1 00:00:00,000 --> 00:00:08,120 Venga, hoy vamos a ver las asíntotas, ¿vale? Tenemos tres tipos de asíntotas, ¿de acuerdo? 2 00:00:08,120 --> 00:00:29,240 Tenemos asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Entonces, las asíntotas horizontales 3 00:00:29,880 --> 00:00:37,520 siempre se ven cuando x tiende a más infinito o menos infinito, ¿de acuerdo? Entonces, 4 00:00:37,520 --> 00:00:43,440 cuando tenemos una asíntota horizontal yo tengo que hacer el límite de la función, ¿vale?, 5 00:00:43,440 --> 00:00:54,360 cuando x tiende a más infinito y el límite de la función cuando x tiende a menos infinito, ¿vale? 6 00:00:54,640 --> 00:01:02,520 Y si me sale un valor L, ¿vale?, un valor L, que este valor L es un valor finito, ¿vale?, 7 00:01:02,520 --> 00:01:13,160 es un valor finito. Por ejemplo, si nosotros tenemos límite de, yo que sé, x al cuadrado 8 00:01:13,160 --> 00:01:24,000 menos 5, partido de 2 x al cuadrado más x menos 3, ¿vale? Si yo hago el límite cuando 9 00:01:24,000 --> 00:01:30,640 x tiende a más infinito, ¿cuánto da este límite? ¿Cuánto da este límite? Bájale. 10 00:01:30,640 --> 00:01:40,800 ¿Se ve bien, por cierto? Por comparación de infinito, ¿cuánto daría esto? Esto es 11 00:01:40,840 --> 00:01:45,800 infinito partido de infinito, que es una indeterminación. Entonces, ¿qué hacemos? Como 12 00:01:45,800 --> 00:01:51,560 tenemos una función racional, lo que hacemos es dividimos por el grado mayor del denominador. 13 00:01:51,560 --> 00:01:59,280 Efectivamente, es un medio, ¿vale? Es un medio. ¿Qué ocurre? Que esto es un valor finito, ¿sí o no? 14 00:01:59,280 --> 00:02:05,440 Pues entonces hay una asíntota horizontal, hay asíntota horizontal 15 00:02:11,320 --> 00:02:18,320 cuando x tiende a más infinito, ¿vale? Si yo hago el límite de esta misma función, ¿vale?, 16 00:02:18,320 --> 00:02:27,280 de esta misma función, 2 x al cuadrado más x menos 3, cuando x tiende a menos infinito, ¿qué ocurre? 17 00:02:28,280 --> 00:02:34,400 Que eso tendríamos que cambiar, ¿os acordáis? Es el límite cuando x, efectivamente, 18 00:02:34,400 --> 00:02:44,240 se queda en igual. La de arriba sí, la de abajo no, ¿vale? Esto es 2 x al cuadrado menos x menos 19 00:02:44,240 --> 00:02:52,280 3. Pero ¿qué ocurre? Que esto también es un medio, ¿vale? Pues entonces hay asíntota horizontal, 20 00:02:53,160 --> 00:03:06,440 asíntota, coño, horizontal también en x tiende a menos infinito, ¿de acuerdo? Pero si nosotros, 21 00:03:06,440 --> 00:03:15,840 por ejemplo, tenemos la función, yo qué sé, gdx, gdx es igual a x al cuadrado menos 2 o menos 5, 22 00:03:15,840 --> 00:03:24,400 por ejemplo, partido de x menos 3, ¿vale? Si yo hago el límite de gdx, límite de fdx, 23 00:03:24,400 --> 00:03:34,120 cuando x tiende, ay, perdona, gdx, ¿vale? Límite de gdx, cuando x tiende a más infinito, 24 00:03:34,120 --> 00:03:41,000 que es el límite de x al cuadrado menos 5 partido de x menos 3, ¿verdad? Cuando x 25 00:03:41,000 --> 00:03:49,240 tiende a más infinito. ¿Y esto qué es? Más infinito. Entonces no hay asíntota, ¿vale? No 26 00:03:49,240 --> 00:03:59,040 hay asíntota, no hay asíntota horizontal. Tenemos que hacer también el límite de gdx cuando x 27 00:03:59,040 --> 00:04:06,760 tiende a menos infinito. Recordamos que es igual que el límite de x al cuadrado menos 5, pero abajo 28 00:04:06,760 --> 00:04:14,840 es menos x menos 3, ¿vale? Cuando x tiende a más infinito. Y esto es menos infinito. Por lo tanto, 29 00:04:14,840 --> 00:04:23,040 tampoco no hay asíntota horizontal. ¿Vale? Pues yo para la asíntota horizontal es súper fácil. 30 00:04:23,040 --> 00:04:29,280 Siempre tengo que hacer el límite cuando, de la función, tanto es más infinito y menos infinito. 31 00:04:29,280 --> 00:04:36,000 ¿Que me sale más o menos infinito? Pues lo que hay son unas ramas infinitas que se llaman, 32 00:04:36,000 --> 00:04:41,240 pero no hay asíntotas, ¿vale? Entonces, otra cosilla también importante. Si hay 33 00:04:43,120 --> 00:04:53,320 asíntotas horizontales, ¿vale?, entonces no hay oblicuas, no hay oblicuas. Y gráficamente, 34 00:04:53,320 --> 00:05:01,240 ¿qué significa? Yo no sé esta función cómo es, ¿vale? Esta función fdx, que es x al cuadrado 35 00:05:01,240 --> 00:05:08,800 menos 5 partido 2x al cuadrado más x menos 3. Yo no sé cómo es, pero sí sé, si yo lo hago 36 00:05:08,800 --> 00:05:15,560 esto gráficamente, ¿vale? Si yo hago aquí un diagrama, pues, verdad, un eje de coordenada, 37 00:05:15,560 --> 00:05:22,920 pues resulta que cuando tiene a más infinito, ¿a qué tiende? A un medio, ¿verdad? Entonces, 38 00:05:22,920 --> 00:05:28,120 si esto es un medio, va a ser, no sé si es por aquí o por aquí. Aquí