1 00:00:12,269 --> 00:00:17,530 Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 2 00:00:17,530 --> 00:00:22,070 arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 3 00:00:22,070 --> 00:00:26,129 de la unidad AE3 dedicada a las inequaciones y los sistemas de inequación. 4 00:00:27,969 --> 00:00:36,380 En la videoclase de hoy estudiaremos las inequaciones polinómicas de grado superior a 1. 5 00:00:47,070 --> 00:00:51,929 En esta videoclase vamos a estudiar la resolución de inequaciones polinómicas de grado superior 6 00:00:51,929 --> 00:00:57,350 a 1. Como podéis ver y como ya hemos discutido en la videoclase de definición de inequaciones 7 00:00:57,350 --> 00:01:02,090 polinómicas, en este caso lo que nos vamos a encontrar es una comparación de expresiones 8 00:01:02,090 --> 00:01:07,230 algebraicas que vamos a poder transformar, vamos a poder reducir a la comparación con 0 de un 9 00:01:07,230 --> 00:01:13,030 polinomio que va a ser de grado superior a 1, de grado 2, de grado 3, etc. Y así tendremos un cierto 10 00:01:13,030 --> 00:01:19,489 polinomio mayor o bien menor o bien mayor o igual o por último menor o igual que 0. La forma en la 11 00:01:19,489 --> 00:01:23,950 que se van a resolver este tipo de inequaciones es siempre la misma. Hay una técnica, un procedimiento 12 00:01:23,950 --> 00:01:27,730 algorítmico, que es el que voy a describir en esta videoclase y que es el que vamos a utilizar. 13 00:01:28,450 --> 00:01:33,030 Lo primero que vamos a hacer es, una vez hemos conseguido expresar nuestra inequación en forma 14 00:01:33,030 --> 00:01:37,469 canónica así, la comparación con cero de un polinomio, pues como digo, lo primero que vamos a 15 00:01:37,469 --> 00:01:42,650 hacer es buscar los ceros de este polinomio resolviendo la ecuación polinomio igual a cero. 16 00:01:42,650 --> 00:01:55,230 A los efectos de este desarrollo voy a llamar Sp, formado por los elementos S1, S2 hasta Sn, al conjunto de los, en principio, n ceros de esta ecuación. 17 00:01:55,370 --> 00:02:00,629 Supongamos que tenemos un polinomio de grado n, en principio, espero encontrar hasta n ceros. 18 00:02:00,629 --> 00:02:04,650 Y a los efectos de este desarrollo voy a escribirlos ordenados. 19 00:02:04,790 --> 00:02:12,530 Ya he hablado en clase de que, en principio, los conjuntos discretos no están, los elementos dentro del conjunto no tienen por qué estar ordenados. 20 00:02:13,310 --> 00:02:16,849 Dije que sería muy útil ordenarlos y aquí tenemos la primera utilidad. 21 00:02:16,930 --> 00:02:17,590 Me va a ayudar mucho. 22 00:02:18,110 --> 00:02:22,289 Así que voy a tener aquí n ceros de P ordenados. 23 00:02:22,789 --> 00:02:25,030 Si, por ejemplo, P fuera un polinomio de segundo grado, 24 00:02:25,030 --> 00:02:29,229 yo espero encontrar dos ceros y aquí tendría los dos ceros, S1 y S2. 25 00:02:29,550 --> 00:02:31,569 S1 el más pequeño, S2 el más grande. 26 00:02:31,710 --> 00:02:33,090 Aquí, en este caso, n. 27 00:02:34,509 --> 00:02:38,490 Estos, en general, n ceros del polinomio P, 28 00:02:38,870 --> 00:02:40,509 cuando los representen la recta real, 29 00:02:40,509 --> 00:02:47,949 la van a dividir en n más 1 intervalos. Fijaos en que si tuviera un polinomio de segundo grado con dos ceros, S1 y S2, 30 00:02:48,349 --> 00:02:54,849 tendría el intervalo que va desde menos infinito hasta el más pequeño, el intervalo que va desde el cero pequeño hasta el cero grande 31 00:02:54,849 --> 00:03:01,509 y por último el intervalo que va desde el cero grande hasta más infinitos. Así que en general, si yo tengo aquí n soluciones, 32 00:03:02,270 --> 00:03:08,669 tendré n más 1 intervalos. Intervalos y semirrectas, puesto que tanto el primero como el último son en realidad semirrectas. 33 00:03:09,669 --> 00:03:16,669 Si tengo S1, S2 hasta Sn, lo que voy a tener son intervalos desde menos infinito hasta S1, una semirrecta, 34 00:03:17,229 --> 00:03:23,469 de S1 a S2, de S2 a S3, etc., hasta finalmente la semirrecta de Sn hasta más infinito. 