1
00:00:07,280 --> 00:00:26,000
En este ejercicio número 3, siguiendo la resolución de este conjunto de ejercicios, nos dicen que en una caja hay tres bolas negras y cuatro bolas que son de color blanco.

2
00:00:28,980 --> 00:00:33,140
Extraemos al azar dos bolas a la vez.

3
00:00:33,140 --> 00:00:38,979
En el caso de que las dos bolas sean del mismo color, se obtienen tres puntos.

4
00:00:42,340 --> 00:00:50,520
Y en el caso de que las bolas sean de distinto color, en caso contrario, se obtienen menos 1,5 puntos.

5
00:00:52,000 --> 00:00:58,359
Se nos pide que calculemos la esperanza matemática de la ganancia de puntos.

6
00:00:58,359 --> 00:01:05,879
Este es un problema de cálculo de probabilidades con el añadido del cálculo de la experiencia matemática

7
00:01:05,879 --> 00:01:11,540
que es una media ponderada con los pesos de las probabilidades

8
00:01:11,540 --> 00:01:16,420
Para resolverlo vamos a pasar a la página siguiente

9
00:01:16,420 --> 00:01:24,319
donde vamos a hacer un diagrama de árbol de probabilidades

10
00:01:24,319 --> 00:01:41,140
donde en el primer nivel del árbol, es un árbol binario, vamos a representar los posibles resultados de lo que podríamos llamar primera extracción de la bola.

11
00:01:42,239 --> 00:01:47,299
Y en el segundo nivel los resultados de la segunda extracción de la bola.

12
00:01:48,019 --> 00:01:55,260
Cabe decir que el hecho de sacar dos bolas a la vez, o sea, la extracción de dos bolas a la vez,

13
00:01:55,400 --> 00:02:01,900
es equivalente a pensar que extraemos una bola, primero miramos el resultado,

14
00:02:02,120 --> 00:02:05,760
y en lugar de devolverla a la caja, la apartamos.

15
00:02:06,359 --> 00:02:09,099
Luego revolvemos bien la caja y extraemos la segunda bola.

16
00:02:09,099 --> 00:02:16,879
Es decir, son dos extracciones sucesivas sin reemplazar la primera bola que sacamos.

17
00:02:17,300 --> 00:02:24,719
Son dos experiencias dependientes. El resultado de la segunda depende del resultado de la primera.

18
00:02:26,580 --> 00:02:30,960
El espacio de probabilidad se va a modificar de la primera extracción a la segunda.

19
00:02:33,300 --> 00:02:40,400
Puede pasar que saquemos una bola blanca en la primera extracción o una bola negra.

20
00:02:40,400 --> 00:03:00,919
La probabilidad de sacar una bola blanca, como hay cuatro bolas blancas y tres bolas negras, la probabilidad de sacar una bola blanca es de siete en total, la regla de Laplace, pues cuatro, cuatro bolas blancas.

21
00:03:01,620 --> 00:03:07,379
Luego, la de sacar una bola negra es el suceso contrario, es tres séptimos.

22
00:03:07,379 --> 00:03:19,300
Bien, si en el supuesto de que haya salido una bola blanca en la primera extracción, en la segunda, ya solo quedan 6 bolas en la caja.

23
00:03:19,379 --> 00:03:25,180
De esas 6, como hemos sacado ya una bola blanca, nos quedan solo 3 para sacar.

24
00:03:25,879 --> 00:03:32,620
Luego, al principio de la plaza, otra vez lo aplicamos, nos queda 3, que la probabilidad en ese caso es 3 sextos.

25
00:03:32,620 --> 00:03:37,759
y la probabilidad de que salga una bola negra

26
00:03:37,759 --> 00:03:39,159
habiendo salido blanca la primera

27
00:03:39,159 --> 00:03:43,080
pues era otra vez 3 sextos

28
00:03:43,080 --> 00:03:47,180
el suceso contrario al que primero hemos comentado

29
00:03:47,180 --> 00:03:51,240
en el caso de que hayamos sacado una bola negra

30
00:03:51,240 --> 00:03:53,060
en la primera extracción

31
00:03:53,060 --> 00:03:56,319
quedan también 6 bolas en la caja

32
00:03:56,319 --> 00:04:01,240
y de esas 6 nos quedarán 4 de color negro

33
00:04:01,240 --> 00:04:09,400
Cuatro de color blanco, perdón. Por lo tanto, la probabilidad de sacar blanca en la segunda extracción es cuatro sextos.

34
00:04:09,819 --> 00:04:14,759
Y la de sacar negra en la segunda extracción, pues era dos sextos.

35
00:04:16,779 --> 00:04:23,759
Una manera de representar esto de forma simbólica es la siguiente.