igual, no sé si va a ser 39 00:05:28,120 --> 00:05:33,120 por aquí o por aquí. ¿Por qué? Porque el límite cuando x tiende a más infinito es un medio y el 40 00:05:33,120 --> 00:05:37,680 límite cuando x tiende a menos infinito también es un medio, ¿vale? De hecho, si nos vamos a 41 00:05:37,680 --> 00:05:50,400 GeoGebra, vamos a ver GeoGebra aquí, a ver si se sigue grabando la clase. A ver, si yo hago la 42 00:05:50,400 --> 00:05:59,960 representación de esta función. Yo creo que la está grabando. A ver, ¿cómo era? ¿x al cuadrado 43 00:05:59,960 --> 00:06:15,800 menos 5, no? Era x al cuadrado menos 5, ¿verdad? Partido de x al cuadrado… No, 2x al cuadrado, 44 00:06:15,800 --> 00:06:26,600 ¿no? Más x menos 3, ¿vale? Pues esta función, fijaros cómo es, ¿vale? En el más menos 45 00:06:26,600 --> 00:06:34,080 infinito tiende a ese un medio que hemos calculado, ¿vale? Aquí en menos infinito y aquí en más 46 00:06:34,080 --> 00:06:39,200 infinito, ¿de acuerdo? Entonces, las asíntotas horizontales, súper fácil, siempre es lo mismo, 47 00:06:39,200 --> 00:06:47,080 límite de f de x cuando x tiende a más infinito y a menos infinito. Las verticales, ¿qué ocurre con 48 00:06:47,080 --> 00:06:58,760 las asíntotas verticales? Las asíntotas verticales… ¿Nosotros dónde miramos las 49 00:06:58,760 --> 00:07:04,800 asíntotas verticales? Pues se miran cuando tenemos una función a trozos, en los puntos 50 00:07:04,800 --> 00:07:13,600 donde se definen esos trozos, ¿no?, de varía de una parte a otra, o bien en los puntos que 51 00:07:13,640 --> 00:07:20,240 no pertenecen al dominio, ¿vale? Entonces, cuando hay una asíntota vertical, cuando el límite de 52 00:07:20,240 --> 00:07:27,720 la función, cuando x tiende a un punto c, ¿vale?, no es a más menos infinito, ¿vale?, cuando el 53 00:07:27,720 --> 00:07:34,080 límite de f de x, cuando x tiende a un punto c, ¿vale?, si eso es igual a menos infinito, si os 54 00:07:34,080 --> 00:07:39,160 dais cuenta es al revés. En las asíntotas horizontales era el límite de f de x cuando 55 00:07:40,160 --> 00:07:46,520 a más menos infinito y me tenía que dar un valor finito. Y aquí es al revés, hay asíntota vertical 56 00:07:46,520 --> 00:07:52,360 siempre y cuando el límite de f de x en un punto, que esos puntos son los que os digo, aquellos que 57 00:07:52,360 --> 00:07:59,680 no pertenecen al dominio, si tenemos una función a trozos, los puntos esos que hacen que varíe una 58 00:07:59,680 --> 00:08:16,800 función de una a otra, ¿vale?, me da más menos infinito. Entonces, hay asíntota vertical, ¿vale? 59 00:08:16,800 --> 00:08:23,920 Si, por ejemplo, el límite cuando x tiende a un punto es igual a un valor finito, no hay asíntota, 60 00:08:23,920 --> 00:08:35,720 ¿vale? En el ejemplo de antes, pues si os fijáis, bueno, 2x cuadrado, a ver, si hago otra función, 61 00:08:35,720 --> 00:08:44,920 por ejemplo, si yo tengo límite o, por ejemplo, vamos a ver, si yo tengo una función f de x que 62 00:08:44,920 --> 00:08:58,680 es igual a, aquí es el famoso x cuadrado menos 5x más 6, ¿vale? Y aquí es, por ejemplo, yo que sé, 63 00:08:58,680 --> 00:09:10,360 x al cuadrado, ¿vale? Entonces, asíntota horizontal, sabemos que el límite de f de x cuando x tiende 64 00:09:11,000 --> 00:09:20,560 a más infinito, ¿cuánto es? 1, ¿verdad? Y el límite de f de x cuando x tiende a menos infinito, 65 00:09:20,560 --> 00:09:26,480 también sabemos que es 1, ¿vale? ¿Por qué? Porque tienen el mismo grado y cogemos los coeficientes. 66 00:09:26,480 --> 00:09:31,360 1 entre 1 es 1 y 1 entre 1 es 1. El menos infinito, aquí cambiamos de signos todos, 67 00:09:31,360 --> 00:09:37,000 este se queda igual, este se convierte en un más, ¿vale?, pero no afecta. Entonces, ¿hay 68 00:09:37,040 --> 00:09:44,800 asíntota horizontal? Sí hay, sí hay asíntota horizontal. Chavales, podéis hacer una cosa, 69 00:09:44,800 --> 00:09:49,560 a mí las iniciales no me gustan. Entonces, si tú escribes la primera vez asíntota horizontal y 70 00:09:49,560 --> 00:09:57,080 luego pones entre paréntesis A.H., ya luego si quieres puedes poner siempre A.H., ¿vale? Pero 71 00:09:57,080 --> 00:10:05,160 por lo menos escribís una vez asíntota horizontal y entre paréntesis ponéis A.H. y con A.V. igual, 72 00:10:05,160 --> 00:10:14,760 ¿vale? Pero no pongáis nunca A.V. y A.H. sin haberlo hecho referenciar. Sí, sí, esto es que 73 00:10:14,760 --> 00:10:19,560 estoy primero viendo las asíntotas horizontales, ¿vale? Ahora vamos a ver las asíntotas verticales. 