35 00:03:23,810 --> 00:03:27,810 Y a los efectos de esta discusión, todos estos intervalos van a ser siempre abiertos. 36 00:03:28,330 --> 00:03:35,629 La razón de construir estos intervalos y semirrectas es que el signo de P va a estar bien definido dentro de cada uno de estos intervalos o semirrecta 37 00:03:35,629 --> 00:03:37,389 y va a ser el mismo, no va a cambiar. 38 00:03:37,389 --> 00:03:54,229 Eso quiere decir que si yo tomo valores de la incógnita, por ejemplo, en el intervalo que va desde menos infinito hasta ese 1 abierto y los sustituyo para evaluar, para calcular el valor numérico de P, en todos los casos el signo de P va a ser el mismo, bien positivo, bien negativo. 39 00:03:55,129 --> 00:04:01,909 El valor numérico, por supuesto, es posible que cambie, de hecho cambiará, pero el signo va a estar siempre bien definido y va a ser siempre el mismo. 40 00:04:01,909 --> 00:04:08,650 Bien definido quiere decir que no voy a obtener el valor 0, que ya sabéis que nos plantea problemas al decidir si el signo es positivo o negativo. 41 00:04:08,789 --> 00:04:12,229 Así que va a estar bien definido y va a ser siempre el mismo. 42 00:04:12,689 --> 00:04:18,910 Y nos vamos a preguntar por cuál, puesto que nosotros lo que vamos a hacer es buscar cuáles de estos intervalos cumplen con la desigualdad. 43 00:04:19,589 --> 00:04:22,430 En cuáles de ellos el polinomio es mayor o bien menor que 0. 44 00:04:23,089 --> 00:04:25,209 Así pues lo que vamos a hacer va a ser siempre lo mismo. 45 00:04:25,550 --> 00:04:34,189 Dentro de cada intervalo vamos a elegir un representante entre menos infinito y S1, un representante al que vamos a llamar X0. 46 00:04:34,730 --> 00:04:39,750 En el intervalo de S1 a S2 un representante al que vamos a llamar X1 y así sucesivamente. 47 00:04:40,589 --> 00:04:46,430 En la semirrecta que va desde Sn hasta más infinito elegiremos un valor al que vamos a llamar Xn. 48 00:04:46,430 --> 00:04:53,870 y lo que vamos a hacer es evaluar, determinar el valor numérico del polinomio 49 00:04:53,870 --> 00:04:56,490 para identificar cuál es el signo que va a tener. 50 00:04:56,610 --> 00:05:01,529 Nos va a interesar ver si el signo del polinomio, el valor numérico del polinomio, es positivo o negativo. 51 00:05:02,069 --> 00:05:04,410 Elegimos un representante para todo el intervalo. 52 00:05:04,550 --> 00:05:07,189 Así que, una vez que hemos elegido los representantes, 53 00:05:07,790 --> 00:05:12,129 el siguiente paso va a ser evaluar los valores numéricos y fijarnos en el signo. 54 00:05:13,389 --> 00:05:16,310 Supongamos, por un momento, que tenemos una desigualdad como esta. 55 00:05:16,430 --> 00:05:18,730 Polinomio mayor estricto que cero. 56 00:05:19,829 --> 00:05:25,470 Tomo el intervalo de menos infinito a ese uno y elijo un valor x cero dentro de este intervalo. 57 00:05:25,769 --> 00:05:29,930 Voy a calcular el valor numérico p de x cero y me voy a fijar en el signo. 58 00:05:30,149 --> 00:05:31,709 ¿Que el signo es positivo? 59 00:05:32,310 --> 00:05:37,870 Entonces el x cero verifica la desigualdad y con él todo el intervalo. 60 00:05:38,410 --> 00:05:43,149 Cualquier valor x que yo tomara dentro de este intervalo desde menos infinito a este x de uno, 61 00:05:43,149 --> 00:05:47,670 al evaluar el valor numérico voy a obtener un valor que puede ser distinto pero que desde luego 62 00:05:47,670 --> 00:05:54,569 va a tomar el mismo signo. Si p de x0 es positivo, en cualquier caso va a ser positivo y ese intervalo 63 00:05:54,569 --> 00:05:59,589 va a formar parte de la solución de la ecuación, puesto que todos los elementos de este intervalo 64 00:05:59,589 --> 00:06:04,910 cuando yo evalúe p de el valor de x correspondiente voy a obtener un valor que va a ser mayor que 0. 