1
00:00:00,480 --> 00:00:02,580
Bienvenidos a la sesión número 5.

2
00:00:03,980 --> 00:00:07,360
Con ella comenzamos una parte muy importante de las matemáticas,

3
00:00:08,060 --> 00:00:11,919
pero en el nivel en el que estamos no tenéis por qué asustaros, va a ser muy llevadera.

4
00:00:12,539 --> 00:00:16,100
Vamos a empezar por algunos conceptos básicos y sobre todo

5
00:00:16,100 --> 00:00:20,760
nos adentraremos en el apasionante mundo de los polinomios.

6
00:00:22,039 --> 00:00:24,140
Ok, cuando acabemos esta unidad,

7
00:00:24,519 --> 00:00:27,820
estos son los objetivos mínimos que tenemos que saber desarrollar,

8
00:00:27,820 --> 00:00:33,100
haber adquirido, ¿vale? Distinguir una expresión algebraica de una expresión polinómica.

9
00:00:33,560 --> 00:00:37,840
Identificar las partes que forman un polinomio. Utilizar bien el lenguaje algebraico.

10
00:00:38,219 --> 00:00:43,840
Sumar, restar y multiplicar monomios. Un monomio con un polinomio o polinomios entre ellos.

11
00:00:44,520 --> 00:00:51,219
Y el último objetivo será desarrollar productos notables de binomios al cuadrado, ya sea de una suma, resta o diferencia.

12
00:00:51,840 --> 00:00:55,579
Sé que estos objetivos, al leerlos, alguno de vosotros no sabe ni de qué estoy hablando.

13
00:00:55,579 --> 00:00:59,140
Otros, por supuesto, sí. Pues calma y ánimo.

14
00:01:00,359 --> 00:01:04,040
Vale, y esto nunca lo preguntaré en un examen, pero si nos preguntan por el álgebra,

15
00:01:04,299 --> 00:01:12,040
primero deciros que es una palabra de origen árabe y que al menos tres matemáticos reseñables serían

16
00:01:12,040 --> 00:01:19,780
Diofanto-Alejandría, que tiene ecuaciones diofánticas cuyas soluciones son números siempre enteros.

17
00:01:19,780 --> 00:01:35,500
Muy interesante. Muhammad ibn Musa al-Ghwarizmi. Eso de al-Ghwarizmi, mi acento árabe es horroroso, pero bueno, es el que nos hemos apoyado en él para posteriormente, mucho tiempo después, desarrollar algoritmos.

18
00:01:35,500 --> 00:01:45,500
Y por último, el matemático y filósofo René Descartes, de origen francés, que unió el álgebra a la geometría analítica.

19
00:01:46,579 --> 00:01:51,500
No quiere decir que en el álgebra solo hayan trabajado tres matemáticos, hay una infinidad de listas.

20
00:01:53,099 --> 00:01:59,540
¿Qué es el lenguaje algebraico? Pues pasar al lenguaje matemático expresiones de la vida cotidiana.

21
00:01:59,540 --> 00:02:06,019
Y aquí tenéis unos ejemplos, ¿de acuerdo? Echarle un vistazo y veréis como no hay dificultad.

22
00:02:07,040 --> 00:02:16,439
¿Qué es un monomio? Vale, es la combinación por producto de un número llamado coeficiente y una letra a la que llamamos indeterminada o variable.

23
00:02:16,860 --> 00:02:23,900
Muy, muy importante. Para diferenciar un monomio de una expresión algebraica, muy importante,

24
00:02:23,900 --> 00:02:29,539
Siempre los exponentes de las letras tienen que ser números naturales

25
00:02:29,539 --> 00:02:33,960
Si ves una fracción, un número negativo

26
00:02:33,960 --> 00:02:37,240
Eso no es ni un monomio ni nada similar

27
00:02:37,240 --> 00:02:40,539
Se dice que sería una expresión algebraica no polinómica

28
00:02:40,539 --> 00:02:43,780
Vale, quedaros con la siguiente copla

29
00:02:43,780 --> 00:02:49,560
Estos dos monomios son semejantes porque la parte literal es la misma

30
00:02:49,560 --> 00:02:51,800
Aunque esté desordenada

31
00:02:51,800 --> 00:02:58,139
El número se llama coeficiente, todo esto es la parte literal, ¿vale?

