0
00:00:00,000 --> 00:00:06,000
En este segundo ejercicio nos piden que estudiemos la continuidad y derivabilidad de una función.

1
00:00:06,000 --> 00:00:09,000
Lo primero, como tenemos una función que tiene un valor absoluto,

2
00:00:09,000 --> 00:00:17,000
lo tenemos que separar cuando el valor absoluto es lo de que está dentro del valor absoluto es menor que 0 y cuando es mayor que 0.

3
00:00:17,000 --> 00:00:25,000
Pues como tenemos simplemente dentro del valor absoluto x, solamente dentro del valor absoluto tenemos el valor absoluto de x,

4
00:00:26,000 --> 00:00:30,000
pues lo que vamos a hacer es separarlo.

5
00:00:33,000 --> 00:00:40,000
¿Valor absoluto de x? Pues eso cambia de signo cuando la x es menor que 0 o cuando la x es mayor o igual que 0.

6
00:00:40,000 --> 00:00:45,000
El signo menor lo podemos poner arriba o abajo, nos da lo mismo.

7
00:00:45,000 --> 00:00:48,000
Entonces, cuando la x es menor que 0, sería menos 5.

8
00:00:48,000 --> 00:00:55,000
Pero como es el valor absoluto lo tenemos que cambiar de signo, entonces nos queda menos x y x cuadrado más 1.

9
00:00:55,000 --> 00:01:01,000
Abajo, como es positivo, no hay que hacerle nada, pues tenemos x cuadrado más 1.

10
00:01:01,000 --> 00:01:05,000
Vale, ahora, tenemos que estudiar la continuidad.

11
00:01:05,000 --> 00:01:12,000
Siempre que tengamos una función a trozos, tenemos que decir en cada uno de los intervalos que es lo que pasa.

12
00:01:12,000 --> 00:01:17,000
En este caso, lo que tenemos son fracciones algebraicas.

13
00:01:17,000 --> 00:01:30,000
Como son fracciones algebraicas, pues tenemos que mirar que pasa en el denominador.

14
00:01:30,000 --> 00:01:33,000
Y no se anula el denominador en este caso.

15
00:01:33,000 --> 00:01:47,000
En este caso, porque es x cuadrado más 1 igual a 0, es decir, x cuadrado igual a menos 1, es imposible.

16
00:01:48,000 --> 00:02:04,000
Entonces, las fracciones algebraicas que nos anula el denominador son continuas y derivables en esos intervalos.

17
00:02:04,000 --> 00:02:12,000
Ahora tenemos que ver qué pasa en x igual a 0.

18
00:02:13,000 --> 00:02:17,000
Tenemos que estudiar si es continuo o no es continuo.

19
00:02:17,000 --> 00:02:26,000
Entonces, para ver si es continuo, hacemos el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de menos x partido por x cuadrado más 1,

20
00:02:26,000 --> 00:02:35,000
que simplemente es sustituir, y nos sale 0, el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de x partido por x cuadrado más 1,

21
00:02:35,000 --> 00:02:45,000
que también nos sale 0, y tenemos que calcular también f de 0, que lo podríamos haber puesto en una de estas.

22
00:02:45,000 --> 00:02:51,000
Entonces, como f de 0 es 0 partido por 0 al cuadrado más 1, también nos sale 0.

23
00:02:51,000 --> 00:02:59,000
Como las tres coinciden, significa que la función es continuo.

24
00:02:59,000 --> 00:03:11,000
Bueno, ya sabemos que la función, entonces, y por tanto en todo R.

25
00:03:11,000 --> 00:03:28,000
Ahora, ¿qué pasa con la derivada? Pues vamos a hacer la derivada en cada uno de los trozos y vamos a comprobar si coinciden o no coinciden.

26
00:03:28,000 --> 00:03:44,000
Entonces, haciendo la derivada, como tenemos, por un lado, tenemos la derivada de menos x partido por x cuadrado más 1,

27
00:03:45,000 --> 00:03:57,000
su derivada es, utilizando la regla del cociente, ponemos x cuadrado más 1 al cuadrado,

28
00:03:57,000 --> 00:04:07,000
y arriba nos queda la derivada de lo de arriba, que es menos 1 por lo de abajo sin derivar, x cuadrado más 1,

29
00:04:07,000 --> 00:04:15,000
pero con este menos se pone menos 1, menos la x por la derivada de lo de abajo.

30
00:04:15,000 --> 00:04:39,000
Si hacemos aquí cuentas, nos queda que x al cuadrado menos 1, partido por x cuadrado más 1, todo ello al cuadrado.

31
00:04:40,000 --> 00:04:53,000
Entonces tenemos que poner x cuadrado menos 1, partido por x cuadrado más 1, al cuadrado, si x es menor que 0.

32
00:04:53,000 --> 00:05:05,000
Por otro lado, si tenemos que x es partido por x cuadrado más 1, en este caso la derivada abajo nos puede quedar x cuadrado más 1 al cuadrado,

33
00:05:05,000 --> 00:05:28,000
y aquí arriba tenemos x cuadrado más 1 menos x por 2x, o lo que es lo mismo, menos x cuadrado más 1, partido por x cuadrado más 1 al cuadrado.

34
00:05:28,000 --> 00:05:46,000
Menos x al cuadrado más 1, partido por x al cuadrado más 1 al cuadrado, si x es mayor que 0.

35
00:05:46,000 --> 00:05:50,000
Aquí no se pone igual, porque tenemos que comprobar si existe esa derivada.

36
00:05:50,000 --> 00:06:05,000
¿Cómo lo hacemos si existe la derivada? Pues haciendo el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de f' de x, es decir, el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de x cuadrado menos 1,

37
00:06:05,000 --> 00:06:15,000
partido por x cuadrado más 1, todo ello al cuadrado, que sustituyendo nos sale menos 1 partido por 1, igual a menos 1.

38
00:06:16,000 --> 00:06:29,000
Por otro lado, el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de f' de x, es el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de menos x al cuadrado más 1,

39
00:06:29,000 --> 00:06:38,000
partido por x cuadrado más 1 al cuadrado, igual a 1 partido por 1, que es 1.

40
00:06:38,000 --> 00:06:45,000
Como no coinciden, no es derivable.

41
00:06:45,000 --> 00:07:09,000
Y por tanto, luego f de x es continuo en R, pero no es derivable en x igual a 0.

42
00:07:09,000 --> 00:07:15,000
Y con esto estaría terminado el ejercicio segundo.