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00:00:03,120 --> 00:00:09,640
Hoy vamos a resolver un ejercicio de la EVAO de Madrid de la convocatoria del año 2017,

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00:00:10,199 --> 00:00:19,980
el junio coincidentes, el examen A, el ejercicio 2, el ejercicio de geometría.

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00:00:20,899 --> 00:00:26,300
Dada la recta en forma continua x-1 igual a y igual a z,

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00:00:27,719 --> 00:00:32,079
nos piden hallar la ecuación de una recta R' con dirección perpendicular a R,

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00:00:33,119 --> 00:00:37,259
es decir, que los vectores de R y de R' sean perpendiculares,

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00:00:37,979 --> 00:00:41,820
lo que podremos comprobar con que el producto escalar, por ejemplo, sea cero.

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00:00:42,299 --> 00:00:46,659
Que esté contenida en el plano OXY, el plano Z igual a cero,

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00:00:48,340 --> 00:00:50,520
y que pase por el punto 1, 2, 0.

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00:00:51,340 --> 00:00:53,759
Lo primero que vamos a hacer es pintar la recta R,

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00:00:53,759 --> 00:00:58,560
que pasa por el punto 1, 0, 0 y tiene el vector director 1, 1, 1.

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00:00:59,840 --> 00:01:01,060
Ahí la tenemos.

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00:01:03,119 --> 00:01:10,959
Y ahora haremos el plano x, y y el punto 1, 2, 0.

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00:01:11,840 --> 00:01:19,480
El plano x, y, que es z igual a 0, y evidentemente el punto 1, 2, 0 tiene la coordenada z, 0.

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00:01:21,540 --> 00:01:24,359
Pues queremos que la recta esté contenida ahí.

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00:01:24,920 --> 00:01:30,799
¿De acuerdo? Pues para hacerlo es bastante sencillo.

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00:01:30,799 --> 00:01:52,420
Lo que nosotros vamos a hacer es calcular el plano rojo, que es perpendicular, porque si la dirección de la recta tiene que ser perpendicular a la recta azul, pues tiene que estar en el plano rojo, que es el plano perpendicular.

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00:01:52,420 --> 00:02:07,420
Y como tiene que estar contenida en el plano Z igual a cero, en el plano XY, pues la intersección será...

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00:02:08,259 --> 00:02:14,460
Fijaros que hemos hecho que el plano pase por el punto 1, 2, 0.

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00:02:14,659 --> 00:02:16,020
Vamos a ver cómo lo hemos hecho esto.

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00:02:16,020 --> 00:02:38,120
Pues simplemente, en la forma normal de la recta, hemos puesto de coeficientes el vector 1, 1, 1, que son los coeficientes del vector director de la recta, y hemos hecho que pase por el punto 1, 2, 0, que es el punto que nos daban.

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00:02:38,120 --> 00:02:45,280
Lo efectuamos y nos dice que el plano que buscábamos es x más y más z menos 3 igual a 0

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00:02:45,280 --> 00:02:48,319
Lo he pintado y es el plano rojo

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00:02:48,319 --> 00:02:55,159
La recta que buscamos para el apartado A es la intersección del plano rojo y el plano verde

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00:02:55,159 --> 00:03:01,340
La manera de hacerlo, de calcularla, aquí la tenemos

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00:03:01,340 --> 00:03:07,719
Como veis es perpendicular a la recta azul

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00:03:07,719 --> 00:03:10,199
y está en el plano x y

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00:03:10,199 --> 00:03:13,479
la manera de hacerlo es calcular su vector director

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00:03:13,479 --> 00:03:17,979
que lo haremos con el producto vectorial del 0, 0, 1

29
00:03:17,979 --> 00:03:22,020
que es el vector

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00:03:22,020 --> 00:03:26,199
que está

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00:03:26,199 --> 00:03:28,879
en el

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00:03:28,879 --> 00:03:33,180
perdón, que es el vector normal al plano

33
00:03:33,180 --> 00:03:36,740
o x y, z igual a 0

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00:03:36,740 --> 00:03:38,919
vector 0, 0, 1

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00:03:38,919 --> 00:03:41,319
y el vector normal

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00:03:41,319 --> 00:03:43,400
al plano que acabamos de calcular

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00:03:43,400 --> 00:03:45,159
que es a su vez el vector director

