1
00:00:04,660 --> 00:00:12,500
En este vídeo vamos a aplicar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico creado por una esfera maciza.

2
00:00:13,400 --> 00:00:18,579
Tenemos una esfera, maciza significa que está llena, que por dentro tiene masa,

3
00:00:19,260 --> 00:00:24,500
tiene un radio R mayúscula y una carga total Q.

4
00:00:25,640 --> 00:00:30,120
Esta esfera es uniforme, además de ser maciza, es uniforme,

5
00:00:30,120 --> 00:00:34,719
que significa que esta carga Q está repartida a lo largo de toda la masa.

6
00:00:34,979 --> 00:00:38,439
Es decir, si cojo menos esfera, estoy cogiendo menos carga.

7
00:00:40,140 --> 00:00:42,600
Vamos a empezar escribiéndonos la ley de Gauss.

8
00:00:42,960 --> 00:00:56,960
Ley de Gauss, que recordemos que lo que nos dice es que el flujo a través de una superficie cerrada,

9
00:00:56,960 --> 00:01:14,930
por eso le ponemos la redondita a la integral, y el flujo era campo producto escalar con diferencial de superficie es igual a carga interior entre epsilon cero.

10
00:01:16,769 --> 00:01:20,390
Vamos a fijarnos en nuestro dibujo y vamos a distinguir dos casos.

11
00:01:21,230 --> 00:01:33,519
El primer caso va a ser el caso sencillo en el cual nosotros vamos a estar aquí fuera, en cualquier punto de esta línea de aquí,

12
00:01:33,519 --> 00:01:39,700
siempre vamos a tener el mismo campo porque recordamos que el campo solo depende de la distancia

13
00:01:39,700 --> 00:01:49,780
entonces nos vamos a colocar a esta distancia r y la carga interior va a ser toda la carga de nuestra esfera

14
00:01:49,780 --> 00:01:56,000
que nos está generando el campo. La segunda situación la voy a pintar de color rojo y es si me pongo por ejemplo

15
00:01:56,000 --> 00:02:03,890
en un punto como este. Esto lo podría hacer haciendo un agujero muy pequeño de tal manera que si esta esfera

16
00:02:03,890 --> 00:02:09,449
es muy grande casi no se va a notar y bajando por el agujero y colocándome aquí. El campo eléctrico

17
00:02:09,449 --> 00:02:16,969
que sentiría en esta esfera de aquí solamente estaría provocado por la carga interior. Entonces

18
00:02:16,969 --> 00:02:25,860
la carga interior no será toda la carga de la esfera. Esto no significa que esta parte de aquí

19
00:02:25,860 --> 00:02:31,280
por ejemplo no produzca campo sino que hacia este lado tengo una parte mucho más pequeña que tira

20
00:02:31,280 --> 00:02:36,680
aquí hacia acá y hacia este lado tengo una parte mucho más grande pero más lejana que diría hacia

21
00:02:36,680 --> 00:02:41,879
el otro lado y por esto esta parte digamos exterior se anula y solo tengo que tener en

22
00:02:41,879 --> 00:02:48,580
cuenta la parte interior vamos a ver cómo resolvemos este problema en sus dos partes

23
00:02:48,580 --> 00:02:54,939
la parte exterior y la parte interior en primer lugar vamos a fijarnos en la parte izquierda de

24
00:02:54,939 --> 00:03:00,680
la integral esta parte izquierda no tiene la carga en ningún sitio como no tiene la carga

25
00:03:00,680 --> 00:03:07,840
nos da igual si estamos fuera o estamos dentro, entonces vamos a empezar resolviendo esta parte de aquí

26
00:03:07,840 --> 00:03:15,819
nos vamos a dar cuenta de que en este problema tenemos simetría esférica

27
00:03:15,819 --> 00:03:25,819
¿qué significa que tengo simetría esférica? significa que si yo giro hacia un lado o hacia el otro

28
00:03:25,819 --> 00:03:30,240
mi problema no cambia porque como esto es una esfera

29
00:03:30,240 --> 00:03:33,000
yo veo lo mismo, esté donde esté

30
00:03:33,000 --> 00:03:35,500
siempre y cuando no me aleje, si me alejo sí

31
00:03:35,500 --> 00:03:39,039
si me alejo, si me voy más lejos pues veo la esfera más pequeña

