1
00:00:00,180 --> 00:00:05,280
Vamos a explicar la segunda parte del tema, relaciones trigonométricas fundamentales.

2
00:00:07,960 --> 00:00:16,839
Las razones trigonométricas de un ángulo están relacionadas entre sí, es decir, que a partir de una de ellas podemos calcular las otras dos, sin hallar previamente el ángulo.

3
00:00:17,780 --> 00:00:24,679
Esto es interesante porque hay veces que no disponemos de la calculadora para realizar los ejercicios, entonces lo podemos realizar de esta forma.

4
00:00:24,679 --> 00:00:28,800
Vamos a ver simplemente dos de estas relaciones

5
00:00:28,800 --> 00:00:30,839
Que son la primera

6
00:00:30,839 --> 00:00:35,000
Tangente de alfa es igual a seno de alfa partido por coseno de alfa

7
00:00:35,000 --> 00:00:37,679
Vamos a ver de dónde sale esta relación

8
00:00:37,679 --> 00:00:40,399
El seno de alfa partido por coseno de alfa

9
00:00:40,399 --> 00:00:42,939
Seno de alfa es coseno opuesto partido por hipotenusa

10
00:00:42,939 --> 00:00:46,520
Y el coseno de alfa es cateto cognitivo partido por hipotenusa

11
00:00:46,520 --> 00:00:50,020
Si hacemos esta división multiplicando en cruz

12
00:00:50,020 --> 00:00:52,859
Coseno de alfa partido por hipotenusa lo ponemos arriba

13
00:00:52,859 --> 00:00:59,119
hipotenusa por cateto opuesto lo ponemos abajo y la hipotenusa con la hipotenusa se va y nos queda coseno opuesto

14
00:00:59,119 --> 00:01:02,820
partido por coseno contiguo igual a tangente de alfa.

15
00:01:04,219 --> 00:01:11,780
La segunda es la más importante de toda la trigonometría, de hecho recibe el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría

16
00:01:11,780 --> 00:01:18,000
y lo que nos dice es que seno cuadrado de alfa más coseno cuadrado de alfa es igual a 1

17
00:01:18,599 --> 00:01:22,859
Sea cual sea el ángulo, siempre el seno cuadrado más el coseno cuadrado es 1.

18
00:01:23,560 --> 00:01:24,540
Vamos a ver la demostración.

19
00:01:25,840 --> 00:01:30,280
A ver, el seno cuadrado de alfa, el seno es cateto opuesto, partido por el cuadro de 1 es a,

20
00:01:30,640 --> 00:01:33,040
y el coseno es cateto contiguo, partido por el cuadro de 1 es a.

21
00:01:33,659 --> 00:01:38,939
Para elevar esto al cuadrado, nos queda el numerador al cuadrado y el denominador al cuadrado,

22
00:01:39,519 --> 00:01:42,739
igual que aquí, numerador al cuadrado, denominador al cuadrado.

23
00:01:43,379 --> 00:01:47,560
Como tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores.

24
00:01:48,000 --> 00:01:51,239
cateto opuesto al cuadrado más cateto contiguo al cuadrado.

25
00:01:51,799 --> 00:02:01,000
Que, por el término de Pitágoras, sabemos que la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado.

26
00:02:01,359 --> 00:02:05,159
Entonces, hipotenusa al cuadrado, hipotenusa al cuadrado es igual a 1.

27
00:02:05,480 --> 00:02:10,699
Por tanto, ya tenemos demostrado que seno cuadrado de alfa más coseno cuadrado de alfa es igual a 1.

28
00:02:11,460 --> 00:02:16,659
Pues estas son las relaciones trigonométricas fundamentales que vamos a utilizar en algunos ejercicios.

29
00:02:16,659 --> 00:02:18,460
como son los siguientes.

30
00:02:20,780 --> 00:02:26,060
Ejemplo 1, calcular sin hallar previamente el ángulo, el seno y la tangente del ángulo alfa

31
00:02:26,060 --> 00:02:29,879
sabiendo que el coseno de alfa es igual a 0,4.

32
00:02:30,180 --> 00:02:33,199
Para resolver el ejercicio nos vamos a ayudar de las relaciones que hemos visto.

33
00:02:34,000 --> 00:02:38,580
Como nos dan el coseno, vamos a utilizar en primer lugar la fórmula fundamental de la trigonometría,

34
00:02:38,939 --> 00:02:43,099
es decir, seno cuadrado de alfa más coseno cuadrado de alfa igual a 1.

35
00:02:44,360 --> 00:02:46,919
Sustituimos valores, es siempre lo primero que tenemos que hacer.

36
00:02:46,919 --> 00:02:50,419
Como el coseno es 0,4, pues ponemos 0,4 al cuadrado.