36
00:04:24,759 --> 00:04:29,139
Vamos a ver. Primero vamos a recoger los frutos del árbol.

37
00:04:29,139 --> 00:04:48,019
Esto es blanca la primera, blanca la segunda, blanca la primera, negra la segunda, negra la primera y blanca la segunda, negra la primera, negra la segunda.

38
00:04:48,019 --> 00:05:04,819
Una forma de decir esto es también blanca la primera y blanca la segunda, con el lenguaje simbólico, asociando los sucesos a los subconjuntos del álgebra de sucesos.

39
00:05:05,959 --> 00:05:20,639
Blanca la primera y negra la segunda. Negra la primera y blanca la segunda. Es una forma de expresarlo. Negra la primera y negra la segunda.

40
00:05:21,480 --> 00:05:23,899
Bueno, pues ¿esto a qué será igual?

41
00:05:23,899 --> 00:05:33,560
Por el principio de multiplicación de los factores de probabilidad, siguiendo las ramas del árbol,

42
00:05:34,379 --> 00:05:40,060
seguiendo esta rama, vemos que esto es 4 séptimos por 3 sextos.

43
00:05:40,480 --> 00:05:43,800
4 séptimos por 3 sextos. Lo podríamos poner directamente.

44
00:05:44,500 --> 00:05:48,060
4 séptimos por 3 sextos. ¿Qué significa esto?

45
00:05:48,060 --> 00:06:06,680
De acuerdo con la probabilidad condicionada, esto es la probabilidad de sacar bola blanca en la primera extracción por la probabilidad que, habiendo sacado bola blanca en la primera extracción, salga también blanca en la segunda.

46
00:06:08,079 --> 00:06:13,220
Esto es 4 séptimos por 3 sextos.

47
00:06:13,220 --> 00:06:16,259
bien, pues si ahora

48
00:06:16,259 --> 00:06:18,079
vamos siguiendo

49
00:06:18,079 --> 00:06:20,160
esto nos interesa

50
00:06:20,160 --> 00:06:21,800
porque son las dos del mismo color

51
00:06:21,800 --> 00:06:23,860
la otra que nos interesa es

52
00:06:23,860 --> 00:06:25,800
es aquí

53
00:06:25,800 --> 00:06:28,259
perdón, es que aquí me falta poner

54
00:06:28,259 --> 00:06:30,980
la probabilidad

55
00:06:30,980 --> 00:06:31,360
¿verdad?

56
00:06:32,920 --> 00:06:34,519
falta poner la probabilidad

57
00:06:34,519 --> 00:06:38,439
probabilidad de eso

58
00:06:38,439 --> 00:06:40,339
vale, aquí igual

59
00:06:40,339 --> 00:06:42,740
probabilidad de eso

60
00:06:42,740 --> 00:06:46,500
me he dejado de poner

61
00:06:46,500 --> 00:06:54,410
las probabilidades, y ahí obtenemos la probabilidad de eso

62
00:06:54,410 --> 00:06:58,610
y la probabilidad de esto otro. Aquí, ¿qué tenemos?

63
00:06:59,069 --> 00:07:02,569
Pues esto es la probabilidad que sea negra la primera

64
00:07:02,569 --> 00:07:06,449
por la probabilidad que siendo negra la primera

65
00:07:06,449 --> 00:07:10,370
obtengamos también negra la segunda. Pues siguiendo

66
00:07:10,370 --> 00:07:14,870
este camino, y multiplicando los coeficientes de probabilidad

67
00:07:14,870 --> 00:07:18,490
tenemos tres séptimos por dos sextos

68
00:07:18,490 --> 00:07:24,529
voy a marcarlo con un color

69
00:07:24,529 --> 00:07:27,589
para que nadie se pierda

70
00:07:27,589 --> 00:07:31,589
y el otro también lo voy a marcar con este color

71
00:07:31,589 --> 00:07:33,230
para que nadie se pierda

72
00:07:33,230 --> 00:07:36,490
bueno, entonces

73
00:07:36,490 --> 00:07:41,629
si resolvemos, bueno, si acabamos de calcular

74
00:07:41,629 --> 00:07:44,110
lo que da eso, vemos que

75
00:07:44,110 --> 00:07:46,850
3 partido por 6 es un medio

76
00:07:46,850 --> 00:07:50,410
medio, 4 partido por 2 será 2

77
00:07:50,410 --> 00:07:55,529
Esto nos queda dos séptimos.

78
00:07:57,449 --> 00:08:03,370
Y esto nos quedará igual a tres por dos es seis, al dividir por seis nos queda un séptimo.

79
00:08:07,209 --> 00:08:15,889
Dos séptimos, probabilidad de que las dos sean blancas, y un séptimo es la probabilidad de que las dos sean negras.

