1
00:00:00,240 --> 00:00:10,380
Bueno, vamos a ver ahora una aplicación de lo que hemos visto de las actualizaciones de polinomios, que son las fracciones algebraicas, la simplificación de fracciones algebraicas.

2
00:00:10,380 --> 00:00:19,719
Entonces, una fracción algebraica es una fracción que tiene algún polinomio en el numerador y en el denominador, ¿vale?

3
00:00:20,339 --> 00:00:25,660
Entonces, vamos a ver un ejemplo para que veáis, para que se vea lo que hemos visto.

4
00:00:25,660 --> 00:00:38,179
Entonces, por ejemplo, una fracción algebraica podría ser esta de aquí, x por x más 1 partido x más 1 al cuadrado por x menos 1.

5
00:00:39,020 --> 00:00:47,619
Entonces, bueno, igual alguno ya se ha dado cuenta que en el numerador y en el denominador tenemos algunos factores en común.

6
00:00:47,619 --> 00:01:00,420
¿Vale? En el numerador, si os fijáis, aquí tenemos x más 1, en el denominador aquí tenemos x más 1 al cuadrado. ¿Vale? De manera que hay un factor x más 1 que está repetido.

7
00:01:00,759 --> 00:01:11,439
Está tanto arriba como abajo, en el numerador y en el denominador. Y lo mismo que cuando simplificábamos fracciones, por ejemplo, cuando simplificábamos 6 novenos,

8
00:01:11,439 --> 00:01:14,200
lo que hacemos, aunque ya lo hacemos

9
00:01:14,200 --> 00:01:15,659
muy intuitivamente y lo hacemos muy rápido

10
00:01:15,659 --> 00:01:18,200
os recuerdo que lo que hacemos es

11
00:01:18,200 --> 00:01:20,120
factorizamos

12
00:01:20,120 --> 00:01:21,459
numerador y denominador

13
00:01:21,459 --> 00:01:24,159
y vemos que tiene factores comunes

14
00:01:24,159 --> 00:01:25,799
veríamos que por ejemplo

15
00:01:25,799 --> 00:01:28,599
tenemos aquí 3 y aquí tenemos 3 al cuadrado

16
00:01:28,599 --> 00:01:29,840
es decir 3 por 3, con lo cual

17
00:01:29,840 --> 00:01:32,340
este 3 se puede ir con uno de los 3 que hay aquí

18
00:01:32,340 --> 00:01:34,560
de manera que cacharía esto

19
00:01:34,560 --> 00:01:36,700
me queda 2 tercios

20
00:01:36,700 --> 00:01:38,480
¿no? pues es lo mismo

21
00:01:38,480 --> 00:01:39,439
que tengo que aplicar aquí

22
00:01:39,439 --> 00:01:42,379
lo mismo que he hecho ahí es lo que tengo que aplicar ahí

23
00:01:42,379 --> 00:01:43,459
entonces

24
00:01:43,459 --> 00:01:45,540
voy a coger

25
00:01:45,540 --> 00:01:48,560
vale, entonces

26
00:01:48,560 --> 00:01:50,239
vamos a hacer

27
00:01:50,239 --> 00:01:52,540
eso aquí, de manera que

28
00:01:52,540 --> 00:01:53,920
si os fijáis, voy a poner el paso

29
00:01:53,920 --> 00:01:55,180
uy, no sé que estoy haciendo

30
00:01:55,180 --> 00:01:58,000
perdona, no sé que estoy haciendo

31
00:01:58,000 --> 00:01:59,799
voy a hacer el paso intermedio

32
00:01:59,799 --> 00:02:02,299
para que lo veáis más claro

33
00:02:02,299 --> 00:02:04,359
el paso intermedio sería

34
00:02:04,359 --> 00:02:06,719
x por x más 1

35
00:02:06,719 --> 00:02:11,719
x más 1, aunque bueno no hace falta, es para que lo veáis más claro

36
00:02:11,719 --> 00:02:16,099
por x más 1 por x menos 1, esto abajo en el ejemplo con números no lo he puesto

37
00:02:16,099 --> 00:02:20,020
pero es para que lo veáis, como veis este x más 1 se puede ir

38
00:02:20,020 --> 00:02:23,780
con este x más 1, ¿vale? eso es a lo que me refiero

39
00:02:23,780 --> 00:02:27,699
entonces nos queda aquí abajo un x más 1 y una x

40
00:02:27,699 --> 00:02:31,099
pues x y aquí x más 1

41
00:02:31,099 --> 00:02:35,599
y x menos 1, entonces hemos simplificado

42
00:02:35,599 --> 00:02:44,400
la fracción algebraica, ¿vale? El resultado sería esto. Incluso podemos, igual que aquí,

43
00:02:45,180 --> 00:02:49,020
en una fracción, vamos a poner otro ejemplo con una fracción para contarse una cosa.

