1 00:00:01,429 --> 00:00:10,009 Vale, por último terminamos con el ejercicio 5, que era el que tenía un poquito la mayor dificultad por lo del doble plano, pero bueno, ahora vamos a verlo, ¿vale? 2 00:00:10,310 --> 00:00:19,129 Entonces dice, en el plano X igual a 0 existe una distribución superficial infinita de carga, cuya densidad superficial de carga es sigma 1 igual a más 10 elevado a menos 6 coulomb partido metro cuadrado, ¿vale? 3 00:00:19,129 --> 00:00:27,989 No daban la sigma esto. Y nos dicen, empleando el teorema de Gauss, determina el campo eléctrico generado por esta distribución de carga a los puntos del espacio de coordenadas 1, 0, 0 y menos 1, 0, 0, ¿vale? 4 00:00:27,989 --> 00:00:50,810 Entonces, aquí había un poco que, antes de aplicar el teorema de Gauss, deducir, decir que por simetría, deducimos cuál es la dirección y sentido del campo. Decimos, por simetría, la dirección del campo eléctrico generado por el plano es perpendicular al mismo, ya está, y su sentido, al ser la sigma mayor que cero, es el que apunta en la dirección contraria al campo, o lo que suelo decir yo siempre, hacia afuera. 5 00:00:50,810 --> 00:00:55,049 perdón, me acabo de dar cuenta, no dirección contraria al campo 6 00:00:55,049 --> 00:00:58,810 sino a la dirección contraria al plano, en este caso al objeto 7 00:00:58,810 --> 00:01:07,430 al plano que genera el campo 8 00:01:07,430 --> 00:01:11,709 ¿vale? es decir, el campo va hacia afuera 9 00:01:11,709 --> 00:01:15,329 recordemos, si la sigma fuera negativa, el campo iría hacia adentro, de todas maneras 10 00:01:15,329 --> 00:01:19,109 esto lo vamos a ver a continuación, por lo tanto, en este lado 11 00:01:19,109 --> 00:01:23,310 ¿vale? que está, por así decirlo, a la derecha del campo, el campo 12 00:01:23,310 --> 00:01:32,209 va a ir hacia acá, por lo tanto, en los puntos 1, 0, 0, el valor del campo en el punto 1, 0, 0 va a ser su módulo por el vector unitario y, 13 00:01:32,349 --> 00:01:40,530 porque como veis es positivo. ¿Qué pasa a la izquierda? Pues a la izquierda hacia afuera es hacia allá, es decir, el vector unitario que indica dirección y sentido 14 00:01:40,530 --> 00:01:47,829 va a ser menos y, porque va en el sentido negativo del eje x. Y luego voy a simplemente calcular el módulo, que para el módulo es para lo que hay que utilizar 15 00:01:47,829 --> 00:01:51,849 el teorema de Gauss. Entonces, para deducir la expresión del módulo usamos la ley de Gauss 16 00:01:51,849 --> 00:01:55,870 o teorema de Gauss, ¿vale? Entonces, esta sería, habría que ponerla y luego 17 00:01:55,870 --> 00:01:59,189 recordad un poco cómo era la deducción, que esta yo os la hice en clase. 18 00:02:00,590 --> 00:02:04,030 ¿Qué superficie cogemos? Recordad que tiene que ser una superficie cerrada, 19 00:02:04,170 --> 00:02:06,829 puede ser cualquiera, pero vamos a coger normalmente una de la misma, 20 00:02:08,150 --> 00:02:11,370 que tenga la misma simetría, en este caso plana, pues se coge un cilindro 21 00:02:11,370 --> 00:02:15,830 y lo que se hace es decir, bueno, vamos a separar la superficie cerrada, 22 00:02:15,830 --> 00:02:22,849 que es un cilindro en tres superficies abiertas, que serían las tapas y la superficie lateral, ¿vale? 23 00:02:22,909 --> 00:02:28,469 Entonces se suman las tapas y la superficie lateral. ¿Qué pasa? Que la superficie lateral, el vector superficie, 24 00:02:28,530 --> 00:02:33,590 que recuerdo que siempre va también a punta siempre como hacia afuera, y el campo que irían hacia acá, 25 00:02:33,689 --> 00:02:39,729 porque siempre perpendicular, pues son, perdón, sí perpendicular al plano, pues son entre ellos, 26 00:02:39,889 --> 00:02:44,569 son ellos a su vez perpendiculares, por lo tanto ese producto vectorial va a ser igual a cero. 27 00:02:44,569 --> 00:02:51,009 y estos de aquí son paralelos porque aquí la superficie va hacia acá y el campo hacia acá 28 00:02:51,009 --> 00:02:54,689 y aquí el campo va hacia acá y la superficie hacia acá, recuerdo, siempre hacia afuera. 