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00:00:00,000 --> 00:00:04,120
En este vídeo voy a explicar en qué consisten y cómo se obtienen las

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00:00:04,120 --> 00:00:06,240
fórmulas de Cardano-Villeta.

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00:00:06,240 --> 00:00:09,760
Muy bien, pues en primer lugar vamos a decir en qué consisten.

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00:00:09,760 --> 00:00:15,160
Son relaciones entre los coeficientes de un polinomio y sus raíces.

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00:00:15,160 --> 00:00:16,680
Vamos a suponer

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00:00:16,680 --> 00:00:21,440
siempre que el polinomio es mónico, eso significa que su coeficiente principal

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00:00:21,440 --> 00:00:23,760
es igual a 1.

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00:00:23,760 --> 00:00:27,760
Si no lo es, estas fórmulas se pueden adaptar, pero pierden parte de su

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00:00:27,760 --> 00:00:30,240
utilidad práctica.

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00:00:30,240 --> 00:00:31,400
Vamos a ver

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00:00:31,400 --> 00:00:35,840
cómo se obtienen las fórmulas para un polinomio de grado 2.

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00:00:35,840 --> 00:00:39,600
Este polinomio podemos considerarlo factorizado, que sería

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00:00:39,600 --> 00:00:41,840
esta expresión 1

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00:00:41,840 --> 00:00:42,960
en la que

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00:00:42,960 --> 00:00:46,480
r1 y r2 serían las raíces del polinomio,

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00:00:46,480 --> 00:00:49,640
o podemos considerarlo desarrollado,

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00:00:49,640 --> 00:00:52,160
que sería esta expresión 2,

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00:00:52,160 --> 00:00:57,640
en la que b y c serían los coeficientes del polinomio.

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00:00:58,520 --> 00:01:00,920
Pues si cogemos la expresión 1

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00:01:00,920 --> 00:01:03,120
y la desarrollamos

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00:01:03,120 --> 00:01:08,120
aplicando la propiedad distributiva para multiplicar estos dos binomios,

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00:01:08,120 --> 00:01:09,360
llegamos a

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00:01:09,360 --> 00:01:11,120
esto de aquí,

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00:01:11,120 --> 00:01:15,080
y aquí podemos identificar cuál es el coeficiente de la x

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00:01:15,080 --> 00:01:17,160
y el término independiente.

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00:01:17,160 --> 00:01:21,440
El coeficiente de la x sería menos la suma

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00:01:21,440 --> 00:01:23,400
de las raíces

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00:01:23,400 --> 00:01:29,280
y el término independiente sería el producto de las raíces, r1 por r2.

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00:01:29,280 --> 00:01:31,240
Es decir,

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00:01:31,240 --> 00:01:34,200
el coeficiente de x que habíamos llamado b

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00:01:34,200 --> 00:01:36,440
es esto que tenemos aquí

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00:01:36,440 --> 00:01:40,840
y el término independiente que habíamos llamado c es esto que está aquí, el

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00:01:40,840 --> 00:01:42,200
producto de las raíces.

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00:01:42,200 --> 00:01:44,680
Pues justamente estas dos relaciones

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00:01:44,680 --> 00:01:48,440
son las fórmulas de Cardano-Villeta para este caso de un polinomio mónico de

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00:01:48,440 --> 00:01:49,880
grado 2.

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00:01:49,880 --> 00:01:54,000
Vamos a ver cómo se puede aplicar esto de forma muy sencilla

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00:01:54,000 --> 00:01:56,040
con un polinomio

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00:01:56,040 --> 00:01:56,920
concreto,

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00:01:56,920 --> 00:02:01,720
que es este de aquí, x al cuadrado menos 5x más 6.

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00:02:01,720 --> 00:02:05,200
Gracias a las fórmulas de Cardano-Villeta que acabamos de ver

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00:02:05,200 --> 00:02:06,600
sabemos que

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00:02:06,600 --> 00:02:09,800
las raíces del polinomio deben cumplir

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00:02:09,800 --> 00:02:11,720
que su suma sea 5,

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00:02:11,720 --> 00:02:16,360
5 porque tiene que ser el opuesto de menos 5, que es el coeficiente de la x

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00:02:16,360 --> 00:02:18,840
y el opuesto de menos 5 es 5.

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00:02:18,840 --> 00:02:23,160
Además deben cumplir que su producto sea 6.

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00:02:23,160 --> 00:02:28,520
Por tanto buscamos dos números que sumados den 5 y multiplicados den 6

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00:02:28,520 --> 00:02:30,720
y la respuesta es 2 y 3.

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00:02:30,720 --> 00:02:35,040
Así hemos obtenido las raíces de este polinomio sin tener que hacer ninguna

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00:02:35,040 --> 00:02:36,400
cuenta complicada

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00:02:36,400 --> 00:02:38,040
y de forma muy rápida.

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00:02:38,040 --> 00:02:40,840
Así que como veis estas relaciones pueden ser muy útiles.