44
00:02:49,020 --> 00:03:04,539
Por ejemplo, si yo digo 12 partido por 48. En 12 partido por 48, 12 son 4 por 3, es decir,

45
00:03:04,539 --> 00:03:20,509
2 al cuadrado por 3, y 48 es, vamos a ver, sería 2 al cuadrado, bueno, vamos a factorizar

46
00:03:20,509 --> 00:03:30,610
para no tardar, 48 entre 2, 24, entre 2, 12, entre 2, 6, entre 2, 3, entre 3, 1, vale,

47
00:03:30,610 --> 00:03:44,039
48 sería 2 a la cuarta, que son 16, por 3, claro, 16 por 3 son 48, vale, entonces en

48
00:03:44,039 --> 00:03:48,240
este caso, por ejemplo, ¿qué decíamos? Pues lo que podíamos hacer era decir, como

49
00:03:48,240 --> 00:03:53,219
tengo aquí 2 al cuadrado y aquí 2 a la cuarta, me queda abajo 2 al cuadrado, en el numerador,

50
00:03:53,460 --> 00:04:00,020
¿vale? El 3 que está arriba y abajo se me va, este 2 a la cuarta se va porque hemos

51
00:04:00,020 --> 00:04:06,259
los trabajos al cuadrado entonces me queda sencillamente 1 partido 2 al cuadrado y claro

52
00:04:06,259 --> 00:04:16,100
cuando hacéis esto en una fracción de números vale no lo dejáis aquí así no dejáis las potencias

53
00:04:16,100 --> 00:04:22,920
directamente ponéis un cuarto o sea 12 partido 48 es lo mismo que un cuarto vale lo dejáis así

54
00:04:22,920 --> 00:04:41,139
Pues aquí, voy a borrar esto para que no nos estorbe, ahora que lo habéis entendido ya esto, pues aquí hacemos lo mismo, quiero decir, podemos dejar el resultado así, no pasa nada, de hecho es más cómodo para ver dónde se anula el denominador, por ejemplo, que puede ser una cosa muy interesante.

55
00:04:41,139 --> 00:04:52,439
cuando estudiamos funciones esto tiene ciertas aplicaciones que ya veremos, pero podemos también expresar esto resolviendo este producto,

56
00:04:52,560 --> 00:04:56,819
que como veis, como suma por diferencia, me quedaría x cuadrado menos 1, ¿vale?

57
00:04:56,980 --> 00:05:03,079
Entonces cualquiera de las dos formas está simplificada, quizás esté más simplificada la segunda, ¿vale?

58
00:05:03,079 --> 00:05:13,699
Igual que cuando tenemos en las fracciones numéricas una potencia del denominador, os digo que la resolváis, pues aquí lo mismo, ¿vale?

59
00:05:14,399 --> 00:05:30,819
Queda más simple así, pero es verdad que esta otra forma puede ser útil, por ejemplo, para ver cuando se anula el denominador, que como sabéis, el denominador no puede ser 0 porque sería un divisor 0 y ya sabéis que no se puede dividir entre 0.

60
00:05:30,819 --> 00:05:33,819
Entonces, por ejemplo, para eso podría ser útil, ¿vale?

61
00:05:34,160 --> 00:05:40,199
Bueno, pues esto es un ejemplo en el que ya tenemos factorizado el numerador y el denominador,

62
00:05:40,540 --> 00:05:44,180
pero la gracia de estos ejercicios es que nos lo den sin factorizar, por ejemplo.

63
00:05:45,100 --> 00:05:46,500
Vamos a hacer un ejercicio B.

