1
00:00:00,880 --> 00:00:07,580
A ver, respecto a proyecciones, realmente son proyecciones que se llaman ortogonales, ¿vale?

2
00:00:09,019 --> 00:00:11,660
Ortogonales, quieren decir perpendiculares.

3
00:00:12,419 --> 00:00:21,339
Entonces, si yo quiero tener, por ejemplo, la proyección, lo primero que vimos fue, en este caso, de un vector sobre otro.

4
00:00:21,760 --> 00:00:28,460
Para esto, yo proyecto este vector, es como si viniera, digamos, es perpendicular,

5
00:00:28,460 --> 00:00:37,659
Entonces sería como una especie de A de luz en esta dirección, con lo cual esta recta que aparece en discontinua es perpendicular.

6
00:00:38,020 --> 00:00:48,259
Y la sombra que arroja este trozo de aquí es lo que se llama la proyección del vector U sobre V.

7
00:00:48,880 --> 00:00:56,520
Bueno, en caso hipotético que pidieran proyecciones o similar, o te dieran la proyección, bueno, eso con que se relaciona con el producto escalar.

8
00:00:56,520 --> 00:01:06,519
Yo sé que el punto escalar u, escalar v, ¿a qué es igual? Sería al módulo de u por el módulo de v por el coseno de alfa, ¿sí?

9
00:01:06,900 --> 00:01:11,879
Entonces, si me doy cuenta, si este es el coseno de alfa, esto es alfa, ¿vale?

10
00:01:13,459 --> 00:01:20,519
Este trocito, otra vez de nuevo de aquí, ¿a qué sería igual? Pues sería igual al módulo de u, ¿vale?

11
00:01:20,519 --> 00:01:40,400
Esto sería un módulo de u, ¿por quién? Por el coseno de alfa. De esta manera, si me doy cuenta, yo esto de aquí, lo que yo he llamado proyección de u sobre v, es lo mismo que el módulo de u por el coseno de alfa,

12
00:01:40,400 --> 00:01:54,620
Con lo cual, el producto escalar se puede poner también como módulo de V por la proyección del vector U sobre V, ¿vale? Esto respecto a proyección de, en este caso, de vector de proyección ortogonal siempre.

13
00:01:54,620 --> 00:02:07,859
Otras proyecciones que tenemos, las fundamentales son las de punto, como decías antes, punto sobre un plano o una recta, esta recta R, sobre el plano

14
00:02:07,859 --> 00:02:13,620
La de punto sobre el plano se puede calcular de muchas, o sea, de muchas no, pero por lo menos un par de formas

15
00:02:13,620 --> 00:02:23,280
Yo lo que puedo hacer, lo que a mí se me ocurre siempre es hacerlo de manera geométrica, es decir, yo que busco una proyección a este plano pi

16
00:02:23,280 --> 00:02:27,360
¿Vale? Este plano pi tiene un vector n

17
00:02:27,360 --> 00:02:32,259
¿Sí? Pues entonces, yo lo que voy a hacer es formarme una recta S

18
00:02:32,259 --> 00:02:33,960
¿Vale? Una recta S

19
00:02:33,960 --> 00:02:36,919
¿Vale? Una recta S

20
00:02:36,919 --> 00:02:39,340
Y esta recta S, ¿qué va a tener?

21
00:02:39,520 --> 00:02:44,759
Pues va a estar formada, la recta S va a estar formada por el vector n del plano

22
00:02:44,759 --> 00:02:45,620
Porque es perpendicular

23
00:02:45,620 --> 00:02:47,939
Y por el punto B

24
00:02:47,939 --> 00:02:50,819
¿Sí? Pues yo me hago mi recta S

25
00:02:50,819 --> 00:02:52,159
Esto simplemente pensando

26
00:02:52,159 --> 00:03:14,659
Y esa recta, la intersección con el plano pi, sería el punto B' que sería la proyección sobre el plano de la recta, del punto, pero que es la intersección de recta perpendicular al plano que pasa por ese punto B sobre el plano pi.