29 00:02:55,550 --> 00:03:02,110 Entonces, como son paralelos, pues realmente el ángulo entre ellos es 0, el coseno de 0 es 1, 30 00:03:02,110 --> 00:03:05,689 por lo tanto nos queda que este producto vectorial es el producto de los módulos. 31 00:03:06,490 --> 00:03:11,770 Como además el campo justo en esa superficie va a ser constante por simetría, 32 00:03:11,770 --> 00:03:19,629 porque se encuentra a la misma distancia, pues lo puedo sacar de la integral y puedo decir que esto es E la integral de diferencial de S1, 33 00:03:19,750 --> 00:03:30,050 que es la suma de todos los diferenciales de S1, que va a ser S1. ¿Cuál es esa S1? Pi R cuadrado, considerando R el radio de este cilindro. 34 00:03:30,129 --> 00:03:34,770 Y a esta también va a ser Pi R cuadrado, por lo tanto la suma me va a quedar 2E Pi R cuadrado. 35 00:03:34,770 --> 00:03:43,449 O sea, digamos que cada una de estas va a ser e pi r cuadrado, que es e por su superficie, y luego lo multiplico por 2 porque son 2, ¿vale? 36 00:03:43,610 --> 00:03:52,969 Y esto va a ser igual a la carga encerrada entre épsilon sub 0. ¿Qué es esta carga encerrada? Pues la carga encerrada, hay que recordar la relación entre la sigma, la carga y la superficie. 37 00:03:53,210 --> 00:04:01,509 La sigma es igual a la carga, en este caso carga encerrada entre superficie encerrada. Por lo tanto, la carga encerrada va a ser sigma por la superficie que encierra el cilindro. 38 00:04:02,129 --> 00:04:05,210 ¿Cuál es la superficie cargada que encierra el cilindro? Pues esta parte de aquí. 39 00:04:06,150 --> 00:04:15,210 La única parte de intersección entre el cilindro y el plano sería esta de aquí, que de nuevo tiene el área, es pi r cuadrado. 40 00:04:16,230 --> 00:04:21,949 Por lo tanto, nos vuelve a salir que es sigma por pi r cuadrado. 41 00:04:22,250 --> 00:04:27,870 Pues lo meto aquí, tacho pi r cuadrado, que lo tengo en los dos lados, y me queda aquí el campo eléctrico, es sigma entre 2 épsilon sub 0. 42 00:04:27,870 --> 00:04:30,350 esta sigma, recuerdo siempre 43 00:04:30,350 --> 00:04:32,230 en valor absoluto, porque estamos hablando 44 00:04:32,230 --> 00:04:34,370 de módulos, ya el sentido y todo eso ya lo hemos 45 00:04:34,370 --> 00:04:35,949 establecido, vale 46 00:04:35,949 --> 00:04:38,189 entonces, si ahora sustituimos 47 00:04:38,189 --> 00:04:40,370 los valores en el caso que tenemos aquí, por lo tanto 48 00:04:40,370 --> 00:04:41,209 bueno, pues 49 00:04:41,209 --> 00:04:44,170 e en la posición 1, 0, 0 50 00:04:44,170 --> 00:04:46,310 va a ser sigma entre 2, 0, 1, 0 51 00:04:46,310 --> 00:04:48,149 por i, sustituyo los valores 52 00:04:48,149 --> 00:04:50,290 y me sale 5,65 por 0, 4 53 00:04:50,290 --> 00:04:52,370 i, y en el punto menos 1, 0, 0 54 00:04:52,370 --> 00:04:54,810 va a ser menos sigma entre 2, 0, 1, 0 55 00:04:54,810 --> 00:04:56,329 por i, esto en valor absoluto 56 00:04:56,329 --> 00:04:58,029 menos, recuerdo, ¿por qué? 57 00:04:58,790 --> 00:05:00,389 Porque en ese punto 58 00:05:00,389 --> 00:05:01,889 el hacia afuera va 59 00:05:01,889 --> 00:05:04,370 en el sentido negativo del eje X 60 00:05:04,370 --> 00:05:06,329 y nos queda menos 5 más 65 61 00:05:06,329 --> 00:05:08,449 por el cilindro de 4 y ya estaría la primera 62 