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00:00:00,620 --> 00:00:18,949
¡Hola! ¿Qué tal? ¿Cómo estáis? Bienvenidos a un nuevo vídeo de la web del Profe de Mates.

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00:00:19,030 --> 00:00:25,789
En este caso vamos a resolver el ejercicio A1 de la convocatoria ordinaria de la EBAU de Madrid 2022,

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00:00:26,129 --> 00:00:31,890
que dice lo siguiente. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependientes del parámetro real M,

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00:00:31,890 --> 00:00:37,409
y ahí tenéis el sistema, efectivamente hay un parámetro m en dos de las tres ecuaciones,

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00:00:38,149 --> 00:00:42,350
dice en el apartado a que discutamos el sistema en función de los valores de m

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00:00:42,350 --> 00:00:47,189
y en el apartado b que resolvamos el sistema para el valor m igual a un medio.

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00:00:48,189 --> 00:00:52,090
Bien, comenzaremos entonces con el apartado a y lo que escribiremos al principio

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00:00:52,090 --> 00:00:56,049
será la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones que nos han planteado.

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00:00:56,049 --> 00:00:59,509
sea la matriz del sistema

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00:00:59,509 --> 00:01:04,370
la matriz de coeficientes

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00:01:04,370 --> 00:01:09,609
que vamos a llamarla por ejemplo a

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00:01:09,609 --> 00:01:14,609
y va a ser 1 ya que el coeficiente de x es 1

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00:01:14,609 --> 00:01:17,450
2m y además con un menos

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00:01:17,450 --> 00:01:19,510
que será el coeficiente de y en la primera ecuación

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00:01:19,510 --> 00:01:22,909
1 que será el coeficiente de z en la primera ecuación

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00:01:22,909 --> 00:01:24,349
y así hacemos en la segunda

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00:01:24,349 --> 00:01:27,969
M, 2, menos 1

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00:01:27,969 --> 00:01:32,170
Y en la tercera, 1, menos 1, 1

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00:01:32,170 --> 00:01:34,530
¿Qué vamos a hacer con esta matriz?

20
00:01:34,829 --> 00:01:36,290
Vamos a estudiar el rango

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00:01:36,290 --> 00:01:42,450
Estudio su rango

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00:01:42,450 --> 00:01:46,829
Y para ello hacemos el determinante de la matriz A

23
00:01:46,829 --> 00:01:49,329
Empezamos multiplicando la diagonal principal

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00:01:49,329 --> 00:01:51,430
Que sería 1 por 2 por 1, que sería 2

25
00:01:51,430 --> 00:01:53,730
Seguimos con M por menos 1 por 1

26
00:01:53,730 --> 00:02:02,129
que sería menos m, seguimos por menos 2m por menos 1 por 1 que sería más 2m, diagonal secundaria que

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00:02:02,129 --> 00:02:12,909
sería menos 2 y luego quedaría entonces menos 1 y más 2m cuadrado. Simplificando quedará 2m cuadrado

28
00:02:12,909 --> 00:02:21,810
más m, este 2 y este menos 2 se largan, menos 1. Ese es el determinante. Procedemos ahora a igualar

29
00:02:21,810 --> 00:02:32,349
0 al determinante. Determinante igual a 0 implica que 2m cuadrado más m menos 1 es

30
00:02:32,349 --> 00:02:42,969
igual a 0. ¿De dónde? m será menos b más menos raíz cuadrada b cuadrado, que sería

31
00:02:42,969 --> 00:02:53,069
1 menos por menos más 8 y partido de 2a. O sea, menos 1 más menos, raíz de 9 que es 3, partido de 4.

32
00:02:54,090 --> 00:03:01,610
Así que los dos valores que nos salen aquí de igualar a 0 el determinante serían menos 1 menos 3 es menos 4 entre 4 menos 1

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00:03:01,610 --> 00:03:07,830
y menos 1 más 3 sería más 2, más 2 entre 4 sería un medio.

34
00:03:07,830 --> 00:03:17,289
En ese caso, y en virtud del teorema de Rousset

35
00:03:17,289 --> 00:03:19,389
Lo que vamos a decir es que

36
00:03:19,389 --> 00:03:31,639
Por el teorema Rousset for Venues

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00:03:31,639 --> 00:03:40,000
Si resulta que el valor de M es distinto de menos uno

38
00:03:40,000 --> 00:03:43,539
Y es distinto de un medio

39
00:03:43,539 --> 00:03:50,020
Entonces, como va a ocurrir que el rango de A

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00:03:50,020 --> 00:03:55,379
es 3 y además el rango de lo que se llama

41
00:03:55,379 --> 00:03:59,259
la matriz ampliada, que es la matriz que está formada

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00:03:59,259 --> 00:04:03,800
por las columnas de A y además la columna de términos independientes

43
00:04:03,800 --> 00:04:07,919
y que no puede ser rango 4, con lo cual tendrá que ser

