1 00:00:02,480 --> 00:00:10,179 Hola, buenas tardes. Vamos a repasar en esta clase la segunda evaluación de matemáticas. 2 00:00:11,099 --> 00:00:18,140 Nivel 2 es el tema del álgebra. Entonces, pues vamos a pasar un poco por encima 3 00:00:18,140 --> 00:00:22,780 sobre los aspectos más importantes de esta lección. 4 00:00:24,120 --> 00:00:31,539 En el álgebra empezamos viendo expresiones algebraicas en las que, vale, 5 00:00:31,539 --> 00:00:38,899 pues reconocíamos una parte literal, que son las letras, que son nuestras incógnitas, 6 00:00:39,020 --> 00:00:45,399 las que tenemos que resolver o de las que no conocemos su valor y tenemos que calcularlo. 7 00:00:46,079 --> 00:00:54,840 Tenemos también la parte que acompaña a las letras, que son los términos, 8 00:00:54,840 --> 00:01:04,879 y luego están los coeficientes que son los que tiene cada uno de los términos de la variable literal. 9 00:01:04,879 --> 00:01:28,079 Bien, pues esto que ya se conoce de nivel 1, las expresiones algebraicas, ya digo, están compuestas por una serie de expresiones con números y letras en las que tenemos entre ellas unas operaciones. 10 00:01:28,079 --> 00:01:42,579 A veces esas operaciones pueden ser de multiplicación, como es el producto, con diferentes variables y otras veces, pues entre ellas se pueden sumar o restar. 11 00:01:42,579 --> 00:01:47,920 Importante calcular el valor numérico 12 00:01:47,920 --> 00:01:51,760 Si sustituimos el valor de la variable 13 00:01:51,760 --> 00:01:53,680 Si lo sustituimos por un número 14 00:01:53,680 --> 00:01:58,700 Podemos llegar a saber cuánto es nuestra expresión algebraica 15 00:01:58,700 --> 00:01:59,459 Cuánto vale 16 00:01:59,459 --> 00:02:04,079 Y si tenemos más de una 17 00:02:04,079 --> 00:02:07,000 Por ejemplo, en este caso solo tenemos la X 18 00:02:07,000 --> 00:02:10,039 Pero podríamos tener, en este caso, 3 19 00:02:10,039 --> 00:02:11,539 A, B y C 20 00:02:11,539 --> 00:02:19,740 Entonces, sustituyendo los valores de cada una de ellas, podemos llegar a saber el valor de esta expresión y luego operando. 21 00:02:20,960 --> 00:02:30,680 Bien, otra parte de la lección que vimos es las desigualdades, cuando algo es mayor o menor que otro. 22 00:02:30,979 --> 00:02:39,819 Por ejemplo, este símbolo, esta parte de aquí indica que esto es mayor y esta parte de aquí indica que es menor. 23 00:02:39,819 --> 00:02:49,819 Si lo tenemos de la forma contraria, en esta parte de aquí tendremos el valor menor y aquí el valor mayor. 24 00:02:51,020 --> 00:03:00,120 Mayor que, menor que, cualquier número puede ser entre los enteros tanto positivo como negativo. 25 00:03:00,120 --> 00:03:14,169 Y luego, operando, pues también podemos ver si, por ejemplo, este sencillo 3 más 7 es mayor o menor que 10 más 7. 26 00:03:14,330 --> 00:03:19,550 Pues obviamente 10 más 7 es mayor que 3 más 7, entonces el símbolo sería así. 27 00:03:20,370 --> 00:03:28,370 Bien, pues en cualquiera de estas operaciones, resolviéndolo, calculamos a derecha e izquierda de esta desigualdad 28 00:03:28,370 --> 00:03:33,370 y luego ya ponemos el símbolo como corresponda. 29 00:03:36,430 --> 00:03:44,490 Las expresiones algebraicas también las podemos equiparar con un enunciado. 30 00:03:44,990 --> 00:03:49,330 Entonces, cuando nosotros tenemos que resolver los problemas, 31 00:03:50,810 --> 00:03:55,110 nos vienen dados con un enunciado en el que dentro de ese enunciado 32 00:03:55,110 --> 00:04:03,069 tenemos que ir palabra a palabra desilbanando de qué significa, por ejemplo, la mitad de 33 00:04:03,069 --> 00:04:09,509 un número, un número que no conocemos, pues la mitad quiere decir partido por dos, más 34 00:04:09,509 --> 00:04:16,170 siete, pues más siete, entonces ya tenemos una expresión arcebraica que hemos convertido 35 00:04:16,170 --> 00:04:25,370 de un enunciado en unos términos matemáticos. Por ejemplo, el doble de un número, el doble 36 00:04:25,370 --> 00:04:33,550 de un número, el número que no conocemos, su doble es 2x menos 3. Pues así, en cualquier 37 00:04:33,550 --> 00:04:39,569 problema que nos planteen, las expresiones algebraicas tenemos, ya digo, que irla desgranando 38 00:04:39,569 --> 00:04:50,910 y equiparando con operaciones matemáticas en la que aparezca una variable que no conocemos. 39 00:04:55,769 --> 00:05:01,189 Bien, pues bajamos un poquito más y vamos a ver qué son los polinomios. 