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00:00:00,000 --> 00:00:07,040
Vamos a hablar en este vídeo de cómo calcular la distancia de una recta a otra recta en

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00:00:07,040 --> 00:00:10,560
el espacio o a un plano.

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00:00:10,560 --> 00:00:16,240
La primera advertencia importantísima que hacer es que en ambos casos es imprescindible

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00:00:16,240 --> 00:00:20,840
estudiar antes de calcular la distancia la posición relativa entre las rectas o entre

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00:00:20,840 --> 00:00:22,880
recta y plano.

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00:00:22,880 --> 00:00:26,200
Veamos para empezar el caso de recta y plano.

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00:00:26,200 --> 00:00:29,680
En el caso en que la recta esté contenida en el plano pues la distancia es cero y no

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00:00:29,680 --> 00:00:32,240
habría ningún cálculo más que hacer.

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00:00:32,240 --> 00:00:37,560
Igual sucede en el caso en que recta y plano son secantes por tener un punto en común.

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00:00:37,560 --> 00:00:43,960
Luego sólo hay que calcular la distancia entre recta y plano cuando estos son paralelos.

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00:00:43,960 --> 00:00:51,180
Podemos razonar que esa distancia puede calcularse como la que hay desde cualquier punto de R

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00:00:51,180 --> 00:00:59,460
hasta el plano y por tanto se utiliza la fórmula anteriormente vista.

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00:00:59,460 --> 00:01:06,580
Una advertencia importante aquí es que si esta última fórmula, la distancia de un

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00:01:06,580 --> 00:01:12,900
punto de la recta al plano, la utilizamos en el caso en el que recta y plano sean secantes

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00:01:12,900 --> 00:01:20,220
en la posición relativa anterior, en general nos dará un valor distinto de cero y por

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00:01:20,220 --> 00:01:25,220
tanto erróneo, es decir, podemos calcular la distancia entre recta y plano como la distancia

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00:01:25,220 --> 00:01:30,720
de un punto de la recta al plano sólo si tenemos conciencia clara de que recta y plano

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00:01:30,720 --> 00:01:33,620
son paralelas.

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00:01:33,620 --> 00:01:38,780
Vamos al caso de distancia entre dos rectas y de nuevo imprescindible estudiar antes la

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00:01:38,780 --> 00:01:44,140
posición relativa porque en los casos coincidentes o secantes esta distancia es cero y no habría

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00:01:44,140 --> 00:01:46,560
nada más que calcular.

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00:01:46,560 --> 00:01:50,920
El siguiente caso es aquel en el que las rectas son paralelas y puede calcularse la

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00:01:50,920 --> 00:01:57,240
distancia entre ellas eligiendo un punto cualquiera de una de las mismas y calculando la distancia

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00:01:57,240 --> 00:02:02,840
a la otra, podéis observar en la figura que esta distancia es siempre la misma, no depende

25
00:02:02,840 --> 00:02:09,240
del punto escogido y que además es la menor distancia entre las rectas.

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00:02:09,240 --> 00:02:15,520
El caso más peleagudo es el de rectas que se cruzan, que como representamos en esta

27
00:02:15,520 --> 00:02:21,560
figura pueden verse siempre como contenidas en planos paralelos.

28
00:02:21,560 --> 00:02:25,720
Si determinamos uno de esos planos, el plano azul de la figura, que es el que contiene

29
00:02:25,720 --> 00:02:31,000
a la recta S y es paralelo a R, este plano nos será de ayuda para calcular la distancia

30
00:02:31,000 --> 00:02:33,520
entre las rectas.

31
00:02:33,520 --> 00:02:40,800
Podemos observar que la distancia entre la recta R y este plano azul se mantiene constante,

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00:02:40,800 --> 00:02:45,720
sea cual sea el punto de R que utilicemos para calcularla y además se corresponde con

33
00:02:45,720 --> 00:02:50,800
la distancia entre ambos planos y por lo tanto es también la distancia entre las rectas

34
00:02:50,800 --> 00:02:57,720
porque es la menor distancia posible entre dos puntos de la recta.

35
00:02:57,720 --> 00:03:04,640
Como calcular este plano necesario para las distancias entre rectas que se cruzan lleva

36
00:03:04,640 --> 00:03:11,800
su tiempo nos vamos a buscar una fórmula alternativa que explicamos con detalle en

37
00:03:11,800 --> 00:03:16,520
otro vídeo pero que básicamente consiste en identificar la distancia entre ambas rectas

38
00:03:16,520 --> 00:03:23,840
que se cruzan como la altura de ese paralelepípedo y por tanto puede venir calculada como el

39
00:03:23,840 --> 00:03:29,880
cociente entre el volumen del paralelepípedo y el área de la base de este paralelepípedo

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00:03:29,880 --> 00:03:34,480
que se calculan pues con esas expresiones del parámetro absoluto del producto mixto

41
00:03:34,480 --> 00:03:41,280
y del módulo del producto vectorial respectivamente.

42
00:03:41,280 --> 00:03:47,360
De nuevo cabe la advertencia de que esta fórmula solo se la valida si hemos comprobado anteriormente

43
00:03:47,360 --> 00:03:49,740
que R y S se cruzan.

44
00:03:49,740 --> 00:03:55,360
Si aplicamos esta fórmula en el caso en el que S y R son paralelas la fórmula nos dará

45
00:03:55,360 --> 00:04:03,080
el valor cero porque el paralelepípedo en ese caso no tiene volumen y ese resultado

46
00:04:03,080 --> 00:04:04,400
sería incorrecto.

47
00:04:04,400 --> 00:04:08,520
Dos rectas paralelas no distan cero como diría esta fórmula.

48
00:04:08,520 --> 00:04:15,600
La fórmula es válida solo para rectas que se cruzan.

