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00:00:02,540 --> 00:00:14,119
En este vídeo vamos a analizar la posición relativa de una recta y un plano en el espacio.

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00:00:14,720 --> 00:00:19,300
Como nos dice la intuición geométrica, una recta y un plano pueden ser paralelos si no se cortan,

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00:00:19,739 --> 00:00:23,839
pueden ser secantes si su intersección es un punto o la recta puede estar contenida en el plano.

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00:00:24,920 --> 00:00:28,100
Recordemos que tenemos dos familias de ecuaciones para un plano y una recta.

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00:00:28,879 --> 00:00:33,759
Para el plano podemos considerar por un lado las ecuaciones que se expresan en función de sus vectores directores,

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00:00:33,759 --> 00:00:40,020
que son las ecuaciones paramétrica o vectorial y por otro la ecuación cartesiana. Esta es

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00:00:40,020 --> 00:00:45,179
útil por ejemplo cuando conocemos el vector normal al plano ABC pues A, B y C son los

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00:00:45,179 --> 00:00:51,000
coeficientes de las incógnitas de la ecuación. Por otro lado las ecuaciones de la recta vectorial

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00:00:51,000 --> 00:00:55,520
y paramétrica hacen uso del vector director y del punto posición mientras que las ecuaciones

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00:00:55,520 --> 00:01:00,280
cartesianas y sus análogas describen la recta como intersección de dos planos y se pueden

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00:01:00,280 --> 00:01:06,519
calcular fácilmente a partir de un punto y un vector. Si juntamos en un sistema las

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00:01:06,519 --> 00:01:10,719
ecuaciones cartesianas de un plano y una recta, tendremos un sistema de tres ecuaciones con

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00:01:10,719 --> 00:01:15,640
tres incógnitas, mientras que si hacemos un estudio vectorial de la situación, tendremos

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00:01:15,640 --> 00:01:20,180
que analizar el rango de la matriz formada por tres vectores directores, dos del plano

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00:01:20,180 --> 00:01:26,180
y uno de la recta, y luego añadir un cuarto vector, el resultado de unir los puntos posición

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00:01:26,180 --> 00:01:31,879
de recta y plano. Analizando los rangos de estas dos matrices tendremos que si el rango

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00:01:31,879 --> 00:01:36,620
de la matriz de vectores directores es 3, entonces el vector de la recta es independiente

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00:01:36,620 --> 00:01:41,739
de los del plano y por tanto la recta y el plano son secantes. Si el rango de matriz

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00:01:41,739 --> 00:01:47,159
de vectores directores es 2, la recta es paralela o está contenida en el plano. Y la clave

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00:01:47,159 --> 00:01:53,400
es analizar el vector PQ. Si este vector está dentro del plano, la recta también. Esto

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00:01:53,400 --> 00:01:58,939
se produce cuando el rango de la matriz de los cuatro vectores es 2. Si el rango de esta matriz

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00:01:58,939 --> 00:02:04,260
es, sin embargo, 3, la recta no puede estar contenida en el plano y, por lo tanto, es paralela

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00:02:04,260 --> 00:02:10,800
a este. Pasemos a analizar la situación desde un punto de vista de sistemas de ecuaciones. Como

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00:02:10,800 --> 00:02:16,740
habíamos comentado, tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Y utilizamos

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00:02:16,740 --> 00:02:21,439
ahora el teorema de Roche-Frobenius. Si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de

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00:02:21,439 --> 00:02:28,379
la ampliada y ambos valen 3, el sistema es compatible determinado. Esto es, la recta corta

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00:02:28,379 --> 00:02:34,300
el plano en un punto. Si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada y

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00:02:34,300 --> 00:02:40,240
ambos rangos valen 2, el sistema es compatible indeterminado. Esto es, la recta está dentro del

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00:02:40,240 --> 00:02:45,780
plano, está contenida en este. Y por último, si el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el de

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00:02:45,780 --> 00:02:51,120
la ampliada es 3, el sistema es incompatible y la recta y el plano son paralelos, no se cortan.

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00:02:51,759 --> 00:02:54,360
Vamos a practicar este análisis con un ejemplo.

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00:03:00,610 --> 00:03:04,430
Bueno, pues vamos a calcular la posición relativa de esta recta R y de este plano pi.

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00:03:04,949 --> 00:03:14,169
La recta R viene dada en ecuación continua, es decir, la recta que pasa por un punto 1, menos 2, 2, en este caso 1, 2, 0,

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00:03:14,610 --> 00:03:20,729
y tiene por vector director el vector 2, menos 1, 2, y el plano pi que está dado en forma continua.

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00:03:20,729 --> 00:03:33,819
¿Qué hacemos? Pues lo primero de todo es pasar las dos ecuaciones de la recta, simplificarlas, es decir, vamos a escribir la recta en forma de intersección de dos planos.

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00:03:34,340 --> 00:03:50,379
Para ello tenemos que simplificar estas dos ecuaciones. Simplificándolas obtendremos... ¿y la otra?

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00:04:01,080 --> 00:04:11,180
Bien, esta es la recta R, dada en forma de intersección de dos planos. Añadimos el tercer plano, que es el plano que nos dan el plano pi.

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00:04:16,899 --> 00:04:25,339
Y con estos tres objetos lo que tengo es un sistema 3x3, tres ecuaciones, tres incógnitas.

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00:04:25,560 --> 00:04:26,779
¿Qué voy a hacer? Intentar resolverlo.

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00:04:26,779 --> 00:04:32,980
Para ello escribo la matriz de coeficientes y la ampliada, que son estas.

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00:04:41,579 --> 00:04:45,540
Esta es la matriz a barra y esta es la matriz de coeficientes.

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00:04:46,040 --> 00:04:47,560
Voy a calcular primero el rango de A.

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00:04:47,560 --> 00:05:19,319
Para ello, determinante. 2, 0, 2, 0, menos 4, menos 0, igual a 0. Ha dado 0. ¿Eso qué significa? Que como claramente hay un menor no nulo, ¿qué menor es este? Pues este de aquí.

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00:05:19,879 --> 00:05:23,060
El de la X y la Y y las dos primeras ecuaciones.

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00:05:23,860 --> 00:05:31,740
Significa que el rango de la matriz A va a ser 2.

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00:05:33,360 --> 00:05:35,800
Vamos a ver ahora el rango de la matriz ampliada.

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00:05:36,660 --> 00:05:41,000
Para ello cogemos el determinante no nulo que hemos obtenido.

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00:05:43,600 --> 00:05:49,819
Completamos esas columnas y añadimos la cuarta columna, digamos, la columna de términos independientes

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00:05:49,819 --> 00:05:52,839
para ver si el rango de A barra crece o no.

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00:05:53,220 --> 00:06:19,259
Entonces, calculando tendremos, y eso claramente es distinto de cero, lo que significa que el rango de la matriz A barra es igual a 3 y por lo tanto el sistema es incompatible por el teorema de Roche-Frobenius.

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00:06:19,800 --> 00:06:28,060
Eso significa que la recta R y el plano pino se cortan, es decir, son paralelos.

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00:06:29,060 --> 00:06:29,500
Y ya está.