40 00:05:01,430 --> 00:05:08,810 En realidad nuestra lección con vistas al examen va a empezar aquí, que son por una parte los monomios, 41 00:05:08,810 --> 00:05:21,529 que son expresiones donde los números multiplican a las letras y éstas suelen estar elevadas a un exponente 42 00:05:21,529 --> 00:05:32,870 y los polinomios son diferentes monomios normalmente ordenados de más a menos grado 43 00:05:32,870 --> 00:05:38,069 del monomio, los monomios de más grado, pues por ejemplo 44 00:05:38,069 --> 00:05:42,689 x a la cuarta tiene más grado que x al cuadrado 45 00:05:42,689 --> 00:05:45,329 más que x o el término independiente, entonces 46 00:05:45,329 --> 00:05:50,050 los polinomios, ya digo, son diferentes monomios ordenados de más 47 00:05:50,050 --> 00:05:51,389 a menos grado 48 00:05:51,389 --> 00:05:56,689 dentro de los polinomios pueden tener 49 00:05:56,689 --> 00:06:02,129 el grado mayor, el que sea, pueden estar completos 50 00:06:02,129 --> 00:06:10,750 o incompletos, podemos, en este caso nos falta el término en x3 y en algún otro puede estar 51 00:06:10,750 --> 00:06:17,870 completo o no, ya digo, y entre sí cada uno de los monomios están separados por sumas 52 00:06:17,870 --> 00:06:26,750 o restas. Entonces, ¿cómo vamos a sumar polinomios o restar polinomios? Para sumar 53 00:06:26,750 --> 00:06:37,430 polinomios, pues se ordenan uno debajo de otro como una suma aritmética en la que vamos 54 00:06:37,430 --> 00:06:48,050 poniendo el mismo exponente de la x y lo vamos poniendo para los diferentes polinomios ordenados 55 00:06:48,050 --> 00:06:59,310 ya digo en columna. Esto sería x3 de estos tres polinomios p, q y r. Bien, pues el x2 56 00:06:59,310 --> 00:07:06,449 sería el que pondríamos debajo, el término en x el siguiente, si alguno no lo tiene, 57 00:07:06,569 --> 00:07:10,769 como por ejemplo este polinomio que no lo tiene, dejamos un hueco y luego el término 58 00:07:10,769 --> 00:07:17,370 independiente, que el primero no lo tiene pero los demás sí. Y operamos en columna 59 00:07:17,370 --> 00:07:21,029 de arriba para abajo, operamos en columna 60 00:07:21,029 --> 00:07:24,990 en este caso la parte 61 00:07:24,990 --> 00:07:28,709 numérica que hay delante de la variable 62 00:07:28,709 --> 00:07:33,769 entonces decimos menos 4, más 1, menos 2 63 00:07:33,769 --> 00:07:36,410 o sea, menos 6, más 1, menos 5 64 00:07:36,410 --> 00:07:41,629 aquí menos 4, más 5, más 1, 5 y 3, 8 65 00:07:41,629 --> 00:07:45,790 y aquí positivos, más 2 y más 4, más 6 66 00:07:45,790 --> 00:07:55,870 menos 1, 5. En fin, operaríamos así, poniéndolos unos encima de otros y haciendo coincidir 67 00:07:55,870 --> 00:08:03,730 siempre el rango de la variable uno encima del otro. Cuando es una resta, para restar 68 00:08:03,730 --> 00:08:15,170 yo operaría sumando el opuesto. Por ejemplo, si yo aquí tengo p y le quiero restar q, 69 00:08:15,170 --> 00:08:29,370 pues lo que hacemos es poner aquí menos q y lo sumo, a p le sumo menos q y ya podemos operar tranquilamente 70 00:08:29,370 --> 00:08:38,289 que lo que nos da es una resta. Bien, la multiplicación, bueno, en este curso no entra, 71 00:08:38,289 --> 00:08:45,049 pero la división se va a realizar por Ruffini, en la que un polinomio más grande lo dividimos, 72 00:08:45,169 --> 00:08:51,970 el dividendo se divide entre un divisor más pequeñito, por ejemplo, no más pequeñito en lo largo, 73 00:08:52,149 --> 00:08:56,909 sino en grado, x4 lo vamos a dividir entre x, x a la 1. 74 00:08:57,649 --> 00:09:06,750 Bien, pues para dividir por Ruffini vamos colocando, voy a bajar un poquito más, 75 00:09:06,750 --> 00:09:28,529 Vamos colocando los coeficientes del dividendo, lo que hay delante de cada uno de los términos, la parte numérica, si en alguna no hubiera porque no hay término en x, por ejemplo en este no hay término en x3, pues se pone un 0, los que si lo hay ponemos el valor que le corresponde 76 00:09:28,529 --> 00:09:48,309 Y ahora dividimos entre, aquí el divisor es x menos 3, entonces si x es menos 3, quiere decir que x es igual a 3, dividimos entre 3 positivo, por eso el 3 es positivo. 77 00:09:48,309 --> 00:09:57,909 Si fuera, en vez de x menos 3, fuera x más 6, dividiríamos entre menos 6 78 00:09:57,909 --> 00:10:01,929 O sea, queremos saber el valor de x a la hora de dividir 79 00:10:01,929 --> 00:10:09,570 Bien, pues x este es igual a 3, el otro sería al contrario de lo que nos está poniendo en el polinomio 80 00:10:09,570 --> 00:10:31,590 Entonces a la hora de dividir, pues bajamos este primer término, multiplicamos, lo colocamos aquí, 3 por 1 es 3, sumamos, aquí tenemos el 3, multiplicamos 3 por 3 es 9, colocamos aquí, le restamos 9 menos 3 es 6, por 3 es 18. 