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00:00:12,269 --> 00:00:17,489
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,489 --> 00:00:21,890
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,890 --> 00:00:26,789
de la unidad PR4 dedicada a las variables aleadoras continuas y a la distribución normal.

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00:00:31,129 --> 00:00:34,929
En la videoclase de hoy resolveremos el ejercicio propuesto 12.

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00:00:47,750 --> 00:00:51,450
En este ejercicio se nos pide considerar una máquina que produce botones, de los cuales

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00:00:51,450 --> 00:00:53,310
el 10% resultan defectuosos.

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00:00:54,270 --> 00:01:03,350
Tomando una muestra de 400 botones al azar, se nos pide calcular la probabilidad de que en la muestra, en primer lugar, haya como mucho 30 botones defectuosos.

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00:01:03,850 --> 00:01:10,230
Si pensamos en el tipo de distribución de probabilidad subyacente, pensamos en que se trata de una distribución binomial.

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00:01:10,890 --> 00:01:20,609
Y x, la variable que cuenta el número de botones defectuosos en una muestra de n igual a 400 botones, sigue una distribución binomial con n igual a 400, como acabo de decir,

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00:01:20,609 --> 00:01:25,129
y probabilidad de éxito igual al 10%, que es 0,1.

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00:01:26,430 --> 00:01:31,250
Y se nos pide, en este caso, calcular la probabilidad de que x sea menor o igual que 30,

12
00:01:31,390 --> 00:01:33,609
que haya como mucho 30 botones defectuosos.

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00:01:34,409 --> 00:01:39,489
Eso supondría calcular la probabilidad de que x fuera igual a 0, igual a 1, igual a 2, etc., etc., hasta 30,

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00:01:39,629 --> 00:01:41,689
y sumar esas 31 probabilidades.

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00:01:42,209 --> 00:01:44,469
Puede hacerse, pero resulta muy laborioso.

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00:01:44,469 --> 00:01:53,590
Y nos preguntamos por cuál es la posibilidad de transformar ese cálculo laborioso en uno más sencillo utilizando la distribución normal.

17
00:01:54,409 --> 00:02:07,849
Para hacer la aproximación lo que vamos a hacer es en primer lugar calcular la media de la distribución binomial n por p que es 40 y la desviación típica, la red cuadrada de n por p por 1 menos p que resulta ser 6.

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00:02:08,729 --> 00:02:19,050
Puesto que el número de repeticiones es suficientemente grande, el teorema de De Majo en Laplace nos habla de n tendiendo infinito, 400 pensamos que es suficientemente grande,

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00:02:19,810 --> 00:02:29,990
lo que vamos a hacer es no considerar esta variable aleatoria x, sino una variable aleatoria y normal con media 40 y desviación típica 6.

20
00:02:29,990 --> 00:02:39,610
Vamos a utilizar la corrección de Yates y entonces, puesto que se nos pide calcular la probabilidad de que X, mi variable binomial, sea menor o igual que 30

21
00:02:39,610 --> 00:02:49,710
lo que voy a hacer es hacer el cálculo con Y, distribución normal, pero en este caso voy a calcular la probabilidad de que Y sea menor o igual que 30 más 0,5

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00:02:49,710 --> 00:02:57,030
para incluir el 30. Lo primero que voy a hacer es, bien, Y sigue una distribución normal pero no es estándar

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00:02:57,030 --> 00:03:01,270
Para estandarizar voy a restar la media y dividir entre la desviación típica.

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00:03:01,550 --> 00:03:06,930
La media, la desviación típica de la normal, que coincide con la media, la desviación típica de la binomial, por supuesto.

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00:03:07,969 --> 00:03:15,370
Así pues, lo que tengo es que calcular la probabilidad de que z, variable normal estándar, sea menor o igual que menos 1,58.

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00:03:16,669 --> 00:03:19,650
Tengo la cola de la izquierda de una abscisa negativa.

27
00:03:20,150 --> 00:03:23,590
Así que voy a hacer uso de la simetría de la función de densidad de probabilidad

28
00:03:23,590 --> 00:03:29,610
y voy a calcular esta probabilidad como la de que z sea mayor o igual que 1,58,

29
00:03:29,750 --> 00:03:31,729
mayor o igual que el simétrico, que sería positivo.

30
00:03:32,569 --> 00:03:34,830
Ahora tengo la probabilidad de una cola de la derecha.