32
00:02:58,939 --> 00:03:05,319
Se dice que son monomios opuestos cuando la misma expresión cambia de signo, no tiene ningún interés

33
00:03:05,319 --> 00:03:07,659
Lo de semejantes, por favor, sí, clave

34
00:03:07,659 --> 00:03:15,050
Aquí tenéis ejemplos para ver también cuál es el grado de un monomio

35
00:03:15,050 --> 00:03:18,610
Cuando x no tiene nada de exponente, el grado es 1

36
00:03:18,610 --> 00:03:21,909
Aquí pi no es una letra, ya lo sé que sí, pero es un número

37
00:03:21,909 --> 00:03:23,870
3,1415926

38
00:03:23,870 --> 00:03:29,129
Veis que hay dos letras, r al cuadrado y h, que se multiplican

39
00:03:29,129 --> 00:03:32,129
Pues sus exponentes se suman

40
00:03:32,129 --> 00:03:35,330
2 más 1, que no se escribe, pero está, es 3

41
00:03:35,330 --> 00:03:38,849
¿Cuál es el grado de x cuadrado y cubo?

42
00:03:38,849 --> 00:03:40,969
No dices 4, es el coeficiente

43
00:03:40,969 --> 00:03:43,430
Si sumas 2 y 3 te queda 5

44
00:03:43,430 --> 00:03:48,009
Aquí 1 más 2 más 1 es grado 4

45
00:03:48,009 --> 00:04:01,330
¿Vale? Muy importante. ¿Qué es un polinomio? Pues la suma o resta de varios monomios, partes importantísimas del polinomio que tenéis que haceros un esquema y aprenderos.

46
00:04:01,509 --> 00:04:15,169
Esto es un ejercicio para un examen. Si yo te doy primero un polinomio en donde los monomios no están ordenados de exponente mayor a exponente menor, te aconsejo que lo primero lo ordenes.

47
00:04:15,710 --> 00:04:20,850
Segundo, ¿cuál es el término más importante porque tiene mayor exponente?

48
00:04:21,129 --> 00:04:23,209
Este, ¿verdad? Menos 5x a la quinta.

49
00:04:23,430 --> 00:04:28,569
Pues eso es el término principal y el número menos 5 es coeficiente principal.

50
00:04:29,370 --> 00:04:36,930
Los siguientes términos serían de grado 3, de grado 2, de grado 1 y el que no tiene nada, término independiente.

51
00:04:37,389 --> 00:04:42,110
¿Cuántos términos tiene este polinomio? ¿Cuántas cajas cuentas? Así en verde.

52
00:04:42,110 --> 00:04:43,410
5, ok

53
00:04:43,410 --> 00:04:46,329
mirad, los polinomios se usan para un montón de cosas

54
00:04:46,329 --> 00:04:47,769
aquí tenéis un enlace

55
00:04:47,769 --> 00:04:50,329
yo esta presentación la voy a pasar también en pdf

56
00:04:50,329 --> 00:04:51,689
por si alguno tiene curiosidad

57
00:04:51,689 --> 00:04:56,269
vale, ¿qué es el grado de un polinomio?

58
00:04:56,470 --> 00:04:58,069
visto el grado de un monomio

59
00:04:58,069 --> 00:04:59,769
pues el mayor exponente

60
00:05:00,350 --> 00:05:01,470
sabiendo

61
00:05:01,470 --> 00:05:03,509
aquí en este polinomio

62
00:05:03,509 --> 00:05:05,389
p de, y después porque lo nombran así

63
00:05:05,389 --> 00:05:07,550
esta p mayúscula

64
00:05:07,550 --> 00:05:09,529
entre partes x es una forma

65
00:05:09,529 --> 00:05:12,129
abrevia de decir, mira te presento al polinomio

66
00:05:12,129 --> 00:05:13,430
donde la indeterminada es x

67
00:05:13,430 --> 00:05:18,290
Para no escribir todo eso, en matemáticas se os va dando cuenta que somos súper rápidos, abreviamos las cosas.