37
00:02:50,960 --> 00:02:54,479
Y empezamos a despojar la incógnita. En este caso nuestra incógnita es seno de alfa.

38
00:02:55,500 --> 00:02:58,979
Pues seno cuadrado de alfa es igual a 1 menos 0,4 al cuadrado.

39
00:02:59,780 --> 00:03:01,259
Y empezamos a hacer los cálculos.

40
00:03:02,199 --> 00:03:04,020
0,4 al cuadrado es de 0,16.

41
00:03:04,719 --> 00:03:06,719
1 menos 0,16 es de 0,84.

42
00:03:07,460 --> 00:03:12,020
Y ahora tenemos que quitar el cuadrado hallando la raíz cuadrada del contrario.

43
00:03:12,400 --> 00:03:16,639
Siempre que quitemos un cuadrado tenemos que poner más menos raíz cuadrada.

44
00:03:17,659 --> 00:03:26,479
Como estamos hablando de ángulos agudos nos quedamos con el positivo y por tanto el seno de alfa es 0,916.

45
00:03:27,840 --> 00:03:36,780
Ya tenemos el seno y el coseno, por tanto ya podemos usar la otra relación, tangente de alfa igual a seno de alfa partido por coseno de alfa.

46
00:03:37,599 --> 00:03:45,080
Sustituimos los valores y tenemos que tangente de alfa es igual a 0,916 entre 0,4 igual a 2,29.

47
00:03:45,080 --> 00:03:53,939
Y por tanto, la solución es que si el coseno vale 0,4, el seno vale 0,916 y la tangente 2,29.

48
00:03:55,400 --> 00:03:56,580
Pasamos al ejemplo 2.

49
00:03:57,500 --> 00:04:03,979
En este caso, tenemos que calcular, sin hallar previamente el ángulo, el coseno y la tangente del ángulo alfa,

50
00:04:04,659 --> 00:04:07,439
sabiendo que el seno de alfa es igual a 2 séptimos.

51
00:04:07,819 --> 00:04:10,580
En este caso nos dan el seno y nos lo dan en forma de fracción.

52
00:04:10,819 --> 00:04:12,340
Vamos a hacer un poquito diferente.

53
00:04:13,340 --> 00:04:17,899
Entonces, como nos dan el seno, utilizamos la fórmula fundamental de la trigonometría.

54
00:04:19,160 --> 00:04:21,759
Seno cuadrado alfa más coseno cuadrado alfa igual a 1.

55
00:04:22,480 --> 00:04:24,019
Sustituimos valores como antes.

56
00:04:24,800 --> 00:04:28,060
Dos séptimos al cuadrado más coseno cuadrado alfa igual a 1.

57
00:04:28,699 --> 00:04:31,600
Y despejamos la incógnita, que en este caso es coseno cuadrado alfa.

58
00:04:32,339 --> 00:04:33,100
Pasamos al otro lado.

59
00:04:33,100 --> 00:04:39,600
La diferencia con el ejercicio anterior es que aquí vamos a trabajar operando con fracciones.

60
00:04:39,600 --> 00:04:47,720
Entonces, 2 séptimos al cuadrado, 2 al cuadrado es 4, 7 al cuadrado es 49, tenemos 1 menos 4 por el partido de 49

61
00:04:47,720 --> 00:04:53,540
Hacemos esa cuenta y nos queda saber que coseno al cuadrado de alfa es 45 partido por 49

62
00:04:53,540 --> 00:05:01,120
Quitamos el cuadrado hallando la raíz como antes, más menos la raíz del cuadrado de 45 partido por 49

63
00:05:01,319 --> 00:05:08,519
Que nos quedamos con la positiva y nos queda coseno al cuadrado de alfa igual a raíz de 45 partido por 7

64
00:05:08,519 --> 00:05:14,579
Porque la raíz de 45 partido por 49 es lo mismo que raíz de 45 partido de raíz de 49.

65
00:05:15,480 --> 00:05:19,079
Como raíz de 45 no es exacta, lo dejamos como está.

66
00:05:19,800 --> 00:05:21,060
La raíz de 49 es 7.

67
00:05:23,519 --> 00:05:26,139
Ya tenemos los valores del seno y el coseno.

68
00:05:26,420 --> 00:05:28,160
Por tanto, usamos la otra.

69
00:05:28,720 --> 00:05:30,759
Tangente igual a seno partido por coseno.

70
00:05:31,540 --> 00:05:38,800
Sustituimos los valores y en este caso tenemos tangente de alfa igual a 2 séptimos entre raíz de 45 partido por 7, que es lo que vale el coseno.

71
00:05:39,699 --> 00:05:49,879
Multiplicamos, para dividir multiplicamos en cruz, 2 por 7 y 7 por raíz de 45, el 7 se enoja con el 7 y nos queda 2 raíz de 45.