31
00:03:35,129 --> 00:03:37,449
Para transformarlo en la probabilidad de una cola de la izquierda,

32
00:03:37,550 --> 00:03:39,849
tengo que hacer uso del suceso contrario.

33
00:03:39,849 --> 00:03:44,449
Y esta probabilidad es 1 menos la probabilidad del suceso contrario a este,

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00:03:45,150 --> 00:03:48,169
será la probabilidad de que z sea menor que 1,58.

35
00:03:48,830 --> 00:03:58,349
Esta probabilidad la puedo leer en la tabla de la distribución normal, es 0,9429, y la probabilidad pedida resulta ser 0,0571.

36
00:03:59,129 --> 00:04:06,389
Si hiciéramos el cálculo con la distribución binomial, es normal que encontráramos un valor muy similar a este,

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00:04:06,530 --> 00:04:10,169
puesto que la aproximación es razonable, aunque desde luego no sería idéntico.

38
00:04:10,169 --> 00:04:20,610
En el apartado B se nos pide hallar la probabilidad de que en esa muestra de 400 botones haya entre 25 y 45 botones defectuosos.

39
00:04:21,170 --> 00:04:28,350
Esta discusión acerca de la distribución normal equivalente a este binomial no la vamos a repetir.

40
00:04:28,769 --> 00:04:39,050
Sencillamente vamos a calcular esa probabilidad de que X esté comprendido entre 25 y 45 utilizando la corrección de Yates.

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00:04:39,050 --> 00:04:44,529
como la probabilidad de que y, la distribución normal, la variable de la teoría, perdón, que sigue la distribución normal,

42
00:04:45,209 --> 00:04:52,449
esté comprendido entre 25 menos 0,5 para incluirlo y 45 más 0,5 para incluirlo.

43
00:04:53,269 --> 00:05:00,250
Esta y sigue una distribución normal pero no estándar, así que vamos a ahora restar la media

44
00:05:00,250 --> 00:05:05,250
y dividir entre la desviación típica para que tengamos una distribución normal estándar aquí.

45
00:05:05,250 --> 00:05:19,230
Y esta probabilidad con la binomial equivale a esta probabilidad con una distribución normal, que equivale a esta ya, con una distribución normal estándar, de que z esté comprendido entre menos 2,58 y 0,92.

46
00:05:20,089 --> 00:05:31,790
Se va a calcular cómo la probabilidad de que z sea menor o igual que este extremo superior, 0,92, menos la probabilidad de que z sea menor o igual que este extremo inferior, menos 2,58.

47
00:05:32,509 --> 00:05:39,569
Esta probabilidad de que z sea menor que un número positivo, la cola de la izquierda de una abscisa positiva, se podrá leer directamente en la tabla.

48
00:05:40,310 --> 00:05:45,629
Aquí tengo la cola de la izquierda, probabilidad menor o igual que una abscisa negativa.

49
00:05:46,410 --> 00:05:50,970
Lo que voy a hacer es uso, en primer lugar, de la simetría de la función de densidad de probabilidad.

50
00:05:50,970 --> 00:05:57,189
Esta probabilidad es igual a la probabilidad de que z sea mayor o igual que el simétrico positivo, 2,58.

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00:05:57,189 --> 00:06:06,310
y puesto que tengo una cola de la derecha, tengo que hacer uso del suceso contrario para escribirla como 1 menos la probabilidad del suceso contrario a este,

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00:06:06,910 --> 00:06:11,689
que es la probabilidad de que z sea menor que 2,58. Cuidado con estos corchetes que he puesto aquí.

53
00:06:13,269 --> 00:06:21,709
Esta probabilidad, z menor que 0,92, dije que se podía leer directamente en la tabla. Esta otra también, probabilidad de la cola de la izquierda, z menor que un valor positivo.

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00:06:21,709 --> 00:06:32,750
La primera resulta ser 0,8212, la segunda 0,9951 y, haciéndolo a operación, la probabilidad pedida resulta ser 0,8163.

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00:06:35,540 --> 00:06:41,120
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:06:41,860 --> 00:06:45,959
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:06:46,759 --> 00:06:51,540
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:06:51,540 --> 00:06:53,519
Un saludo y hasta pronto.

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00:06:53,980 --> 00:06:54,379
¡Gracias!