74 00:10:19,560 --> 00:10:24,960 Las asíntotas verticales, ¿qué ocurre? Que yo tengo esta función, ¿dónde las miro? Pues yo 75 00:10:24,960 --> 00:10:32,120 tengo que ver aquí el dominio de f de x, ¿vale? Y el dominio de f de x, ¿qué ocurre? Como tengo 76 00:10:32,120 --> 00:10:40,120 una fracción racional tengo que igualar a cero el denominador, ¿verdad? Y, bueno, esta es la que 77 00:10:40,120 --> 00:10:47,240 yo siempre pongo, que esto es x igual a 2 y x igual a 3, ¿vale? Entonces, el dominio son todos los 78 00:10:47,240 --> 00:10:54,520 reales menos el 2 y el 3, ¿vale? Esto lo hacéis ustedes, pero si yo esto lo igualo a cero resulta 79 00:10:54,520 --> 00:11:01,160 que tengo x igual a 2 y x igual a 3. Bueno, pues en el 2 y en el 3 me da toda la pinta de que haya 80 00:11:01,240 --> 00:11:07,440 asíntotas verticales, ¿vale? De hecho, ¿qué ocurre? Que yo aquí las asíntotas verticales, pues en x 81 00:11:07,440 --> 00:11:15,920 igual a 2, ¿qué tengo que hacer? El límite de f de x cuando x tiende a 2 por la izquierda y el 82 00:11:15,920 --> 00:11:23,160 límite de f de x cuando x tiende a 2 por la derecha. ¿Por qué tengo que hacer por la izquierda y por 83 00:11:23,160 --> 00:11:30,120 la derecha? Porque si yo sustituyo el f de 2 me sale 4 partido de 0 y 4 partido de 0 es una 84 00:11:30,120 --> 00:11:38,080 indeterminación, ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre? Pues que esto a que es igual al límite de x cuadrado 85 00:11:38,080 --> 00:11:46,200 partido x cuadrado menos 5x más 6, ¿vale? Cuando x tiende a 2 por la izquierda y esto sabemos que 86 00:11:46,200 --> 00:11:53,280 es 4 partido de 0. Pero ¿qué es lo que me interesa a mí del 0? Me interesa el signo. Entonces, si yo 87 00:11:53,320 --> 00:12:01,960 hago aquí el estudio de x cuadrado menos 5x más 6, ¿vale? Yo sé que aquí tengo el 2 y aquí tengo 88 00:12:01,960 --> 00:12:09,440 el 3, ¿vale? Y el 0 está aquí, ¿verdad? Entonces, ¿cuál es el signo de x cuadrado menos 5x más 6 89 00:12:09,440 --> 00:12:14,920 para x igual a 0? Da 6, es positivo. Esto es positivo, esto es negativo y esto es positivo, ¿sí o no? 90 00:12:15,360 --> 00:12:21,440 Entonces, como es 2 por la izquierda, ¿cuánto vale x cuadrado menos 5x más 6 91 00:12:24,760 --> 00:12:28,880 por la izquierda? ¿Qué signo tiene? ¿Lo veis eso o no? 92 00:12:31,440 --> 00:12:38,000 Me refiero, si yo x cuadrado menos 5x más 6 es esto de aquí, es positivo desde menos infinito a 2, 93 00:12:38,000 --> 00:12:45,520 negativo de 2 a 3 y positivo de 3 a más infinito, cuando yo me voy a la x 2 a la izquierda yo estoy 94 00:12:45,520 --> 00:12:53,280 aquí, ¿verdad? Por lo tanto, es positivo. Entonces, ¿esto qué es? Más infinito, ¿vale? Sin embargo, 95 00:12:53,280 --> 00:13:02,480 si yo hago el límite cuando x tiende a 2 por la derecha de x cuadrado, x cuadrado menos 5x más 6, 96 00:13:02,480 --> 00:13:08,600 yo ahí que tengo un 4, pero el 0 como es el 2 por la derecha estoy aquí y esto es negativo, 97 00:13:08,600 --> 00:13:15,440 entonces 0 menos es menos infinito, ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre? Pues que existe una 98 00:13:15,440 --> 00:13:23,560 asíntota vertical en x igual a 2. ¿Por qué existe una asíntota vertical en x igual a 2? 99 00:13:23,560 --> 00:13:32,360 Porque cuando yo hago el límite de la función en ese punto me sale más menos infinito, ¿lo veis? 100 00:13:32,360 --> 00:13:44,280 ¿Sí? Existe, existe. Existe, no existe, sería así, ¿vale? Esto es, existe asíntota vertical en x 101 00:13:44,280 --> 00:13:51,680 igual a 2. Vamos a ver en x igual a 3, pasa exactamente lo mismo. El límite de f de x cuando 102 00:13:51,680 --> 00:14:01,720 x tiende a 3 por la izquierda es igual al límite de x cuadrado partido x cuadrado menos 5x más 6 103 00:14:01,720 --> 00:14:09,840 cuando x tiende a 3 a la izquierda y esto es igual a 9 partido de 0, pero ese 0 ¿qué ocurre? Igual, 104 00:14:09,840 --> 00:14:15,600 3 por la izquierda estoy aquí. ¿Veis que estoy ahí entre a la izquierda? Y ahí como hemos dicho 105 00:14:15,600 --> 00:14:23,040 que es la función x cuadrado menos 5x más negativa. Entonces, ¿esto qué es? Menos infinito. 106 00:14:23,760 --> 00:14:34,600 Si yo hago el límite de f de x cuando x tiende a 3 por la derecha, esto es el límite de x cuadrado 107 00:14:34,600 --> 00:14:43,920 partido x cuadrado menos 5x más 6 cuando x tiende a 3 por la derecha y que tengo 9 partido de 0. 108 00:14:43,920 --> 00:14:51,520 3 por la derecha es aquí, hemos visto que esto es positivo. Entonces, este 0 es positivo más menos infinito. 109 00:14:52,400 --> 00:15:00,920 ¿Qué podemos concluir entonces? Pues que igual existe asíntota vertical en x igual a 3. ¿Vale? 110 00:15:02,200 --> 00:15:06,400 De hecho, si yo de nuevo me voy a GeoGebra, que es un puntazo, 111 00:15:08,240 --> 00:15:18,280 si yo tengo mi función que es x al cuadrado ¿verdad? Partido de x al cuadrado menos 5x más 6 ¿verdad? 