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En este nuevo vídeo sobre progresiones aritméticas lo que vamos a hacer es resolver un problema de aplicación directa de la fórmula de la suma

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y el problema lo que nos pide es hallar la suma de los 25 primeros términos de una progresión aritmética

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de la cual nos dan el término general y cuyo término general es a sub n igual a 3n más 5

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¿Qué tenemos que hacer? Bueno pues tenemos que usar la fórmula de la suma S sub n igual a sub 1 más A sub n

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00:00:29,000 --> 00:00:36,000
dividido entre 2 y multiplicado por n pero para el caso de n igual a 25 por lo tanto lo que tenemos que calcular es

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00:00:36,000 --> 00:00:42,000
S sub 25 que será después sumar el primer término con el que está en el lugar vigésimo quinto

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00:00:42,000 --> 00:00:49,000
sumaremos los dos términos, dividiremos entre 2 y multiplicaremos por 25, esto es lo que tenemos que hacer

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00:00:49,000 --> 00:00:57,000
Claro, necesitamos A sub 1 y necesitamos A sub 25, tenemos que calcular esos dos términos de la progresión, el primero y el último

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00:00:57,000 --> 00:01:02,000
¿Para obtenerlo pues qué hacemos? Pues usamos la fórmula del término general simplemente sustituyendo

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00:01:02,000 --> 00:01:10,000
así que para calcular A sub 1 por ejemplo tenemos ahí A sub n igual a 3n más 5 pues sustituiríamos n por 1

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00:01:10,000 --> 00:01:21,000
y tendríamos que A sub 1 es igual a 3 por 1 más 5, 3 por 1 es 3 más 5 son 8, este es el primer término de la progresión

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00:01:21,000 --> 00:01:30,000
de la misma manera necesitaremos calcular el término que está en el lugar 25, sería A sub 25 y sería pues 3 por 25 más 5

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00:01:30,000 --> 00:01:39,000
3 por 25 son 75 más 5 nos daría un total de 80, este es el último término de la progresión aritmética que tenemos que sumar

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00:01:39,000 --> 00:01:48,000
Una vez que tenemos esto y ya tenemos ahí además la fórmula, ¿qué hacemos? Bueno, pues vamos a hacer un mix con todos estos datos

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00:01:48,000 --> 00:02:00,000
y lo que nos queda es S sub 25 sería igual a A sub 1 que en este caso es 8 más A sub 25 que en este caso podemos calcular es 80

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00:02:00,000 --> 00:02:11,000
dividimos entre 2 y multiplicamos por 25 que es el número de términos, si desarrollamos un poquito vemos que 80 más 8 serían 88

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00:02:11,000 --> 00:02:21,000
dividido entre 2 pues serían 44, esto es lo que tenemos que multiplicar por 25 y esto nos da un total de 1100

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00:02:21,000 --> 00:02:29,000
de manera que la suma de todos los términos de esa progresión aritmética, bueno de todos los términos del primero al que está en el lugar 25

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00:02:29,000 --> 00:02:36,000
es decir el vigésimo segundo, pues nos da un total de 1100, esta sería la solución del problema

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00:02:36,000 --> 00:02:45,000
Vamos a ver un poco cuál sería la alternativa, ¿no? Hacer la suma de estos 25 primeros términos con la fórmula de la suma

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00:02:45,000 --> 00:02:53,000
¿Cuál sería la alternativa? Pues tendríamos que sumar término a término, es decir, tendríamos que calcular cada uno de los 25 términos de la progresión

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00:02:53,000 --> 00:03:00,000
y luego ir sumándolos uno a uno, ¿cómo haríamos esto? Bueno, vamos a ponerlos aquí en una pequeña tabla, si aquí tenemos en la primera columna

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00:03:00,000 --> 00:03:09,000
el lugar que ocupa cada término y en la segunda columna tenemos cada uno de los términos de la progresión, pues tendríamos que ir sumando

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00:03:09,000 --> 00:03:18,000
todos esos términos que tenemos ahí, es decir, el 8 con el 11 con el 14 con el 17 con el 20 sumarlos todos, del primero hasta el último uno a uno

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00:03:18,000 --> 00:03:27,000
y si lo sumáramos, pues nos darían 1100, pero hay que darse cuenta que tendríamos que sumarlo uno a uno para calcular cuál es la suma de los 25 primeros términos

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Sin embargo, con esta fórmula que hemos hecho, lo hemos sumado del tirón. Está claro cuál es la comodidad de usar la fórmula para sumar estos términos de una progresión aritmética

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y además está claro que, siendo 25, todavía quizás sea un problema asequible hacerlo uno a uno, pero claro, si fueran 1000 o fueran un millón

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así que creo que queda bastante claro cuál es la utilidad de esta fórmula y por qué la usamos y cuál es la comodidad de usar esta fórmula

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en vez de sumar todos los términos de una progresión aritmética, pues así a pelo, ¿no?