27
00:03:14,659 --> 00:03:28,719
Ahora, geométricamente vemos el concepto. ¿Analíticamente cómo sería? Pues bueno, si yo tengo el punto B de coordenadas x1, y1 y z1, ¿vale?

28
00:03:28,719 --> 00:03:38,800
y el plano pi que tiene de ecuación, por ejemplo, ax más bi más cz más d igual a cero, ¿vale?

29
00:03:38,900 --> 00:03:42,080
La recta perpendicular a este plano pi, ¿cuál sería?

30
00:03:42,580 --> 00:03:46,479
Obviamente el vector n, que hemos mencionado antes, sería el abc.

31
00:03:47,379 --> 00:03:52,680
Entonces la recta perpendicular sería x menos x sub 1 partido por a,

32
00:03:52,680 --> 00:04:00,139
es igual a y menos y sub 1 partido por b igual a z menos z sub 1 partido por c.

33
00:04:00,439 --> 00:04:10,539
Si yo hago esta, digamos, ecuación en forma continua, la paso a forma general, ¿vale?

34
00:04:10,599 --> 00:04:16,279
Es decir, haciendo este con este y luego, por ejemplo, este con este, la intersección de estos dos planos.

35
00:04:16,279 --> 00:04:37,339
Y además hago justo la ecuación del plano que sería ax más bi más cz más d igual a cero y de estas dos extracciones puedo sacar por ejemplo ax más bi más cz más d por ejemplo igual a cero.

36
00:04:37,339 --> 00:04:50,379
Y de aquí puedo sacar, en este caso, otra ecuación, a'x más b'y más c'z más d' igual a cero, ¿vale?

37
00:04:50,500 --> 00:04:55,180
Bueno, esta d, vamos a ponerla minúscula, ¿vale? Para no confundir, esta sería una d minúscula.

38
00:04:55,819 --> 00:05:04,540
Y aquí se me va a formar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, cuya solución, en este caso, sería el punto b'.

39
00:05:04,540 --> 00:05:06,920
¿vale? pero yo creo que geométricamente

40
00:05:06,920 --> 00:05:08,759
se ve más claro, lo hago con números

41
00:05:08,759 --> 00:05:10,800
y me hago una intersección de recta

42
00:05:10,800 --> 00:05:12,699
perpendicular S con plano

43
00:05:12,699 --> 00:05:14,860
de la manera que ya sabemos, la recta esta

44
00:05:14,860 --> 00:05:16,620
incluso la podemos hacer en paramétricas

45
00:05:16,620 --> 00:05:18,879
con el parámetro lambda y ya sabéis

46
00:05:18,879 --> 00:05:20,860
sustituyo en el plano pi

47
00:05:20,860 --> 00:05:22,899
y obtengo el lambda y luego sustituyo otra vez

48
00:05:22,899 --> 00:05:24,079
en la X y saco las

49
00:05:24,079 --> 00:05:26,519
las coordenadas del punto

50
00:05:26,519 --> 00:05:28,699
pero otra manera es esta

51
00:05:28,699 --> 00:05:30,579
es decir, luego pasando a resolver

52
00:05:30,579 --> 00:05:32,560
siempre se soluciona todo a través de

53
00:05:32,560 --> 00:05:38,279
luego de sistemas, pasando a resolver el sistema global. Y ahora si tengo la proyección ortogonal

54
00:05:38,279 --> 00:05:45,439
de una recta sobre un plano, en realidad lo que yo voy a calcular es, si yo tengo el vector

55
00:05:45,439 --> 00:05:58,170
siempre del plano, el n, ¿vale? Yo voy a hallarme un plano, ¿vale? Que contenga la recta, así, ¿vale?

56
00:05:58,170 --> 00:06:06,269
que contenga la recta y hallaría, digamos, la ICA, además, que contenga la recta, pero no de cualquier manera.

57
00:06:07,050 --> 00:06:16,209
Tiene que contener a la recta y, además, claro, tiene que ser perpendicular al plano dado, con lo cual va a tener el mismo vector director.

58
00:06:16,790 --> 00:06:23,610
De esta manera, lo que estoy buscando es esta recta de aquí, que vamos a llamarle R'.

