1 00:00:02,100 --> 00:00:30,539 Madre mía, pues de todas formas, si vosotros mirar aquí un momentito, si algún día, o sea, no solo mis sesiones, sino imaginar que queréis ver alguna clase de matemáticas que nos haya quedado muy clara o que a lo mejor a mí, porque yo todas las que hago las intento grabar, pero esto no siempre graba. 2 00:00:30,539 --> 00:00:43,820 Pues también tenéis aquí sesiones de matemáticas con Félix y están también explicadas lo mismo que estoy dando yo, pues lo mismo este otro profesor. 3 00:00:44,280 --> 00:00:50,619 Entonces podéis mirar, por ejemplo, ecuaciones de segundo grado, pues también las tenéis aquí, ¿vale? 4 00:00:51,140 --> 00:00:57,079 Si algún día, ya digo, si mi clase ha habido algún percance, yo la voy a intentar volver a grabar, 5 00:00:57,079 --> 00:01:13,980 Pero el otro día fallaba el audio, el día anterior no se grabó, un desastre. Bueno, pues eso, que si mis clases no encontráis alguna o no está bien explicada lo que sea, también las tenéis, ya digo, en Matemáticas de Félix. 6 00:01:13,980 --> 00:01:20,879 Bueno, pues dejamos el otro día la lección en sistemas de ecuaciones. 7 00:01:22,060 --> 00:01:23,319 Una preguntilla. 8 00:01:23,819 --> 00:01:24,140 Sí. 9 00:01:25,359 --> 00:01:29,659 El ejercicio 1 del regalo yo no sé hacerle. 10 00:01:30,819 --> 00:01:32,140 ¿El ejercicio 1? 11 00:01:32,459 --> 00:01:33,140 Sí. 12 00:01:33,799 --> 00:01:37,840 A ver, un momentito, entrega de distancia. 13 00:01:39,359 --> 00:01:46,900 ¿Este? 14 00:01:47,900 --> 00:01:49,780 El primero, sí. Yo no sé hacerle. 15 00:01:49,780 --> 00:02:03,599 Es que no le hemos dado todavía, no hemos dado dibujar estas funciones, porque hasta ahora lo que hemos dado ha sido resolver problemas de ecuaciones y tal, 16 00:02:04,340 --> 00:02:12,039 pero lo único que tenéis que hacer para dibujar una función, sea cual sea, es dar diferentes valores. 17 00:02:12,039 --> 00:02:15,960 Me explico, no solo esa, sino cualquier función 18 00:02:15,960 --> 00:02:22,759 Os planteáis aquí una serie de valores para X y para Y 19 00:02:22,759 --> 00:02:25,400 X e Y 20 00:02:25,400 --> 00:02:31,340 Entonces, si para X dais valores, por ejemplo, positivos 21 00:02:31,340 --> 00:02:34,259 0, 1 y 2 22 00:02:34,259 --> 00:02:39,219 Pero estas de aquí, cuando es una recta, con estos tres, suficiente 23 00:02:39,219 --> 00:02:55,439 Esos tres te van a dar tres puntos alineados y ya vas a tener la función que unas esos tres puntos es esa, pero estas con x2 son funciones cuadráticas, entonces necesitas también algún valor negativo, por ejemplo, menos uno y menos dos. 24 00:02:55,439 --> 00:03:00,520 y con estos valores, si está bien resuelta la ecuación 25 00:03:00,520 --> 00:03:05,860 o sea, para x, 0, pues sustituís 0, menos 0, daría 12 26 00:03:05,860 --> 00:03:12,680 para x, 1, pues 1 al cuadrado, menos 8 por unos 8, más 12, lo que sea 27 00:03:12,680 --> 00:03:13,639 y lo vais poniendo aquí 28 00:03:13,639 --> 00:03:18,259 y esos puntos los tenéis que pasar a unos ejes de coordenadas 29 00:03:18,259 --> 00:03:20,680 esto es la x, esto es la y 30 00:03:20,680 --> 00:03:28,419 Entonces, cuando la X vale 0, si la Y vale 12, pues para 0, 12, pues estaría por aquí arriba 31 00:03:28,419 --> 00:03:32,759 Para la X, 1, lo que dé, y ahí vais uniendo puntos 32 00:03:32,759 --> 00:03:36,159 Pero ya digo, las cuadráticas van a ser de este estilo 33 00:03:36,159 --> 00:03:42,060 Van a ser con valores a la derecha y a la izquierda 34 00:03:42,060 --> 00:03:47,360 Ya no digo positivos o negativos, sino que aunque la X tome valores positivos o negativos 35 00:03:47,360 --> 00:04:00,919 2, 1, menos 1, 2, menos 2, aunque la X tome estos valores, la Y va a tener diferente valor, porque estas son funciones cuadráticas y van a tener esta forma. 36 00:04:01,879 --> 00:04:10,400 Y estas dos van a ser hacia arriba, positivas, y estas dos van a ser negativas, estas dos van a ser para abajo. 37 00:04:10,400 --> 00:04:16,439 Pero, no sé si esto lo veremos más adelante 38 00:04:16,439 --> 00:04:20,339 Pero lo que es dibujar una función solo tienes que dar valores 39 00:04:20,339 --> 00:04:25,800 Valores para la X y lo que te dé de la Y, sacas puntos y ya está 40 00:04:25,800 --> 00:04:33,779 Vale, y luego tenía dudas también de ejercicios de sustitución, igualación y reducción 41 00:04:33,779 --> 00:04:41,040 Pero, esto es lo que vamos a explicar en la clase de hoy 42 00:04:41,040 --> 00:04:44,240 ecuaciones con dos incógnitas 43 00:04:44,240 --> 00:04:48,620 de sustitución, reducción e igualación 44 00:04:48,620 --> 00:04:49,980 esos tres métodos 45 00:04:49,980 --> 00:04:53,420 ah, pues esa es la clase de hoy, esa no la hemos dado todavía 46 00:04:53,420 --> 00:04:58,220 en la clase pasada vimos ecuaciones de segundo grado 47 00:04:58,220 --> 00:05:01,160 y vimos en la anterior 48 00:05:01,160 --> 00:05:04,379 ecuaciones de primer grado y resolvimos 49 00:05:04,379 --> 00:05:08,100 vale, pues las ecuaciones de segundo grado 50 00:05:08,100 --> 00:05:10,519 completas e incompletas con una fórmula 51 00:05:10,519 --> 00:05:20,639 la vimos en la clase pasada, y en esta vamos a ver cómo resolvemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. 