81 00:10:31,590 --> 00:10:53,009 y luego volvemos a multiplicar, 54, sumamos y esto es el final de nuestro polinomio. 82 00:10:53,269 --> 00:10:58,710 Dices, vale, pues ¿y ahora cómo dejamos esto organizado? 83 00:10:59,629 --> 00:11:09,549 Estos números que nos dan es el polinomio en grado independiente x1, x2 y x3. 84 00:11:09,549 --> 00:11:28,590 Esto serían, hemos bajado el primero de aquí, el primer polinomio que era grado x4, le hemos bajado un grado, porque para eso al dividir x4 entre x nos vamos a bajar un grado y nos queda x3, x2, x y término independiente 18. 85 00:11:28,590 --> 00:11:44,210 Y el resto es 56, así es que por Ruffini, ya digo, el resto es 56, esto se quedaría así expresado, y este es el cociente, cociente y resto. 86 00:11:44,210 --> 00:11:51,789 Bien, más cosas a tener en cuenta con los polinomios que son las identidades notables 87 00:11:51,789 --> 00:11:57,610 Las sumas, el cuadrado de una suma, por supuesto de dos números desconocidos 88 00:11:57,610 --> 00:12:02,809 porque si fuera 3 más 5 los conocemos, pero van a ser números que no conocemos 89 00:12:02,809 --> 00:12:08,730 que son, ya lo sabemos, A y B, estas letras representan a números que no conocemos 90 00:12:08,730 --> 00:12:14,090 El cuadrado, ya digo, de una suma es el cuadrado del primero más el cuadrado del segundo 91 00:12:14,090 --> 00:12:17,250 más el doble producto del primero por el segundo 92 00:12:17,250 --> 00:12:21,429 el cuadrado de una diferencia empieza igual 93 00:12:21,429 --> 00:12:24,029 cuadrado del primero más cuadrado del segundo 94 00:12:24,029 --> 00:12:27,549 menos el doble producto del primero por el segundo 95 00:12:27,549 --> 00:12:31,110 y luego, diferencia de cuadrados 96 00:12:31,110 --> 00:12:35,289 más por menos es 97 00:12:35,289 --> 00:12:38,950 o sea, a más b por a menos b es 98 00:12:38,950 --> 00:12:41,529 cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo 99 00:12:41,529 --> 00:12:44,190 Este último es el más fácil de todos. 100 00:12:45,230 --> 00:12:53,909 Bien, pues ejercicios con polinomios y identidades notables, esos entran en el examen. 101 00:12:54,490 --> 00:13:05,450 Vamos a ver ecuaciones, cómo conseguimos sacar el valor de la X en una ecuación primero de primer grado. 102 00:13:05,450 --> 00:13:21,230 Entonces, lo importante es dejar la X sola y lo que la acompaña, llevarlo al otro miembro. Por ejemplo, si está multiplicando pasa dividiendo, cuando está sumando pasa restando y así. 103 00:13:21,230 --> 00:13:34,470 Entonces, nuestro valor de la X, ya digo, tenemos que agrupar por una parte los términos que tienen X en un lado y los términos que no tienen X en otro lado. 104 00:13:34,470 --> 00:13:49,529 Bien, pues si este le pasamos hacia la izquierda pasa negativo, si este menos pasa a la derecha pasa positivo, entonces ya tendríamos 2x menos x y 6 más 3. 105 00:13:49,529 --> 00:13:54,429 2x menos x, una x es igual a 9 106 00:13:54,429 --> 00:13:57,870 si tuviéramos un número por el que multiplicara 107 00:13:57,870 --> 00:14:00,269 que no fuera una sola, sino fueran más 108 00:14:00,269 --> 00:14:03,870 pasarían, como en este caso, dividiendo 109 00:14:03,870 --> 00:14:07,330 entonces, principal, importante 110 00:14:07,330 --> 00:14:12,690 que cada término lo vayamos despejando 111 00:14:12,690 --> 00:14:16,730 agrupando los que tienen x y al otro lado los que no la tienen 112 00:14:16,730 --> 00:14:19,669 También se agrupan, se despejan 113 00:14:19,669 --> 00:14:28,970 Y si tenemos paréntesis, lo primero es la multiplicación por el paréntesis y quitarlo 114 00:14:28,970 --> 00:14:31,309 2 por 2x, 2 por menos 3 115 00:14:31,309 --> 00:14:34,909 Y luego ya operamos igual que antes 116 00:14:34,909 --> 00:14:39,409 Si tenemos paréntesis a ambos lados de la igualdad 117 00:14:39,409 --> 00:14:42,269 Pues sería lo mismo 118 00:14:42,269 --> 00:14:48,009 Lo primero quitar paréntesis, 4 por x y 4 por menos 10. 119 00:14:48,250 --> 00:14:55,870 Aquí multiplicaríamos, operamos, menos 6 por 2 y menos 6 por menos x. 120 00:14:56,610 --> 00:15:02,929 Aquí también operamos, menos 6 por 2, menos 12 y menos 6 por menos x, más 6x. 121 00:15:05,120 --> 00:15:06,019 ¿Cómo lo hacemos? 