1
00:00:00,000 --> 00:00:04,000
Vamos a resolver o seguinte problema de optimización.

2
00:00:04,000 --> 00:00:08,000
Tenemos que construir dous chapas cuadradas de distintos materiales.

3
00:00:08,000 --> 00:00:11,000
Uno cuesta 2 euros el centímetro cuadrado

4
00:00:11,000 --> 00:00:14,000
e outro 3 euros el centímetro cuadrado.

5
00:00:14,000 --> 00:00:18,000
Nos piden que averigüemos a medida dos cuadrados

6
00:00:18,000 --> 00:00:20,000
para que o coste sea mínimo,

7
00:00:20,000 --> 00:00:24,000
sabendo que a suma dos seus perímetros deve ser 1 metro.

8
00:00:25,000 --> 00:00:30,000
Vamos a representar

9
00:00:30,000 --> 00:00:33,000
dous cuadrados.

10
00:00:33,000 --> 00:00:36,000
Vamos a suponer que este é este lado x.

11
00:00:36,000 --> 00:00:40,000
Vamos a poner as medidas en centímetros

12
00:00:40,000 --> 00:00:44,000
ya que o prezo nos o dan en centímetros.

13
00:00:44,000 --> 00:00:47,000
Vamos a suponer que tenemos outro cuadrado

14
00:00:47,000 --> 00:00:49,000
de unha medida distinta

15
00:00:49,000 --> 00:00:51,000
e de lado y centímetros.

16
00:00:51,000 --> 00:00:54,000
Lo que nos están dicendo

17
00:00:54,000 --> 00:00:57,000
é que a suma dos perímetros

18
00:00:57,000 --> 00:01:00,000
deve ser 1 metro.

19
00:01:00,000 --> 00:01:03,000
Portanto, 4 por x

20
00:01:03,000 --> 00:01:06,000
é o perímetro do primeiro cuadrado,

21
00:01:06,000 --> 00:01:09,000
4 por y é o perímetro do segundo cuadrado

22
00:01:09,000 --> 00:01:12,000
e a suma dos dos perímetros é 1 metro.

23
00:01:12,000 --> 00:01:15,000
Como dimos que vamos a usar centímetros,

24
00:01:15,000 --> 00:01:17,000
pois 100 centímetros.

25
00:01:17,000 --> 00:01:19,000
Tenemos aquí unha relación,

26
00:01:19,000 --> 00:01:23,000
unha igualdad que nos relaciona x y.

27
00:01:23,000 --> 00:01:26,000
O prezo

28
00:01:26,000 --> 00:01:30,000
o prezo do primeiro cuadrado

29
00:01:33,000 --> 00:01:35,000
Como nos han dicho

30
00:01:35,000 --> 00:01:38,000
que o centímetro cuadrado

31
00:01:38,000 --> 00:01:40,000
cuesta 2 euros

32
00:01:40,000 --> 00:01:42,000
e o primeiro cuadrado

33
00:01:42,000 --> 00:01:45,000
tene unha superficie de x ao cuadrado centímetros cuadrados

34
00:01:45,000 --> 00:01:48,000
pois o prezo será 2 por x ao cuadrado.

35
00:01:48,000 --> 00:01:50,000
Estos son os euros

36
00:01:50,000 --> 00:01:53,000
do prezo do primeiro cuadrado.

37
00:01:53,000 --> 00:01:55,000
O segundo cuadrado

38
00:01:55,000 --> 00:01:58,000
como as superficies de x ao cuadrado

39
00:01:58,000 --> 00:02:00,000
en centímetros cuadrados

40
00:02:00,000 --> 00:02:02,000
e cada centímetro cuadrado

41
00:02:02,000 --> 00:02:04,000
cuesta 3 euros

42
00:02:04,000 --> 00:02:07,000
pois o prezo será 3 y cuadrado euros.

43
00:02:07,000 --> 00:02:09,000
Portanto,

44
00:02:09,000 --> 00:02:11,000
o prezo total

45
00:02:11,000 --> 00:02:14,000
do prezo dos cuadrados

46
00:02:14,000 --> 00:02:16,000
será

47
00:02:16,000 --> 00:02:18,000
2x ao cuadrado

48
00:02:18,000 --> 00:02:21,000
máis 3y ao cuadrado.

49
00:02:21,000 --> 00:02:23,000
E isto

50
00:02:23,000 --> 00:02:25,000
é a función

51
00:02:25,000 --> 00:02:27,000
que tenemos que minimizar.

52
00:02:27,000 --> 00:02:29,000
Esta función tene que ser mínima.

53
00:02:29,000 --> 00:02:31,000
Portanto,

54
00:02:31,000 --> 00:02:34,000
teño que o prezo é 2x ao cuadrado

55
00:02:34,000 --> 00:02:36,000
máis 3y ao cuadrado

56
00:02:36,000 --> 00:02:37,000
e, por outro lado,

57
00:02:37,000 --> 00:02:39,000
tene aquí 4x máis 4y

58
00:02:39,000 --> 00:02:41,000
igual a 100.

