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00:00:01,899 --> 00:00:18,699
Hola, en este vídeo vamos a ver un ejercicio clásico muy recurrente en EBAU de discusión del rango de una matriz en función de los valores que pueda tomar un parámetro que me encuentro en, bueno, como expresión algebraica en alguno de los elementos de la matriz.

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00:00:18,699 --> 00:00:25,019
Bien, lo primero que tenemos que hacer es intentar triangular la matriz tal y como hemos aprendido en el vídeo anterior, ¿vale?

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00:00:25,820 --> 00:00:33,899
En este caso pues tengo una matriz formada por los elementos 1, 2A, 1, 1A, A, 0, 1.

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00:00:34,619 --> 00:00:42,700
En el primer paso, las primeras transformaciones que voy a hacer van a ser aquellas que me permitan hacer los elementos 2, 1 y 3, 1, 0.

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00:00:42,700 --> 00:00:45,640
para hacer el 2, 1, 0 lo veis claro

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00:00:45,640 --> 00:00:49,880
simplemente si a la fila 2 le resto la fila 1 ya tendría ahí un 0

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00:00:49,880 --> 00:00:52,159
pero yo creo que no se ve tan claro

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00:00:52,159 --> 00:00:58,399
qué transformación hay que hacerle a la fila 3 para hacer 0 este elemento

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00:00:58,399 --> 00:01:00,460
si os dais cuenta yo aquí tengo una A

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00:01:00,460 --> 00:01:03,000
entonces para hacer 0 aquí necesitaré restar A

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00:01:03,000 --> 00:01:07,879
para poder restar A usando una transformación elemental con la fila 1

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00:01:07,879 --> 00:01:12,019
lo que voy a hacer es multiplicar por A la fila 1

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00:01:12,019 --> 00:01:15,019
y restársela a la fila 3, ¿de acuerdo?

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00:01:17,560 --> 00:01:19,480
Entonces, una vez que tenemos esto claro,

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00:01:19,959 --> 00:01:22,620
copiamos la fila 1 porque no le voy a hacer ninguna transformación,

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00:01:22,920 --> 00:01:27,379
vemos que a la fila 2, simplemente con restarle la fila 1,

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00:01:28,840 --> 00:01:31,120
¿os dais cuenta? Pues tendría 1 menos 1, 0,

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00:01:31,719 --> 00:01:34,939
1 menos 2, menos 1, a menos a, 0, ¿vale?

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00:01:34,980 --> 00:01:38,579
Y aquí la fila 3, la transformación que la podemos ver un poquito menos clara,

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00:01:38,579 --> 00:01:42,040
sería a menos a por 1, que será a menos a, 0,

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00:01:42,040 --> 00:01:49,340
0 menos 2 por A, bueno 0 menos A por 2 me quedará aquí, menos 2 por A

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00:01:49,340 --> 00:01:56,780
Y como último elemento tendremos 1 menos A por A, es decir la expresión 1 menos A al cuadrado

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00:01:56,780 --> 00:02:08,419
Bueno, ya tengo fijado, o sea tengo la fila 2 bien hecha porque la tengo triangulada ya

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00:02:08,419 --> 00:02:17,860
simplemente lo que me queda es intentar hacer 0 con transformaciones elementales con el resto de filas, hacer 0 el elemento 3, 2.

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00:02:18,539 --> 00:02:32,020
Para poder hacer 0 el elemento 3, 2 lo que voy a hacer es lo siguiente, voy a restarle a la fila 3 2 a veces la fila 2.

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00:02:32,020 --> 00:02:53,039
¿Qué voy a conseguir con esto? Que este elemento que está aquí, que es el menos 2a, si yo le resto 2a veces el elemento menos 1, el correspondiente de la fila 2, voy a obtener la operación menos 2a más 2a, es decir, 0, que es lo que busco.

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00:02:53,039 --> 00:03:02,300
¿De acuerdo? Quizá esto no es muy fácil de ver, pero bueno, si veis que os cuesta, pues con hacer un paso extra donde multipliquéis por menos 1 la fila 2,

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00:03:03,000 --> 00:03:09,020
quizá veáis más claro que luego, pues bueno, en ese caso tendréis que hacerle luego la suma, ¿vale?

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00:03:09,020 --> 00:03:16,780
Pero bueno, yo creo que aunque es difícil, si prestáis atención, bueno, es difícil llegar a esta conclusión, prestando atención se llega.

