1
00:00:00,880 --> 00:00:17,219
Vale, estamos en la página 158. Hablamos de producto escalar de vectores libres. El producto escalar no es más que la multiplicación de dos vectores. Vamos a tener dos tipos de productos. El producto escalar y el producto vectorial. Al vectorial ya llegaremos.

2
00:00:17,219 --> 00:00:22,219
El escalar nos es muy útil porque nos permite averiguar el ángulo que hay entre dos vectores

3
00:00:22,219 --> 00:00:26,660
Si yo tengo un vector v, por ejemplo, que está aquí

4
00:00:26,660 --> 00:00:29,760
Y un vector u, que está acá

5
00:00:29,760 --> 00:00:31,859
Yo sé que hay un ángulo entre ambos

6
00:00:31,859 --> 00:00:34,340
Que es este

7
00:00:34,340 --> 00:00:36,700
Y en ocasiones me va a interesar

8
00:00:36,700 --> 00:00:40,159
Ya veremos cuándo, por ahora solamente lo explicamos y ya empezaremos a usarlo

9
00:00:40,159 --> 00:00:42,359
Definición de producto escalar

10
00:00:42,359 --> 00:00:46,020
v por u

11
00:00:46,020 --> 00:00:47,299
lo podéis llamar como queráis

12
00:00:47,299 --> 00:00:48,320
en el libro lo llamo w

13
00:00:48,320 --> 00:00:50,560
me da igual los nombres que queráis

14
00:00:50,560 --> 00:00:53,020
es el módulo de v

15
00:00:53,020 --> 00:00:56,119
por el módulo de u

16
00:00:56,119 --> 00:00:59,759
por el coseno del ángulo

17
00:00:59,759 --> 00:01:00,960
que hay entre ambos

18
00:01:00,960 --> 00:01:03,179
lo voy a llamar alfa

19
00:01:03,179 --> 00:01:03,619
¿vale?

20
00:01:05,620 --> 00:01:06,980
volvemos a la trigonometría

21
00:01:06,980 --> 00:01:09,879
¿por qué nos resulta útil esto?

22
00:01:10,140 --> 00:01:11,739
porque yo ahora puedo despejar

23
00:01:11,739 --> 00:01:13,420
mi coseno y decir, vale, es que yo

24
00:01:13,420 --> 00:01:15,819
quiero saber qué ángulo hay entre esos dos

25
00:01:15,819 --> 00:01:18,099
pues entonces el coseno de alfa

26
00:01:18,099 --> 00:01:20,280
es v por u

27
00:01:20,280 --> 00:01:21,859
partido de

28
00:01:21,859 --> 00:01:24,780
el módulo de v por el módulo de u

29
00:01:24,780 --> 00:01:27,980
el módulo de v

30
00:01:27,980 --> 00:01:28,700
sabemos hallarlo

31
00:01:28,700 --> 00:01:31,000
el módulo de u sabemos hallarlo

32
00:01:31,000 --> 00:01:32,900
pero ¿sabemos hacer esta multiplicación?

33
00:01:33,959 --> 00:01:37,640
pues no, porque es el producto escalar

34
00:01:37,640 --> 00:01:38,959
porque es lo que vamos a aprender hoy

35
00:01:38,959 --> 00:01:42,099
¿vale? entonces, cositas que nos van a pasar

36
00:01:42,099 --> 00:01:43,439
con el producto escalar, lo primero

37
00:01:43,439 --> 00:01:45,319
Si nos está definiendo ángulos

38
00:01:45,319 --> 00:01:48,480
Si yo multiplico con producto escalar

39
00:01:48,480 --> 00:01:51,000
Un vector por el mismo

40
00:01:51,000 --> 00:01:53,180
Es decir, si esto lo llamo yo v

41
00:01:53,180 --> 00:01:55,579
Y hago v por v

42
00:01:55,579 --> 00:01:58,040
¿Qué me va a dar?