68
00:05:19,009 --> 00:05:21,009
Y esto, ¿pero por qué pone Q y ahora dos letras?

69
00:05:21,490 --> 00:05:25,550
Porque tu indeterminada no es única, es B.

70
00:05:25,970 --> 00:05:26,970
Tienes dos, ¿vale?

71
00:05:27,889 --> 00:05:30,370
Entonces, ¿cuál sería el grado aquí?

72
00:05:30,589 --> 00:05:33,889
Dices, hombre, esto está ordenado y lo mayor es 4, pues eso es el grado.

73
00:05:34,629 --> 00:05:37,170
Ahora aquí, esto no está ordenado.

74
00:05:37,170 --> 00:05:44,490
Ten cuidado aquí, este es el término de grado 6, este es el término de grado 8, grado 2 y grado 7.

75
00:05:44,870 --> 00:05:50,009
Pues entonces aquí el grado es 8, al sumar 3 más 5.

76
00:05:50,750 --> 00:05:52,750
Ok, ¿cómo se suman polinomios?

77
00:05:53,389 --> 00:06:02,009
¿Os acordáis que os he dicho que echaréis un vistazo a los términos semejantes?

78
00:06:02,550 --> 00:06:03,829
Es clave para esto.

79
00:06:03,829 --> 00:06:11,029
Si yo quiero sumar P con Q, pues sí, anda que lo he aplicado bien aquí la suma, perdona.

80
00:06:14,009 --> 00:06:20,290
La suma de estos polinomios, tú vas a ir sumando 3X, menos 3X a la cuarta, ¿ya hay aquí alguno X a la cuarta?

81
00:06:20,449 --> 00:06:24,170
Sí, menos, como no hay coeficiente siempre hay un 1, ¿de acuerdo?

82
00:06:24,269 --> 00:06:26,269
Pues menos 3 menos 1 es menos 4.

83
00:06:26,930 --> 00:06:33,329
Si tú ahora en un papel de sucio somas los términos semejantes de grado 2, tendrás que sumar un quinto más 4.

84
00:06:33,329 --> 00:06:36,310
4 son 20 quintos

85
00:06:36,310 --> 00:06:38,689
Si le sumas un quinto aparece 21 quintos

86
00:06:38,689 --> 00:06:40,649
Ahora, aquí no tienes nada

87
00:06:40,649 --> 00:06:42,709
Ningún término de grado 1

88
00:06:42,709 --> 00:06:45,230
Pero aquí sí te lo llevas tal cual

89
00:06:45,230 --> 00:06:47,370
Porque no le has tenido que sumar nada

90
00:06:47,370 --> 00:06:48,129
Y luego ves aquí

91
00:06:48,129 --> 00:06:50,850
Más 2 y menos 6

92
00:06:50,850 --> 00:06:51,850
Menos 4

93
00:06:51,850 --> 00:06:54,589
A ver, nosotros en la evaluación 1

94
00:06:54,589 --> 00:06:57,350
Dimos operaciones con números enteros

95
00:06:57,350 --> 00:06:59,629
Si os cuesta trabajo podéis usar la calculadora

96
00:06:59,629 --> 00:07:01,709
Ok

97
00:07:01,709 --> 00:07:03,230
Este de acá

98
00:07:03,230 --> 00:07:07,670
Vamos a ver. Vale, este se ve un poquito mal en la diapositiva.

99
00:07:07,790 --> 00:07:10,449
Bueno, las propiedades de la suma de los polinomios son conmutativa.