65 00:06:05,930 --> 00:06:12,069 Si la desigualdad en cambio hubiera sido menor que 0, al sustituir x0, calcular el valor numérico y 66 00:06:12,069 --> 00:06:16,569 el que tiene signo positivo, ese valor debo desecharlo, no forma parte de la solución y con 67 00:06:16,569 --> 00:06:20,529 el todo el intervalo. Cualquier valor que yo hubiera tomado dentro de ese intervalo me habría 68 00:06:20,529 --> 00:06:25,870 dado un valor numérico que no sería negativo y entonces habría de eliminarlo. Fijaos en qué es 69 00:06:25,870 --> 00:06:30,350 lo que estoy haciendo. Dentro de cada intervalo tomar un valor numérico que va a ser representante, 70 00:06:30,389 --> 00:06:34,870 un valor x que va a ser representante del intervalo, evaluar el valor numérico y fijarme 71 00:06:34,870 --> 00:06:39,970 en el signo. ¿Qué cumple la desigualdad? El intervalo forma parte de la solución. ¿Qué no 72 00:06:39,970 --> 00:06:45,089 cumple la desigualdad, ese intervalo se desecha, no forma parte de la solución. Y debo hacerlo con 73 00:06:45,089 --> 00:06:49,970 todos y cada uno de los, en principio, n más 1 intervalos. Eso es lo que estoy describiendo en 74 00:06:49,970 --> 00:06:55,589 esta parte de aquí. ¿Cuál va a ser la solución cuando haya llegado al final del todo? Bien, pues en el 75 00:06:55,589 --> 00:07:00,709 caso de desigualdades estrictas va a ser la unión de todos esos intervalos y semirrectas que he ido 76 00:07:00,709 --> 00:07:08,910 seleccionando directamente. Siempre abiertos. Si diera la casualidad de que ninguno de los 77 00:07:08,910 --> 00:07:15,230 intervalos, en ninguno de los intervalos hubiera valores de x tales que se cumpliera, se verificara 78 00:07:15,230 --> 00:07:20,129 la desigualdad, en ese caso la solución sería el conjunto vacío. En el caso de desigualdades 79 00:07:20,129 --> 00:07:26,649 estrictas, insisto, es la unión de los intervalos siempre abiertos. En el caso de desigualdades no 80 00:07:26,649 --> 00:07:32,689 estrictas va a ser la unión de todos los intervalos, pero hemos de cerrar los puestos, que lo que vamos 81 00:07:32,689 --> 00:07:39,629 a hacer es añadir todos los valores, todos los ceros del polinomio, todos los valores que teníamos 82 00:07:39,629 --> 00:07:45,189 dentro de este conjunto. Fijaos que en el caso de desigualdades no estrictas no buscamos únicamente 83 00:07:45,189 --> 00:07:50,509 los valores de x para los que el polinomio toma un valor positivo o negativo, sino que nos valen 84 00:07:50,509 --> 00:07:55,490 también, hemos de incluir también, aquellos valores de x de la incógnita para los cuales el polinomio 85 00:07:55,490 --> 00:08:00,370 se hace cero. Hemos de incluir también los ceros del polinomio. Así pues lo puedo pensar de dos 86 00:08:00,370 --> 00:08:06,610 maneras distintas. En los intervalos abiertos cierro todos los extremos que 87 00:08:06,610 --> 00:08:12,629 por supuesto no sean infinito o bien a la unión de intervalos abiertos añado 88 00:08:12,629 --> 00:08:18,930 todos los ceros del polinomio. Eso equivale a cerrar los intervalos y 89 00:08:18,930 --> 00:08:23,009 posiblemente añadir algún valor puntual más. Fijaos que si se hubiera dado la 90 00:08:23,009 --> 00:08:28,050 circunstancia de que el intervalo de menos 1 a ese 1 no estuviera en la 91 00:08:28,050 --> 00:08:32,809 solución y por ejemplo el intervalo que va de ese 1 ese 2 tampoco sólo con 92 00:08:32,809 --> 00:08:37,470 cerrar los intervalos en los extremos que no sean infinitos no tengo el 93 00:08:37,470 --> 00:08:42,210 conjunto que sea realmente solución puesto que ese 1 es un cero del 94 00:08:42,210 --> 00:08:47,429 polinomio por construcción y debería incluirlo puesto que p de ese 1 95 00:08:47,429 --> 00:08:51,090 realmente es mayor o igual que 0 o menor o igual que 0 es que es igual a 0 en el 96 00:08:51,090 --> 00:08:54,789 caso de desigualdades estrictas debería añadirlo y si no tengo ni este ni este 97 00:08:54,789 --> 00:08:59,870 intervalo dentro de la solución, decir sencillamente cierro los intervalos no me permite introducir 98 00:08:59,870 --> 00:09:05,610 este valor. Así pues, comúnmente diremos vamos a cerrar los intervalos, excepto por supuesto en 99 00:09:05,610 --> 00:09:10,610 los extremos que sean infinitos. En realidad lo que hemos de hacer es tomar la unión de estos 100 00:09:10,610 --> 00:09:17,370 intervalos que hemos ido seleccionando y añadir