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00:03:16,780 --> 00:03:21,039
entonces como ahora solo voy a hacer transformaciones a la fila 3

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00:03:21,039 --> 00:03:23,460
las filas 1 y 2 las copio tal cual están

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00:03:23,460 --> 00:03:29,680
y ahora tendría en la fila 3 0 menos 2a por 0

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00:03:29,680 --> 00:03:31,259
que será 0 menos 0, 0

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00:03:31,259 --> 00:03:34,479
menos 2a, la que tengo aquí puesta

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00:03:34,479 --> 00:03:40,280
a menos 2a le resto 2 a veces menos 1

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00:03:40,280 --> 00:03:43,819
por la regla de los signos se transforma en una suma

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00:03:43,819 --> 00:03:51,120
Entonces, como son opuestos, obtendré el valor 0, que es este, que con la explicación ya lo tenía calculado.

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00:03:51,599 --> 00:03:58,819
Y por último, a 1 menos a al cuadrado, le restaré 2 a veces 0, que me queda el propio 1 menos a al cuadrado.

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00:04:00,120 --> 00:04:12,500
Bueno, una vez que ya tengo triangulada la matriz, nos tenemos que dar cuenta de que, bueno, la fila, las filas, bueno, tengo la fila 1 que me ha quedado dependiente del parámetro,

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00:04:12,500 --> 00:04:21,220
la fila 2 es totalmente independiente del parámetro y en la fila 3 encontramos una expresión algebraica en el lugar del elemento 3,3.

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00:04:21,920 --> 00:04:31,100
Daos cuenta que puede que haya algún valor para A que anule toda esta expresión y por tanto todos los elementos de la fila serían 0.

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00:04:31,480 --> 00:04:37,160
En el caso de que todos los elementos de la fila sean 0, el rango de esta matriz se vería disminuido, ¿vale?

43
00:04:37,160 --> 00:04:40,939
Pasaríamos a tener una matriz de rango 2, ¿de acuerdo?

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00:04:40,939 --> 00:04:50,199
Entonces tenemos que estudiar cuando la expresión 1 menos a vale 0 para tenerlo en cuenta a la hora de calcular el rango.

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00:04:50,860 --> 00:05:09,000
1 menos a al cuadrado es 0 cuando a al cuadrado vale 1, despejando la ecuación, pasaría al otro lado, y a al cuadrado es 1 si a toma el valor 1 o a toma el valor menos 1.

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00:05:09,000 --> 00:05:28,550
¿Qué sucede en estos momentos? Que si A vale menos 1, la matriz M sería la matriz 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1.

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00:05:28,550 --> 00:05:42,970
En este caso, daos cuenta, las columnas 1 y 3 son iguales, por tanto, son linealmente dependientes y el rango de la matriz sería 2.

48
00:05:43,329 --> 00:05:51,000
¿Qué sucede si A toma el valor menos 1?

49
00:05:51,660 --> 00:06:01,500
Pues que nuestra matriz, en este caso, tomaría los valores 1, 2, menos 1, 1, 1, menos 1, 1, 0, 1.

50
00:06:01,500 --> 00:06:43,680
¿Qué sucede si A toma el valor menos 1? Pues que en este caso la matriz estaría formada por los elementos 1, 2, menos 1, daos cuenta que estoy sustituyendo en la matriz principal, en la del denunciado, la fila 2 sería los elementos 1, 1, menos 1 y la fila 3, menos 1, 0, 1.

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00:06:43,680 --> 00:06:59,560
En este caso, daos cuenta que la columna 1 tiene los elementos opuestos a los de la columna 3, por tanto son linealmente dependientes y de nuevo el rango de la matriz sería 2.

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00:06:59,560 --> 00:07:16,480
Vale, en cualquier caso, como conclusión, podemos afirmar que si a vale 1 o a vale menos 1, el rango de m será 2.

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00:07:16,480 --> 00:07:31,129
Para cualquier otro valor distinto de 1 y distinto de menos 1 el rango de M va a ser 3 ¿de acuerdo?

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00:07:31,889 --> 00:07:41,910
Porque como bien vimos cuando triangulamos la matriz en el momento que esto no se anule la fila 3 también será linealmente independiente de las otras dos.

55
00:07:42,509 --> 00:07:44,389
Por tanto el rango de la matriz será 3.

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00:07:44,389 --> 00:07:54,240
por último solo nos queda comentar que el rango de la matriz m siempre va a ser

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00:07:54,240 --> 00:08:01,079
distinto de uno para cualquier valor que tome a vale porque las dos primeras

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00:08:01,079 --> 00:08:05,399
filas son linealmente independientes sea cual sea el valor que tome a vale o sea

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00:08:05,399 --> 00:08:10,360
no hay no existe forma de hallar por combinación lineal una

60
00:08:10,360 --> 00:08:14,300
como combinación lineal de la otra