100
00:07:11,350 --> 00:07:14,430
El orden de los polinomios no te va a alterar el resultado.

101
00:07:15,029 --> 00:07:19,790
Si tienes que sumar tres polinomios, que consejo te tengo que dar, y así aplicamos la propiedad distributiva,

102
00:07:20,649 --> 00:07:24,449
suma dos, los que tú quieras, y a su resultado le sumas otro.

103
00:07:24,449 --> 00:07:28,829
Aquí veis el ejemplo. El elemento neutro de la suma es el cero.

104
00:07:28,829 --> 00:07:37,029
El polinomio nulo, que es el cero, no hace variar a otro polinomio, que es el elemento opuesto.

105
00:07:37,430 --> 00:07:42,149
Lo que os he dicho antes, esto no tiene mucha importancia, el polinomio opuesto, para que al sumarlos quede cero.

106
00:07:44,569 --> 00:07:50,649
Ok, aquí tenéis unas actividades y os voy a compartir después las soluciones de este tema.

107
00:07:51,329 --> 00:07:56,290
Entonces, pues, si queréis hacerlo, lo comparáis.

108
00:07:56,290 --> 00:07:57,889
Producto de polinomios

109
00:07:57,889 --> 00:08:00,990
Dice, bueno, a ver, ¿cómo se multiplican?

110
00:08:01,569 --> 00:08:03,410
Pues multiplicar los coeficientes por un lado

111
00:08:03,410 --> 00:08:07,009
Y al tener la misma indeterminada

112
00:08:07,009 --> 00:08:09,569
Aplicamos las propiedades de las potencias

113
00:08:09,569 --> 00:08:11,170
Sumamos sus exponentes

114
00:08:11,170 --> 00:08:13,490
Vale, ahora

115
00:08:13,490 --> 00:08:18,310
¿Cómo multiplico yo un monomio por un polinomio?

116
00:08:18,310 --> 00:08:19,610
Con mucha paciencia

117
00:08:19,610 --> 00:08:23,529
Coges el monomio y aplicas la propiedad distributiva

118
00:08:23,529 --> 00:08:24,430
¿Pero qué es eso?

119
00:08:24,430 --> 00:08:28,810
Pues mira, 3x al cuadrado te multiplica 2x al cuadrado y lo escribes.

120
00:08:29,110 --> 00:08:35,750
3x al cuadrado te multiplica el siguiente término que es menos 4, menos 4x y lo escribes.

121
00:08:36,110 --> 00:08:42,230
Y luego 3x al cuadrado te multiplica a 6 y te quedan los resultados así.

122
00:08:43,210 --> 00:08:45,509
Tú dices, ¿qué pasa si menos 2x está al final?

123
00:08:45,990 --> 00:08:50,269
No pasa nada, menos x al cubo te multiplica menos 2x, lo escribes.

124
00:08:50,269 --> 00:08:52,690
3x te multiplica menos 2x

125
00:08:52,690 --> 00:08:53,669
escribes y escribes

126
00:08:53,669 --> 00:08:56,409
y luego vas realizando la multiplicación

127
00:08:56,409 --> 00:08:57,870
no la entiendo esta mujer

128
00:08:57,870 --> 00:09:00,830
mira, menos x cubo por menos 2x

129
00:09:00,830 --> 00:09:02,230
menos por menos es más

130
00:09:02,230 --> 00:09:04,029
1, que no está escrito

131
00:09:04,029 --> 00:09:05,250
pero lo sabes que existe

132
00:09:05,250 --> 00:09:06,929
por 2 es 2

133
00:09:06,929 --> 00:09:10,509
y x al cubo por x es x a la cuarta

134
00:09:10,509 --> 00:09:14,029
y eso lo hacemos con cada término

135
00:09:14,029 --> 00:09:14,389
¿vale?

136
00:09:14,909 --> 00:09:17,570
ahora, ¿qué ocurre si tengo un binomio?