49
00:04:15,600 --> 00:04:22,120
Veamos ahora un ejemplo de cálculo de distancia entre dos rectas.

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00:04:22,120 --> 00:04:26,920
Vamos a estudiar primero su posición relativa y para ello nos hará falta obtener el primer

51
00:04:26,920 --> 00:04:34,800
punto o el punto de la primera recta, 2, menos 1, 5, el punto de la segunda recta, 1, 0,

52
00:04:34,800 --> 00:04:43,080
menos 1, vector director de la primera recta, menos 1, 1, 2, vector director de la segunda

53
00:04:43,080 --> 00:04:47,360
recta, 2, 1, menos 3.

54
00:04:47,360 --> 00:04:53,160
Y fabricaremos el vector que une las dos rectas, los puntos de ambas rectas, restando

55
00:04:53,160 --> 00:05:00,180
las coordenadas obteniendo menos 1, 1, menos 6.

56
00:05:00,180 --> 00:05:05,120
Para estudiar la posición relativa lo primero que observamos es que VR no es proporcional

57
00:05:05,120 --> 00:05:11,600
a VS y por lo tanto las rectas tendrán que ser secantes o cruzarse.

58
00:05:11,720 --> 00:05:17,920
Para comprobar en qué caso estamos hemos de estudiar el determinante de los tres vectores

59
00:05:17,920 --> 00:05:30,000
obtenidos, el ARAS, el VR y el VS, que nos dirá si son o no son linealmente dependientes.

60
00:05:30,000 --> 00:05:38,200
El cálculo de este determinante arroja el valor 24, que no es 0, y por tanto R y S deben

61
00:05:38,200 --> 00:05:44,840
ser rectas que se cruzan, son rectas que se cruzan.

62
00:05:44,840 --> 00:05:50,360
Bien, ¿cómo podemos calcular entonces la distancia entre ambas rectas?

63
00:05:50,360 --> 00:05:59,280
Pues recurramos en primer lugar a la fórmula que tiene por numerador el volumen del paralelepípedo

64
00:05:59,280 --> 00:06:08,080
determinado precisamente por los tres vectores ARAS, VS, VR y VS, y que se calcula con el

65
00:06:08,080 --> 00:06:14,000
valor absoluto del producto mixto, y el denominador es el área de la base del paralelepípedo,

66
00:06:14,000 --> 00:06:17,960
o sea, el módulo de ese producto vectorial.

67
00:06:17,960 --> 00:06:24,760
En el numerador el valor de ese producto mixto coincide con el del determinante que ya hemos

68
00:06:24,760 --> 00:06:32,200
calculado, es decir, debe ser 24, y nos quedaría por tanto calcular solamente el producto escalar

69
00:06:32,200 --> 00:06:38,440
VR por VS, bien, ya estaría aquí calculado.

70
00:06:38,440 --> 00:06:45,520
Su módulo es la raíz de 25 más 9 más 1, o sea, la raíz de 35, y por tanto la distancia

71
00:06:45,520 --> 00:06:53,440
buscada será 24 veces la raíz de 35 partido 35.

72
00:06:53,440 --> 00:06:57,040
Una vez que hemos llegado a este punto, es decir, cuando ya tenemos claro que las rectas

73
00:06:57,040 --> 00:07:03,560
se cruzan, podemos calcular la distancia sin utilizar esta fórmula de otra manera

74
00:07:03,560 --> 00:07:12,080
alternativa, que sería calcular este plano, encontrar primero este plano que contiene

75
00:07:12,080 --> 00:07:17,400
a una de las rectas y es paralelo a la otra, este plano pi sub s, que queda definido por

76
00:07:17,400 --> 00:07:24,240
tanto por contener a un punto de s y también al vector director de R, visto que esta recta

77
00:07:24,240 --> 00:07:28,280
es paralela y este vector se puede trasladar a pi.

78
00:07:28,280 --> 00:07:38,960
La ecuación implícita de este plano pi sub s sería, por tanto, x menos 1 y z más 1,

79
00:07:38,960 --> 00:07:49,360
menos 1, 1, 2, 2, 1, menos 3, ese determinante tiene que ser 0.

80
00:07:49,360 --> 00:07:54,680
Si desarrollamos, obtendremos desarrollando el proceso juntos de la primera fila, menos

81
00:07:54,680 --> 00:08:06,520
5 por x menos 1 más y menos 3 veces z más 1, eso tiene que ser igual a 0.

82
00:08:06,520 --> 00:08:15,720
Ecuación desarrollada se convierte en menos 5x más y menos 3z más 2 igual a 0, sería

83
00:08:15,720 --> 00:08:18,800
la ecuación de pi sub s.

84
00:08:18,800 --> 00:08:25,000
Una vez obtenido el plano, recordamos que la distancia entre R y s se puede calcular

85
00:08:25,000 --> 00:08:30,160
como la distancia de cualquier punto de R, por ejemplo, el A sub R que ya tenemos calculado

86
00:08:30,160 --> 00:08:39,440
y este plano pi sub s, es decir, basta utilizar los coeficientes de la ecuación general del

87
00:08:39,440 --> 00:08:48,080
plano multiplicados por las coordenadas del punto A sub R, menos 5 por 2 más 1 por menos

88
00:08:48,080 --> 00:09:00,840
1 menos 3 por 5 más 2 y en el denominador el módulo del vector normal 5 cuadrado más

89
00:09:00,840 --> 00:09:06,000
1 cuadrado más 3 cuadrados.

90
00:09:06,000 --> 00:09:13,000
Este numerador se convierte en 24 y el denominador en raíz de 35, arrojando exactamente el mismo

91
00:09:13,000 --> 00:09:15,600
resultado del procedimiento anterior.