64
00:05:46,500 --> 00:06:07,519
El ejercicio B sería este polinomio de aquí, x cubo más 3x cuadrado menos x menos 3 partido x cubo más 4x cuadrado más 3x, ¿vale?

65
00:06:07,519 --> 00:06:20,680
Voy a dejar más hueco, así, vale, perfecto. Bueno, pues en este caso, claro, ¿cómo puedo yo simplificar esta fracción? Pues no me queda más remedio que primero factorizar, ¿vale?

66
00:06:20,980 --> 00:06:29,560
De vez que vea los factores que tiene, pues ya veré cuál se puede simplificar y cuál no. Entonces lo primero que toca hacer es factorizar el numerador y factorizar el denominador.

67
00:06:29,560 --> 00:06:46,939
Entonces, por ejemplo, empiezo con el numerador. Vamos a factorizar el numerador. Como veis, es un polinomio de grado 3. Ya está ordenado y está completo. Las posibles raíces del numerador serían los divisores de 3.

68
00:06:46,939 --> 00:06:53,399
Entonces serían más menos 1 y más menos 3, porque 3 es número primo, así que solamente 1 y sí mismo.

69
00:06:54,279 --> 00:06:58,279
Entonces, pues nada, probamos con el 1 para empezar.

70
00:06:58,920 --> 00:07:03,540
Entonces pongo aquí 1 y aquí pongo el polinomio 1, 3, menos 1, menos 3.

71
00:07:03,600 --> 00:07:06,360
De momento solamente estoy con el numerador, ¿vale? Ya veremos luego el denominador.

72
00:07:07,120 --> 00:07:15,279
1 por menos 1, 3 más 1 es 4, 4 por 1 es 4, menos 1 más 4 son 3, 3 por 1 son 3,

73
00:07:15,279 --> 00:07:34,220
menos 3 más 3 son 0. Entonces ya he factorizado la primera parte, que sería x cubo más 3x cuadrado menos x menos 3 es igual a x menos 1, os recuerdo, por x cuadrado más 4x más 3.

74
00:07:34,220 --> 00:07:50,259
Ahora podría volver a hacer Ruffini, ya sabéis que algunos lo hacéis que me seguís por aquí poniendo el siguiente Ruffini y me los encadenáis, pero como ya tengo un polinomio de segundo grado me resulta más interesante y tardo menos, ¿vale?

75
00:07:50,259 --> 00:07:56,139
porque ya tengo un polinomio de segundo grado, si resuelvo la ecuación de este polinomio igual a cero.

76
00:07:56,139 --> 00:07:58,000
Entonces la pongo aquí, ¿vale?

77
00:07:59,040 --> 00:08:08,439
X cuadrado más 4X más 3 igual a cero.

78
00:08:09,500 --> 00:08:15,620
Os recuerdo que en las ecuaciones de segundo grado este término es la A, o sea, el coeficiente principal es A,

79
00:08:16,019 --> 00:08:21,920
el coeficiente del término en X es B y el coeficiente independiente del término independiente es C.

80
00:08:21,920 --> 00:08:38,460
Entonces, x es igual a menos b más menos raíz cuadrada de b al cuadrado, que son 16, menos 4 por a, que es 1, por c, que son 3, partido 2 por a, que es 2 por 1.

81
00:08:39,240 --> 00:08:47,440
Menos 4 más menos raíz cuadrada de 16 menos 4 por 3 es 12, luego 16 menos 12 son 4, partido por 2.

82
00:08:48,200 --> 00:08:55,399
Esto es menos 4 más menos raíz cuadrada de 4 es más menos 2, luego menos 4 más menos 2, partido por 2.

83
00:08:55,399 --> 00:09:04,080
Aquí tendríamos menos 4 más 2 partido por 2, que son menos 2 partido por 2, que son menos 1.

84
00:09:04,080 --> 00:09:30,379
¿Vale? Y por otro lado tendríamos menos 4 menos 2 partido por 2, que son menos 4 menos 2 o menos 6 partido por 2 menos 3, ¿vale? De manera que el polinomio x cuadrado más 4x más 3 se puede escribir como, fijaos, si las raíces son menos 1 y menos 3, los factores son x más 1 y x más 3, ¿vale?