00:05:08,449 --> 00:05:10,290 parte. Aquí 63 00:05:10,290 --> 00:05:12,230 esto era un poco lo más rollo, pero 64 00:05:12,230 --> 00:05:14,230 que era un poco sabérselo de la 65 00:05:14,230 --> 00:05:16,329 deducción que dio en clase, porque no hay otra 66 00:05:16,329 --> 00:05:18,269 manera. Sí que es cierto que, repito, para que 67 00:05:18,269 --> 00:05:20,149 no nos agobiemos con todo esto, lo más probable 68 00:05:20,149 --> 00:05:22,310 es que esto no entre en evau, pero bueno 69 00:05:22,310 --> 00:05:23,930 por poder podría entrar 70 00:05:23,930 --> 00:05:38,430 pero yo lo veo bastante poco probable, pero bueno, ahí estaría, ¿vale? Y luego, vale, bueno, que con esto, que no entre en evau no quiere decir que no pueda caer en la recuperación, lo digo, ¿vale? 71 00:05:38,430 --> 00:05:50,990 O sea, que es poco probable, es con cosas que tal, pero que, bueno, pues es contenido de este año, ¿vale? Entonces, vale, una vez visto esto, estaban los dos planos, que esto lo hemos visto poco, 72 00:05:51,769 --> 00:05:56,069 Es un poco más complicado, pero bueno, al final veréis que es un poco lo mismo que cuando tenemos varias cargas 73 00:05:56,069 --> 00:06:01,430 o incluso cuando tenemos varias masas en el caso de campo gravitatorio. 74 00:06:01,610 --> 00:06:05,069 Entonces, en este caso nos dicen que tenemos una segunda distribución superficial infinita de carga 75 00:06:05,069 --> 00:06:09,589 de densidad superficial sin más de 2 en el plano x igual a 3, que sería este de aquí. 76 00:06:09,790 --> 00:06:11,410 x igual a 3 sería este de aquí. 77 00:06:12,310 --> 00:06:16,350 Lo he pintado de rojo, pero bueno, luego vais a ver que todo lo referido a él me lo voy a poner de color verde, 78 00:06:16,449 --> 00:06:17,870 por eso he puesto aquí este subrayado verde. 79 00:06:17,870 --> 00:06:33,730 Y dice, empleando el teorema de Gauss, determine el valor de sigma2 para que el campo eléctrico resultante de ambas distribuciones, es decir, hay que sumar las de las dos, en el punto menos 2,00 sea e igual a 10 elevado a 4i, ¿vale? 80 00:06:33,730 --> 00:06:53,370 Este I es muy importante, ¿vale? Entonces, ¿qué quiere decir esto? Que la suma que le total en este punto, ¿vale? Que va a ser la suma del campo generado por el plano que tiene densidad superficial que de carga sigma sub 2 y el plano que tiene densidad de carga superficial super sub 1 tiene que ser 10 elevado a 4I. 81 00:06:53,370 --> 00:07:09,089 Entonces, una vez dicho esto, pues a ver, nosotros no sabemos el signo de sigma sub 2, pero lo podemos deducir simplemente con el valor del e total que nos tiene que salir, porque si nos fijamos, el sigma sub 1 es positivo y eso indica que va hacia afuera. 82 00:07:09,089 --> 00:07:17,629 Apuntan la dirección, el sentido, o sea, la dirección es perpendicular y el sentido es, en este caso, el sentido negativo del eje Y. 83 00:07:17,990 --> 00:07:28,170 ¿Por qué? Como está a la izquierda y tiene que ir en el sentido contrario a donde se encuentra el plano, pues sería el sentido negativo del eje Y. 84 00:07:28,569 --> 00:07:35,949 Entonces, la única forma de que nos quede algo positivo, cuando yo estoy sumando dos cosas, es que este sea positivo y además sea mayor. 