52 00:05:21,899 --> 00:05:29,000 Si solo tenemos una incógnita, entonces tenemos solo una solución y ya está. 53 00:05:29,000 --> 00:05:44,319 La X, por ejemplo, si es 3X menos 5 igual a 0, pues como solo tiene una sola incógnita, tiene una sola solución, X vale lo que sea. 54 00:05:45,279 --> 00:05:55,040 Pero al tener X e Y vamos a tener dos incógnitas y esas dos incógnitas tenemos que resolver primero una y luego la otra. 55 00:05:55,040 --> 00:06:17,040 No podemos de un plumazo resolver las dos incógnitas. Entonces, hay tres métodos. Vamos a ver el primero que es el método de sustitución y en este método lo que hacemos es, primeramente, bueno, despejamos una de las incógnitas. 56 00:06:17,040 --> 00:06:23,759 incógnitas. Luego, lo que nos dé lo sustituimos en la otra ecuación, sustituimos lo que nos 57 00:06:23,759 --> 00:06:30,519 ha dado en la ecuación y luego resolvemos. A ver, no nos tenemos que aprender la receta 58 00:06:30,519 --> 00:06:38,220 esta, pero en la de sustitución vemos de estas dos cuál está alguna de X o Y más 59 00:06:38,220 --> 00:06:44,319 despejada, pues veo que está aquí más despejada. Entonces, digo, en esta puedo saber cuánto 60 00:06:44,319 --> 00:06:53,879 veis cuánto me vale la x, pues la x me vale 4 menos 2y, y bueno ya sé que está debajo 61 00:06:53,879 --> 00:07:00,819 pero para que os lo voy contando, entonces cuando sepamos lo que vale la x sustituimos, 62 00:07:00,819 --> 00:07:08,259 por eso se llama de sustitución, sustituimos aquí en vez del valor de la x ponemos 4 menos 63 00:07:08,259 --> 00:07:18,259 2i. Por eso tenemos aquí 4 menos 2i multiplicado por 3 más 4i igual a 10. O sea, el valor 64 00:07:18,259 --> 00:07:23,660 de la segunda lo hemos sustituido en la primera. Y ahora ya sí, ya no tenemos aquí nada más 65 00:07:23,660 --> 00:07:31,439 que una incógnita. 2, 3 por 4, 12, 3 por 2 menos 6i más 4i igual a 10. Vale, es que 66 00:07:31,439 --> 00:07:39,620 lo ponen todo muy seguido. Tenemos menos 6i más 4i, esto se queda menos 2i. Y luego, 67 00:07:39,620 --> 00:07:49,040 al otro lado, 10 menos 12 es menos 2. Total que la i, menos 2 entre menos 2, la i vale 68 00:07:49,040 --> 00:07:55,800 1. Así es que, con este valor de la i, que ya sabemos que vale 1 en el sistema, arriba 69 00:07:55,800 --> 00:08:11,399 o abajo en el que queramos, sustituimos, si la y vale 1, yo sustituiría aquí abajo, la x, como hemos visto antes, es igual a 4 menos 2 por 1, 70 00:08:11,399 --> 00:08:27,740 Entonces, 4, uy, esto no, un momentito, 2 por 1, pues 4 menos 2, daría 2 71 00:08:27,740 --> 00:08:36,320 Y ya el valor de la X ya lo sabemos, X vale 2, Y vale 1 72 00:08:36,320 --> 00:08:42,500 Y en cualquiera de las dos ecuaciones se cumple con ese valor de la incógnita 73 00:08:42,500 --> 00:08:56,860 Por ejemplo, en la primera 2 más 2 por 1 es 2, 2 y 2 es 4, lo cumple. Y en la de arriba lo mismo, 3 por 2 es 6 más 4 por 1 es 4, 6 y 4 es 10. 74 00:08:57,460 --> 00:09:08,419 Cuando hemos hallado los dos valores, si los metemos en cualquiera de las dos ecuaciones que nos plantean, nos tiene que dar el igual, tiene que ser lo mismo. 75 00:09:08,419 --> 00:09:15,080 Estos valores no sirven para una sola, sirven para el sistema de ecuaciones completo. 76 00:09:16,019 --> 00:09:23,840 Vamos a hacer un ejemplo, bajamos un poquito más, aquí. 77 00:09:31,919 --> 00:09:39,879 Vamos a hacer este primer ejemplo, x menos x menos 2y es igual a menos 5. 78 00:09:39,879 --> 00:09:44,879 Y aquí 2x más y igual a 7. 79 00:09:45,039 --> 00:09:48,559 Ah bueno, perdonad, este ya está hecho 80 00:09:48,559 --> 00:09:52,860 Pero yo lo voy a hacer en vez de resolver con menos menos menos 81 00:09:52,860 --> 00:09:55,980 Que es muy engorroso, lo voy a resolver con esta ecuación de aquí abajo 82 00:09:55,980 --> 00:09:58,779 Entonces voy a saber la y 83 00:09:58,779 --> 00:10:03,100 Yo digo que vale y es igual 84 00:10:03,100 --> 00:10:06,200 Despejo en esta ecuación 85 00:10:06,200 --> 00:10:09,179 Y veo 7 menos 2x 86 00:10:09,179 --> 00:10:12,139 7 menos 2x 87 00:10:12,139 --> 00:10:33,240 ¿Vale? Y sustituyo, porque este es el método de sustitución, sustituyo aquí, en la primera. Entonces tengo menos x y luego menos 2 que multiplica a la y y la y acabo de ver que es 7 menos 2x. 88 00:10:33,240 --> 00:10:41,919 Entonces sustituyo 7 menos 2x igual a menos 5. 89 00:10:41,919 --> 00:11:03,980 Aquí ya sí que opero y despejo y digo menos x 7 por 2 menos 14 y luego menos por menos más, más 4x igual a menos 5. 90 00:11:04,679 --> 00:11:17,539 bien, para despejar la X y dejarla sola, 4 menos 1, 3X, y 3X a un lado es igual, aquí 91 00:11:17,539 --> 00:11:33,919 menos 5 y menos 14 lo llevo al otro lado, menos 5 más 14 es más 9, venga, lo pongo 92 00:11:33,919 --> 00:11:51,250 14 menos 5 es 9. Vale, pues ¿cuánto vale la x? Si 3x es 9, x es igual a 9 entre 3, que es 3. 