122 00:15:06,019 --> 00:15:13,320 si tenemos, o sea, aquí tenemos más paréntesis una vez que hemos resuelto las X a un lado, 123 00:15:13,419 --> 00:15:19,220 por ejemplo aquí a la izquierda, y los números a la derecha. ¿Cómo lo hacemos si tenemos 124 00:15:19,220 --> 00:15:25,019 fracciones? Lo primero tenemos que quitar denominadores. Después de quitar denominadores 125 00:15:25,019 --> 00:15:30,860 con el mínimo como múltiplo, a la derecha y a la izquierda la igualdad. Aquí tenemos 126 00:15:30,860 --> 00:15:38,460 que quitar denominadores a este lado y a este lado. Bien, cuando ya todos los miembros tienen 127 00:15:38,460 --> 00:15:43,460 el mismo denominador, se quitan y se queda la parte de arriba, pero ojo con este menos 128 00:15:43,460 --> 00:15:49,960 porque este menos afecta a todo el numerador de la siguiente fracción, con lo cual es 129 00:15:49,960 --> 00:15:57,919 menos 3x más 9. Y una vez que ya lo tenemos de forma lineal, las x a un lado, los números 130 00:15:57,919 --> 00:16:05,659 al otro, también está bien llevar las x al lado donde van a dar positivo, yo habría 131 00:16:05,659 --> 00:16:10,379 llevado a lo mejor el menos 3x a la derecha, este para la derecha y los números a la izquierda, 132 00:16:10,899 --> 00:16:18,019 pero bueno, al final menos entre menos va a quedar, el valor va a dar lo mismo. Cuando 133 00:16:18,019 --> 00:16:27,759 tenemos en este caso estas fracciones, pues lo primero poner todo el numerador, aquí 134 00:16:27,759 --> 00:16:33,139 tenemos el producto de una fracción por un paréntesis, con lo cual esa fracción multiplica 135 00:16:33,139 --> 00:16:41,639 al 2x y la misma fracción multiplica al 4. Bien, nos genera a la izquierda de la igualdad 136 00:16:41,639 --> 00:16:48,139 dos fracciones con 4 de denominador, pero ahora tenemos que convertir esto y esto en 137 00:16:48,139 --> 00:16:59,120 otras dos fracciones que podamos multiplicar, operar a derecha e izquierda. Entonces, pues 138 00:16:59,120 --> 00:17:05,680 podemos multiplicar arriba y abajo por 4 o simplificar, total, al final quitar todos 139 00:17:05,680 --> 00:17:11,980 los denominadores y que nos quede de forma lineal y podamos agruparlos, x a un lado y 140 00:17:11,980 --> 00:17:19,869 términos al otro, etcétera. Cuando todas las fracciones a derecha e izquierda tienen 141 00:17:19,869 --> 00:17:27,670 diferente denominador, mínimo como múltiplo, el que sea, y luego ya tachamos los denominadores 142 00:17:27,670 --> 00:17:35,069 y nos quedamos solo con la parte de arriba y operamos. Ahí ya calculamos, operamos, 143 00:17:35,309 --> 00:17:42,670 simplificamos y pasamos todas las x a un lado y los números a otro, a la derecha o a la 144 00:17:42,670 --> 00:17:51,869 izquierda, da igual. Bueno, pues así operaríamos en ecuaciones de primer grado cuando tenemos 145 00:17:51,869 --> 00:18:00,589 que despejar la X y dejar el valor, dar un solo valor. Si los problemas que nos plantean 146 00:18:00,589 --> 00:18:10,490 son de ecuaciones en las que solo hay una incógnita, pues podemos poner uno en función 147 00:18:10,490 --> 00:18:20,369 del otro, por ejemplo, si la edad de mi hermano es el doble que la mía, o sea, la mía es 148 00:18:20,369 --> 00:18:30,029 X y la de mi hermano es 2X y te dice que la suma de ambas edades es 42, pues una edad 149 00:18:30,029 --> 00:18:39,210 en función de la otra, el resultado es 42, operamos y me da un valor, el valor de X. 150 00:18:41,809 --> 00:18:48,910 ¿Cuántos años tengo? Este número normalmente tiene que dar número positivo y número no decimal. 151 00:18:50,049 --> 00:18:55,869 Entonces sería un número natural, porque lo que estamos valorando es una edad. 152 00:18:55,869 --> 00:19:06,369 Ni va a dar negativo ni va a dar decimal, con lo cual, cuando nos den la solución de los problemas, tenemos que tener en cuenta lo que nos están pidiendo que tenga sentido. 153 00:19:06,369 --> 00:19:15,710 Bien, pues a la hora de plantear, ya digo, los problemas con ecuaciones de primer grado 154 00:19:15,710 --> 00:19:26,069 vamos leyendo el enunciado, el lenguaje algebraico lo tenemos que pasar a ecuaciones con números y letras 155 00:19:26,069 --> 00:19:29,609 y buscar la igualdad, ¿dónde está la igualdad? 156 00:19:32,039 --> 00:19:34,880 Bien, vamos a las ecuaciones de segundo grado 157 00:19:34,880 --> 00:19:52,519 Las ecuaciones de segundo grado sí o sí las tenemos que resolver, ya no podemos resolverlas como antes fáciles, ahora tenemos que resolverlas con una fórmula, ya digo de segundo grado, no polinomios que tengan más grado. 