85 00:07:35,949 --> 00:07:37,230 porque al final lo que voy a hacer es 86 00:07:37,230 --> 00:07:39,589 uno más el otro o uno menos el otro 87 00:07:39,589 --> 00:07:41,750 la única forma de que me quede positivo 88 00:07:41,750 --> 00:07:42,850 es que este sea positivo 89 00:07:42,850 --> 00:07:44,509 porque si no es imposible que me quede 90 00:07:44,509 --> 00:07:46,810 si estoy sumando dos cosas negativas 91 00:07:46,810 --> 00:07:47,790 pues me va a quedar negativo 92 00:07:47,790 --> 00:07:49,589 entonces la única manera de que esto me quede positivo 93 00:07:49,589 --> 00:07:52,730 como es y más uno va en el sentido negativo del eje x 94 00:07:52,730 --> 00:07:54,329 para que total vaya en el sentido positivo 95 00:07:54,329 --> 00:07:56,370 esos dos también tienen que ir en el sentido positivo 96 00:07:56,370 --> 00:07:57,149 ¿vale? entonces 97 00:07:57,149 --> 00:07:59,310 esto que nos indica como es y más uno 98 00:07:59,310 --> 00:08:00,370 apunta hacia el plano que 99 00:08:00,370 --> 00:08:04,170 que crea 100 00:08:04,170 --> 00:08:05,329 a ver, ¿qué he puesto? 101 00:08:05,949 --> 00:08:09,610 yo creo que aquí está un poco iluso esto, ¿no? 102 00:08:11,110 --> 00:08:18,529 Apunta hacia el plano que crea dicho campo, ¿vale? 103 00:08:19,149 --> 00:08:20,629 Sigma sub 2 tiene que ser negativo. 104 00:08:20,829 --> 00:08:22,149 ¿Por qué? Esto que he indicado aquí. 105 00:08:22,370 --> 00:08:26,790 Porque ahora, si os fijáis, el sigma sub 2 no apunta en el sentido contrario 106 00:08:26,790 --> 00:08:29,209 hacia donde se encuentra el plano, sino apunta hacia el plano. 107 00:08:29,350 --> 00:08:31,350 Eso quiere decir que sigma sub 2 tiene que ser negativo. 108 00:08:31,910 --> 00:08:35,690 Por las reglas que habíamos establecido de los sentidos del campo, 109 00:08:35,950 --> 00:08:41,909 de cómo era el sentido del campo eléctrico generado por un plano infinito, ¿vale? 110 00:08:42,269 --> 00:08:48,570 Una vez que cheque en negativo ya todo va a salir solo, porque en el fondo las fórmulas es que tengo el valor absoluto, 111 00:08:48,570 --> 00:08:53,129 entonces me da un poco igual, entonces ya simplemente decir, ¿vale? Pues el campo sub 1, ¿cuál va a ser? 112 00:08:53,129 --> 00:09:11,309 Pues es sigma sub 1 en valor absoluto entre 2 epsilon sub 0 y va a ser menos y, porque va en el sentido negativo del eje x, más sigma sub 2 entre 2 epsilon sub 0 y, porque tiene que ir por narices en el sentido positivo del eje x, porque si no es imposible que salga. 113 00:09:11,309 --> 00:09:13,210 es igual a 10 elevado a 4 114 00:09:13,210 --> 00:09:15,730 y tacho la 6 y ya me quedo solo con los módulos 115 00:09:15,730 --> 00:09:17,509 saco factor común 116 00:09:17,509 --> 00:09:19,389 en 1 partido de 0 sub 0 117 00:09:19,389 --> 00:09:21,690 por menos 10 elevado a menos 6 118 00:09:21,690 --> 00:09:23,470 que es la densidad de carga 119 00:09:23,470 --> 00:09:24,730 sigma sub 1 120 00:09:24,730 --> 00:09:26,649 este menos 121 00:09:26,649 --> 00:09:28,850 no es de la densidad superficial de carga 122 00:09:28,850 --> 00:09:30,370 es este, por eso no se quita 123 00:09:30,370 --> 00:09:33,309 más sigma sub 2 en valor absoluto 124 00:09:34,230 --> 00:09:35,570 nada, vamos haciendo cálculos 125 00:09:35,570 --> 00:09:37,490 esto que está aquí dividiendo 126 00:09:37,490 --> 00:09:38,710 lo paso multiplicando 127 00:09:38,710 --> 00:09:40,629 hago el cálculo y me sale esto 128 00:09:40,629 --> 00:09:44,490 y luego para despejar y dejar solo esto, pues esto que está aquí restando, lo paso sumando. 129 00:09:45,029 --> 00:09:50,889 Y me sale que la densidad superficial de carga 2 en valor absoluto es 1,18 por 10 a la menos 6 pulmón partido de metro cuadrado. 130 00:09:51,529 --> 00:09:53,649 ¿Cómo tengo que expresarlo? Pues tengo que ponerle el signo menos. 131 00:09:54,389 --> 00:09:56,490 ¿Por qué? Ya he dicho que es negativa. 132 00:09:56,909 --> 00:09:59,250 Si no, no es posible que tengamos un campo para acá. 133 00:09:59,929 --> 00:10:01,470 Y con esto termina el ejercicio.