los ceros del polinomio P. Eso va a equivaler 101 00:09:17,370 --> 00:09:23,350 generalmente a cerrar esos extremos que no sean infinitos, pero en realidad es posible que en un 102 00:09:23,350 --> 00:09:29,450 momento dado hayamos de añadir esos elementos discretos. En el caso en el que, por ejemplo, 103 00:09:29,590 --> 00:09:36,330 fijaos, se hubiera dado la circunstancia de que ninguno de estos intervalos verificaran la 104 00:09:36,330 --> 00:09:41,629 inequación, puesto que en ninguno de los casos el signo del representante del valor numérico del 105 00:09:41,629 --> 00:09:47,710 polinomio en los representantes verificara la desigualdad que me plantean, decir cierro los 106 00:09:47,710 --> 00:09:52,190 intervalos no tiene sentido, puesto que no hay intervalos que cerrar. Y decir que la solución es 107 00:09:52,190 --> 00:09:56,490 el conjunto vacío no es correcto puesto que los ceros del polinomio verifican esta desigualdad 108 00:09:56,490 --> 00:10:02,809 no estricta. Fijaos como en este caso, bastante peculiar, la solución sería el conjunto de ceros. 109 00:10:03,070 --> 00:10:09,870 Así pues, pensad siempre en esto. A los intervalos abiertos les añado los ceros del polinomio, lo 110 00:10:09,870 --> 00:10:14,990 cual debo pensar que en general equivale a cerrar los extremos que no sean infinitos, pero cuidado 111 00:10:14,990 --> 00:10:21,750 porque es posible que si no incorporo a la solución intervalos adyacentes esté perdiendo el cero que 112 00:10:21,750 --> 00:10:28,690 sea esa frontera entre estos dos intervalos. Con esto que acabo de mencionar ya se pueden resolver 113 00:10:28,690 --> 00:10:32,610 estos ejercicios que resolveremos en clase, probablemente resolveremos en alguna videoclase 114 00:10:32,610 --> 00:10:37,970 posterior. En este caso lo que tenemos es directamente resolver las siguientes inequaciones 115 00:10:37,970 --> 00:10:43,169 y aquí podemos comprobar cómo lo que tenemos son las comparaciones de expresiones algebraicas que 116 00:10:43,169 --> 00:10:48,330 tendré que transformar en polinomio comparado con cero. En este caso no he encontrado o no 117 00:10:48,330 --> 00:10:52,490 encuentro en ningún caso en el que tengamos denominadores pero operaríamos de forma análoga 118 00:10:52,490 --> 00:10:56,990 como hacíamos en el caso anterior de las inequaciones lineales, ¿de acuerdo? 119 00:10:57,070 --> 00:11:00,570 Habríamos de eliminar denominadores y entonces habríamos de pasar todo a un miembro 120 00:11:00,570 --> 00:11:02,289 para hacer esta comparación con cero. 121 00:11:02,970 --> 00:11:07,250 En este caso lo que tenemos es un argumento falaz, falso, 122 00:11:07,850 --> 00:11:13,389 en el cual demostramos que cualquier número real va a ser necesariamente mayor o igual a 5. 123 00:11:13,490 --> 00:11:18,370 Y aquí nos encontramos con que partimos como hipótesis de una desigualdad 124 00:11:18,370 --> 00:11:21,490 donde nos vamos a encontrar con un polinomio que desde luego no es lineal, 125 00:11:21,490 --> 00:11:24,710 x menos 5 al cuadrado va a ser un polinomio de segundo grado. 126 00:11:25,049 --> 00:11:30,169 Y lo que hemos de hacer es buscar en qué punto del razonamiento tenemos algo que no es correcto, 127 00:11:30,289 --> 00:11:36,789 puesto que todos los valores de x sean mayores o iguales a 5 no es cierto, así que hay algo que no debe ser correcto. 128 00:11:37,129 --> 00:11:42,990 Y en todo esto debe aparecer algo que tenga relación con las inequaciones, o las inequaciones en general, 129 00:11:43,490 --> 00:11:45,250 polinómicas de grado superior a 1. 130 00:11:45,250 --> 00:11:51,590 Como he dicho, estos ejercicios los resolveremos en clase, probablemente los resolveremos en alguna videoclase posterior. 131 00:11:54,720 --> 00:12:00,019 En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 132 00:12:00,759 --> 00:12:04,860 Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 133 00:12:05,700 --> 00:12:10,440 No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 134 00:12:10,980 --> 00:12:12,379 Un saludo y hasta pronto.