112 00:15:18,280 --> 00:15:32,200 ¿Lo he hecho bien? No me cuadra. Ah, sí, sí, sí. Vale, es que aquí tiene que haber algo. ¿Lo ves? Vale. 113 00:15:32,200 --> 00:15:39,120 Aquí está la función, ¿vale? Aquí por abajo también existe. Si os fijáis, el límite cuando 114 00:15:39,120 --> 00:15:46,000 tiende a más infinito ¿cuánto era? Un 1, ¿verdad? Y el límite cuando x tiende a menos infinito, un 1. 115 00:15:46,080 --> 00:15:54,280 Y ahora ¿qué ocurre? El límite de menos 2 aquí está en menos 2. Perdón, el 2 por la izquierda se me 116 00:15:54,280 --> 00:16:00,120 iba a más infinito y 2 por la derecha que se me va a menos infinito. Y el 3 que está aquí, 117 00:16:02,480 --> 00:16:08,920 el 3 que está aquí, pues si yo subo, subo, subo, subo, ¿lo ves? Se va aproximando al 3. ¿Cuánto es 118 00:16:08,920 --> 00:16:16,000 el límite por el 3 por la derecha? Más infinito. Y a 3 por la izquierda, menos infinito. Hay una 119 00:16:16,000 --> 00:16:23,880 síntota ahí, ¿vale? Si yo escribo aquí x igual a 2, ¿vale? ¿Qué ocurre? Que se aproxima pero no la 120 00:16:23,880 --> 00:16:32,440 toca. ¿Lo veis? Igual si yo hago aquí x igual a 3, pues se aproxima, se aproxima por la izquierda 121 00:16:32,440 --> 00:16:37,640 y se aproxima por la derecha pero nunca la toca. Si yo esto lo amplío, lo amplío, lo amplío, 122 00:16:38,240 --> 00:16:45,760 esto aquí lo voy ampliando cada vez más, cada vez más, vemos que se acerca, ¿vale? Pero nunca se toca. 123 00:16:48,760 --> 00:16:55,520 ¿De acuerdo? Entonces aquí tenemos asíntotas horizontales y verticales. ¿De acuerdo? ¿Qué 124 00:16:55,520 --> 00:17:04,480 ocurre? Que es lo que hemos dicho antes, ¿verdad? Si hay asíntota horizontal, si hay asíntota 125 00:17:04,480 --> 00:17:18,040 horizontal, si hay asíntota horizontal, ¿eso qué quiere decir? Si tenemos una función racional es 126 00:17:18,040 --> 00:17:23,240 que el grado del numerador es igual al grado del denominador, ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre? Que 127 00:17:23,240 --> 00:17:36,320 si hay asíntota horizontal no hay asíntota oblicua. Las asíntotas oblicuas en las funciones 128 00:17:36,320 --> 00:17:46,000 racionales, ¿vale? Asíntotas oblicuas en funciones racionales. ¿Os acordáis que era 129 00:17:46,000 --> 00:17:59,000 una función racional? Efectivamente. Yo tengo aquí un polinomio, ¿vale? Y aquí otro polinomio, 130 00:17:59,000 --> 00:18:07,920 ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre? Que cuando tendremos asíntota oblicua, si el grado del numerador, 131 00:18:08,640 --> 00:18:25,720 el grado del numerador, ¿vale? Es igual al grado del denominador más 1, es decir, 132 00:18:25,720 --> 00:18:30,480 el grado del numerador es 1 mayor que el del denominador, entonces hay, 133 00:18:30,480 --> 00:18:48,600 existe una asíntota oblicua, ¿vale? Entonces, chavales, por ejemplo, en el que teníamos antes, 134 00:18:48,600 --> 00:18:57,560 este de x cuadrado partido de x cuadrado menos 5x más 6, aquí vimos que existe una asíntota 135 00:18:57,560 --> 00:19:06,480 horizontal, por lo tanto, no existe asíntota oblicua, ¿vale? Pero, sin embargo, si yo tengo 136 00:19:06,480 --> 00:19:16,440 f de x es igual, ya es x al cubo partido de x cuadrado menos 5x más 6, ¿vale? Entonces, 137 00:19:16,440 --> 00:19:25,280 aquí no hay asíntota oblicua, perdona, no hay asíntota horizontal. ¿Por qué? Porque el límite, 138 00:19:25,280 --> 00:19:33,800 cuando x tiende a más infinito, ¿cuánto sería de aquí? Más infinito. Y el límite de esta función, 139 00:19:33,800 --> 00:19:39,680 cuando x tiende a menos infinito, ¿cuánto sería? Menos infinito. No hay asíntota horizontal. Que 140 00:19:39,680 --> 00:19:47,280 no haya asíntota horizontal no implica que haya vertical, ¿vale? Es decir, lo que sí es cierto, 141 00:19:47,280 --> 00:19:52,040 si os fijáis, esto va en una sola dirección, ¿eh? Esto va en una sola dirección. Que si hay 142 00:19:52,160 --> 00:19:58,320 asíntota horizontal no hay asíntota oblicua. Pero que no haya asíntota horizontal no implica 143 00:19:58,320 --> 00:20:03,160 que haya oblicua, ¿vale? Para que haya oblicua el grado del numerador tiene que ser el grado 144 00:20:03,160 --> 00:20:08,720 del numerador más 1. Y aquí se cumple, ¿verdad? Este es grado 3 y este es grado 2. Entonces, 145 00:20:08,720 --> 00:20:16,960 va a haber asíntota oblicua. Voy a empezar primero por una función más fácil, ¿vale? Y ahora, 146 00:20:16,960 --> 00:20:25,280 luego, hacemos otra vez el del f de x. Esto, por ejemplo, es x cuadrado partido x menos 2, ¿vale? 147 00:20:25,280 --> 00:20:33,760 Igual, ¿habrá asíntota horizontal? Pues no. ¿Por qué no hay asíntota horizontal? Porque el límite 148 00:20:33,760 --> 00:20:44,160 de f de x, de g de x, perdón, de g de x, cuando x tiende a más infinito, es igual a más infinito. 