158 00:19:52,519 --> 00:20:20,240 Si ax cuadrado más bx más c, esta es nuestra ecuación, la resolvemos con una fórmula en la que decimos x es igual a menos b, b es este término, menos b más menos raíz cuadrada de b al cuadrado menos cuatro veces a por c. 159 00:20:20,240 --> 00:20:26,859 siempre tenemos que identificar A, B y C en nuestra ocasión de segundo grado 160 00:20:26,859 --> 00:20:28,619 para poderle aplicar la fórmula 161 00:20:28,619 --> 00:20:32,019 a esto lo partimos por 2 por A 162 00:20:32,019 --> 00:20:38,000 entonces ya digo, menos B más menos raíz cuadrada de B cuadrado menos 4 por A por C 163 00:20:38,000 --> 00:20:41,019 partido de 2A, esto hay que aprendérselo como una letanía 164 00:20:41,019 --> 00:20:45,380 porque si no, no podemos resolver ecuaciones de segundo grado 165 00:20:45,380 --> 00:20:52,980 y ya digo, en el examen pues se va a pedir que se resuelva con esta fórmula 166 00:20:52,980 --> 00:21:00,440 esto cuando la ecuación es completa nos va a dar siempre dos soluciones 167 00:21:00,440 --> 00:21:05,759 ¿por qué? porque al ser de segundo grado tenemos dos soluciones 168 00:21:05,759 --> 00:21:08,119 si fuera de tercer grado tendríamos tres 169 00:21:08,119 --> 00:21:13,740 y las ecuaciones que hemos visto un poquito antes de primer grado 170 00:21:13,740 --> 00:21:30,700 estas X solo tiene un solo valor, pero de segundo grado tiene dos soluciones, a veces simplemente es una positiva y otra negativa, 171 00:21:30,700 --> 00:21:55,720 Pero ya tenemos dos soluciones. Bien, cuando la ecuación no es completa, podemos tener la resolución de ecuaciones incompletas en la que nos falte o bien el término independiente o bien el término en x. 172 00:21:55,720 --> 00:22:19,430 Por ejemplo, si nos falta el término en X y nuestra ecuación es del estilo de AX cuadrado más C, nos falta el término en X, lo que hacemos es vamos a despejar esta X y vamos a mandar, como en las ecuaciones de primer grado, todos los términos al otro lado. 173 00:22:19,430 --> 00:22:33,369 O sea, el c pasa restando, la a pasa dividiendo y como nos quitamos el cuadrado de la x, pues por medio de la raíz. 174 00:22:34,190 --> 00:22:39,710 Entonces, por ejemplo, en este ejemplo, 2x cuadrado menos 8 igual a 0. 175 00:22:39,710 --> 00:23:01,170 Bien, el menos 8 pasa positivo, el 2 pasa dividiendo, tendríamos x cuadrado igual a 8 medios, que es 4, y ahora este cuadrado lo hacemos despejando la raíz del término de la derecha. 176 00:23:01,170 --> 00:23:08,109 Entonces nos va a dar dos soluciones, es verdad que son dos, la positiva y la negativa, más menos raíz de 4. 177 00:23:08,589 --> 00:23:22,089 ¿Por qué? Porque más al cuadrado y menos, perdón, más 2 al cuadrado y menos 2 al cuadrado es la misma solución, sería raíz de 4. 178 00:23:23,150 --> 00:23:29,490 Eso en el caso de ecuaciones de segundo grado incompletas que le falta el término en x. 179 00:23:29,490 --> 00:23:34,369 Cuando lo que nos falta es el término independiente 180 00:23:34,369 --> 00:23:38,569 Tenemos ax cuadrado más bx igual a 0 181 00:23:38,569 --> 00:23:41,089 Aquí nos falta el término independiente 182 00:23:41,089 --> 00:23:46,029 Pues bien, en este caso vamos a operar de otra manera 183 00:23:46,029 --> 00:23:54,150 Vamos a factorizar y vamos a sacar la x factor común 184 00:23:54,150 --> 00:23:58,529 Y decimos que aquí hay x, aquí también la saco factor común 185 00:23:58,529 --> 00:24:20,069 abro paréntesis y digo, si yo saco de aquí una x me queda 3 y otra x, pues lo ponemos, y de este 5x saco su x y me queda 5, con lo cual la x, si yo la multiplico por lo que he metido en el paréntesis, nos vuelve a reproducir otra vez la ecuación incompleta. 186 00:24:20,069 --> 00:24:25,549 pero al tenerla de esta forma que es un producto y que es igual a cero 187 00:24:25,549 --> 00:24:32,230 cuando algo es igual a cero o bien esta x de aquí es igual a cero y lo planteo 188 00:24:32,230 --> 00:24:37,490 o bien el paréntesis es igual a cero y lo planteo 189 00:24:37,490 --> 00:24:42,829 esas son las dos soluciones que voy a buscar 190 00:24:42,829 --> 00:24:48,630 una de ellas que la x sea cero y otra que 3x más 5 sea cero 191 00:24:48,630 --> 00:25:02,970 Bien, pues aquí ya esta es muy muy sencilla, pasa el 5 negativo, el 3 dividiendo, menos 5 tercios, una solución y x0 va a ser siempre, siempre la otra solución 192 00:25:02,970 --> 00:25:19,329 Uno de los valores es cero y el otro el que nos dé el resultado del paréntesis que he tenido yo que factorizar para forzar a este producto de la X con otra cosa dentro. 