80
00:08:15,889 --> 00:08:38,639
Entonces, voy a pasar a la página siguiente. Podemos decir que la probabilidad que las dos bolas sean del mismo color, o apunto así entre comillas este suceso compuesto,

81
00:08:38,639 --> 00:08:56,309
pues es la probabilidad de obtener blanca la primera y blanca la segunda, o bien la probabilidad de obtener negra la primera y negra la segunda.

82
00:08:56,309 --> 00:09:05,990
Como estos dos sucesos son incompatibles, su intersección es nula

83
00:09:05,990 --> 00:09:11,889
Pues esto será igual a la probabilidad, lo escribo formalmente antes de operar

84
00:09:11,889 --> 00:09:18,970
Podríamos ya directamente operar, pero lo escribo formalmente porque me parece de un interés didáctico también

85
00:09:18,970 --> 00:09:26,429
Más la probabilidad de obtener negra la primera y negra la segunda

86
00:09:26,429 --> 00:09:42,370
Es decir, esto es como antes ya hemos visto, que esto es la probabilidad de obtener blanca a la primera, por la probabilidad de, habiendo obtenido blanca a la primera, obtener blanca a la segunda, más la probabilidad de obtener negra a la primera.

87
00:09:42,370 --> 00:09:47,029
por la probabilidad de obtener, habiendo obtenido negra la primera

88
00:09:47,029 --> 00:09:51,450
obtener negra la segunda, esto ya hemos visto que es igual

89
00:09:51,450 --> 00:09:54,409
voy a mirar lo que no me acuerdo

90
00:09:54,409 --> 00:09:56,950
esto es dos séptimos y un séptimo, ¿verdad?

91
00:09:57,590 --> 00:10:00,690
esto es dos séptimos y esto es un séptimo

92
00:10:00,690 --> 00:10:05,110
esto es lo que habíamos marcado para que nadie se pierda

93
00:10:05,110 --> 00:10:07,190
de color amarillo, dos séptimos

94
00:10:07,190 --> 00:10:14,169
Y esto es lo que habíamos subrayado de color rosa.

95
00:10:14,730 --> 00:10:22,169
Bueno, pues, naturalmente, dos séptimos más un séptimo son tres séptimos.

96
00:10:22,809 --> 00:10:26,049
Esta es la probabilidad de obtener las dos bolas del mismo color.

97
00:10:28,110 --> 00:10:34,879
Las dos bolas del mismo color, tres séptimos.

98
00:10:35,779 --> 00:10:38,799
Entonces, la probabilidad de obtener el suceso contrario,

99
00:10:38,799 --> 00:11:00,500
Suceso contrario. Las dos bolas de distinto color, las bolas de distinto color, las dos bolas, las dos bolas de distinto color, pues es el suceso contrario del primero.

100
00:11:01,879 --> 00:11:07,559
Como es tres séptimos, la probabilidad de obtener las dos bolas de colores diferentes es cuatro séptimos.

101
00:11:07,559 --> 00:11:21,200
séptimos. Voy a marcarlo en color azul. Bueno, pues ahora vamos a pasar otra vez de pantalla

102
00:11:21,200 --> 00:11:32,740
y nos ponemos a calcular ya la esperanza matemática. La esperanza matemática de este juego son

103
00:11:32,740 --> 00:11:56,539
Estos más dos puntos que obtenemos en el caso de que las dos bolas sean del mismo color, cuya probabilidad es tres séptimos, fijaros que es simplemente una media ponderada, más menos 1,5 por la probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color,

104
00:11:56,539 --> 00:12:19,360
Por la probabilidad de que sean de distinto color, digo, 4 séptimos. Haciendo este cálculo nos queda 3 por 2 es 6, 6 séptimos, menos, más por menos será menos, 1,5 lo podemos poner como 3 medios por 4 séptimos.

105
00:12:19,360 --> 00:12:24,480
Como esto es 14, 7 por 2 es 14

106
00:12:24,480 --> 00:12:29,100
Nos queda 6 séptimos menos 12 partido por 14

107
00:12:29,100 --> 00:12:33,259
Y reduciendo a común denominador

108
00:12:33,259 --> 00:12:36,100
6 séptimos es lo mismo que 12 catorceavos

109
00:12:36,100 --> 00:12:40,899
Es decir, 12 catorceavos menos 12 catorceavos

110
00:12:40,899 --> 00:12:43,620
Nos queda esperanza matemática igual a cero

111
00:12:43,620 --> 00:12:47,279
Nos dice esto que este juego está equilibrado

112
00:12:47,279 --> 00:12:52,740
porque no hay ventaja para nadie, y aquí termina el ejercicio.