149 00:20:44,520 --> 00:20:52,520 Y el límite de g de x cuando x tiende a menos infinito es menos infinito. Como no es un valor 150 00:20:52,520 --> 00:21:03,000 finito no existe asíntota horizontal. ¿Existe o no asíntota vertical? Pues ¿en qué punto miraríamos 151 00:21:03,000 --> 00:21:09,280 si existe asíntota horizontal en este caso de aquí? Vertical, perdón, en R2, ¿vale? Entonces, 152 00:21:09,280 --> 00:21:18,120 voy a hallar el límite de g de x cuando x tiende a 2 por la izquierda. Es igual al límite de x 153 00:21:18,120 --> 00:21:25,960 cuadrado partido x menos 2 cuando x tiende a 2 por la izquierda. ¿Esto qué es? 4 partido de 0. ¿Pero 154 00:21:25,960 --> 00:21:32,440 cómo es el 0? Si es 2 por la izquierda, efectivamente, si es 2 por la izquierda es 1,9. 1,9 menos 2 es 155 00:21:32,440 --> 00:21:41,400 negativo. Pues esto es menos infinito. Y el límite de g de x cuando x tiende a 2 por la derecha es 156 00:21:41,400 --> 00:21:49,560 límite de x cuadrado partido x menos 2 y x tiende a 2 por la derecha. Y aquí qué es igual, sería 157 00:21:49,560 --> 00:21:55,520 4 partido de 0. Pero ¿cómo es el 0? Como es 2 por la derecha es 2,1. 2,1 menos 2 es 0,1, 158 00:21:55,640 --> 00:22:03,320 positivo, positivo. Y esto es más infinito. Entonces, sí existe. Como no existe asíntota 159 00:22:03,320 --> 00:22:10,960 horizontal, ahora podemos ver que puede existir oblicua o no, ¿vale? Ahora, si existe asíntota 160 00:22:10,960 --> 00:22:18,520 horizontal yo ni miro la oblicua porque no existe, ¿vale? Me voy a ir a otra hoja para hacerlo de 161 00:22:18,520 --> 00:22:25,960 nuevo. Era g de x igual a x cuadrado partido de x menos 2, ¿verdad? Y ahora vamos a ver si hay 162 00:22:25,960 --> 00:22:31,080 asíntota. Esta es la más complicada porque hay que saberse una fórmula, ¿vale? Dos fórmulas, 163 00:22:31,080 --> 00:22:39,560 asíntotas oblicuas, ¿vale? Asíntotas oblicuas hay de distintos tipos, ¿vale? Pero nosotros las 164 00:22:39,560 --> 00:22:44,720 que vamos a ver en este nivel es una asíntota que realmente es una recta. Por lo tanto, 165 00:22:44,720 --> 00:22:56,240 nuestra recta ¿qué forma tenía? mx más n, ¿verdad? ¿Sí o no? Pues entonces, para hallar la m de la 166 00:22:56,240 --> 00:23:04,720 asíntota oblicua, ¿vale? Es el límite cuando x tiende a más menos infinito, lo tenemos que hacer 167 00:23:04,720 --> 00:23:22,120 los dos, df de x partido de x, ¿vale? Esta fórmula nos la tenemos que saber cómo es. Es la m que es 168 00:23:22,120 --> 00:23:30,760 la pendiente de la recta. La asíntota oblicua es una recta, ¿vale? La asíntota oblicua, las que 169 00:23:30,760 --> 00:23:36,560 vamos a ver nosotros en este nivel, porque luego puede haber parábolas también y demás, pero la 170 00:23:36,560 --> 00:23:42,480 que nosotros vamos a ver es una asíntota oblicua que es una recta. Entonces, nosotros ¿qué tenemos 171 00:23:42,480 --> 00:23:51,240 que hallar? La m, ¿vale? Y tenemos que hallar la n, ¿de acuerdo? Entonces, la definición de m, 172 00:23:51,240 --> 00:23:57,640 que es la pendiente de esa recta que es la asíntota oblicua, es límite cuando x tiende a 173 00:23:57,640 --> 00:24:06,480 más menos infinito, df de x partido de x, ¿vale? Y luego la n de Navarra, que es la ordenada en el 174 00:24:06,480 --> 00:24:13,600 origen, ¿vale? Es el límite cuando x tiende también a más menos infinito, lo tenemos que 175 00:24:13,600 --> 00:24:26,880 hacer los dos, ¿vale? Es f de x menos la m que he calculado antes por la x. O sea, que para hallar 176 00:24:26,880 --> 00:24:41,400 la m, pues, precisa de haber hallado antes la m de Madrid. ¿Vale? O sea, que estas dos fórmulas 177 00:24:41,640 --> 00:24:47,680 no las tenemos que saber como el comén. Pero ¿cuándo aplicamos la oblicua? Únicamente si 178 00:24:47,680 --> 00:24:53,640 tenemos funciones racionales, cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el denominador. 