93 00:11:53,450 --> 00:12:04,169 Y a ver que me quepa. Bueno, la x vale 3. Si la x vale 3, por aquí también han calculado la misma solución, 94 00:12:04,169 --> 00:12:23,950 luego despejo la y. Ya tengo uno de los valores, x es igual a 3, la y, por ejemplo aquí que ya la tengo preparada, es 7 menos 3 por 2, 6, 7 menos 6 igual a 1. 95 00:12:23,950 --> 00:12:32,529 Así es que los dos valores del sistema de ecuaciones es x3 y 1 96 00:12:32,529 --> 00:12:36,990 Ellos aquí en este ejercicio lo resuelven al revés 97 00:12:36,990 --> 00:12:42,110 Desde aquí arriba, desde la primera, sacan el valor de x, lo sustituyen en la segunda 98 00:12:42,110 --> 00:12:46,990 Pero al final la y vale 1, que está aquí 99 00:12:46,990 --> 00:12:51,250 Y la x vale 3, esta otra solución 100 00:12:51,250 --> 00:12:54,830 la X vale 3, da lo mismo 101 00:12:54,830 --> 00:12:58,629 quiero decir que da lo mismo, ah bueno, la solución 3, 1 102 00:12:58,629 --> 00:13:02,230 pues da lo mismo sustituir de arriba abajo que de abajo arriba 103 00:13:02,230 --> 00:13:07,970 como quiero ver 104 00:13:07,970 --> 00:13:12,570 casi todos los ejercicios, pues voy a hacer este último 105 00:13:12,570 --> 00:13:16,029 resuelve por sustitución el A 106 00:13:16,029 --> 00:13:19,210 y lo voy a hacer aquí arriba 107 00:13:19,210 --> 00:13:29,950 y buscamos alguna de las dos variables que esté lo más despejada posible, por ejemplo, la y o aquí abajo la x. 108 00:13:30,009 --> 00:13:43,230 Me da lo mismo, lo voy a hacer con la y, por ejemplo, y es igual a menos 1 y este 2x pasa restando, menos 2x. 109 00:13:43,230 --> 00:13:50,169 Vale, pues ahora por sustitución sustituyo el valor de la y de la primera en la segunda 110 00:13:50,169 --> 00:14:01,309 Y me queda, o bueno lo pongo por aquí, x más 2 que multiplica a menos 1 menos 2x 111 00:14:01,309 --> 00:14:11,970 Esto es igual a, estamos en la de abajo, menos 4 112 00:14:11,970 --> 00:14:15,049 Vale, pues operamos un poco 113 00:14:15,049 --> 00:14:20,049 X más por menos menos, menos 2 114 00:14:20,049 --> 00:14:24,429 2 por 2, 4, menos 4X 115 00:14:24,429 --> 00:14:28,350 Igual a menos 4 116 00:14:28,350 --> 00:14:35,620 Vale, entonces tenemos una X positiva, 4 negativa 117 00:14:35,620 --> 00:14:39,259 Sería menos 3X 118 00:14:39,259 --> 00:14:59,639 A ver, un momentito 119 00:14:59,639 --> 00:15:30,580 menos 1, menos 2x, 3x, menos 6x es igual a menos 4 más 2 a menos 2, menos 3x es igual a menos 2, si no me he equivocado, entonces la x nos va a dar aquí una fracción menos entre menos más que es 2 tercios. 120 00:15:33,360 --> 00:15:39,100 En la mayoría de ellas, si lo hacéis, también puede daros valores que sean una fracción. 121 00:15:39,100 --> 00:15:44,379 No pasa nada, este x igual a 2 tercios lo voy a sustituir aquí en la y. 122 00:15:45,120 --> 00:16:02,720 Entonces, la y es igual a menos 1 menos 2 por 2 tercios, esto es menos 4 tercios, 2 por 2. 123 00:16:03,360 --> 00:16:24,509 4 tercios y aquí ya operamos y esto es menos 3 tercios menos 4 tercios y esto es igual 124 00:16:24,509 --> 00:16:33,129 a menos 7 tercios. Entonces si da un número entero fenomenal que nos da una fracción 125 00:16:33,129 --> 00:16:47,629 no pasa nada, la X es 2 tercios y la Y es menos 7 tercios. No os asustéis, pero ya digo, la B y la C os van a dar casi todas los valores que salen fracciones. 126 00:16:48,429 --> 00:16:52,450 Bueno, este es el método de sustitución. ¿Tenéis alguna duda? 127 00:16:52,450 --> 00:17:08,039 bajo, sustituyo 128 00:17:08,039 --> 00:17:10,059 sustituyo el valor de y 129 00:17:10,059 --> 00:17:11,779 aquí, y entonces 130 00:17:11,779 --> 00:17:13,579 donde pongo y, pongo 131 00:17:13,579 --> 00:17:16,000 lo que me ha dado, su valor 132 00:17:16,000 --> 00:17:17,680 y lo he puesto aquí entre paréntesis 133 00:17:17,680 --> 00:17:18,420 menos uno 134 00:17:18,420 --> 00:17:22,259 es que no puedo simplificar 135 00:17:22,259 --> 00:17:23,579 menos uno menos dos x 136 00:17:23,579 --> 00:17:25,279 no, me refiero al proceso 137 00:17:25,279 --> 00:17:26,819 que si lo has multiplicado 138 00:17:26,819 --> 00:17:29,000 ah, multiplicado, sí, sí, sí 139 00:17:29,000 --> 00:17:31,819 dos por menos uno, menos dos 140 00:17:31,819 --> 00:17:32,940 y dos por 141 00:17:32,940 --> 00:17:41,660 se multiplica. Sí, sí, claro, porque este 2 por i está multiplicándose. En este lo 142 00:17:41,660 --> 00:17:48,740 mismo, si aquí la i es 7 menos 2x, cuando meto el valor de x, este 2 delante del paréntesis 143 00:17:48,740 --> 00:17:56,619 es un por, estoy multiplicando, sí. Vale. Entonces operamos, menos 2 menos 4x, lo que 144 00:17:56,619 --> 00:18:03,039 de menos 3x igual, este le he pasado al otro lado sumando, si está aquí negativo, pasa 145 00:18:03,039 --> 00:18:12,240 aquí positivo, da menos 2. Total, ese es el método de sustitución. Vamos al segundo 146 00:18:12,240 --> 00:18:20,000 método, que es el de igualación. Mirad, en el método de igualación, os lo voy a 147 00:18:20,000 --> 00:18:22,119 explicar, en vez de por este primer... 