85
00:09:30,379 --> 00:09:55,340
Así que el polinomio que tenemos en el numerador lo podemos reescribir como x cubo más 3x cuadrado, o sea, el polinomio que es así, ¿vale? Lo podemos escribir como x menos 1, que era el primer factor, por x más 1, que es el de la primera raíz, por x más 3, que es el de la raíz cuando teníamos aquí sin números, ¿vale?

86
00:09:55,340 --> 00:09:58,200
Así que este primero ya estaría factorizado.

87
00:09:59,340 --> 00:10:01,779
Voy a poner aquí un cuadrito para guardar la solución.

88
00:10:02,700 --> 00:10:03,799
Ya hemos factorizado el numerador.

89
00:10:03,980 --> 00:10:07,980
Vamos a factorizar el denominador y veremos si hay factores en común para poder tacharlos.

90
00:10:08,360 --> 00:10:10,019
Es así de simple, no tiene más complicación.

91
00:10:10,840 --> 00:10:16,220
Entonces, las posibles raíces en el denominador, vamos a llamarlas b,

92
00:10:16,220 --> 00:10:22,639
pero bueno, es lo mismo que aquí, es la a de x-a y esto es la b de x-b, es lo mismo.

93
00:10:22,639 --> 00:10:46,679
En las posibles raíces, pues como primero, no tenemos término independiente, entonces primero la única raíz que podemos ver de momento es 0. Así que antes de esto, que no me he dado cuenta, vamos a sacar el factor de la x, que sería, como puedo escribir, voy a ponerlo aquí más abajo, para que me quepa.

94
00:10:46,679 --> 00:10:49,460
fijaos que estamos con este polinomio

95
00:10:49,460 --> 00:10:54,840
x cubo más 4x cuadrado más 3x

96
00:10:54,840 --> 00:10:57,379
os recuerdo que siempre que no haya término independiente

97
00:10:57,379 --> 00:10:59,600
podemos sacar por lo menos un factor x

98
00:10:59,600 --> 00:11:13,799
entonces x por x cuadrado más 4x más 3

99
00:11:13,799 --> 00:11:20,419
entonces ya tenemos un factor fuera

100
00:11:20,419 --> 00:11:23,740
y luego los otros dos factores

101
00:11:23,740 --> 00:11:25,500
en realidad me da igual

102
00:11:25,500 --> 00:11:29,679
no hace falta que deduzca como aquí

103
00:11:29,679 --> 00:11:32,580
que pueden ser solamente 1 o menos 1

104
00:11:32,580 --> 00:11:33,779
o 3 o menos 3

105
00:11:33,779 --> 00:11:34,960
pero bueno

106
00:11:34,960 --> 00:11:38,879
¿por qué no hace falta?

107
00:11:38,879 --> 00:11:40,960
porque resuelvo la ecuación de segundo grado y ya está

108
00:11:40,960 --> 00:11:43,139
entonces resuelvo la ecuación de segundo grado

109
00:11:43,139 --> 00:11:45,899
x cuadrado más 4x más 3

110
00:11:45,899 --> 00:11:55,139
igual a cero. En este caso, la a vale 1, la b vale 4 y la c vale 3. Usando la fórmula

111
00:11:55,139 --> 00:12:00,679
de la ecuación de segundo grado, tendríamos x igual a menos b más menos raíz cuadrada

112
00:12:00,679 --> 00:12:10,639
de b al cuadrado menos 4 por a y por c, partido 2 por a. Menos b más menos raíz cuadrada

113
00:12:10,639 --> 00:12:13,460
de 16 menos 12

114
00:12:13,460 --> 00:12:17,519
la ecuación, si os dais cuenta, es

115
00:12:17,519 --> 00:12:22,000
es la misma que antes, ¿vale? lo estáis viendo ya

116
00:12:22,000 --> 00:12:25,659
que es la misma ecuación que antes, si no me he equivocado

117
00:12:25,659 --> 00:12:30,440
es lo mismo, entonces no me hace la pena ni resolverla

118
00:12:30,440 --> 00:12:33,399
pero bueno, me he dado cuenta ahora cuando estaba poniendo que es lo mismo

119
00:12:33,399 --> 00:12:38,279
entonces tengo menos 4 más menos 2 partido por 2, que antes ya vimos que era

120
00:12:38,279 --> 00:12:42,259
Una solución era menos 1 y la otra era 3.