179 00:24:53,640 --> 00:24:59,640 En este caso, ¿creéis que va a haber…? Sí, porque ¿cuánto es el grado del numerador? Es grado 2, 180 00:24:59,640 --> 00:25:08,480 ¿vale? Y el grado del numerador es grado 1, ¿vale? Entonces, a más fijaros en una cosa. Si yo fijo, 181 00:25:08,480 --> 00:25:20,040 voy a hallar la m, ¿vale? Venga, verde, verde esperanza. Y del vete, m, ¿vale? Voy a hacer, 182 00:25:20,040 --> 00:25:29,920 es igual al límite cuando x tiende a más infinito, ¿vale? De f de x partido de x, ¿vale? Eso a que es 183 00:25:29,920 --> 00:25:40,080 igual al límite cuando x tiende a más infinito de x cuadrado partido x menos 2, todo ello partido 184 00:25:40,080 --> 00:25:48,360 de x, ¿vale? ¿Qué ocurre? ¿Cómo dividíamos fracciones? ¿Os acordáis? Sería este con este 185 00:25:48,360 --> 00:25:54,040 de aquí, que es un 1, y luego este con este. Entonces, ¿qué me quedaría? Límite cuando x 186 00:25:54,040 --> 00:26:04,040 tiende a más infinito de x cuadrado arriba y abajo que me queda x por x menos 2, ¿lo veis o no? 187 00:26:05,240 --> 00:26:10,600 Un truco, si queréis, sencillo, pues yo lo escribo igual, lo único que el de abajo lo multiplico 188 00:26:10,600 --> 00:26:18,080 por x siempre, ¿vale? ¿Qué ocurre? Que si el grado, por ejemplo, mira, me queda x cuadrado y aquí 189 00:26:18,080 --> 00:26:29,080 abajo que me queda x cuadrado menos 2x, ¿lo veis? Cuando el grado del numerador es mayor que el 190 00:26:29,080 --> 00:26:37,080 denominador en tan solo una unidad, al dividirlo por x, ¿qué hago? Igualo el grado del numerador 191 00:26:37,080 --> 00:26:43,440 con el denominador, ¿lo veis? Y entonces, ¿qué ocurre? Pues que yo, al hacer este límite, me va 192 00:26:43,520 --> 00:26:50,560 a salir un valor finito y, claro, esa es la pendiente de la recha, ¿lo veis? Si esto hubiese 193 00:26:50,560 --> 00:26:57,000 sido grado 3 y esto grado 1, al hacer yo la división, ¿qué ocurre? Que aquí me sale grado 3 y aquí grado 194 00:26:57,000 --> 00:27:02,400 2. ¿Y cuándo es el límite cuando tiende a más infinito? Pues no sale un valor finito, sale más 195 00:27:02,400 --> 00:27:13,240 menos infinito, ¿lo veis? Entonces, ¿esto a qué es igual? A 1, ¿vale? Entonces, una vez que yo ya 196 00:27:13,240 --> 00:27:19,960 tengo la m, la m vale 1, pues entonces tengo que aplicar la fórmula de la n, que es quizás lo más 197 00:27:19,960 --> 00:27:36,640 complejo, ¿vale? Es f de x menos m por x, es decir, el límite cuando x tiende a más infinito de x 198 00:27:36,640 --> 00:27:46,560 cuadrado partido de x menos 2 menos 1 por x, que es x, ¿lo veis? ¿Veis lo que estoy haciendo? Es 199 00:27:46,560 --> 00:27:54,480 sustituir únicamente, ¿vale? f de x en mi función, la m la he hallado antes, que es 1, y la x, ¿vale? 200 00:27:54,480 --> 00:28:04,000 Entonces, aquí tengo que operar ¿cuál es el mínimo común múltiplo de 1 y x menos 2? Pues 201 00:28:04,000 --> 00:28:18,360 es x menos 2. Este se queda igual y esto es x por x menos 2, ¿vale? Y yo aquí pues sigo operando. 202 00:28:18,360 --> 00:28:36,920 Esto es x cuadrado menos x al cuadrado menos por menos más, más 2x. ¿Partido de qué? Partido de x 203 00:28:36,920 --> 00:28:45,880 menos 2. Si os fijáis, chavales, aquí hay mucha gente que se hace el apichonlío a la hora de 204 00:28:46,440 --> 00:28:52,440 trabajar con fracciones algebraicas. Me tiene que salir la m un valor 205 00:28:54,960 --> 00:29:01,400 infinito y la n también. Si la n, por lo que sea, me sale infinito, es que no hemos hecho mal esta 206 00:29:01,400 --> 00:29:10,480 recta, ¿vale? Entonces, aquí si os fijáis que me queda 2x y abajo me queda x menos 2. ¿Cuánto es 207 00:29:10,640 --> 00:29:24,240 esto? Pues 2, ¿vale? Entonces, ¿cuál es la asíntota oblicua? Pues y es igual a x más 2. No sé si lo he 208 00:29:24,240 --> 00:29:30,840 explicado bien. Para la asíntota oblicua, sobre todo cuando tenemos funciones racionales, es que 209 00:29:30,840 --> 00:29:38,840 el grado del numerador tiene que ser una unidad mayor al grado del denominador. Estas dos fórmulas 210 00:29:38,840 --> 00:29:45,360 me las tengo que saber sí o sí, ¿vale? La m es el límite de f de x partido de x. Además, 211 00:29:45,360 --> 00:29:53,040 precisamente, si recordamos bien las cosas, tenemos que saber que, claro, si el grado del numerador es 212 00:29:53,040 --> 00:29:58,560 una unidad mayor que el grado del denominador, al dividirlo por x se me van a igualar los grados 213 00:29:58,560 --> 00:30:04,000 de numerador y de denominador. Y al igualar los grados de numerador y de denominador, al hacer 214 00:30:04,000 --> 00:30:09,520 el límite, cuando x tiende a más infinito, por comparación de infinito, van a ser los coeficientes 215 00:30:09,520 --> 00:30:15,560 de los grados mayores y me va a salir un valor finito. Una vez que yo tengo la m, me tengo que 216 00:30:15,560 --> 00:30:23,200 ir a esta fórmula. Esta fórmula es f de x menos el valor de m que ha llegado por la x. Y aquí lo 217 00:30:23,200 --> 00:30:31,680 único que tengo que operar, ¿vale? Aquí el mínimo común múltiplo, como esto es un 1, ¿vale? Pues lo 218 00:30:31,680 --> 00:30:38,240 que hago es el x menos 2 lo multiplico por x, ¿vale? Ya sigo operando. Si os fijáis, yo aquí 219 00:30:38,240 --> 00:30:45,040 puedo tachar este x cuadrado, se me va con este x cuadrado, se me queda 2x partido de x menos 2 es 2. 