43
00:02:00,120 --> 00:02:01,480
v al cuadrado, vale

44
00:02:01,480 --> 00:02:03,920
Pero esto hemos dicho que todavía no sabemos hacerlo

45
00:02:03,920 --> 00:02:06,480
Pero esto sí que vamos a poder resolverlo

46
00:02:06,480 --> 00:02:11,949
¿Veis que yo tengo que poner el módulo de v

47
00:02:11,949 --> 00:02:14,969
Por el módulo de v por el coseno entre v y v

48
00:02:14,969 --> 00:02:34,830
¿Cuál es el coseno? ¿Qué ángulo hay entre este vector y el mismo? Cero. ¿Entonces cuánto es el coseno de cero? No podéis haber reseteado eso. No, el coseno de cero. ¿No el coseno de qué es cero? O sea, el coseno de 90 es cero. Bien.

49
00:02:34,830 --> 00:02:36,930
Pero el coseno de cero, de cero grados

50
00:02:36,930 --> 00:02:38,689
¿Cuánto vale? Uno

51
00:02:38,689 --> 00:02:40,909
Entonces el producto escalar

52
00:02:40,909 --> 00:02:42,689
De un vector por el mismo

53
00:02:42,689 --> 00:02:44,650
Es su módulo

54
00:02:44,650 --> 00:02:45,669
Al cuadrado

55
00:02:45,669 --> 00:02:47,150
¿Vale?

56
00:02:47,789 --> 00:02:49,909
Vale, siguiente

57
00:02:49,909 --> 00:02:53,449
Producto escalar de dos vectores

58
00:02:53,449 --> 00:02:54,889
Perpendiculares

59
00:02:54,889 --> 00:02:56,830
V y U

60
00:02:56,830 --> 00:02:57,389
Por ejemplo

61
00:02:57,389 --> 00:03:10,280
¿Nadie? Uno

62
00:03:10,280 --> 00:03:16,419
Estamos multiplicando el módulo de V

63
00:03:16,419 --> 00:03:18,159
que me da igual lo que mida, ahora lo veréis

64
00:03:18,159 --> 00:03:19,639
por el módulo de u

65
00:03:19,639 --> 00:03:22,599
por el coseno del ángulo

66
00:03:22,599 --> 00:03:23,639
que hay entre medias

67
00:03:23,639 --> 00:03:24,860
¿cuánto es el coseno de 90?

68
00:03:28,120 --> 00:03:28,680
cero

69
00:03:28,680 --> 00:03:31,939
o sea que el producto escalar

70
00:03:31,939 --> 00:03:34,400
entre dos vectores perpendiculares

71
00:03:34,400 --> 00:03:36,479
siempre va a ser cero

72
00:03:36,479 --> 00:03:38,080
¿vale?

73
00:03:40,139 --> 00:03:40,979
de aquí

74
00:03:40,979 --> 00:03:43,460
vamos a definir lo que son los vectores

75
00:03:43,460 --> 00:03:44,699
ortonormales

76
00:03:44,699 --> 00:03:46,780
nombre maravilloso

77
00:03:46,780 --> 00:04:00,490
Vale, los vectores ortonormales son aquellos que son ortogonales y además de módulo 1

78
00:04:00,490 --> 00:04:04,610
Son con los que vamos a trabajar de una manera tranquila

79
00:04:04,610 --> 00:04:08,590
Los vectores con los que trabajamos siempre en nuestros ejes de coordenadas

80
00:04:08,590 --> 00:04:12,129
X e Y que nos definen todo de uno en uno, esos son ortonormales

81
00:04:12,129 --> 00:04:15,009
Pero no son los únicos, hay muchísimos vectores ortonormales

82
00:04:15,009 --> 00:04:21,470
Yo puedo definir unos ejes de coordenadas cuales quiero y trabajar sobre un nuevo plano de referencia

83
00:04:21,470 --> 00:04:24,269
y que mis vectores a lo mejor sean estos dos

84
00:04:24,269 --> 00:04:27,029
son de módulo 1

85
00:04:27,029 --> 00:04:30,000
son perpendiculares

86
00:04:30,000 --> 00:04:32,300
maravilloso, son ortonormales

87
00:04:32,300 --> 00:04:33,939
bien

88
00:04:33,939 --> 00:04:36,800
para que dos vectores sean ortonormales

89
00:04:36,800 --> 00:04:39,120
tiene que pasar que el módulo de los dos

90
00:04:39,120 --> 00:04:41,079
sea lo mismo

91
00:04:41,079 --> 00:04:42,060
y sea 1

92
00:04:42,060 --> 00:04:44,100
y que además su producto escalar

93
00:04:44,100 --> 00:04:45,279
v por u

94
00:04:45,279 --> 00:04:48,480
sea 0, condiciones de los vectores ortonormales

95
00:04:48,480 --> 00:04:52,509
que el módulo

96
00:04:52,509 --> 00:04:54,329
de estos vectores sea 1

97
00:04:54,329 --> 00:04:57,069
significa que estos vectores son unitarios

98
00:04:57,069 --> 00:05:04,470
hoy, perpendiculares

99
00:05:04,470 --> 00:05:06,189
¿vale?