148 00:18:22,119 --> 00:18:27,680 Profe, por favor, ¿no te importaría repetir otra de sustitución? 149 00:18:33,019 --> 00:18:36,900 ¿Este primer ejemplo lo has entendido? 150 00:18:37,579 --> 00:18:39,119 No, no lo he entendido. 151 00:18:39,400 --> 00:18:41,240 Este tampoco, este es el más fácil. 152 00:18:42,279 --> 00:18:46,990 No, no lo he entendido, comenté también un poco. 153 00:18:47,230 --> 00:18:53,509 Vale, pues mira, en el método de sustitución cogemos la variable que esté más despejada. 154 00:18:54,230 --> 00:18:56,230 Despejada es que no tenga coeficientes. 155 00:18:57,170 --> 00:19:06,670 y que sea más fácil de operar con ella. Entonces he cogido esta x como no tiene nada y quiero saber lo que vale la x en función de la y. 156 00:19:06,670 --> 00:19:24,970 Y digo la x vale 4 y esto lo paso para allá, 4 menos 2y y lo pongo aquí. Este valor que he despejado para la x lo sustituyo en la primera ecuación 157 00:19:24,970 --> 00:19:43,170 Y donde vea aquí x pongo su valor, 4 menos 2y. Así es que digo 3 por 4 menos 2y más 4y igual a 10, que es esta primera ecuación que tenemos aquí. 158 00:19:43,170 --> 00:19:45,589 Hasta ahí me sigues 159 00:19:45,589 --> 00:19:49,750 El valor de la X lo sustituyo 160 00:19:49,750 --> 00:19:53,029 Que es 4 menos 2Y y lo pongo ahí 161 00:19:53,029 --> 00:19:54,289 Más 4Y igual a 10 162 00:19:54,289 --> 00:19:55,549 Y aquí ya opero 163 00:19:55,549 --> 00:19:58,089 Opero y quiero saber cuánto vale la Y 164 00:19:58,089 --> 00:20:04,190 12 menos 6Y más 4Y igual a 10 165 00:20:04,190 --> 00:20:06,250 Pues esta, la siguiente 166 00:20:06,250 --> 00:20:10,630 Y menos 6Y más 4Y menos 2Y 167 00:20:10,630 --> 00:20:14,329 es igual a 10 menos 12 168 00:20:14,329 --> 00:20:17,130 este baja al otro miembro, pasa a negativo 169 00:20:17,130 --> 00:20:20,410 total menos 2Y es igual a menos 2 170 00:20:20,410 --> 00:20:23,349 Y es igual a menos 2 entre 2 171 00:20:23,349 --> 00:20:24,150 Y vale 1 172 00:20:24,150 --> 00:20:28,329 cuando ya tengo uno de los dos valores seguros 173 00:20:28,329 --> 00:20:30,609 que ya sé cuánto es, está incógnita 174 00:20:30,609 --> 00:20:34,890 la Y ya sé lo que vale, la vuelvo a sustituir 175 00:20:34,890 --> 00:20:37,450 ¿en dónde? pues en el primero de la X 176 00:20:37,450 --> 00:20:39,849 que tengo 4 menos 2Y, eso vale la X 177 00:20:39,849 --> 00:20:45,549 pero como mi y vale 1, 2 por 1, 4 menos 2, 2, la x vale 2 178 00:20:45,549 --> 00:20:48,170 este es el método de sustitución 179 00:20:48,170 --> 00:20:52,130 coger un valor y despejarlo 180 00:20:52,130 --> 00:20:57,029 y cuando se ha despejado sustituimos en la otra ecuación y operamos 181 00:20:57,029 --> 00:20:59,230 y ya me queda una incógnita nada más 182 00:20:59,230 --> 00:21:02,150 y aquí con una sola incógnita lo que me dé 183 00:21:02,150 --> 00:21:05,170 operamos y ya está, en este hemos hecho lo mismo 184 00:21:05,170 --> 00:21:11,910 Y hemos, esta Y la he sustituido, lo que da 7 menos 2X 185 00:21:11,910 --> 00:21:14,690 Y la he sustituido arriba en la primera ecuación 186 00:21:14,690 --> 00:21:19,750 Opero y me da el valor de la X, me da 3 187 00:21:19,750 --> 00:21:25,029 Y cuando ya tengo el de la X, pues lo sustituyo ¿dónde? 188 00:21:25,029 --> 00:21:30,430 En la Y, si la X vale 3, 3 por 2 es 6, 7 menos 6 es 1 189 00:21:30,430 --> 00:21:34,769 Como vosotros tenéis los apuntes sin tanto garabato 190 00:21:34,769 --> 00:21:41,829 ir siguiendo las operaciones o como lo he hecho yo o como viene aquí. Y ya digo, en 191 00:21:41,829 --> 00:21:51,750 esta por sustitución vamos a tener un resultado que nos da una fracción, pues también se 192 00:21:51,750 --> 00:22:01,769 opera con lo mismo. A ver, el método de igualación en este tenemos que, lo voy a resolver sobre 193 00:22:01,769 --> 00:22:06,650 todo por uno de los ejemplos de aquí abajo, porque este es más complicadillo, han resuelto 194 00:22:06,650 --> 00:22:12,609 una ecuación más complicada. En este de aquí, que es más sencillo, vamos a decir 195 00:22:12,609 --> 00:22:22,109 la x, ¿cuánto me vale? Pues la x me vale, en la primera ecuación, 8 menos y. Bueno, 196 00:22:22,230 --> 00:22:31,309 pues lo apunto, 8 menos y. En la segunda ecuación, ¿cuánto me vale la x? La x me vale, y saco 197 00:22:31,309 --> 00:22:41,930 el valor de la x arriba y abajo. En la segunda me vale 2 más y. Vale, pues en este método 198 00:22:41,930 --> 00:22:49,910 despejas una incógnita arriba y abajo y luego igualas y dices, si la x vale esto arriba 199 00:22:49,910 --> 00:22:58,369 y vale esto abajo, solo hay un solo valor de x, voy a igualar y digo 8 menos y, 8 menos 200 00:22:58,369 --> 00:23:07,410 y es igual a 2 más y. Y yo sé que es igual porque este es el valor de x y este también. 