32
00:03:39,039 --> 00:03:41,120
si me voy más cerca veo la esfera más grande

33
00:03:41,120 --> 00:03:44,439
pero si me mantengo a la misma distancia y giro alrededor de la esfera

34
00:03:44,439 --> 00:03:48,360
ni en esta dirección ni en esta dirección voy a notar un cambio

35
00:03:48,360 --> 00:03:50,860
a esto le llamamos simetría esférica

36
00:03:50,860 --> 00:03:54,020
por eso vamos a aplicar dos cosas

37
00:03:54,020 --> 00:04:26,839
Primero vamos a utilizar, usamos coordenadas esféricas, coordenadas esféricas, fijémonos que esto ya lo hemos hecho, hemos puesto aquí R en lugar de poner XYZ y en segundo lugar las superficies que cojamos, superficies, van a ser conchas esféricas o superficies esféricas, conchas esféricas.

38
00:04:26,839 --> 00:04:35,040
Como hemos dicho en otros vídeos, balones, ¿no? Va a ser pues un balón que tendrá la carga dentro.

39
00:04:36,040 --> 00:04:44,439
Muy bien, vamos a empezar entonces con esta parte de aquí. Voy a dibujarlo en la esfera de aquí fuera, ¿vale?

40
00:04:44,480 --> 00:04:53,800
Para aplicar la ley de Gauss recordamos que este vector diferencial de S siempre tiene que ser perpendicular a todos los puntos y hacia afuera del volumen encerrado.

41
00:04:53,800 --> 00:05:00,980
Por ejemplo, si cojo este punto de aquí, el diferencial de S será este de aquí.

42
00:05:02,990 --> 00:05:06,490
¿Cómo será el campo eléctrico que me genera la carga en ese punto de ahí?

43
00:05:06,949 --> 00:05:12,430
Pues será justamente paralelo al diferencial de S.

44
00:05:13,649 --> 00:05:24,269
Como son paralelos, el campo producto escalar con diferencial de S será el producto de sus módulos.

45
00:05:25,110 --> 00:05:31,509
Podríamos poner por el coseno de 0, que es 1, ya no lo pongo, y nos queda solamente el producto de sus módulos.

46
00:05:32,910 --> 00:05:40,930
Ahora bien, como esto tiene, hemos dicho, simetría esférica, este campo solo puede depender de la distancia a la que me encuentro de la carga.

47
00:05:41,470 --> 00:05:53,629
Esto sería un campo que solo depende de la coordenada r, no puede depender ni de cita ni de fi, no puede depender si giro así o así, porque hemos dicho que el problema no cambiaba.

48
00:05:53,629 --> 00:06:07,470
Y aquí me falta el diferencial de S. Por ese motivo, cuando yo he elegido una superficie que es una concha esférica, es decir, un trozo, una esfera que está toda a la misma distancia, este campo de aquí va a ser constante.

49
00:06:08,149 --> 00:06:23,279
Cuando haga esta integral, va a salir fuera de la integral. Esta integral será lo mismo que campo sacado fuera por la integral de DS.

50
00:06:23,279 --> 00:06:32,600
esta integral de ds significa que vamos a sumar todos los trocitos alrededor de toda la esfera

51
00:06:32,600 --> 00:06:34,379
es decir es la superficie de la esfera

52
00:06:34,379 --> 00:06:39,019
esta parte izquierda de la integral por lo tanto vamos a repetir aquí

53
00:06:39,019 --> 00:06:46,569
el flujo de campo va a ser el propio campo

54
00:06:46,569 --> 00:06:50,269
que no sabemos cuánto vale es lo que estamos intentando determinar

55
00:06:50,269 --> 00:06:56,170
por la superficie de la esfera que sabemos que es 4pi r al cuadrado

56
00:06:56,170 --> 00:06:58,389
esta r es esta r de color verde

57
00:06:58,389 --> 00:07:01,230
o está R de color rojo, depende del caso en el que estemos

58
00:07:01,230 --> 00:07:04,029
Hemos hecho la parte izquierda de la integral

59
00:07:04,029 --> 00:07:07,209
Vamos a resolver ahora la parte derecha de la integral

60
00:07:07,209 --> 00:07:11,110
pero la parte derecha va a depender de si estoy en el caso verde

61
00:07:11,110 --> 00:07:12,750
o si estoy en el caso rojo

62
00:07:12,750 --> 00:07:16,129
Vamos a hacer en primer lugar el caso verde

63
00:07:16,129 --> 00:07:27,240
¿Qué ocurre si R es mayor que el radio de nuestra esfera?