100
00:05:08,220 --> 00:05:09,079
¿hasta aquí todo claro?

101
00:05:11,720 --> 00:05:11,860
¿sí?

102
00:05:12,699 --> 00:05:14,439
vale, pues ahora vamos

103
00:05:14,439 --> 00:05:17,819
de verdad a ver cómo se averigua

104
00:05:17,819 --> 00:05:19,680
este producto escalar

105
00:05:19,680 --> 00:05:21,740
¿vale? porque vamos a tener que relacionarlo

106
00:05:21,740 --> 00:05:23,500
de alguna manera para poder averiguar

107
00:05:23,500 --> 00:05:24,399
el coseno de los ángulos

108
00:05:24,399 --> 00:05:26,540
ya hemos dicho que esto podemos hallarlo, pero esto no

109
00:05:26,540 --> 00:05:28,560
¿vale? bajo un poquito

110
00:05:28,560 --> 00:05:29,899
tenemos

111
00:05:29,899 --> 00:05:32,199
que el producto escalar

112
00:05:32,199 --> 00:05:37,259
lo vamos a poder hallar de dos maneras

113
00:05:37,259 --> 00:05:39,800
ya hemos dicho que

114
00:05:39,800 --> 00:05:43,600
el v por u

115
00:05:43,600 --> 00:05:45,740
es el módulo de v

116
00:05:45,740 --> 00:05:47,399
por el módulo de u

117
00:05:47,399 --> 00:05:49,779
por el coseno del ángulo que lo separa

118
00:05:49,779 --> 00:05:50,959
pero es que además

119
00:05:50,959 --> 00:05:53,680
podemos operar solamente con sus coordenadas

120
00:05:53,680 --> 00:05:55,920
entonces si yo llamo a v

121
00:05:55,920 --> 00:05:59,220
vxvi por ejemplo

122
00:05:59,220 --> 00:06:00,579
y a u

123
00:06:00,579 --> 00:06:04,490
uxui

124
00:06:04,490 --> 00:06:06,589
distinguimos las v y las u

125
00:06:06,589 --> 00:06:08,009
más o menos

126
00:06:08,009 --> 00:06:10,930
el producto escalar entre ambos es

127
00:06:10,930 --> 00:06:13,810
el producto de sus coordenadas sumadas

128
00:06:13,810 --> 00:06:14,810
es decir

129
00:06:14,810 --> 00:06:17,269
v por u

130
00:06:17,269 --> 00:06:19,050
todas estas fórmulas las tenéis expresadas

131
00:06:19,050 --> 00:06:20,230
un poquito distinto

132
00:06:20,230 --> 00:06:23,790
en la página 159

133
00:06:23,790 --> 00:06:24,589
¿vale?

134
00:06:25,389 --> 00:06:27,410
yo si hago este producto escalar voy a decir

135
00:06:27,410 --> 00:06:29,370
vx por ux

136
00:06:29,370 --> 00:06:31,569
es decir, multiplico las coordenadas x de los dos

137
00:06:31,569 --> 00:06:33,709
y le sumo

138
00:06:33,709 --> 00:06:35,329
vi por ui

139
00:06:35,329 --> 00:06:38,350
de tal manera que yo ahora ya puedo

140
00:06:38,350 --> 00:06:39,389
igualar esto

141
00:06:39,389 --> 00:06:40,689
con esto

142
00:06:40,689 --> 00:06:43,370
y podría sacar el ángulo que hay entre dos ángulos

143
00:06:43,370 --> 00:06:45,230
o sea, entre dos vectores cualesquiera

144
00:06:45,230 --> 00:06:48,110
de esto haremos ejercicios

145
00:06:48,110 --> 00:06:48,790
¿vale?