201 00:23:08,230 --> 00:23:15,730 Así es que esto igual a esto, por eso es igualación, vamos a operar. Aquí tengo una 202 00:23:15,730 --> 00:23:29,230 i negativa la paso positiva, un 2 al otro lado, 8 menos 2 es igual a i más i, una i 203 00:23:29,230 --> 00:23:44,740 positiva más la del otro miembro, 8 menos 2 es igual a 2i, 8 menos 2 es 6 y luego lo 204 00:23:44,740 --> 00:23:48,420 que no puedo es igualar todo a todo, todo a todo no lo igualo, lo voy paso por paso 205 00:23:48,420 --> 00:23:57,380 y lo voy haciendo por separado, 8 menos 2 es 6 y esto es igual, 6 es igual a 2y, bueno 206 00:23:57,380 --> 00:24:11,359 pues si 6 es igual a 2y o 2y igual a 6, la y es igual 6 entre 2, 3, vale, pues ya sé 207 00:24:11,359 --> 00:24:17,180 lo que vale la Y, que es 3. ¿Cuánto valdrá la X? Pues me da lo mismo en la primera que 208 00:24:17,180 --> 00:24:22,440 en la segunda. En la primera o en la segunda yo saco ya el valor de la X porque ya sé 209 00:24:22,440 --> 00:24:32,539 que la Y vale 3. Por ejemplo, le voy a cambiar de color y así se ve mejor. En esta de aquí, 210 00:24:32,539 --> 00:24:35,700 8 menos 3 211 00:24:35,700 --> 00:24:40,119 8 menos 3 212 00:24:40,119 --> 00:24:42,980 La i vale 5 213 00:24:42,980 --> 00:24:47,740 Uy, perdonad, se me ha ido 214 00:24:47,740 --> 00:24:55,660 Pero dice, vale, si yo en vez de la primera sustituyo en la segunda 215 00:24:55,660 --> 00:24:58,779 Pues me va a dar lo mismo, porque si la i vale 3 216 00:24:58,779 --> 00:25:01,440 2 más 3 217 00:25:01,440 --> 00:25:04,299 Pues también me da 5 218 00:25:04,299 --> 00:25:14,660 Con lo cual, sí o sí es el mismo valor y la Y vale 3 y la X vale 5. 219 00:25:16,059 --> 00:25:32,640 Se ha visto más o menos cómo hemos operado para sacar en el método de igualación, sacamos una de las incógnitas, la que veamos más fácil, ponemos su valor arriba y abajo. 220 00:25:32,640 --> 00:25:50,519 Y luego digo, esto es igual a esto, lo que me da es igual, y sustituyo, lo opero, despejo, saco el valor de una de las variables, y luego, pues en cualquiera de las dos, las otras dos que me quedan, saco el valor de la otra. 221 00:25:50,519 --> 00:25:56,980 Vale, vamos a hacer en vez de tan tan tan fácil como este 222 00:25:56,980 --> 00:26:02,700 Hay veces que en vez de tan fácil, pues la cosa está un poco más complicadilla 223 00:26:02,700 --> 00:26:07,940 Porque tenemos por todas partes coeficientes delante de la X 224 00:26:07,940 --> 00:26:11,500 Vamos a hacer por ejemplo 225 00:26:11,500 --> 00:26:22,950 En este de aquí, en el apartado B 226 00:26:22,950 --> 00:26:32,319 tengo, vamos a cambiar, perdonad voy a cambiar otra vez de color 227 00:26:32,319 --> 00:26:37,660 en el apartado B tengo 3X más 2Y igual a 5 228 00:26:37,660 --> 00:26:42,940 entonces si quiero despejar aquí la Y 229 00:26:42,940 --> 00:26:54,890 la Y es igual a 5 menos 3X partido de 2 230 00:26:54,890 --> 00:27:01,150 Porque el 2 está multiplicando a la y, pues 5 menos 3x partido de 2 231 00:27:01,150 --> 00:27:05,630 ¿Y cuánto me da la y en la ecuación de abajo? 232 00:27:05,630 --> 00:27:09,930 Pues vamos a hacerlo, la y en la ecuación de abajo es igual 233 00:27:09,930 --> 00:27:23,329 6 partido de 5X de menos 5X 234 00:27:23,329 --> 00:27:27,750 pero como yo aquí tengo menos Y 235 00:27:27,750 --> 00:27:31,410 lo paso al otro lado, menos 6 partido de 5X 236 00:27:31,410 --> 00:27:33,329 la Y sería igual 237 00:27:33,329 --> 00:27:36,769 menos entre menos más 238 00:27:36,769 --> 00:27:38,670 6 partido de 5X 239 00:27:38,670 --> 00:27:41,750 vale, pues ya tengo 240 00:27:41,750 --> 00:27:47,579 perdonad, un momentito 241 00:27:47,579 --> 00:27:49,700 esto lo estoy haciendo 242 00:27:49,700 --> 00:27:56,970 que es más fácil todavía 243 00:27:56,970 --> 00:28:07,059 ahora, vale, en la segunda ecuación 244 00:28:07,059 --> 00:28:09,740 es 6 más 5x 245 00:28:09,740 --> 00:28:13,339 eso sería menos i 246 00:28:13,339 --> 00:28:18,619 menos i es 6 más 5x 247 00:28:18,619 --> 00:28:23,519 pero como yo lo que quiero tener es la Y positiva 248 00:28:23,519 --> 00:28:32,140 pues me lo planteo aquí, la Y es igual a menos 6 menos 5X 249 00:28:32,140 --> 00:28:38,180 vale, pues ya tengo cuánto vale la Y abajo y cuánto vale la Y arriba 250 00:28:38,180 --> 00:28:42,400 como este es el método de igualación lo que hacemos es igualar 251 00:28:42,400 --> 00:29:01,799 Y digo 5 menos 3x partido de 2, partido de 2 es igual al otro valor de la y, esto es igual a menos 6 menos 5x. 252 00:29:02,980 --> 00:29:17,119 Vale, y ahora lo que me interesa, ya tengo todo en una ecuación con una sola incógnita y ya despejo la x y busco su valor. 