1
00:00:00,000 --> 00:00:09,460
Vamos a resolver el problema de la UBAU de Madrid de septiembre de 2017, modelo A, ejercicio 1.

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00:00:10,599 --> 00:00:16,600
Como vemos, es un problema típico de análisis, que mezcla límites derivadas e integrales.

3
00:00:18,039 --> 00:00:22,620
Hemos metido la función en GeoGebra y nos ha dibujado la curva roja.

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00:00:23,219 --> 00:00:26,460
Para que se vea bien, vamos a cambiar la escala del eje Y.

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00:00:26,460 --> 00:00:35,439
A simple vista se ve que va a ser continua y derivable, no tiene picos en 0, pero hay que hacerlo algebraicamente

6
00:00:35,439 --> 00:00:44,280
Para saber si es continua en 0 calculamos el límite por la izquierda de 0, 0 por algo da 0, así que es 0

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00:00:44,840 --> 00:00:51,780
El límite por la derecha es logaritmo neperiano de 1, que es 0, partido por 1, así que 0

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00:00:51,780 --> 00:00:57,799
y el valor de la función se sustituye en la rama de abajo y también da cero.

9
00:00:58,780 --> 00:01:00,859
Luego la función es continua en cero.

10
00:01:02,079 --> 00:01:06,760
Para saber si es derivable, calculamos la derivada de las dos funciones,

11
00:01:07,579 --> 00:01:13,019
derivada de un producto y derivada de un cociente, obteniendo la función verde.

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00:01:14,560 --> 00:01:19,000
Si calculamos el límite cuando x tiende a cero por la izquierda,

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00:01:19,000 --> 00:01:27,540
obtenemos uno más cero, que es uno. Y si calculo el límite por la derecha, tenemos uno más logaritmo

14
00:01:27,540 --> 00:01:35,540
neperiano de uno dividido por uno, en total uno. Como coinciden, la función es derivable en cero

15
00:01:35,540 --> 00:01:45,200
y su derivada vale uno. Pasamos al apartado b. Para calcular el límite cuando x tiende a menos

16
00:01:45,200 --> 00:01:53,159
infinito, primero cambio x por menos t, para que sea más sencillo. Vemos que nos queda

17
00:01:53,159 --> 00:02:00,120
una fracción con indeterminación infinito partido por infinito, que si hacemos por l'Hopital

18
00:02:00,120 --> 00:02:08,039
derivando numerador y denominador, termina valiendo 0 supermenos. Para calcular el límite

19
00:02:08,039 --> 00:02:14,219
cuando x tiende a más infinito, nos sale otra indeterminación, que también podemos

20
00:02:14,219 --> 00:02:21,479
resolver por l'hôpital, quedando 0 supermás. Estos resultados se ven perfectamente en la

21
00:02:21,479 --> 00:02:29,419
gráfica y son las asíntotas horizontales. En el apartado C tenemos que calcular la integral

22
00:02:29,419 --> 00:02:37,020
definida, que es el área por debajo de la curva entre menos 1 y 0. Para calcular la

23
00:02:37,020 --> 00:02:44,479
integral indefinida de la rama superior, necesitamos aplicar integración por partes, llamando

24
00:02:44,479 --> 00:02:53,620
u a x y diferencial de v a e elevado a 2x, de forma que diferencial de u será diferencial

25
00:02:53,620 --> 00:03:02,219
de x y v será, integrando, un medio por e elevado a 2x. Aplicando la fórmula de la

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00:03:02,219 --> 00:03:09,219
integral por partes nos queda x por un medio de e elevado a 2x menos la integral de un

27
00:03:09,219 --> 00:03:17,680
medio de e elevado a 2x, que es un cuarto de e elevado a 2x. Si ahora aplicamos la regla

28
00:03:17,680 --> 00:03:24,699
de Barrow y calculamos el valor para 0 y le restamos el valor para menos 1, obtenemos

29
00:03:24,699 --> 00:03:32,139
la expresión 26, que aproximada da menos 0,15, tal como muestra el propio GeoGebra

30
00:03:32,139 --> 00:03:33,539
cuando le pedimos la integral.