137
00:09:18,009 --> 00:09:19,570
más difícil todavía

138
00:09:19,570 --> 00:09:26,950
Aquí tú coges 3x y lo multiplicas por todos los términos del polinomio y lo escribes

139
00:09:26,950 --> 00:09:33,149
Coges luego el segundo término del primer polinomio y lo multiplicas al segundo

140
00:09:33,149 --> 00:09:36,230
Es lo que está escrito aquí, ¿verdad?

141
00:09:37,029 --> 00:09:38,769
Aquí, ti-ti-ti-ti-ti-ti, dices

142
00:09:38,769 --> 00:09:40,230
Y después, ¿qué ha hecho?

143
00:09:40,529 --> 00:09:46,009
Pues 3x ha multiplicado cada término de ese paréntesis, propia distributiva

144
00:09:46,009 --> 00:09:47,629
¿Qué hemos hecho a continuación?

145
00:09:47,629 --> 00:09:52,629
El menos 2 te ha multiplicado cada uno de estos términos y después tienes que sumar.

146
00:09:53,629 --> 00:09:58,769
Es pesado, pero no difícil para el vídeo y mira esto.

147
00:09:59,090 --> 00:10:00,690
¿Serías capaz de hacerlo? Seguro que sí.

148
00:10:02,590 --> 00:10:10,029
Otro modo muy útil de multiplicar polinomios es como multiplicamos números 720 por 825.

149
00:10:10,250 --> 00:10:16,470
Te colocas los números en dos columnas diferentes, perdón, en dos filas diferentes y vas aplicando.

150
00:10:16,470 --> 00:10:21,470
Aquí, ¿qué han hecho? El número 1 ha multiplicado al polinomio de arriba.

151
00:10:21,590 --> 00:10:23,929
Y lo has colocado. Como no hay x al cuadrado, dejas un hueco.

152
00:10:24,690 --> 00:10:28,649
Siguiente término, menos 3x, te multiplica cada uno de estos términos.

153
00:10:28,809 --> 00:10:31,970
Si no hay un término, el de grado 3 no existe, dejas hueco.

154
00:10:32,529 --> 00:10:35,149
Y luego x al cuadrado, multiplicado todo eso, lo escribes.

155
00:10:35,269 --> 00:10:37,309
Que no hay grado 4, deja hueco.

156
00:10:37,690 --> 00:10:41,649
Y después, estas tres filas las has sumado.

157
00:10:42,809 --> 00:10:43,110
¿Vale?

158
00:10:48,370 --> 00:10:50,070
Ok, actividades propuestas.

159
00:10:50,070 --> 00:10:54,429
Productos notables

160
00:10:54,429 --> 00:10:55,870
Esto es lo último

161
00:10:55,870 --> 00:10:58,789
Mira, aquí tienes en el PDF

162
00:10:58,789 --> 00:11:00,649
Es un enlace

163
00:11:00,649 --> 00:11:02,610
Si lo pinchas te lo va a explicar en 7 minutos

164
00:11:02,610 --> 00:11:04,110
Esta señora perfectamente

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00:11:04,110 --> 00:11:06,330
Estos son cuadrados de un binomio

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00:11:06,330 --> 00:11:08,110
Vamos a ver

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00:11:08,110 --> 00:11:10,269
Se aplican muchas veces para

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00:11:10,269 --> 00:11:11,830
Muchas cosas matemáticas

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00:11:11,830 --> 00:11:14,090
Y aquí tenéis ejercicios resueltos

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00:11:14,090 --> 00:11:15,909
¿Qué consejo te doy?

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00:11:16,070 --> 00:11:18,090
Para el vídeo, intenta sumarlo

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00:11:18,090 --> 00:11:19,250
Y no se te queda lo de a mí

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00:11:19,250 --> 00:11:22,389
Dados dos polinomios

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00:11:22,389 --> 00:11:27,690
¿Cómo se suman? Pues agrupamos los términos semejantes, ¿vale?

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00:11:27,830 --> 00:11:32,990
Mira, 3x cubo menos x cubo menos 2x cuadrado más 4x cuadrado y así, ¿vale?