253 00:29:17,579 --> 00:29:44,039 ¿Cómo me quito este 2 de aquí de en medio? Multiplico el otro miembro por 2 y ya sí que lo puedo quitar. Así es que me quedaría 5 menos 3x es igual 6 por 2, 12 menos 12 y 5 por 2, 10 menos 10x. 254 00:29:44,039 --> 00:29:55,339 Tengo X a la derecha, X a la izquierda, pues yo me gusta llevar las X a donde queden positivas 255 00:29:55,339 --> 00:30:01,980 Así es que 10X lo paso a la izquierda, 10X menos 3X 256 00:30:01,980 --> 00:30:13,299 Y al otro lado tengo menos 12, menos 5, menos 12 y menos 5 257 00:30:13,299 --> 00:30:19,519 que esto es menos 17 258 00:30:19,519 --> 00:30:24,019 vale 259 00:30:24,019 --> 00:30:30,140 10x menos 3x 260 00:30:30,140 --> 00:30:32,299 estos son 7x 261 00:30:32,299 --> 00:30:43,069 a ver, esto pasa restando, esto también 262 00:30:43,069 --> 00:30:47,170 2 por 6, 12, 2 por 5, 10 263 00:30:47,170 --> 00:30:50,769 vale, pues menos 17 264 00:30:50,769 --> 00:31:20,920 17 menos 17, si yo quiero despejar la x, la x sale menos 17 séptimos, menos 17 séptimos, es un valor un poco engorroso, pero no solo tenemos fracción y negativa, 265 00:31:20,920 --> 00:31:44,940 pero ya tenemos un valor de la x que lo puedo meter o en esta de la y o en esta, cualquiera de las dos, voy a cambiar de color para que lo veáis y por ejemplo en esta de aquí que está más fácil y igual a menos 6, eso lo dejo lo mismo, estoy sustituyendo en esta segunda ecuación 266 00:31:44,940 --> 00:32:01,559 Y ahora, menos 5, que multiplica a menos 10, o sea, multiplica porque es menos 5 por x, y el valor de x, menos 17 partido de 7. 267 00:32:01,559 --> 00:32:06,240 aquí operaríamos 268 00:32:06,240 --> 00:32:09,440 5 por 17 y menos 6 269 00:32:09,440 --> 00:32:10,940 6 por 7, 42 270 00:32:10,940 --> 00:32:13,380 menos 42 271 00:32:13,380 --> 00:32:19,519 partido de 7 272 00:32:19,519 --> 00:32:23,339 y 5 por 7, 30 273 00:32:23,339 --> 00:32:26,200 menos menos que esto es más, más positivo 274 00:32:26,200 --> 00:32:28,619 5 por 7, 35 275 00:32:28,619 --> 00:32:33,720 y 5 por 1 es 5 276 00:32:33,720 --> 00:32:56,420 y 3, 8, más 85, menos 42, partido de 7, menos 43, partido de 7, ya sé que son todos números primos, pero los resultados de los sistemas de ecuaciones 277 00:32:56,420 --> 00:33:06,380 no siempre dan números enteros, positivos y más bonitos. Bueno, no sé si se ha entendido bien porque me he ido un poco el rojo, por aquí primero es para sacar 278 00:33:06,380 --> 00:33:15,160 la variable en X y la variable o la incógnita en X la hemos sacado igualando lo que en esta 279 00:33:15,160 --> 00:33:21,779 ecuación vale la Y, estoy en el B, ¿vale? Estoy en el B, no estoy ni en este ni en este, 280 00:33:21,880 --> 00:33:28,380 no estoy haciendo ninguno de estos dos, estoy haciendo este de aquí. Y en la primera ecuación 281 00:33:28,380 --> 00:33:35,440 despejando la Y saco su valor, en la segunda ecuación despejando la Y saco su valor que 282 00:33:35,440 --> 00:33:44,019 6 más 5X y luego igualo, igualo este con este. Entonces digo, este que es el primero 283 00:33:44,019 --> 00:33:52,859 igual al otro, me da una ecuación ya en X en la que operando, pues a derecha e izquierda 284 00:33:52,859 --> 00:34:00,559 tengo X y números de espejo y me da el valor de X menos 17 tercios, menos 17 partido de 285 00:34:00,559 --> 00:34:12,679 Con este valor de la X, ya sí que sí, lo paso y despejo y sustituyo en cualquiera de las dos ecuaciones que tienen Y igual a algo. 286 00:34:12,840 --> 00:34:20,059 Bueno, pues está aquí abajo, sustituyo el menos 17 séptimos y saco el valor de la Y. 287 00:34:23,480 --> 00:34:30,059 No sé si tenéis alguna pregunta, alguna duda o estáis viendo cómo se está haciendo poco a poco el método de sustitución. 288 00:34:30,559 --> 00:34:35,380 Bueno, de momento un poco lío. 289 00:34:36,000 --> 00:34:47,239 Es un poco lío, pero como tenéis varias y algunas resueltas, pues venga, me da tiempo a ver el método de reducción. 290 00:34:48,079 --> 00:34:52,940 Vemos un poquito el método de reducción para que lo podáis resolver en casa. 291 00:34:53,840 --> 00:34:54,320 Vale. 292 00:34:54,320 --> 00:35:07,420 Mirad, en el método de reducción, a mí me gusta mucho porque vamos a coger dos, no voy a coger este ejemplo de aquí, este luego lo podéis ver vosotros. 293 00:35:07,420 --> 00:35:14,500 Vamos a coger dos de las dos ecuaciones 294 00:35:14,500 --> 00:35:31,289 Vamos a coger y vamos a sumar la de arriba con la de abajo 295 00:35:31,289 --> 00:35:35,929 Para que sumándola se me vaya una de las dos incógnitas 296 00:35:35,929 --> 00:35:37,730 Entonces tenemos que ver 297 00:35:37,730 --> 00:35:41,650 Esto por supuesto tenemos nosotros que buscar algo en truco 298 00:35:41,650 --> 00:35:44,070 Porque la primera no va a estar fácil 299 00:35:44,070 --> 00:35:52,989 Pero tenemos que ver cómo sumando la de arriba con la de abajo se nos puede ir una de las incógnitas 300 00:35:52,989 --> 00:35:56,010 Por ejemplo, en esta vamos a hacer la B 301 00:35:56,010 --> 00:36:03,250 Lo que estoy contando es que yo si sumo la primera con la de abajo, 6 y 4, 10, pues no se me va 302 00:36:03,250 --> 00:36:06,909 Y menos 14 más 7 tampoco se me va ninguna 303 00:36:06,909 --> 00:36:14,590 Pero voy a aplicar un poquito un truco para que se me puedan ir una de las dos incógnitas 304 00:36:14,590 --> 00:36:24,190 Por ejemplo, si yo aquí esta