121
00:12:42,399 --> 00:12:46,080
Pues menos 1 o 3.

122
00:12:47,059 --> 00:12:58,879
Entonces, el polinomio x cuadrado más 4x más 3 es igual a x más 1, que sería el de esta raíz, el factor de esa raíz, y x menos 3.

123
00:12:59,679 --> 00:13:01,159
No, perdón, esto es un menos 3.

124
00:13:01,340 --> 00:13:04,419
Así que x más 3 es el factor de esa otra raíz.

125
00:13:04,419 --> 00:13:28,080
Pues bien, entonces el polinomio que teníamos aquí originalmente en el denominador, que es este de aquí, ese polinomio lo podemos escribir como x cubo más 4x cuadrado más 3x es igual a x por, en lugar de poner esto, pongo este producto, x más 1 por x más 3.

126
00:13:28,080 --> 00:13:41,000
¿Vale? Y esto es el denominador. Tengo aquí el numerador y tengo aquí el denominador.

127
00:13:47,940 --> 00:13:55,220
Vaya, ¿qué está pasando? Denominador, vale. Entonces, ¿cómo sería, cómo quedaría la fracción?

128
00:13:55,220 --> 00:14:22,820
Bueno, pues la fracción que tenía inicialmente, voy a volverla a copiar, era x³ más 3x² menos x menos 3 partido x³ más 4x² más 3x es igual a lo que tenemos en el numerador,

129
00:14:22,820 --> 00:14:40,480
que es x menos 1 por x más 1 por x más 3, entre el denominador que acabo de sacar, que es x por x más 1 por x más 3.

130
00:14:43,080 --> 00:14:50,840
Podemos quitar, como veis, tengo multiplicando tanto el numerador como el denominador el factor x más 3, luego se va afuera.

131
00:14:50,840 --> 00:14:54,440
tengo tanto el numerador como el denominador

132
00:14:54,440 --> 00:14:56,080
x más 1, luego se va afuera

133
00:14:56,080 --> 00:14:58,440
y estos ya no son comunes

134
00:14:58,440 --> 00:14:59,620
así que se quedan como están

135
00:14:59,620 --> 00:15:02,139
entonces la solución es que

136
00:15:02,139 --> 00:15:04,740
esa operación algebraica

137
00:15:04,740 --> 00:15:06,679
se puede simplificar

138
00:15:06,679 --> 00:15:08,980
a esto sencillamente

139
00:15:08,980 --> 00:15:11,279
fijaos, es mucho más simple

140
00:15:11,279 --> 00:15:12,899
es último que he escrito

141
00:15:12,899 --> 00:15:15,100
que lo que tenía en el enunciado

142
00:15:15,100 --> 00:15:16,879
en el enunciado tengo

143
00:15:16,879 --> 00:15:18,639
un polinomio de grado 3

144
00:15:18,639 --> 00:15:19,720
entre un polinomio de grado 3

145
00:15:19,720 --> 00:15:23,620
Y en el resultado final tengo un polinomio de grado 1 entre un polinomio de grado 1

146
00:15:23,620 --> 00:15:25,340
Mucho más sencillo

147
00:15:25,340 --> 00:15:28,820
Además esto, como en el fondo lo que tengo es

148
00:15:28,820 --> 00:15:31,740
Esto ya no haría falta hacerlo, pero bueno, para que lo veáis

149
00:15:31,740 --> 00:15:32,899
Otra cosa más que se puede hacer

150
00:15:32,899 --> 00:15:36,240
Como en el fondo lo que tengo es una fracción, es una división

151
00:15:36,240 --> 00:15:40,120
Pues, fijaos

152
00:15:40,120 --> 00:15:42,820
X entre X es 1

153
00:15:42,820 --> 00:15:48,309
Y menos 1 entre X

154
00:15:48,309 --> 00:15:51,429
Es menos 1 partido por X

155
00:15:51,429 --> 00:15:54,710
entonces esto también lo podría escribir así si quiero

156
00:15:54,710 --> 00:15:59,059
¿vale? como la resta

157
00:15:59,059 --> 00:16:01,200
de un número menos una fracción algebraica

158
00:16:01,200 --> 00:16:03,120
que es

159
00:16:03,120 --> 00:16:05,279
más simple que esta fracción algebraica

160
00:16:05,279 --> 00:16:06,200
¿vale?