59
00:06:23,610 --> 00:06:27,170
¿Vale? Eso sería la proyección ortogonal

60
00:06:27,170 --> 00:06:32,269
Técnicamente o analíticamente, ¿cómo podemos solventar esto?

61
00:06:32,810 --> 00:06:35,790
Pues bueno, si yo tengo por ejemplo la recta

62
00:06:35,790 --> 00:06:39,149
Lo que teníamos de ecuación, la recta R tiene de ecuación

63
00:06:39,149 --> 00:06:44,189
Por ejemplo, x menos x1 partido por a1

64
00:06:44,189 --> 00:06:48,129
Igual a y menos y1 partido de b1

65
00:06:48,129 --> 00:06:53,490
Igual a z menos z1 partido, en este caso

66
00:06:53,490 --> 00:07:06,689
de C1, ¿vale? El plano también nos lo dan porque el plano tiene ecuación AX más BI más CZ más D igual a 0.

67
00:07:07,029 --> 00:07:14,949
Ese es nuestro plano. Pues bueno, el plano perpendicular que contiene a esa recta, ¿cuál va a ser?

68
00:07:14,949 --> 00:07:23,170
Pues sería justamente este de aquí, el generado por el vector n, ¿vale?

69
00:07:23,189 --> 00:07:29,189
Tiene que estar formado por n y tomando dos puntos, lo que teníamos antes, dos puntos.

70
00:07:29,389 --> 00:07:34,949
Si he tomado, por ejemplo, o el vector, me dan ya el vector director de la recta, el vector v, ¿vale?

71
00:07:35,649 --> 00:07:43,350
Y cogería uno de los puntos, el punto, por ejemplo, x1 y 1 y z1, ¿vale?

72
00:07:43,350 --> 00:07:53,589
Con lo cual yo voy a generar este plano, que sería el plano pi prima, que contiene a la recta y es perpendicular, y sería justo este.

73
00:07:54,589 --> 00:08:08,709
El de x menos x es 1, y menos y es 1, y z menos z es 1, y luego con los vectores directores, el de la recta, a1, b1 y z1, y luego el del plano, que sería el abc.

74
00:08:08,709 --> 00:08:29,069
Y de esta manera, estoy igualándolo a cero, obtengo el plano pi prima. El plano pi prima haríamos el que sacamos de aquí con la intersección. El que sacamos de aquí haríamos la intersección y nos sale justo esta recta.

75
00:08:29,069 --> 00:08:47,850
Es decir, tenemos ya justo la recta como intersección de dos planos y eso ya sabemos hacerlo, es como cuando nos dan la recta en implícitas, damos a z igual a lambda, el valor lambda y ya luego obtenemos la x y la y en función de lambda y ya obtengo la ecuación de la recta.

76
00:08:47,850 --> 00:09:02,870
¿Otra manera de verlo geométricamente? Pues, por ejemplo, es decir, yo tengo el plano este pi, el de antes, ¿vale? Así, y yo tengo mi recta R. ¿Qué quiero hacer? La recta R, proyectarla perpendicularmente.

77
00:09:02,870 --> 00:09:30,110
Pues también puedo hacer lo siguiente, coger el punto A y el punto B y hacer lo que hemos hecho antes, las proyecciones ortogonales. Aquí vendría el A y aquí vendría, de la manera que hemos hecho en la anterior explicación, B', es decir, haciéndome una perpendicular al plano, intersección y ya luego hacerme la recta que une estas dos y estaríamos en la misma situación, ¿vale?

78
00:09:30,110 --> 00:09:31,649
con A' y con B',

79
00:09:31,649 --> 00:09:33,649
ya obtengo R', que es la proyección

80
00:09:33,649 --> 00:09:34,809
ortogonal sobre el plano pi.

81
00:09:35,389 --> 00:09:37,570
Y creo que... Ah, vale.

82
00:09:37,809 --> 00:09:39,529
Lo que te comentaba,

83
00:09:39,929 --> 00:09:41,190
que esta no es la que

84
00:09:41,190 --> 00:09:43,870
venía en... ¿Cómo se llama?