la multiplico por 2, entera, esto no es una X, esto estoy multiplicando por 2 305 00:36:24,190 --> 00:36:32,489 Y digo, porque quiero que se me vaya una de las dos incógnitas y quiero que se me vaya la Y 306 00:36:32,489 --> 00:36:38,769 Y si multiplico por 2 me encuentro 14y y como tengo menos 14y se me va a ir 307 00:36:38,769 --> 00:36:45,309 Multiplico todo esto por 2, estoy viendo que con eso se me va a ir 308 00:36:45,309 --> 00:36:54,179 Multiplico toda, toda la ecuación la multiplico por 2 309 00:36:54,179 --> 00:37:00,239 Pero ese es el truco que yo quiero para que se me vaya al sumar con esta de aquí abajo 310 00:37:00,239 --> 00:37:04,119 Entonces 4 por 2 digo 8x 311 00:37:04,119 --> 00:37:08,139 vale, 7 por 2, 14 312 00:37:08,139 --> 00:37:12,219 entonces pongo 14y, esto lo puedo hacer 313 00:37:12,219 --> 00:37:16,260 siempre y cuando multiplique a derecha y a izquierda la igualdad 314 00:37:16,260 --> 00:37:19,420 3 por 2, 6 y vale 6 315 00:37:19,420 --> 00:37:23,800 vale, 8x más 14y más 6 es lo mismo que esta 316 00:37:23,800 --> 00:37:26,519 pero está toda multiplicada por 2, es un múltiplo 317 00:37:26,519 --> 00:37:32,159 y entonces lo puedo hacer, ahora ya sí, sumo la de arriba 318 00:37:32,159 --> 00:37:44,559 y sumo la de abajo y digo 8 y 6, 14x, vale, aquí no se me ha ido nada, pero 14y y menos 14y se me van 319 00:37:44,559 --> 00:37:53,820 y como se me van, esto ya es igual, desaparecen y 6 y 1, 7, esto es lo bueno de este método, 320 00:37:54,099 --> 00:38:01,019 que si encontramos cómo simplificar para que se nos vaya una de las dos incógnitas, luego es facilísimo, 321 00:38:01,019 --> 00:38:19,010 Entonces, x es igual a 7 entre 14, podría salir un poco mejor, pero bueno, y 7 entre 14 es 1 medio. 322 00:38:19,010 --> 00:38:24,949 Vale, pues ya tengo el primer valor, el primer valor es x es igual a un medio 323 00:38:24,949 --> 00:38:31,670 ¿Y cuánto vale la y? Pues la cojo aquí arriba o la cojo aquí abajo y sustituyo y ya saco la y 324 00:38:31,670 --> 00:38:35,969 Y la y va, si lo hacéis, la y vale un séptimo 325 00:38:35,969 --> 00:38:46,289 Sustituyendo o aquí o aquí, pero al haberlo tachado está un poco emborroso 326 00:38:46,289 --> 00:38:53,190 Vamos a ver cómo puedo hacer lo mismo con otra ecuación en la que me invente algo 327 00:38:53,190 --> 00:38:56,750 para que se me vaya una de las dos incógnitas 328 00:38:56,750 --> 00:39:01,469 por ejemplo, aquí arriba y abajo 5 y 2 no son múltiplos 329 00:39:01,469 --> 00:39:03,750 pero aquí tengo 4 y aquí tengo 1 330 00:39:03,750 --> 00:39:08,829 si yo esta de aquí arriba la multiplico por menos 4 331 00:39:08,829 --> 00:39:12,050 la multiplico por menos 4 332 00:39:12,050 --> 00:39:16,510 me va a quedar, lo voy a poner arriba lo que me da 333 00:39:16,510 --> 00:39:21,469 menos 4 por x menos 4x 334 00:39:21,469 --> 00:39:27,849 luego menos 4 por 2, menos 8i 335 00:39:27,849 --> 00:39:34,610 y menos 4 por 3 da menos 12 336 00:39:34,610 --> 00:39:40,250 vale, pues ya tengo esta primera y esta segunda 337 00:39:40,250 --> 00:39:41,889 que ahora cuando la sume 338 00:39:41,889 --> 00:39:47,349 elimino una de las incógnitas, se me va 339 00:39:47,349 --> 00:39:49,809 por eso es el método de reducción 340 00:39:49,809 --> 00:39:55,730 Reduzco para que al sumar la de arriba y la de abajo se me vayan las x 341 00:39:55,730 --> 00:39:59,949 Entonces menos 4 y más 4 se me va 0 342 00:39:59,949 --> 00:40:05,690 Menos 8y más 5y me queda menos 3y 343 00:40:05,690 --> 00:40:13,329 Y luego después del igual tengo menos 12 más 6 pues menos 6 344 00:40:13,329 --> 00:40:27,719 y la y en esta queda un poquito mejor porque no es una fracción, menos 6 entre menos 3, esto me va a dar 2. 345 00:40:29,360 --> 00:40:40,719 Vale, pues si la y ya sabemos que vale 2, tanto arriba como abajo sustituyo, despejo y la x al sustituir la y por 2, 346 00:40:40,719 --> 00:40:46,519 5 por 2, 10, lo paso al otro lado, lo divido entre 4, la X va a dar menos 1 347 00:40:46,519 --> 00:40:50,639 Si lo hacéis, veréis que la X es igual a menos 1 348 00:40:50,639 --> 00:41:00,840 Entonces, en este método de reducción tenemos que pensar que yo quiero sumar una con otra 349 00:41:00,840 --> 00:41:04,699 y que puedo hacer para que se me vaya una de las dos 350 00:41:04,699 --> 00:41:13,780 vale, en esta de aquí, esta primera que viene como ejemplo 351 00:41:13,780 --> 00:41:21,300 lo que han hecho es multiplicar la primera, la han multiplicado por 3 352 00:41:21,300 --> 00:41:25,920 para que me quede aquí 6x y la de abajo por menos 3 353 00:41:25,920 --> 00:41:29,719 entonces la de abajo la han multiplicado por menos 3 354 00:41:29,719 --> 00:41:32,440 digo perdón, por menos 2 355 00:41:32,440 --> 00:41:36,920 Entonces, menos 2 por 3, menos 6 356 00:41:36,920 --> 00:41:38,880 Y la otra, 3 por 2, 6 357 00:41:38,880 --> 00:41:40,980 3 por 4, 12 358 00:41:40,980 --> 00:41:43,099 Y 3 por 6, 18 359 00:41:43,099 --> 00:41:46,039 Y menos 2 por 7, menos 14 