161
00:16:06,779 --> 00:16:08,519
lo que pasa es que aquí ya tendría

162
00:16:08,519 --> 00:16:11,100
realmente tengo una resta

163
00:16:11,100 --> 00:16:13,279
¿vale? de un número y una fracción, aquí solo tengo una fracción

164
00:16:13,279 --> 00:16:14,879
pero bueno, que son

165
00:16:14,879 --> 00:16:17,299
las dos formas son igual de simples y igual de válidas

166
00:16:17,299 --> 00:16:18,039
entonces

167
00:16:18,039 --> 00:16:21,039
pues lo que prefiráis, si lo preferís dejar así

168
00:16:21,039 --> 00:16:22,879
lo podéis dejar así y si queréis dejarlo así

169
00:16:22,879 --> 00:16:24,559
Tampoco habría problema en dejarlo así, ¿vale?

170
00:16:24,659 --> 00:16:25,620
En este caso, ¿por qué?

171
00:16:25,700 --> 00:16:28,399
Porque estamos dividiendo entre un monomio, ¿vale?

172
00:16:28,399 --> 00:16:29,120
Y podemos hacer esto.

173
00:16:29,220 --> 00:16:34,019
Si no, no, porque entonces habría que hacer Ruffini y el resto no daría cero,

174
00:16:34,100 --> 00:16:36,120
porque entonces se podría factorizar más, ¿vale?

175
00:16:36,639 --> 00:16:40,600
Entonces, en ese caso, pues se quedaría como está, ¿vale?

176
00:16:40,600 --> 00:16:44,320
Si tenéis un polinomio abajo, pero en el caso de que tengáis un monomio o un número,

177
00:16:44,500 --> 00:16:47,019
pues podéis permitiros hacer eso también, ¿vale?

178
00:16:47,320 --> 00:16:52,659
Y dejarlo un poco más simple o no, porque para mí son igual de simples ambas formas.

179
00:16:52,879 --> 00:17:17,819
Y nada, eso es lo que quería comentaros de fracciones algebraicas. Esto es una utilidad muy importante de la factorización, es una utilidad muy importante del método de Ruffini y esto es muy importante para cuando se analizan funciones.

180
00:17:17,819 --> 00:17:27,880
que este año vamos a hacer casos muy sencillitos, pero en cuarto de la ESO y en bachillerato son casos un poco más interesantes y más complicados

181
00:17:27,880 --> 00:17:40,099
y saber hacer esto es esencial, ¿vale? Porque cuando veamos el tema de funciones veremos cosas como los ceros de una función, los ceros del denominador, ¿vale?

182
00:17:40,099 --> 00:17:46,940
Es decir, cuando el denominador vale cero, en este caso, cuando x vale cero, ¿no?

183
00:17:47,920 --> 00:17:49,539
Entonces, en este caso, ¿qué ocurrirá?

184
00:17:49,920 --> 00:17:52,900
Eso en la función influirá de alguna manera, ¿vale?

185
00:17:53,000 --> 00:17:54,940
Porque no se puede dividir entre cero, dijimos.

186
00:17:55,500 --> 00:18:01,819
Entonces, para analizar todo eso, resulta muy importante y muy interesante saber hacer esto, ¿vale?

187
00:18:02,460 --> 00:18:07,019
Entonces, por eso os digo, cuando os digo que Ruffini es lo más importante que se aprende entre cero de la ESO,

188
00:18:07,019 --> 00:18:13,859
Os lo digo porque pienso en todas las utilidades que tiene esto para cursos posteriores.

189
00:18:14,240 --> 00:18:15,960
Entonces es esencial que lo hayáis entendido bien.

190
00:18:16,779 --> 00:18:19,920
Y este ejemplo yo creo que os puede venir muy bien para repasar lo que hemos visto,

191
00:18:20,559 --> 00:18:24,700
para que veáis una aplicación de lo que hemos visto y para que os deis cuenta de lo importante que es

192
00:18:24,700 --> 00:18:30,119
todo lo que hemos estudiado en este curso y especialmente esta parte de factorizar.