146
00:06:48,850 --> 00:06:50,509
por ahora vamos a inventarnos un ejemplo cualquiera

147
00:06:50,509 --> 00:06:52,389
bueno, un ejemplo cualquiera, a ver si uno quede bonito

148
00:06:52,389 --> 00:06:55,920
no, no va a dar bonito ninguno

149
00:06:55,920 --> 00:06:56,720
nos lo inventamos

150
00:06:56,720 --> 00:06:58,959
vale, decidme un vector v

151
00:06:58,959 --> 00:07:03,220
lo que queráis

152
00:07:03,220 --> 00:07:04,579
venga, tres, cuatro

153
00:07:04,579 --> 00:07:07,360
un vector u

154
00:07:07,360 --> 00:07:11,220
5, 0

155
00:07:11,220 --> 00:07:14,699
lo primero, así, a golpe de vista

156
00:07:14,699 --> 00:07:16,240
¿son unitarios?

157
00:07:19,310 --> 00:07:21,529
no, pero vamos, ni por asomo

158
00:07:21,529 --> 00:07:25,670
porque el módulo de ninguno de los dos va a ser 1

159
00:07:25,670 --> 00:07:28,589
pero bueno, eso ya veremos para qué sirve

160
00:07:28,589 --> 00:07:31,310
por ahora lo que queremos averiguar es el ángulo que hay entre ellos

161
00:07:31,310 --> 00:07:33,209
¿cómo lo vamos a hacer? vamos a decir

162
00:07:33,209 --> 00:07:37,589
v por u es igual a

163
00:07:37,589 --> 00:07:39,329
el módulo de v

164
00:07:39,329 --> 00:07:41,569
por el módulo de u

165
00:07:41,569 --> 00:07:44,050
por el coseno del ángulo que nos separa

166
00:07:44,050 --> 00:07:45,329
y por otro lado

167
00:07:45,329 --> 00:07:46,490
v por u

168
00:07:46,490 --> 00:07:49,629
es igual a 3 por 5

169
00:07:49,629 --> 00:07:51,889
más

170
00:07:51,889 --> 00:07:53,129
0 por 4

171
00:07:53,129 --> 00:07:55,689
así que de aquí

172
00:07:55,689 --> 00:07:56,649
ya podemos sacar un numerito

173
00:07:56,649 --> 00:07:59,269
¿qué numerito? 15

174
00:07:59,269 --> 00:08:00,930
entonces tenemos por aquí

175
00:08:00,930 --> 00:08:02,129
un 15

176
00:08:02,129 --> 00:08:05,370
el producto escalar de estos dos vectores vale 15

177
00:08:05,370 --> 00:08:07,449
vamos a averiguar

178
00:08:07,449 --> 00:08:09,269
el ángulo entre ellos

179
00:08:09,269 --> 00:08:10,189
que es lo que nos interesa

180
00:08:10,189 --> 00:08:12,949
para ello, módulo de v

181
00:08:12,949 --> 00:08:13,810
¿cuánto vale?

182
00:08:15,529 --> 00:08:17,569
la raíz cuadrada de

183
00:08:17,569 --> 00:08:19,470
3 al cuadrado

184
00:08:19,470 --> 00:08:21,230
más 4 al cuadrado

185
00:08:21,230 --> 00:08:23,149
es decir, la raíz cuadrada

186
00:08:23,149 --> 00:08:25,069
de 9 más 16

187
00:08:25,069 --> 00:08:27,290
que maravilla, 25 pues nos vale

188
00:08:27,290 --> 00:08:32,059
5, módulo de u

189
00:08:32,059 --> 00:08:34,059
raíz cuadrada

190
00:08:34,059 --> 00:08:36,159
de 5 al cuadrado

191
00:08:36,159 --> 00:08:37,200
más 0 al cuadrado

192
00:08:37,200 --> 00:08:39,379
que maravilla, mira que bien os habéis inventado

193
00:08:39,379 --> 00:08:40,139
los vectores

194
00:08:40,139 --> 00:08:42,360
5 también, ¿vale?

195
00:08:43,919 --> 00:08:45,460
y ahora igualamos

196
00:08:45,460 --> 00:08:46,919
este producto escalar

197
00:08:46,919 --> 00:08:48,399
es igual que este producto escalar, ¿no?