44
00:04:07,919 --> 00:04:11,780
rango 3, tendremos entonces que

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00:04:11,780 --> 00:04:15,039
el sistema es un sistema compatible

46
00:04:15,039 --> 00:04:21,720
determinado

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00:04:21,720 --> 00:04:28,899
¿Vale? Entonces ahora lo que vamos a hacer es estudiar

48
00:04:28,899 --> 00:04:31,980
qué pasa con m igual a menos uno y con m igual a un medio

49
00:04:31,980 --> 00:04:37,019
Veamos, si m es igual

50
00:04:37,019 --> 00:04:39,680
a menos uno, lo que hacemos es

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00:04:39,680 --> 00:04:44,399
escribir la matriz

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00:04:44,399 --> 00:04:48,980
para m igual a menos uno, es decir, que aquí pondríamos

53
00:04:48,980 --> 00:04:58,100
1 más 2 y aquí un menos 1. ¿Cuál es el rango de esta matriz? 3 no puede ser. Si observamos

54
00:04:58,100 --> 00:05:08,959
bien, el menor que formarían estos valores tendría por determinante 2 más 2 que es

55
00:05:08,959 --> 00:05:18,339
4 que es distinto de 0. Así que el rango de A tiene que ser 2. ¿Cuál será el rango

56
00:05:18,339 --> 00:05:24,040
de la matriz ampliada, es decir, la matriz que lleva los mismos valores en las primeras

57
00:05:24,040 --> 00:05:33,420
columnas, en las primeras tres columnas, y la última columna, la cuarta columna, la

58
00:05:33,420 --> 00:05:41,980
forman los términos independientes, que era 1, menos 1, 1. Rango no puede ser 4, eso lo

59
00:05:41,980 --> 00:05:51,079
sabemos. ¿Pero podría ser rango 3? No. ¿Por qué no? Fijaros, esta columna y esta columna son iguales.

60
00:05:51,740 --> 00:06:03,019
Así que el rango de A ampliada tiene que ser el mismo rango que la matriz de coeficientes, es decir, 2.

61
00:06:03,740 --> 00:06:08,899
Por lo tanto, en virtud del teorema Rousseff-Rovegnus, como tenemos que el rango de la matriz ampliada

62
00:06:08,899 --> 00:06:13,160
es igual que el rango de la matriz de coeficientes pero ese rango es 2

63
00:06:13,160 --> 00:06:15,279
que es menor que el número de incógnitas

64
00:06:15,279 --> 00:06:22,839
pues entonces ¿qué tenemos? pues es un sistema

65
00:06:22,839 --> 00:06:30,819
compatible indeterminado

66
00:06:30,819 --> 00:06:39,660
ahora ya lo único que nos falta es estudiar el caso de M igual a 1 medio

67
00:06:39,660 --> 00:06:43,660
para ello volvemos a la matriz de coeficientes

68
00:06:43,660 --> 00:06:46,199
donde vamos a sustituir la M por 1 medio

69
00:06:46,199 --> 00:06:54,750
Si M es igual a 1 medio, entonces ¿qué?

70
00:06:56,129 --> 00:06:58,810
Veamos cómo queda la matriz de coeficientes

71
00:06:58,810 --> 00:07:02,610
Pues menos 2 por 1 medio sería menos 1

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00:07:02,610 --> 00:07:04,769
Menos 1 aquí

73
00:07:04,769 --> 00:07:09,170
Y aquí donde pone M pondremos 1 medio

74
00:07:09,170 --> 00:07:14,310
Observar que claramente el rango de esta matriz no puede ser tampoco 3

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00:07:14,310 --> 00:07:17,689
Porque la primera fila y la tercera fila son iguales

76
00:07:17,689 --> 00:07:24,129
Pero eso ya lo sabíamos, porque m igual a un medio sale precisamente de igualar a cero el determinante de la matriz.

77
00:07:24,670 --> 00:07:35,430
Observar de nuevo este menor, que aun siendo distinto del caso m igual a menos uno, produce también un determinante que es distinto de cero.

78
00:07:39,110 --> 00:07:45,449
Fijaros, dos más un medio, cinco medios, distinto de cero.

79
00:07:45,449 --> 00:07:50,129
Así que el rango de A es igual a 2.

80
00:07:50,649 --> 00:07:53,990
¿Qué le pasará a la matriz ampliada?

81
00:07:54,389 --> 00:08:01,290
Pues la matriz ampliada va a tener las mismas tres primeras columnas con los mismos valores.

82
00:08:06,730 --> 00:08:11,670
Y la última de las columnas, acordaros, era 1, menos 1, 1.