64
00:07:27,240 --> 00:07:31,000
entonces la carga interior es obviamente toda la carga de la esfera

65
00:07:31,000 --> 00:07:35,560
como es toda la carga de la esfera simplemente tengo que poner aquí una q

66
00:07:35,560 --> 00:07:39,220
y lo que me queda es esta parte izquierda

67
00:07:39,220 --> 00:07:44,120
campo por 4pi r cuadrado

68
00:07:44,120 --> 00:07:48,079
va a ser igual a carga interior que hemos dicho que era q

69
00:07:48,079 --> 00:07:51,620
entre epsilon sub 0

70
00:07:51,620 --> 00:07:55,259
si ahora despejamos el módulo del campo

71
00:07:55,259 --> 00:07:59,639
es 1 sobre 4 pi

72
00:07:59,639 --> 00:08:04,420
epsilon 0 carga entre R2

73
00:08:04,420 --> 00:08:08,240
observemos que esta fórmula es exactamente igual al campo

74
00:08:08,240 --> 00:08:12,180
que creaba una carga puntual, esto se debe a que visto

75
00:08:12,180 --> 00:08:16,180
desde fuera esto podría asemejarse a una carga positiva

76
00:08:16,180 --> 00:08:19,800
puesta en el centro o negativa, si esta Q es negativa pues esta Q es negativa

77
00:08:19,800 --> 00:08:23,339
y tenemos exactamente lo mismo, podríamos sustituir esta parte de aquí

78
00:08:23,339 --> 00:08:28,100
por K y recuperaríamos la fórmula general

79
00:08:28,100 --> 00:08:31,540
del campo. Fijémonos que solo hemos encontrado el módulo. ¿Por qué?

80
00:08:31,899 --> 00:08:36,100
Porque ya hemos dibujado aquí el vector y hemos dicho que era un vector paralelo a este

81
00:08:36,100 --> 00:08:40,200
diferencial de S. Como es paralelo a este diferencial de S, será un vector

82
00:08:40,200 --> 00:08:44,179
radial y hacia afuera. Si yo quisiera poner el vector, simplemente

83
00:08:44,179 --> 00:08:47,860
debería añadir a toda la fórmula

84
00:08:47,860 --> 00:08:52,679
4pi, epsilon 0, Q, R2

85
00:08:52,679 --> 00:09:00,480
y ahora tenemos que añadir dirección radial y hacia afuera, que es este vector R gorrito que ponemos siempre.

86
00:09:01,460 --> 00:09:12,580
Vamos a ir al caso rojo. El caso rojo es cuando R es más pequeña que R grande, es decir, cuando estamos dentro de la esfera.

87
00:09:13,159 --> 00:09:18,840
¿Qué ocurre? Que ahora la carga interior no es toda la carga, sino es solamente una parte.

88
00:09:18,840 --> 00:09:25,700
Para estos casos nos vamos a definir la densidad de carga que se escribe con esta letra ρ

89
00:09:25,700 --> 00:09:33,940
Y esta letra ρ no es más que la carga total dividida entre el volumen de la esfera

90
00:09:33,940 --> 00:09:42,460
Pero además esto coincide con la carga interior dividido entre el volumen interior

91
00:09:42,460 --> 00:09:47,120
es decir, si cojo menos carga, o sea, perdón, menos esfera

92
00:09:47,120 --> 00:09:50,860
voy a tener menos carga de una forma proporcional al volumen

93
00:09:50,860 --> 00:09:56,279
de aquí, si sustituimos la V por el volumen

94
00:09:56,279 --> 00:10:02,240
observaremos que esto es carga total entre 4 tercios de pi

95
00:10:02,240 --> 00:10:05,139
por el radio de la esfera al cubo

96
00:10:05,139 --> 00:10:06,659
esto es el volumen total

97
00:10:06,659 --> 00:10:09,539
es igual a la carga interior

98
00:10:09,539 --> 00:10:21,039
y ahora quiero el volumen de la esfera roja, que será 4 tercios pi r cubo, r pequeña.