198
00:08:48,639 --> 00:08:50,299
todos lo veis que pone exactamente lo mismo

199
00:08:50,299 --> 00:08:52,240
o sea que yo puedo decir que

200
00:08:52,240 --> 00:08:54,600
5 por 5

201
00:08:54,600 --> 00:08:56,340
por el coseno de alfa

202
00:08:56,340 --> 00:08:58,179
es igual a 15

203
00:08:58,179 --> 00:09:00,720
sí, entonces

204
00:09:00,720 --> 00:09:03,259
el coseno de alfa es igual a

205
00:09:03,259 --> 00:09:05,240
15 partido de 25

206
00:09:05,240 --> 00:09:07,419
si

207
00:09:07,419 --> 00:09:09,340
que es 3 quintos

208
00:09:09,340 --> 00:09:13,110
pues meto en la calculadora y digo

209
00:09:13,110 --> 00:09:15,769
arco coseno

210
00:09:15,769 --> 00:09:17,509
de 3 quintos

211
00:09:17,509 --> 00:09:18,490
es igual a

212
00:09:18,490 --> 00:09:19,409
y alguien lo hace

213
00:09:19,409 --> 00:09:21,389
a ver que nos da

214
00:09:21,389 --> 00:09:46,610
53 graditos

215
00:09:46,610 --> 00:09:47,789
pues ya tenemos

216
00:09:47,789 --> 00:09:50,669
el ángulo que los separa

217
00:09:50,669 --> 00:09:52,309
vamos a comprobarlo a ver como queda

218
00:09:52,309 --> 00:09:55,009
nos dibujamos nuestro vector v que es el 3,4

219
00:09:55,009 --> 00:09:56,570
voy a hacerlo de 2 en 2

220
00:09:56,570 --> 00:09:57,649
para que quede un poquito más grande

221
00:09:57,649 --> 00:10:02,269
Nos quedaría 3, 4, sería 1, 2 y 3

222
00:10:02,269 --> 00:10:04,929
Y aquí 1, 2, 3 y 4

223
00:10:04,929 --> 00:10:09,590
Este es nuestro vector V

224
00:10:09,590 --> 00:10:10,970
Nuestro vector U

225
00:10:10,970 --> 00:10:15,509
1, 2, 3, 4 y 5, 0

226
00:10:15,509 --> 00:10:21,960
Pues veis que el ángulo entre ellos efectivamente podría ser 53

227
00:10:21,960 --> 00:10:24,559
Que no nos ha salido nada raro para allá

228
00:10:24,559 --> 00:10:25,659
Bien, ¿no?

229
00:10:27,039 --> 00:10:28,559
Pues ya estaría hasta aquí

230
00:10:28,559 --> 00:10:30,980
si es unitario da igual

231
00:10:30,980 --> 00:10:32,299
el ángulo puede ser el mismo

232
00:10:32,299 --> 00:10:34,639
es más, yo en algún momento

233
00:10:34,639 --> 00:10:36,419
de la vida

234
00:10:36,419 --> 00:10:38,600
os pediré que me averigüéis

235
00:10:38,600 --> 00:10:40,779
un vector que tenga

236
00:10:40,779 --> 00:10:42,879
la misma dirección y el mismo sentido que este

237
00:10:42,879 --> 00:10:44,879
es decir, que sea el mismo vector

238
00:10:44,879 --> 00:10:46,559
pero unitario

239
00:10:46,559 --> 00:10:48,659
entonces tendréis que dividir

240
00:10:48,659 --> 00:10:50,759
estas coordenadas entre el módulo

241
00:10:50,759 --> 00:10:52,299
pero eso ya tiene un problema del futuro

242
00:10:52,299 --> 00:10:53,899
eso ya irá sucediendo

243
00:10:53,899 --> 00:10:56,000
por ahora nos da igual lo que midan los vectores

244
00:10:56,000 --> 00:10:58,519
sabemos averiguar su ángulo

245
00:10:58,519 --> 00:11:01,220
sabemos averiguar sus módulos, sabemos situarlos, dibujarlos

246
00:11:01,220 --> 00:11:03,059
y por ahora, todo bien

247
00:11:03,059 --> 00:11:04,019
hasta aquí