85
00:09:44,009 --> 00:09:45,750
En los ejercicios que tú me...

86
00:09:45,750 --> 00:09:46,990
O sea, en las propuestas que me has dicho.

87
00:09:48,570 --> 00:09:49,830
Obviamente que es proyectar

88
00:09:49,830 --> 00:09:51,490
un punto a ver sobre una recta.

89
00:09:52,070 --> 00:09:53,950
Sería como trazar lo que hemos visto antes.

90
00:09:54,409 --> 00:09:55,409
Trazar la perpendicular

91
00:09:55,409 --> 00:09:57,990
y donde intersecciona

92
00:09:57,990 --> 00:09:59,870
aquí en

93
00:09:59,870 --> 00:10:09,830
la red. Obviamente geométricamente tendríamos que trazar un plano que fuera perpendicular

94
00:10:09,830 --> 00:10:18,529
a la recta, que contuviera el plano y entonces, o sea, que contuviera al punto, el plano pi,

95
00:10:19,230 --> 00:10:24,370
este de aquí, tiene que contener al punto A y tiene que contener al vector, o sea, tiene

96
00:10:24,370 --> 00:10:35,789
que ser justo el vr, el vr tiene que ser su vector normal, el vr coincidiría con su vector normal y ya

97
00:10:35,789 --> 00:10:42,429
con eso me generó el plano pi y digamos la intersección con r sería la prima que sería la

98
00:10:42,429 --> 00:10:48,190
proyección ortogonal del punto a sobre la recta r, pero esto es siempre que sean proyecciones

99
00:10:48,190 --> 00:10:54,309
ortogonales pensamos en perpendiculares, tirar perpendiculares y donde interseccionan con el

100
00:10:54,309 --> 00:11:00,490
otro elemento sobre el cual proyectamos, ¿de acuerdo? Y este es el único que creo no me

101
00:11:00,490 --> 00:11:04,929
has dicho que no tenías, pero bueno, este es que es obvio. Hasta luego.

102
00:11:06,370 --> 00:11:13,649
Para calcular una recta paralela a otra de manera que haya una distancia entre ellas

103
00:11:13,649 --> 00:11:20,250
de dos, lo que hacemos va a ser lo siguiente. En primer lugar, bueno, la ecuación, ya sabemos

104
00:11:20,250 --> 00:11:27,909
que la ecuación, lo he puesto aquí con un ejemplo, ¿vale? La ecuación, en este caso, tenemos un punto de la recta, ¿vale?

105
00:11:27,970 --> 00:11:36,789
Su ecuación es tal que esta, esa es la recta conocida R. La recta S, ¿qué pasa? Pues también, como va a ser paralela,

106
00:11:37,490 --> 00:11:48,730
tenemos que el vector director va a ser el mismo, sería 4, 3, 1, ¿vale? ¿Qué vamos a hacer? Pues desde A vamos a lanzar una perpendicular, ¿vale?

107
00:11:48,730 --> 00:11:55,929
Vamos a lanzar una perpendicular y esta recta perpendicular va a tener como punto A, ¿vale?

108
00:11:56,149 --> 00:12:03,210
1, el 1, 2, menos 4 y vector director sería, en este caso, si es 4, 3, 1, el menos BA.

109
00:12:03,730 --> 00:12:12,210
Menos BA sería 3, 4 y le damos a esta, por ejemplo, 0, de manera que el producto escalar entre ambos sea nulo.

110
00:12:12,210 --> 00:12:21,129
es decir, como ves, el V, digamos, prima, el de la perpendicular a R, sería menos 3, 4, menos 4, ¿vale?

111
00:12:21,549 --> 00:12:30,610
Haremos una intersección de esta recta después a posteriori con esta recta S, que sería el punto B.

112
00:12:31,090 --> 00:12:36,769
Entonces, yo de momento lo que voy a hacer es obligar a que la distancia de este punto a una recta

113
00:12:36,769 --> 00:12:44,230
cuyo vector director es, en este caso, 3, perdón, 4, 3, 1, sea 2.