360 00:41:46,039 --> 00:41:48,199 Y menos 2 por 5, menos 10 361 00:41:48,199 --> 00:41:52,739 Sumo y se me van estos dos 362 00:41:52,739 --> 00:41:55,639 Con lo cual, eso es lo que queríamos, reducir 363 00:41:55,639 --> 00:41:57,840 Reducir una de las dos incógnitas 364 00:41:57,840 --> 00:41:59,940 12 menos 14, menos 2 365 00:41:59,940 --> 00:42:06,480 igual 18 menos 2, 8, la y nos va a dar menos 4 366 00:42:06,480 --> 00:42:09,659 así es que una vez que ya tenemos la y que es menos 4 367 00:42:09,659 --> 00:42:15,219 la pongo donde quiera, en esta primera, en esta segunda, por supuesto sin multiplicar 368 00:42:15,219 --> 00:42:20,199 y al sustituir o en la primera o en la segunda ya me da el valor de x 369 00:42:20,199 --> 00:42:21,699 y x sale 11 370 00:42:21,699 --> 00:42:28,760 no hay una forma en la que todo el mundo reduce igual, cada uno puede hacerlo como quiera 371 00:42:28,760 --> 00:42:37,559 y si te dicen resuelve un sistema de dos incógnitas con dos ecuaciones 372 00:42:37,559 --> 00:42:41,679 por el método que quieras, pues tú la miras fijamente y dices 373 00:42:41,679 --> 00:42:46,960 pues a mí me interesa más hacerlo por igualación o por sustitución o por reducción 374 00:42:46,960 --> 00:42:55,539 según como sea el sistema de ecuaciones, un método u otro es el que más te puede convenir 375 00:42:55,539 --> 00:43:14,280 Bien, pero vamos, este método, si ves el último, el de reducción, si ves una solución fácil para que al sumarla se nos vaya uno de los dos, por ejemplo, aquí en esta primera, para reducirla yo multiplicaría todo esto, lo multiplicaría por menos 3. 376 00:43:14,280 --> 00:43:35,800 y al multiplicarlo por menos 3 voy a tener aquí menos 6i, entonces ya se me iría la incógnita en i, se me va, luego lo sumo, multiplico y sumo y hay que buscarse un truco que nos pueda resultar fácil. 377 00:43:35,800 --> 00:43:40,340 bueno, que esto tenéis que practicar mucho 378 00:43:40,340 --> 00:43:43,360 sobre todo primero con ejercicios resueltos 379 00:43:43,360 --> 00:43:46,679 y una vez que ya le habéis cogido el tranquillo 380 00:43:46,679 --> 00:43:48,019 a los tres métodos 381 00:43:48,019 --> 00:43:51,400 pues ya os ponéis con ecuaciones 382 00:43:51,400 --> 00:43:53,619 que no estén resueltas a ver qué tal os da 383 00:43:53,619 --> 00:43:58,579 y nada, ir practicando esta semana 384 00:43:58,579 --> 00:44:01,440 que esto tiene mucho tomate 385 00:44:01,440 --> 00:44:04,179 a la semana que viene continuaremos 386 00:44:04,179 --> 00:44:11,940 ya de la lección nos queda muy poquito, pero ya la semana que viene continuaremos con la 387 00:44:11,940 --> 00:44:22,699 siguiente parte de progresiones aritméticas. Y las progresiones y sucesiones no es tan 388 00:44:22,699 --> 00:44:28,340 engorroso a la hora de operar como esto, tiene solo una pequeña fórmula, pero es más fácil 389 00:44:28,340 --> 00:44:30,860 y seguro que avanzamos más rápidamente. 390 00:44:31,679 --> 00:44:35,739 Y bueno, lo dejamos aquí y continuamos a la semana que viene. 391 00:44:36,900 --> 00:44:37,679 Vale, de acuerdo. 392 00:44:38,780 --> 00:44:43,860 Bueno, ¿el qué? 393 00:44:44,780 --> 00:44:51,460 Yo te quería preguntar si por la mañana estás por ahí... 394 00:44:51,460 --> 00:44:56,679 Es que las clases de distancia tienen una hora a la semana de tutoría 395 00:44:56,679 --> 00:45:02,440 en la que yo puedo resolver dudas tanto en presencia como así, online. 396 00:45:02,440 --> 00:45:25,679 Entonces, yo tengo para matemáticas nivel 2, tengo los miércoles hasta ahora para resolver dudas. Pero si tú tienes dudas en el instituto, hay más profesores de eso, de distancia, de matemáticas nivel 2, que tienen otras horas diferentes a las que puedas preguntarle dudas. 397 00:45:25,679 --> 00:45:29,159 Entonces, no hay problema 398 00:45:29,159 --> 00:45:32,619 Si un miércoles no puedes venir aquí 399 00:45:32,619 --> 00:45:35,199 O no puedes preguntarlas online 400 00:45:35,199 --> 00:45:38,440 Sí que puedes estar presencial 401 00:45:38,440 --> 00:45:42,320 En las dudas de otro profesor de distancia de nivel 2 402 00:45:42,320 --> 00:45:43,539 ¿De acuerdo? 403 00:45:47,039 --> 00:45:47,400 ¿El qué? 404 00:45:48,699 --> 00:46:03,610 Pero es que yo presencial no doy matemáticas 405 00:46:03,610 --> 00:46:07,250 Yo presencial doy ciencias y otras asignaturas 406 00:46:07,250 --> 00:46:09,250 Matemáticas nos dan mis compañeros 407 00:46:09,250 --> 00:46:28,110 Y por supuesto hay matemáticas tanto por la mañana como por la tarde, pero yo no te puedo decir sus horarios. Eso si llamas a secretaría ellos te informan y podrías asistir a alguna clase de algún profesor, porque por supuesto las matemáticas si estás presencial muchísimo mejor. 408 00:46:28,110 --> 00:46:45,829 Pero yo presencial no doy, doy otras asignaturas. Así es que llamando a secretaría ellos te informan de a qué hora que profesor da nivel 2 de matemáticas de este trimestre. Claro que sí. Bueno, pues un saludo. Lo dejamos aquí.