83
00:08:11,670 --> 00:08:16,730
con lo que fijaros lo que pasa con la cuarta columna y con la tercera columna

84
00:08:16,730 --> 00:08:17,990
son iguales

85
00:08:17,990 --> 00:08:25,290
eso significa que el rango de la matriz ampliada es igual que el rango de la matriz de coeficientes

86
00:08:25,290 --> 00:08:28,790
como nuevamente vuelve a ser menor que el número de incógnitas

87
00:08:28,790 --> 00:08:37,649
que tenemos entonces nuevamente un sistema

88
00:08:37,649 --> 00:08:40,809
compatible

89
00:08:40,809 --> 00:08:45,169
indeterminado

90
00:08:45,169 --> 00:08:53,529
por lo tanto tenemos resuelto ya el apartado primero

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00:08:53,529 --> 00:08:57,129
sabemos que el sistema será compatible determinado

92
00:08:57,129 --> 00:09:00,590
es decir, tendrá una única solución cuando m sea distinto de menos uno

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00:09:00,590 --> 00:09:02,450
y m sea distinto de un medio

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00:09:02,450 --> 00:09:04,570
para cualquier valor que no sea esos dos

95
00:09:04,570 --> 00:09:06,690
será compatible determinado

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00:09:06,690 --> 00:09:10,029
en el caso de que sea m igual a menos uno

97
00:09:10,029 --> 00:09:11,330
o m igual a un medio

98
00:09:11,330 --> 00:09:14,210
entonces el sistema será compatible indeterminado

99
00:09:14,210 --> 00:09:18,850
y tendrá infinitas soluciones que en paramétrica serán dependientes de un parámetro,

100
00:09:18,970 --> 00:09:24,909
ya que como el rango ha salido 2, que es menor que 3, 3 menos 2 es 1, así que dependen de un parámetro.

101
00:09:25,529 --> 00:09:35,549
En el caso del apartado B, que se trataba de resolver para el caso precisamente M igual a 1 medio,

102
00:09:35,710 --> 00:09:41,169
que es el que es sistema compatible indeterminado, nosotros sabemos que la matriz ampliada,

103
00:09:41,169 --> 00:09:51,740
ya la estáis viendo ahí arriba, presenta, fijaros bien, dos filas que son exactamente iguales,

104
00:09:53,419 --> 00:09:55,740
que son la primera y la tercera.

105
00:09:59,269 --> 00:10:03,129
Como nosotros hemos estudiado que este menor tiene determinante distinto de cero,

106
00:10:03,669 --> 00:10:08,429
lo que vamos a proponer es un nuevo sistema de ecuaciones solo con las dos primeras filas,

107
00:10:09,889 --> 00:10:15,549
en las que la variable z pasa a ser el parámetro.

108
00:10:15,710 --> 00:10:20,149
Es decir, nuestro sistema a resolver va a ser x menos y igual a 1 menos z.

109
00:10:22,370 --> 00:10:28,629
x medios más 2y igual a menos 1 más z.

110
00:10:30,590 --> 00:10:32,549
Este es el sistema que vamos a resolver.

111
00:10:33,269 --> 00:10:42,809
Mismamente, multiplicando la primera ecuación por 2, tendríamos 2x menos 2y igual a 2 menos 2z.

112
00:10:42,809 --> 00:10:51,309
y en la segunda la dejamos igual, x medios más 2y igual a menos 1 más z.

113
00:10:51,690 --> 00:10:59,549
¿De dónde? Sumando, fijaros, la y, que era lo que pretendía yo multiplicando por 2, se va a eliminar

114
00:10:59,549 --> 00:11:09,870
y va a quedar aquí 1 menos z y en la parte de la izquierda 2x más x medios será 5x medios.

115
00:11:09,870 --> 00:11:16,029
¿De dónde entonces x será? 2 menos 2z partido de 5.

116
00:11:19,029 --> 00:11:27,429
Para obtener y, podemos tomar la primera ecuación, observar que en la primera ecuación, que era x menos y igual a 1 menos z,

117
00:11:28,529 --> 00:11:34,330
podemos despejar la y y decir que x menos 1 más z es igual a y.

118
00:11:34,330 --> 00:11:42,250
O sea, que la Y es 2 menos 2Z partido de 5, que eso es la X, menos 1 y más Z.

119
00:11:42,750 --> 00:11:52,409
Si le ponemos a todo denominador común que es 5, 2 menos 2Z menos 5 y más 5Z sería la Y.

120
00:11:52,590 --> 00:11:59,049
Es decir, simplificando, sería menos 3 más 3Z partido de 5.

121
00:11:59,049 --> 00:12:12,870
Así que la solución del sistema podría ser las paramétricas x es igual a 2 quintos por 1 menos t,

122
00:12:13,929 --> 00:12:21,889
llamamos a la z t, la y sería 3 quintos por menos 1 más t,

123
00:12:21,889 --> 00:12:29,029
y la z es t siempre que t sea cualquier valor real.

124
00:12:29,049 --> 00:12:33,450
Estas son las soluciones del sistema para M igual a 1 medio

125
00:12:33,450 --> 00:12:40,289
Y con ello acabamos el ejercicio A1 de la convocatoria ordinaria de la EBAU Madrid 2022

126
00:12:40,289 --> 00:12:42,690
Un saludo y hasta el próximo vídeo