72
00:05:50,620 --> 00:05:55,579
Recordamos que la raíz no puede estar en el denominador, por tanto tenemos que la radicalizar.

73
00:05:56,279 --> 00:06:04,639
Para ello multiplicamos arriba y abajo por raíz de 45 y nos queda la raíz de 45 pasaría arriba y abajo nos quedaría el 45 sin la raíz.

74
00:06:04,639 --> 00:06:15,769
Por tanto, la solución es que si el seno vale 2 séptimos, el coseno vale raíz de 45 partido por 7 y la tangente 2 raíz de 45 partido por 45.

75
00:06:18,480 --> 00:06:19,720
Vamos a hacer un tercer ejemplo.

76
00:06:20,480 --> 00:06:26,459
En este caso, ya hemos calculado cuando nos dan el coseno y el seno, vamos a calcular la tangente.

77
00:06:27,220 --> 00:06:37,379
En este caso es distinto porque no sabemos de ninguna fórmula, todavía no sabemos de ninguna fórmula que nos relacione la tangente con otra razón trigonométrica.

78
00:06:37,819 --> 00:06:43,199
Por tanto, vamos a tener que resolver un sistema no lineal con las dos relaciones fundamentales.

79
00:06:43,860 --> 00:06:47,040
Es decir, con tangente de alfa igual a seno de alfa al partido por coseno de alfa

80
00:06:47,040 --> 00:06:51,339
y con seno cuadrado de alfa más coseno cuadrado de alfa igual a 1.

81
00:06:52,600 --> 00:06:55,540
Sustituimos valores y tenemos el siguiente sistema.

82
00:06:56,180 --> 00:07:00,300
La tangente de alfa es 1,21, entonces 1,21 es igual a seno de alfa, coseno de alfa

83
00:07:00,300 --> 00:07:02,959
y seno cuadrado de alfa, coseno cuadrado de alfa igual a 1.

84
00:07:02,959 --> 00:07:04,060
Vamos a ver cómo está.

85
00:07:04,060 --> 00:07:07,779
entonces vamos a usar el método de sustitución

86
00:07:07,779 --> 00:07:11,199
es decir, despejamos en una ecuación y sustituimos en la otra

87
00:07:11,199 --> 00:07:14,680
vamos a despejar en la ecuación de arriba

88
00:07:14,680 --> 00:07:18,360
seno de alfa, que es la más fácil de despejar

89
00:07:18,360 --> 00:07:19,920
para que el coseno pase multiplicando

90
00:07:19,920 --> 00:07:23,720
y nos queda que el seno de alfa es igual a 1,21 por coseno de alfa

91
00:07:23,720 --> 00:07:26,720
sustituimos en la de abajo

92
00:07:26,720 --> 00:07:29,459
y nos queda 1,21 por coseno de alfa al cuadrado

93
00:07:29,459 --> 00:07:31,579
más coseno cuadrado de alfa es igual a 1

94
00:07:31,579 --> 00:07:36,399
Vamos a continuar quitando los cuadrados

95
00:07:36,399 --> 00:07:41,100
Entonces 1,21 al cuadrado es 1,4641

96
00:07:41,100 --> 00:07:45,079
Y coseno al cuadrado es coseno al cuadrado más coseno al cuadrado de alfa

97
00:07:45,079 --> 00:07:47,220
Sumamos los cosenos cuadrados

98
00:07:47,220 --> 00:07:50,839
Nos queda 1,4 al ciento más 1

99
00:07:50,839 --> 00:07:52,680
2,4641

100
00:07:52,680 --> 00:07:54,439
Coseno al cuadrado de alfa

101
00:07:54,439 --> 00:07:57,639
Ahora el coseno, lo despejamos el coseno

102
00:07:57,639 --> 00:07:59,879
El número que está multiplicando pasa dividiendo

103
00:07:59,879 --> 00:08:11,319
que nos sale 0,4058 aproximadamente, con esta aproximación ya nos saldría algo bastante que se ajusta a la realidad

104
00:08:11,319 --> 00:08:22,360
entonces tomando la raíz positiva como siempre coseno de alfa es igual a raíz de 0,4058 que es igual a 0,637

105
00:08:23,240 --> 00:08:32,240
Como ya tenemos cuánto vale el coseno, lo sustituimos en nuestra fórmula del principio, seno de alfa igual a 1,21 por coseno de alfa,

106
00:08:33,139 --> 00:08:39,360
y nos queda que seno de alfa es 1,21 por 0,637, que es 0,77, 0,77.

107
00:08:40,799 --> 00:08:49,639
Por tanto, nuestra solución es, si la tangente vale 1,21, el coseno vale 0,637 y el seno 0,77, 0,77.

108
00:08:49,639 --> 00:08:53,779
Espero que con estos ejemplos queden las cosas un poquito más claras