114
00:12:44,669 --> 00:12:50,389
¿Eso cómo lo hacemos? Pues con la fórmula esta, distancia de A a R,

115
00:12:50,509 --> 00:12:58,250
obligo a que sea 2, es el producto vectorial de AB por VR, siendo B, B es algo que desconocemos,

116
00:12:58,250 --> 00:13:26,350
Entonces B hemos puesto que sería X, Y, Z, ¿vale? Hago todo el producto vectorial, ¿vale? De AB vectorial VR y claro, en principio llegamos hasta aquí, aquí habría que sacar el módulo, el módulo va a ser todo este conjunto de, digamos, el módulo de AB vectorial VR, sería esto.

117
00:13:26,350 --> 00:13:36,970
Y eso va a ser igual a 2 por lo que tendríamos aquí abajo, que era la raíz de 21, que era el módulo de VR.

118
00:13:37,409 --> 00:13:40,529
Si esto lo elevo al cuadrado, bueno, al final podré despejar.

119
00:13:41,070 --> 00:13:43,070
Pero claro, ¿qué le tiene que pasar también?

120
00:13:44,070 --> 00:13:46,789
Claro, tengo una ecuación y tres incógnitas.

121
00:13:46,950 --> 00:13:50,169
¿Qué tengo que sacar? Pues lo que tendría que sacar es X y Z.

122
00:13:50,169 --> 00:13:58,610
en realidad este x y z, ¿qué le pasa también? Pues que pertenece x y z, pertenece a la recta perpendicular,

123
00:13:58,889 --> 00:14:02,450
por lo tanto tiene que verificar las ecuaciones de la recta perpendicular.

124
00:14:03,029 --> 00:14:11,870
Entonces pongo aquí abajo la recta perpendicular, con lo cual tendríamos un sistema de cuatro ecuaciones

125
00:14:11,870 --> 00:14:17,049
con cuatro incógnitas justo lo que es aquí, ¿vale?

126
00:14:17,049 --> 00:14:19,190
Cuatro ecuaciones, se me han solapado un poco

127
00:14:19,190 --> 00:14:21,830
Con cuatro incógnitas, sustituyo la x y z aquí arriba

128
00:14:21,830 --> 00:14:23,230
Y sacaría la lambda

129
00:14:23,230 --> 00:14:25,309
¿Vale? Como es un ejemplo que no está

130
00:14:25,309 --> 00:14:27,370
No está, se me está desordenando todo

131
00:14:27,370 --> 00:14:29,350
Que no está preparado, pues bueno

132
00:14:29,350 --> 00:14:31,429
Me van a salir unos números un poco raros

133
00:14:31,429 --> 00:14:32,809
Pero claro, me sale un lambda

134
00:14:32,809 --> 00:14:35,830
De esta manera, me sale más menos

135
00:14:35,830 --> 00:14:37,429
¿Por qué? Pues porque me va a aparecer

136
00:14:37,429 --> 00:14:39,490
Un lambda

137
00:14:39,490 --> 00:14:41,610
O sea, si la distancia puede ser por arriba

138
00:14:41,610 --> 00:14:42,889
O por debajo de la

139
00:14:42,889 --> 00:14:45,289
De la recta dada, es decir, DAI

140
00:14:45,289 --> 00:14:55,269
dos soluciones. Y nada, sustituyendo esto en la perpendicular, es decir, en las ecuaciones

141
00:14:55,269 --> 00:15:00,769
de la recta, pues obviamente el anda S que he obtenido, el primero uno y después si

142
00:15:00,769 --> 00:15:07,409
queremos el otro, pues obtendré el punto B. Y entonces ya luego la recta que estoy

143
00:15:07,409 --> 00:15:14,450
buscando, que es la recta S, sería el punto B más el vector director que es Vs, que es

144
00:15:14,450 --> 00:15:22,409
igual, en este caso, obviamente a UDR, ¿vale? Y ya con ese punto y ese vector director ya

145
00:15:22,409 --> 00:15:27,690
tendría la recta S. Es una manera que se me ocurre para hacerlo, aunque es un poco

146
00:15:27,690 --> 00:15:34,590
laboriosa, pero bueno, no podría haber otra manera, pero yo creo que igual es más complicada.