176
00:11:33,370 --> 00:11:36,269
Y luego dices, ¿y qué hago? Arruinado cada paréntesis.

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00:11:36,970 --> 00:11:41,669
Ejercicio 2. Si queremos multiplicar ese monomio por ese polinomio,

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00:11:41,809 --> 00:11:44,809
te digo el mismo para intentar resolverlo tú y luego lo comparamos.

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00:11:45,509 --> 00:11:47,549
Aquí, un binomio por un polinomio.

180
00:11:48,250 --> 00:11:50,529
Y luego tenemos aquí identidades notables.

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00:11:50,529 --> 00:11:52,210
Me detengo un pelín para explicarlo.

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00:11:52,389 --> 00:11:59,169
Si a ti te dan x más 3 al cuadrado, el cuadrado significa que la base se multiplica por sí misma.

183
00:11:59,789 --> 00:12:01,330
¿Y cómo se multiplica binomios?

184
00:12:01,509 --> 00:12:07,070
Pues la x multiplica la x, bueno, x a x más 3 y el 3 a x más 3.

185
00:12:07,909 --> 00:12:11,110
Paso siguiente, x por x, x por 3.

186
00:12:11,570 --> 00:12:17,970
El orden de los factores no altera el resultado, mejor poner el coeficiente siempre delante, 3x y 3 por 3.

187
00:12:18,429 --> 00:12:20,450
¿Podemos agrupar aquí algún término que sea semejante?

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00:12:20,669 --> 00:12:20,830
Sí.

189
00:12:21,649 --> 00:12:26,429
Eso se puede hacer así, pero también si tú te sabes la fórmula del producto notable

190
00:12:26,429 --> 00:12:33,370
y sabes que a es x y que b es 3, aplicas esta formulita y llegas al mismo lado.

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00:12:34,090 --> 00:12:36,690
¿Y si es una diferencia? Pues, amigo, lo mismo.

192
00:12:37,269 --> 00:12:40,789
Pones x menos 4 por x menos 4, x multiplica el x menos 4.

193
00:12:40,889 --> 00:12:46,970
El menos 4 multiplica esto, x cuadrado menos 4x, menos 4x más 16, ta, ta, ta.

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00:12:47,389 --> 00:12:49,210
¿Esto lo podríamos haber conseguido de otra manera?

195
00:12:49,210 --> 00:12:57,129
Claro, la teoría A menos B al cuadrado, A al cuadrado menos 2AB más B, conseguiríamos esto.

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00:12:57,929 --> 00:13:02,309
Y por último tienes aquí, ¿qué pasa si es producto de suma por diferencia?

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00:13:02,490 --> 00:13:05,629
Perdona, se me olvidó aquí un paréntesis, ¿vale? Ahí, después del 4.

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00:13:07,950 --> 00:13:12,929
A ver, perdonad, perdonad, aquí habría un 2 y aquí un 2.

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00:13:12,929 --> 00:13:19,110
Entonces, por desarrollo te queda esto y aplicando la fórmula de identidades notables de suma por diferencia,

200
00:13:19,210 --> 00:13:27,149
Pues lo mismo, ¿qué tenemos que hacer? Identificar a con 2x, b con 4 y aplicamos.

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00:13:27,289 --> 00:13:32,950
Si a es 2x y b es 4, a cuadrado es 4x cuadrado porque el cuadrado le afecta al coeficiente y a la letra.

202
00:13:33,789 --> 00:13:37,269
Si b es 2, su cuadrado es 4. Hemos sustituido y lo tenemos.

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00:13:37,990 --> 00:13:42,370
Y aquí también tenéis algunos ejercicios resueltos. Acordaos, os lo pasaré en PDF.

204
00:13:42,370 --> 00:13:52,529
Es decir, espero que con un poquito de práctica y un poquito de paciencia estas cosas de la sesión número 5 las hayas adquirido con alegría y facilidad.