193 00:25:19,329 --> 00:25:29,650 Bueno, pues esa es la resolución de sistemas de ecuaciones, ya digo, o incompletas de estas dos maneras 194 00:25:29,650 --> 00:25:33,829 o ecuaciones completas con la fórmula 195 00:25:33,829 --> 00:25:42,190 La fórmula está para la ecuación de segundo grado con los tres términos 196 00:25:42,190 --> 00:25:52,500 Bien, los problemas de ecuaciones de segundo grado son semejantes a los de primer grado 197 00:25:52,500 --> 00:25:57,480 Solo que en el enunciado ya nos van a decir algo más 198 00:25:57,480 --> 00:26:03,000 Dice el cuadrado de un número positivo menos el doble de un número 199 00:26:03,000 --> 00:26:12,359 El número no sabemos cuál es, pero el cuadrado de un número positivo menos el doble de un número 200 00:26:12,359 --> 00:26:17,359 El doble de un número, lenguaje algebraico es esto, es igual a 3 201 00:26:17,359 --> 00:26:20,720 Aquí tenemos nuestra ecuación de segundo grado 202 00:26:20,720 --> 00:26:26,599 Si la queremos aplicar la fórmula, debemos aplicar la fórmula 203 00:26:26,599 --> 00:26:35,960 Tendríamos que igualar a cero y diríamos x2 menos 2x menos 3 igual a cero 204 00:26:35,960 --> 00:26:43,000 Ahora ya sí, ahora ya identificamos a que es 1 205 00:26:43,000 --> 00:26:48,160 b que es menos 2 206 00:26:48,160 --> 00:27:06,920 Lo digo porque al aplicar la fórmula para resolver esta ecuación y C es menos 3, lo primero yo pondría siempre los valores de A, B y C y luego ya le aplicaría la fórmula. 207 00:27:06,920 --> 00:27:11,160 Aquí dice de qué número positivo se trata 208 00:27:11,160 --> 00:27:17,240 Bien, eso es porque seguramente este sistema de ecuaciones nos va a dar dos soluciones 209 00:27:17,240 --> 00:27:21,079 Una en positivo y una en negativo 210 00:27:21,079 --> 00:27:26,140 Porque al ser x cuadrado nos da dos soluciones 211 00:27:26,140 --> 00:27:28,519 Pero nos está pidiendo la positiva 212 00:27:28,519 --> 00:27:32,440 Así es que cuando resolvamos la ecuación 213 00:27:32,440 --> 00:27:37,160 la que tenemos que dar como el número que se trata es el positivo. 214 00:27:38,420 --> 00:27:44,640 Bien, pues en cualquiera de los demás problemas vamos buscando en el lenguaje algebraico 215 00:27:44,640 --> 00:27:50,079 cómo traducirlo a un sistema de ecuaciones que podamos resolver. 216 00:27:50,980 --> 00:27:59,319 Y si luego son medidas que nosotros podemos obtener por medio de ellas 217 00:27:59,319 --> 00:28:16,759 un área, una longitud, un perímetro, etc., pues aquí ya aplicamos en los problemas las ecuaciones algebraicas y las medidas de longitud o de superficie. 218 00:28:16,759 --> 00:28:38,099 Bien, cuando tenemos dos ecuaciones, no una ecuación, un polinomio, sino ecuaciones con dos incógnitas, nuestras dos variables van a necesitar dos ecuaciones. 219 00:28:38,099 --> 00:28:42,240 No nos vale una sola ecuación, porque si no, no las podemos resolver. 220 00:28:42,940 --> 00:28:54,019 Entonces, si tenemos, por ejemplo, 3x más 2y igual a 6, 2x más y igual a 5, 221 00:28:54,319 --> 00:29:03,720 este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas nos va a dar los valores de la x y los valores de la y. 222 00:29:03,720 --> 00:29:10,099 Bien, hay tres formas de resolver estas ecuaciones 223 00:29:10,099 --> 00:29:16,099 Por ejemplo, el método de sustitución 224 00:29:16,099 --> 00:29:22,740 En una de ellas, donde veamos de los cuatro términos el que está más sencillo 225 00:29:22,740 --> 00:29:27,299 Lo despejamos y decimos la x es igual a 4 menos 2y 226 00:29:27,299 --> 00:29:32,259 Lo tenemos aquí y si esto vale la x de la segunda ecuación 227 00:29:32,259 --> 00:29:38,180 Nosotros cogemos ese valor de la X y lo introducimos en la X de la primera 228 00:29:38,180 --> 00:29:45,380 En la primera ecuación, lo que diga que vale la X, pongo su equivalente que he sacado de la segunda 229 00:29:45,380 --> 00:29:50,259 Entonces sustituyo donde vea X, pongo 4 menos 2Y 230 00:29:50,259 --> 00:29:53,880 Se lo sumo al resto, más 4Y más 10 231 00:29:53,880 --> 00:29:57,079 Bien, opero 3 por 4, 12 232 00:29:57,079 --> 00:30:07,759 3 por menos 2i menos 6i, más 4i igual a 10, ta ta ta ta, pero pero pero hasta saber que la i vale 1 233 00:30:07,759 --> 00:30:18,059 Cuando ya tengo de cierto uno de los valores, una incógnita, con este mismo valor me da lo mismo 234 00:30:18,059 --> 00:30:25,799 En esta o en esta, en cualquiera de las dos ecuaciones sustituyo la i para conseguir la x 235 00:30:25,799 --> 00:30:29,799 en este caso pues hemos vuelto a sustituirla aquí abajo 236 00:30:29,799 --> 00:30:34,039 pero podríamos hacerlo al lado de arriba porque este valor de la y es el mismo 237 00:30:34,039 --> 00:30:36,640 en una y en otra, es el mismo 238 00:30:36,640 --> 00:30:39,759 bien, pues entonces en esta 239 00:30:39,759 --> 00:30:43,759 la segunda, x vale 4 menos 2y 240 00:30:43,759 --> 00:30:47,099 4 menos 2 por 1 que es 2 241 00:30:47,099 --> 00:30:48,940 4 menos 2, 2 242 00:30:48,940 --> 00:30:53,640 así es que la solución x es igual a 2 243 00:30:53,640 --> 00:31:13,839 Y es igual a 1. Esa es la solución del sistema de ecuaciones. X2 y 1. Ese es el método de sustitución. Vamos a ver que podemos también resolver por otro método, como es el de igualación. 