220 00:30:45,040 --> 00:30:50,320 ¿Qué quiero que veáis? Pues que, precisamente, todos los resultados que hemos hecho de la 221 00:30:50,320 --> 00:30:56,560 assíntota oblicua, vertical y horizontal. Pues si nos vamos a GeoGebra, que es una maravilla, 222 00:30:56,560 --> 00:31:08,480 el papa está en Sevilla. Esto lo borro, esto lo borro y ¿qué tenía? X al cuadrado, ¿no? Partido 223 00:31:08,480 --> 00:31:16,800 de x menos 2, ¿verdad? Esta es mi función. X cuadrado partido de x menos 2, ¿verdad? 224 00:31:19,880 --> 00:31:25,720 Esta función, si os fijáis, fijaros la forma que tiene, ¿vale? ¿Cuánto era el límite? No sé si 225 00:31:25,720 --> 00:31:32,040 lo tenéis ahí a mano o no. ¿Cuál era el límite de f de x cuando x tiende a infinito? Era más 226 00:31:32,040 --> 00:31:39,040 infinito, ¿lo veis? ¿Y el límite de f de x cuando x tiende a menos infinito? Menos infinito. Luego, 227 00:31:39,040 --> 00:31:46,200 ¿qué vimos en el 2? En el 2, en x igual a 2, si yo hago aquí x igual a 2, ¿qué teníamos? Una 228 00:31:46,200 --> 00:31:53,600 assíntota vertical. ¿Una assíntota vertical por qué? Porque la función se aproxima mucho a la x 229 00:31:53,600 --> 00:32:01,720 igual a 2, pero no la toca, ¿vale? Era el límite cuando x tendía a… El límite de f de x cuando 230 00:32:01,720 --> 00:32:06,560 x tendía a 2 por la derecha era más infinito, ¿os acordáis? Y el límite de la función cuando x 231 00:32:06,560 --> 00:32:12,960 tiende a 2 por la izquierda era menos infinito. Entonces, aquí tenemos una assíntota vertical. 232 00:32:12,960 --> 00:32:22,280 Y luego hemos hallado con las fórmulas de M y de N hemos hallado la assíntota oblicua, si os fijáis, 233 00:32:22,360 --> 00:32:29,280 y era x más 2, ¿no? Si no me equivoco. Pues aquí está la recta, Jesús. Esta es la recta, 234 00:32:29,280 --> 00:32:35,000 que es una assíntota oblicua, ¿vale? Oblicua ¿por qué? Porque no es ni horizontal ni vertical, 235 00:32:35,000 --> 00:32:42,760 ¿vale? Es una recta. Y si os fijáis, pues la función se aproxima mucho a esa, pero no la toca, 236 00:32:42,760 --> 00:32:49,880 ¿vale? Y aquí igual, ¿vale? Se aproxima mucho la función a la assíntota, ¿vale? Pero no la toca, 237 00:32:50,560 --> 00:32:57,520 ¿de acuerdo? ¿Vale? Pues eso es lo que tenemos que saber de asíntotas horizontal, 238 00:32:57,520 --> 00:33:02,920 vertical y oblicua. Es que no hay más. Hola, tenemos una duda de Miguez. 239 00:33:02,920 --> 00:33:06,520 MIGUEL PARENTE Quejase, la división, ¿vale?, 240 00:33:06,520 --> 00:33:12,600 para hallar la M. Entonces, M es igual al límite cuando x tiende a más o menos infinito, ¿vale? 241 00:33:13,240 --> 00:33:22,360 De x cuadrado… Ay, perdón, era f de x, f de x partido de x, ¿vale? Entonces, yo lo que hago es 242 00:33:22,360 --> 00:33:27,320 sustituir, ¿vale, Miguel, o primero? Una cosa que se me ha olvidado decir es la posición respecto a 243 00:33:27,320 --> 00:33:36,000 la asíntota. Entonces, yo tengo x cuadrado partido de x menos 2, ¿vale? Partido de x, ¿sí? Entonces, 244 00:33:36,000 --> 00:33:39,960 vamos a recordar antes de hacer esto cómo se dividían fracciones, ¿vale? Porque al final se 245 00:33:40,000 --> 00:33:48,360 demostraría. Voy a ponerlo con letras. Si yo tengo a partido de b entre c partido de d, ¿vale? Esto 246 00:33:48,360 --> 00:33:57,400 se multiplicaba en cruz, ¿te acuerdas? Esto era… Vamos a ponerlo en color a, ¿vale? Esto era a por 247 00:33:57,400 --> 00:34:09,600 d y lo ponía arriba, ¿vale? Que esto de aquí sería a por d, ¿vale? Y luego lo voy a poner en verde 248 00:34:09,600 --> 00:34:25,200 esperanza, b por c se pone aquí abajo. Vale, lo pongo abajo, ¿de acuerdo? 249 00:34:25,200 --> 00:34:38,560 Se ha desenchufado. El director viene. ¡Ahí viene el streamer! ¡Streamer! 250 00:34:38,560 --> 00:34:51,720 Entonces, hecho es b por c, ¿vale? B por c. Entonces, aquí, Miguel, si aplicamos lo mismo, 251 00:34:52,240 --> 00:34:58,560 luego habría tenido otra posibilidad. Si yo tengo a por b, ¿vale? Y luego todo ello entre c por d, 252 00:34:58,560 --> 00:35:09,720 a nosotros, que nos dijeron que se multiplicaban los extremos y se ponían arriba, a por d, ¿vale? 253 00:35:09,720 --> 00:35:17,360 Y luego los medios se ponían abajo, que era b por c, ¿vale? Si te das cuenta es lo mismo, ¿vale? 254 00:35:18,080 --> 00:35:24,240 Si te das cuenta es lo mismo. Entonces, aquí o bien nosotros nos escribimos, ¿vale? Escribimos 255 00:35:24,240 --> 00:35:33,280 x al cuadrado partido x menos 2 entre x, ¿vale? Y lo hacemos en plan x cuadrado por 1, esto es x 256 00:35:33,280 --> 00:35:42,080 al cuadrado y esto es x por x menos 2, ¿vale? O si no, pues ya que lo tenemos así, tenemos x al 257 00:35:42,080 --> 00:35:47,440 cuadrado partido x menos 2, ¿vale? Voy a hacer esta línea más grande para diferenciar que esto 258 00:35:47,440 --> 00:35:55,300 se divide y aquí una x. Claro, la x realmente ¿qué tiene, Miguel? El 1. Entonces, ¿qué sería? 