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00:03:45,159 --> 00:03:47,120
de la recta, tenemos ese producto

39
00:03:47,120 --> 00:03:49,120
vectorial, nos da menos i más j

40
00:03:49,120 --> 00:03:51,319
así que el vector

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00:03:51,319 --> 00:03:52,919
director de la recta roja

42
00:03:52,919 --> 00:03:55,400
que buscábamos es el

43
00:03:55,400 --> 00:03:57,080
menos 1, 0

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00:03:57,080 --> 00:03:59,340
perdón, menos 1, 1, 0

45
00:03:59,340 --> 00:04:01,520
menos 1, 1, 0

46
00:04:01,520 --> 00:04:03,300
pues con ese vector y el

47
00:04:03,300 --> 00:04:05,300
punto z, tenemos la

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00:04:05,300 --> 00:04:13,159
recta reprima. Punto 1, 2, 0. Vector menos 1, 1, 0. Esa es la recta reprima. Y esa es

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00:04:13,159 --> 00:04:22,300
la respuesta al apartado A. Vamos con el apartado B que dice hallar un plano inclinado, perdón,

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00:04:22,300 --> 00:04:30,279
un plano perpendicular a OXY que contenga a la recta R. Aquí le tenemos. Es un plano

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00:04:30,279 --> 00:04:41,379
perpendicular al OXY, a Z igual a cero, y como vemos, perfectamente contiene a la recta azul, a la recta R.

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00:04:41,699 --> 00:04:50,480
¿Cómo se halla ese plano? Pues como siempre, ecuación de un plano, lo que hacemos es hallar, igualar el determinante a cero

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00:04:50,480 --> 00:04:59,399
de tres vectores. La primera línea tiene x, y, z menos las coordenadas de un punto

54
00:04:59,399 --> 00:05:09,240
de la recta, es decir, el 1, 0, 0. La segunda línea tiene el vector 0, 0, 1, que es el

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00:05:09,240 --> 00:05:16,139
normal al plano verde, porque nos dicen que queremos que el plano sea perpendicular, así

56
00:05:16,139 --> 00:05:21,920
Así que un vector director del plano tiene que ser el perpendicular a Z igual a cero.

57
00:05:22,480 --> 00:05:26,240
Y por último el 1, 1, 1 porque tiene que incluir a la recta R.

58
00:05:26,959 --> 00:05:36,220
Pues hacemos ese determinante, lo igualamos a cero y nos queda el plano azul que tiene de coordenadas menos X más Y más 1 igual a cero.

59
00:05:36,600 --> 00:05:43,199
Y ese es el plano que buscábamos para tener un punto en el ejercicio B.

60
00:05:43,199 --> 00:05:50,819
Y por último, vamos a hacer el ejercicio C, que dice calcular la distancia del origen de coordenadas a la recta R.

61
00:05:51,379 --> 00:05:56,459
La distancia de un punto a una recta la calcularemos mediante esta fórmula.

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00:05:57,399 --> 00:06:03,300
Módulo del producto vectorial de OP por U dividido por el módulo de U.

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00:06:03,300 --> 00:06:15,459
Es decir, área del paralelogramo formado por el punto y la recta y el módulo del vector director de la recta.

64
00:06:15,459 --> 00:06:32,540
Bueno, pues el producto vectorial que tenemos que hacer es con el 1, 0, 0 que es OP porque es 1, 0, 0 un punto P de R y el punto O que me dan que es el 0, 0, 0.

65
00:06:33,300 --> 00:06:37,000
y el vector de la recta, que es el 1, 1, 1.

66
00:06:37,740 --> 00:06:40,800
Hacemos este producto vectorial, nos queda menos j más k,

67
00:06:41,980 --> 00:06:48,439
que es el módulo de esto, es el área del paralelogramo, raíz de 2,

68
00:06:49,319 --> 00:06:55,860
la longitud del vector u es raíz de 3, esto es raíz de 2, esto es raíz de 3,

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00:06:55,860 --> 00:07:01,839
lo dividimos, nos da un tercio de raíz de 6, racionalizado,

70
00:07:01,839 --> 00:07:09,920
y en decimal 0,82, que lo podemos comprobar con que le hemos preguntado aquí la distancia a GeoGebra

71
00:07:09,920 --> 00:07:17,420
y nos ha dicho que es 0,82, lo cual nos garantiza que este resultado evidentemente está bien.