244 00:31:13,839 --> 00:31:40,839 Bueno, en el método de igualación, cualquiera de las dos variables, lo que hacemos es despejarlas y decir cuánto vale la x, así es que el 7y lo paso al otro miembro restando, el 3 pasa dividiendo, dice vale, en la primera la x vale esto, en la primera ecuación, la x vale 17 menos 7y partido por 3, 245 00:31:40,839 --> 00:32:00,579 ¿Y qué vale en la segunda la x? Si estamos igualando la misma variable, en la segunda la x, el 5 pasa restando, 14 menos 5y, y el 4 pasa dividiendo, con lo cual la x es 14 menos 5y partido de 4. 246 00:32:00,579 --> 00:32:04,900 Esto nos da la x en la segunda ecuación 247 00:32:04,900 --> 00:32:09,319 Como este método es el de igualación, igualamos 248 00:32:09,319 --> 00:32:19,359 Si esta x y esta x es la misma x, entonces esto, o sea, por descontado, esta fracción es igual a esta 249 00:32:19,359 --> 00:32:26,559 Con lo cual, igualamos las fracciones, operamos, este 4 multiplicaría por el numerador, el 3 por el otro 250 00:32:26,559 --> 00:32:33,619 Y ya solo tenemos aquí una sola variable que es la y, que la y nos va a dar 2 251 00:32:33,619 --> 00:32:42,559 Una vez que hemos conseguido este valor de la y, en cualquiera de estas dos que he conseguido antes 252 00:32:42,559 --> 00:32:50,500 Sustituyo y ya tengo el valor de la x, al final la x te va a dar 1 253 00:32:50,500 --> 00:33:02,799 Pero ya digo, igualamos las X en primera y segunda ecuación y al igualarlas solo ya nos queda una, una sola incógnita que es la Y. 254 00:33:03,200 --> 00:33:08,880 Sacamos su valor y sustituyo donde yo quiera, arriba, abajo o en esta o en esta, en cualquiera de las dos. 255 00:33:09,759 --> 00:33:13,220 La Y vale 2, sacamos el valor de la X que es 1. 256 00:33:13,220 --> 00:33:19,160 Bien, y el último método que se llama por reducción 257 00:33:19,160 --> 00:33:25,440 Nosotros en este método lo que vamos a hacer es 258 00:33:25,440 --> 00:33:31,759 O bien sumar una ecuación con la otra o bien restarlas 259 00:33:31,759 --> 00:33:39,859 Y vamos a ver cómo podemos reducir y que se nos vaya una de las dos incógnitas 260 00:33:39,859 --> 00:34:10,960 Por ejemplo, vale, pues en esta misma, si yo esta primera la multiplico por 3, ¿no? Esto es un por, bueno, por 3, y esta la de abajo la multiplico por menos 3, entonces nos da esto. 261 00:34:10,960 --> 00:34:18,000 Y multiplico por 3 el primero, el segundo y el tercer miembro 262 00:34:18,000 --> 00:34:21,260 Todos los miembros los multiplico por algo que a mí me interese 263 00:34:21,260 --> 00:34:25,719 Para que luego el 6x y el menos 6x se nos vaya 264 00:34:25,719 --> 00:34:30,719 Sumo las dos ecuaciones que les he aplicado aquí el truco 265 00:34:30,719 --> 00:34:34,139 Para que al multiplicar se nos vaya uno de los términos 266 00:34:34,139 --> 00:34:38,960 Y nos queda directamente ya que 18 menos 10 que es 8 267 00:34:38,960 --> 00:34:43,139 12 menos 14 que es menos 2 268 00:34:43,139 --> 00:34:46,460 La Y, ya sabemos su valor 269 00:34:46,460 --> 00:34:50,639 Que Y es igual a 8 partido de menos 2 que es menos 4 270 00:34:50,639 --> 00:34:54,420 En el método este de reducción 271 00:34:54,420 --> 00:34:57,440 Ya digo, hemos forzado para que se nos vaya 272 00:34:57,440 --> 00:35:01,360 Por medio de multiplicaciones se nos vaya uno de los dos términos 273 00:35:01,360 --> 00:35:02,500 O la X o la Y 274 00:35:02,500 --> 00:35:06,940 En múltiplos de 2 y de 3 por 6 275 00:35:06,940 --> 00:35:17,800 Vale, si lo hubiéramos hecho de 4 y de 7, entonces tendríamos que haber puesto 28, pero bien, pues con este se nos va. 276 00:35:17,980 --> 00:35:29,639 Una vez que tenemos la Y, el valor de la Y, directamente en cualquiera de las dos primeras ecuaciones sustituimos y nos da el valor de la X, que en este caso es 11. 