59
00:02:41,000 --> 00:02:42,000
De aquí,

60
00:02:42,000 --> 00:02:44,000
vou despejar unha das dois variables

61
00:02:44,000 --> 00:02:46,000
para sustituirlo

62
00:02:46,000 --> 00:02:48,000
na función do prezo

63
00:02:48,000 --> 00:02:50,000
e poder derivar.

64
00:02:50,000 --> 00:02:52,000
Vou despejar, por exemplo,

65
00:02:52,000 --> 00:02:54,000
y que será igual a

66
00:02:54,000 --> 00:02:56,000
100 menos 4x

67
00:02:56,000 --> 00:02:58,000
partido de 4

68
00:02:58,000 --> 00:03:00,000
é dizer,

69
00:03:00,000 --> 00:03:03,000
25 menos x

70
00:03:03,000 --> 00:03:05,000
e vou sustituirlo

71
00:03:05,000 --> 00:03:07,000
na función

72
00:03:07,000 --> 00:03:09,000
que define o prezo.

73
00:03:09,000 --> 00:03:10,000
Vou chamarla.

74
00:03:10,000 --> 00:03:12,000
Px será igual

75
00:03:12,000 --> 00:03:14,000
a 2x ao cuadrado

76
00:03:14,000 --> 00:03:15,000
máis 3

77
00:03:15,000 --> 00:03:17,000
e, en lugar de y,

78
00:03:17,000 --> 00:03:19,000
ponemos 25 menos x

79
00:03:19,000 --> 00:03:21,000
elevado ao cuadrado.

80
00:03:21,000 --> 00:03:23,000
Se desenvolvemos

81
00:03:23,000 --> 00:03:25,000
e operamos,

82
00:03:25,000 --> 00:03:27,000
obtenemos o seguinte polinomio.

83
00:03:27,000 --> 00:03:29,000
5x ao cuadrado

84
00:03:29,000 --> 00:03:31,000
menos 150x

85
00:03:31,000 --> 00:03:33,000
máis

86
00:03:33,000 --> 00:03:35,000
1875.

87
00:03:35,000 --> 00:03:37,000
E esta función la quero minimizar.

88
00:03:37,000 --> 00:03:39,000
Portanto, vou calcular a sua derivada

89
00:03:39,000 --> 00:03:41,000
e vou igualarla a 0.

90
00:03:41,000 --> 00:03:43,000
A derivada é igual

91
00:03:43,000 --> 00:03:45,000
a 10x

92
00:03:45,000 --> 00:03:47,000
menos

93
00:03:47,000 --> 00:03:49,000
150.

94
00:03:49,000 --> 00:03:51,000
Igualando a 0, obtengo os posibles

95
00:03:51,000 --> 00:03:53,000
puntos

96
00:03:53,000 --> 00:03:55,000
de máximo ou mínimo.

97
00:03:55,000 --> 00:03:57,000
E, ao igualar a 0,

98
00:03:57,000 --> 00:03:59,000
veo que o valor de x

99
00:03:59,000 --> 00:04:01,000
é igual a

100
00:04:03,000 --> 00:04:05,000
15

101
00:04:07,000 --> 00:04:09,000
centímetros.

102
00:04:09,000 --> 00:04:11,000
Agora, tenho que comprobar

103
00:04:11,000 --> 00:04:13,000
que isto realmente

104
00:04:13,000 --> 00:04:15,000
é un punto

105
00:04:15,000 --> 00:04:17,000
de mínimo. Para iso calculo

106
00:04:17,000 --> 00:04:19,000
a derivada segunda e, como a derivada segunda

107
00:04:19,000 --> 00:04:21,000
é 10,

108
00:04:21,000 --> 00:04:23,000
sempre

109
00:04:23,000 --> 00:04:25,000
positiva,

110
00:04:25,000 --> 00:04:27,000
ese valor que eu obtenido

111
00:04:27,000 --> 00:04:29,000
efectivamente é

112
00:04:29,000 --> 00:04:31,000
un mínimo.

113
00:04:31,000 --> 00:04:33,000
Portanto, já teño

114
00:04:33,000 --> 00:04:35,000
a medida do primeiro cuadrado

115
00:04:35,000 --> 00:04:37,000
que teña que tener

116
00:04:37,000 --> 00:04:39,000
un lado de 15 centímetros

117
00:04:39,000 --> 00:04:41,000
e o segundo cuadrado

118
00:04:41,000 --> 00:04:43,000
que era

119
00:04:43,000 --> 00:04:45,000
25 menos x

120
00:04:45,000 --> 00:04:47,000
en seguida

121
00:04:47,000 --> 00:04:49,000
obtengo que teña

122
00:04:49,000 --> 00:04:51,000
que medir 10 centímetros.

123
00:04:53,000 --> 00:04:55,000
E temos terminado.