99
00:10:21,480 --> 00:10:25,539
Esta es r grande porque es la esfera completa, esta es r pequeña porque es la esfera pequeña.

100
00:10:26,740 --> 00:10:30,899
4 tercios de pi se puede ir y podemos despejar esta carga interior,

101
00:10:30,899 --> 00:10:44,440
carga interior que será pasando este R cubo multiplicando R sobre R elevado a 3 por la carga total.

102
00:10:45,200 --> 00:10:52,059
Pues bien, ahora podemos sustituir esto en la parte izquierda, esto en la carga interior, me falta el epsilon sub 0 también

103
00:10:52,059 --> 00:11:12,820
y tendremos que el campo por 4 pi r2 es igual a la carga interior, que es este término de aquí, r sobre r elevado a 3 por q y dividido entre épsilon sub cero.

104
00:11:12,820 --> 00:11:25,279
Si aquí despejamos el campo, observaremos que el campo va a ser este 4pi que pasa dividiendo con la r al cuadrado

105
00:11:25,279 --> 00:11:34,620
4pi epsilon 0, 1 sobre r al cuadrado, que es este r al cuadrado de aquí

106
00:11:34,620 --> 00:11:39,700
r al cubo entre r al cubo y por q

107
00:11:39,700 --> 00:11:44,519
observemos que esta r al cuadrado con este r al cubo simplifica

108
00:11:44,519 --> 00:11:49,539
y nos queda 1 sobre 4pi epsilon sub 0

109
00:11:49,539 --> 00:11:56,580
y nos queda carga por r entre r al cubo

110
00:11:56,580 --> 00:12:02,000
si tuviésemos el campo vectorial añadiríamos el r al gorrito

111
00:12:02,000 --> 00:12:05,580
vamos a analizar esta expresión

112
00:12:05,580 --> 00:12:08,500
esto nos está diciendo que dentro de la esfera

113
00:12:08,500 --> 00:12:12,399
si r pequeña se hace pequeño, es decir, si me acerco al centro de la esfera

114
00:12:12,399 --> 00:12:16,179
como va habiendo menos carga, esto se va haciendo cada vez más pequeño

115
00:12:16,179 --> 00:12:20,679
sin embargo si estoy fuera de la esfera, como la carga es todo el rato la misma

116
00:12:20,679 --> 00:12:24,379
vamos a ir reduciendo también el campo a partir de un valor máximo

117
00:12:24,379 --> 00:12:27,960
que coincidirá con cuando esté sobre la superficie de esta esfera

118
00:12:27,960 --> 00:12:34,639
si esto lo representamos en una gráfica, esto es r

119
00:12:34,639 --> 00:12:41,230
y esto es el módulo del campo, como es el módulo

120
00:12:41,230 --> 00:12:48,250
siempre va a ser positivo vamos a tener bueno vamos a tener un punto que va a ser el punto

121
00:12:49,470 --> 00:12:57,190
donde estamos sobre la superficie de la esfera y entonces vamos a tener para radios menores

122
00:12:57,190 --> 00:13:03,470
tendremos esta ecuación de aquí vale si radios y r pequeña es cero todo esto de aquí es cero

123
00:13:03,470 --> 00:13:08,470
por lo tanto partimos de aquí y en el punto R hemos dicho que teníamos este máximo

124
00:13:08,470 --> 00:13:13,970
entonces esto va a ser lineal, fijémonos que va como R

125
00:13:13,970 --> 00:13:17,710
porque todo lo demás, Q es constante, R cubo es constante, R grande es constante

126
00:13:17,710 --> 00:13:21,490
y todo esto es constante, esto va proporcional a R

127
00:13:21,490 --> 00:13:27,870
más allá del radio empezamos a decaer como 1 sobre R cuadrado

128
00:13:27,870 --> 00:13:34,779
1 sobre R cuadrado tiene una forma como así, 1 sobre R cuadrado

129
00:13:34,779 --> 00:13:43,440
y esto sería la representación de esto que nos ha salido como consecuencia de la utilización de la ley de Gauss

130
00:13:43,440 --> 00:13:48,279
y así es como calcularemos el campo creado por una esfera maciza