277 00:35:29,639 --> 00:35:40,099 Bien, pues sistemas con dos ecuaciones, dos incógnitas y tres métodos para resolverlos 278 00:35:40,099 --> 00:35:46,719 Ya digo reducción, igualación y sustitución 279 00:35:46,719 --> 00:35:54,460 Estos tres métodos son los que hacen que podamos resolver ecuaciones con dos incógnitas 280 00:35:54,460 --> 00:35:57,980 Y un sistema de dos ecuaciones 281 00:35:57,980 --> 00:36:19,199 Y a la hora de tener un problema, los problemas se resolverían igual que antes, porque si un hotel tiene habitaciones dobles y habitaciones sencillas, pues ya tenemos aquí dos incógnitas diferentes, habitaciones dobles y habitaciones sencillas. 282 00:36:19,199 --> 00:36:39,239 Si el total de habitaciones es 48, entonces las habitaciones dobles que son X y las sencillas, el total es 48, pero el número de camas es 80. 283 00:36:39,239 --> 00:36:48,980 Entonces, 80 son las camas de las habitaciones dobles, es 2X, hay el doble de camas 284 00:36:48,980 --> 00:36:57,159 Y de las sencillas, solo tienen una cama, entonces 2X más Y es igual a 80 285 00:36:57,159 --> 00:37:01,500 Nosotros ya plantearíamos este sistema con dos ecuaciones 286 00:37:01,500 --> 00:37:21,500 y cuando lo resolviéramos tenemos que tener en cuenta a la hora de resolverlo que el valor de la X se lo hemos dado a las habitaciones dobles y el valor de la Y a las habitaciones sencillas. 287 00:37:21,500 --> 00:37:37,400 Pero, igual que los problemas con el lenguaje algebraico, tenemos que identificar cuáles son nuestras dos incógnitas y en este caso plantear dos ecuaciones con sus igualdades y que tengan sentido. 288 00:37:37,400 --> 00:38:03,650 Bien, pues lo último que queda por resolver en este tema son las sucesiones. Las sucesiones son conjunto de números ordenados, ordenados que siguen una regla. Las sucesiones pueden ser aritméticas o geométricas. 289 00:38:03,650 --> 00:38:11,750 las sucesiones o progresiones aritméticas son las que de un valor a otro 290 00:38:11,750 --> 00:38:16,710 lo obtenemos por medio de una diferencia de 291 00:38:16,710 --> 00:38:21,530 esta puede ser normalmente suma pero puede ser también una resta 292 00:38:21,530 --> 00:38:27,190 de 2 a 4 pasamos sumándole 2, de 4 a 6, 2, de 6 a 8, 2, etc. 293 00:38:28,130 --> 00:38:33,030 pero también puede ser una resta de 5 a 3, le hemos restado menos 2 294 00:38:33,030 --> 00:39:00,150 De 3 a 1 le hemos restado menos 2, etc. Entonces, ¿qué pasa con esa diferencia? Esa diferencia de, para hallar el término general, a su n es igual al primer término, este es el término a su 1, el primero de la sucesión o de la progresión, más en el menos 1 los términos que haya por d, que es la diferencia. 295 00:39:00,150 --> 00:39:12,789 Entonces esta es la fórmula que nos llevaría a encontrar el término general, el término primero con una diferencia. 296 00:39:12,789 --> 00:39:40,070 Y cuando nuestra progresión pasamos de un valor al siguiente multiplicando, por ejemplo, si multiplicamos 2 por 1 es 2, 2 por 2 es 4, 4 por 2 es 8, 8 por 2 es 16, estamos viendo que el siguiente término lo obtenemos multiplicando por una cantidad que siempre es la misma. 297 00:39:40,070 --> 00:39:50,710 Esta ya no se va a llamar diferencia, se llama razón. Y esta razón, ya digo, es el término por el que estamos multiplicando para conseguir el siguiente. 298 00:39:52,409 --> 00:40:07,650 Estas progresiones, que se llaman geométricas, su término general, el a su n, se calcula como el primer término a su 1 por la razón elevado a n menos 1. 299 00:40:07,650 --> 00:40:14,050 Entonces, sabiendo ya cuál es la razón o hallando la 9 entre 3 es 3 300 00:40:14,050 --> 00:40:20,269 Ya tenemos la razón, el término primero a su 1 es 3 301 00:40:20,269 --> 00:40:28,590 Y en elevado a 1 el término general es a su n 302 00:40:28,590 --> 00:40:34,530 Si queremos hallar el término 6 en elevado a 1 valdría 5 303 00:40:34,530 --> 00:40:46,289 y a sub 5 sería el término a sub 1 por la razón 6, por la razón que es 2, elevado a n menos 1. 304 00:40:47,170 --> 00:40:56,590 En fin, que a la hora de buscar el término general de una sucesión, pues lo haríamos con esta fórmula. 305 00:40:56,590 --> 00:41:12,329 Si la progresión es aritmética, digo, perdón, geométrica, que pasamos multiplicando de un término a otro, y si es aritmética, entonces aplicaríamos esta fórmula para hallar el término general. 306 00:41:12,329 --> 00:41:25,090 Y ya hasta aquí la segunda evaluación, la lección que hemos estado viendo en esta clase, que es la de álgebra. 307 00:41:26,309 --> 00:41:37,590 Hemos hecho un somero repaso de lo que entra y recordando cómo calcular, sobre todo con el lenguaje algebraico, los problemas que nos puedan plantear. 308 00:41:37,590 --> 00:41:45,929 Pues nada, espero que os haya servido de repaso y nada, un saludo y suerte con el examen.