259 00:35:55,300 --> 00:36:04,440 x cuadrado por 1, que es igual a x al cuadrado, ¿vale? Y luego ¿qué me quedaría? Pues x que 260 00:36:04,440 --> 00:36:15,000 multiplica x menos 2. ¿Cómo seguiríamos? Pues nosotros, voy a poner de aquí, ¿vale? Aquí. Esto 261 00:36:15,000 --> 00:36:24,040 sería el límite cuando x tiende a más infinito de que era x al cuadrado partido de qué? x por x 262 00:36:24,040 --> 00:36:31,880 menos 2, que esto es igual al límite cuando x tiende a infinito, más infinito, de x al cuadrado 263 00:36:31,880 --> 00:36:37,840 partido x al cuadrado menos 2x. Y esto, Miguel, si te das cuenta, ¿esto qué sería? Pues esto, 264 00:36:37,840 --> 00:36:42,640 si lo hacemos todo el proceso, eso sería infinito partido de infinito, que es una indeterminación, 265 00:36:42,640 --> 00:36:49,160 tendríamos que dividir por el grado mayor del denominador que es x al cuadrado, ¿vale? O si no, 266 00:36:49,160 --> 00:36:53,480 lo que hacemos es, por comparación de infinito, aquí ¿qué podemos decir? Me quedo con el 267 00:36:53,480 --> 00:36:58,800 coeficiente del x al cuadrado, que es un 1, me quedo con el coeficiente que es 1 partido de 1, 268 00:36:58,800 --> 00:37:09,200 que es igual a… ¿Vale? Era la m, la m es la que he dado. ¿Vale? La m, la n, perdona, la n de Navarra. 269 00:37:09,200 --> 00:37:18,960 ¿Vale? ¿Cómo hago…? ¿Esto te acuerdas de cómo se hacía? O natillas. Claro, esto sería, 270 00:37:18,960 --> 00:37:26,200 voy a hacerlo aquí, ¿vale? x cuadrado partido de x menos 2 menos x, ¿vale? Entonces, ¿qué ocurre? 271 00:37:26,200 --> 00:37:33,160 Pues que yo el x al cuadrado partido de x menos 2 lo dejo igual, ¿vale? Y ahora, ¿qué ocurre? 272 00:37:33,160 --> 00:37:38,680 Si yo a un número lo multiplico y lo divido por el mismo, se me queda igual, ¿verdad? Bueno, 273 00:37:38,680 --> 00:37:45,720 pues entonces aquí ¿qué hago? Esto lo multiplico por x menos 2 y lo divido por x menos 2. Con lo 274 00:37:45,720 --> 00:37:52,840 cual, esto se me queda x, ¿verdad? Ya tienen la misma, el mismo denominador. Con lo cual, 275 00:37:52,960 --> 00:38:03,240 yo que tendría x al cuadrado menos… Y aquí ya x por… Claro, x al cuadrado menos 2x, ¿vale? Partido 276 00:38:03,240 --> 00:38:09,720 todo de x menos 2. ¿Y qué ocurre? Que este se me va con este y este menos afecta aquí, pues me queda 277 00:38:09,720 --> 00:38:22,720 2x partido de x menos… ¿Vale? Un truco también para ver ustedes… ¿Lo habéis hecho bien? ¡Claro, 278 00:38:22,720 --> 00:38:28,680 ya el límite te sale el 2! ¡Claro, el límite, el límite! Esto lo he hecho yo aquí aparte, 279 00:38:28,680 --> 00:38:35,720 pero para desarrollar esto, ¿vale? Lo único que también, si tenéis duda de esto, fijarse, 280 00:38:35,720 --> 00:38:43,800 imaginaros… ¿Tu número favorito? El 2. El 2, pues no me vale. Voy a coger 5, que tiene premio, 281 00:38:43,800 --> 00:38:53,240 ¿vale? Venga. Entonces, esto de aquí, si yo pongo el 5, ¿qué tendría? 25 y partido de 23, ¿verdad? 282 00:38:53,240 --> 00:39:07,600 Menos 5, ¿vale? Y esto, si lo hacemos con calculadora, es 25 entre 23, ¿verdad? Menos 5 283 00:39:07,600 --> 00:39:15,200 y da menos 3,91, por ejemplo, ¿vale? Como vamos a tener calculadora, menos 3,91. Voy a ver si esto 284 00:39:15,200 --> 00:39:23,000 es verdad, ¿vale? Entonces, ¿esto qué sería? Un 10 y esto sería un tercio, ¿no? Es verdad, 285 00:39:23,000 --> 00:39:35,040 si yo ahora aquí, por ejemplo, le resto menos… Ah, no. A ver, ¿lo he hecho bien? Ah, no, 286 00:39:35,040 --> 00:39:41,960 esto me he equivocado, ¿eh? Me he equivocado. Esto es un 3. Claro, ya decía yo. Esto, de hecho, 287 00:39:41,960 --> 00:39:48,360 fíjate en una cosa. Esto sería 25… Me lo voy a hacer sin número. 25 tercios menos 15 tercios, 288 00:39:48,360 --> 00:39:56,880 ¿verdad? Esto sería 10 tercios, ¿lo ves? Me sale exactamente igual. ¿Lo veis? Entonces, 289 00:39:56,880 --> 00:40:04,880 es una forma de comprobar que lo que tú tenías y a donde tú has llegado es exactamente lo mismo, 290 00:40:05,360 --> 00:40:14,840 ¿vale? O con el 1. El 1 aquí, si te das cuenta, es 1 menos 1 menos 1. Y esto es 1 menos 1… Bueno, 291 00:40:14,840 --> 00:40:23,760 es que aquí el 1 no me interesa, ¿vale? El 1 no me interesa, ¿vale? Hazlo con el 5, ¿de acuerdo? 292 00:40:24,800 --> 00:40:31,320 ¿Vale? Bueno, bachales, mucha suerte, sed felices. 293 00:40:34,880 --> 00:40:37,880 Subtítulos por la comunidad de Amara.org