 00:08:16,920
o bien por debajo. Y lo mismo en este caso, o bien por encima o bien por debajo.

66
00:08:17,740 --> 00:08:26,220
Lo que vamos a hacer para ello es estudiar el signo de una expresión que viene dada por lo siguiente.

67
00:08:26,740 --> 00:08:36,580
Queremos ver qué ocurre con el signo, sólo el signo de la función menos la asíntota oblicua.

68
00:08:36,580 --> 00:08:47,300
En este caso es el signo de la expresión x cuadrado partido por x más 4 menos la asíntota oblicua, que en este caso es x menos 4.

69
00:08:48,379 --> 00:09:00,400
Desarrollamos esto de aquí y tenemos que es el signo de x al cuadrado menos x menos 4 por x más 4 para poner el mismo denominador.

70
00:09:00,399 --> 00:09:06,199
esto de aquí es una identidad notable

71
00:09:06,199 --> 00:09:08,779
por lo tanto queremos calcular el signo de

72
00:09:08,779 --> 00:09:13,779
x al cuadrado menos x al cuadrado menos 4

73
00:09:13,779 --> 00:09:17,279
dividido por x más 4

74
00:09:17,279 --> 00:09:22,139
es decir, el signo de

75
00:09:22,139 --> 00:09:25,179
x al cuadrado menos x al cuadrado se va

76
00:09:25,179 --> 00:09:27,159
con lo cual arriba me queda un 4

77
00:09:27,159 --> 00:09:29,840
y abajo me queda un x más 4

78
00:09:30,560 --> 00:09:32,879
¿A qué nos referimos con esto de ver el signo?

79
00:09:32,960 --> 00:09:37,540
Lo que vamos a hacer es tomar valores muy grandes de x y valores muy pequeños de x.

80
00:09:37,860 --> 00:09:43,040
Si el valor que me da al tomar esos valores de x muy grandes, si el signo es positivo,

81
00:09:43,340 --> 00:09:45,440
significa que la función se aproximará por arriba.

82
00:09:45,980 --> 00:09:49,320
Si el signo es negativo, significa que la aproximación será por debajo.

83
00:09:49,680 --> 00:09:51,000
Es decir, vamos a sustituir.

84
00:09:51,580 --> 00:09:55,259
Cogemos un número muy grande, un número muy grande puede ser un millón.

85
00:09:55,720 --> 00:09:58,879
Entonces lo que hacemos es coger x muy grande, voy a ponerlo de esta manera, ¿vale?

86
00:10:00,840 --> 00:10:09,800
Si cogemos un millón tenemos que lo de arriba es positivo siempre y lo de abajo, un millón más 4 es positivo, por lo tanto, más entre más me queda positivo.

87
00:10:10,000 --> 00:10:22,120
¿Esto qué significa? Significa que la función se aproxima cuando los valores de x tienden al más infinito, se aproximan a la asíntota por encima, porque me ha dado positivo.

88
00:10:23,680 --> 00:10:29,600
Voy a ver qué pasa cuando la x es muy pequeña. Voy a coger un número muy pequeño, por ejemplo, el menos infinito.

89
00:10:29,840 --> 00:10:36,519
Si cojo el menos infinito, tengo arriba 4, que es positivo, y abajo menos infinito más 4, que es negativo.

90
00:10:37,080 --> 00:10:41,560
Por lo tanto, significa que cuando la x se va hacia el menos infinito,

91
00:10:42,160 --> 00:10:49,360
lo que ocurre es que la función se aproxima a la asíntota por debajo.

92
00:10:50,259 --> 00:10:54,860
De tal manera que, voy a recolocar esto un poquito mejor para que se distinga,

93
00:10:54,860 --> 00:11:01,120
en este caso me daba que se acercaba por aquí y en este caso me está diciendo ahora que se acerca por debajo

94
00:11:01,120 --> 00:11:09,039
de forma que si nos fijamos ahora podríamos representar gráficamente la función sin tener todos los datos completos

95
00:11:09,039 --> 00:11:12,940
porque si nos fijamos si tiene que acercarse por aquí y tiene que acercarse por aquí

96
00:11:12,940 --> 00:11:17,519
tengo que la función perfectamente podría ser esta de aquí

97
00:11:17,519 --> 00:11:24,680
y tiene que acercarse por aquí y tiene que acercarse por aquí gráficamente podría ser algo de este estilo

98
00:11:24,680 --> 00:11:26,360
Gracias.