1
00:00:01,010 --> 00:00:06,009
En este vídeo vamos a ver las propiedades de las potencias de números enteros.

2
00:00:07,410 --> 00:00:11,630
Recordamos la definición. Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto.

3
00:00:12,269 --> 00:00:19,010
No cualquier producto, sino aquellos que están formados por un único factor que se repite un número de veces.

4
00:00:19,890 --> 00:00:27,289
Así que podemos escribirlo como el factor 5 elevado a la octava, el número de veces que se repite.

5
00:00:27,910 --> 00:00:31,670
Está formada esta potencia por dos números, la base y el exponente.

6
00:00:32,170 --> 00:00:39,509
La base será el número que se multiplica, mientras que el exponente es el número de veces que se repite.

7
00:00:42,259 --> 00:00:47,659
Usar potencias nos permite escribir cuentas muy largas o repetitivas de una forma abreviada.

8
00:00:47,659 --> 00:00:53,159
Por ejemplo, podemos escribir estos 100 millones como un 10 a la octava,

9
00:00:53,619 --> 00:00:57,740
o este producto de 7 es como 7 elevado a 6.

10
00:00:57,740 --> 00:01:01,159
Y esto está muy bien, pero queremos más.

11
00:01:01,500 --> 00:01:05,459
Nos gustaría sacarle más rendimiento a la notación en potencia.

12
00:01:06,180 --> 00:01:12,560
Buscamos identificar los casos en los que al operar con potencias el resultado también es una potencia.

13
00:01:14,700 --> 00:01:17,560
Solo nos vamos a encontrar cinco de estos casos.

14
00:01:19,760 --> 00:01:24,239
Cuando al operar dos potencias el resultado también se puede escribir como una potencia.

15
00:01:25,400 --> 00:01:27,280
Se tienen que dar dos condiciones.

16
00:01:28,280 --> 00:01:33,439
La operación entre las potencias tiene que ser un producto o una división

17
00:01:33,439 --> 00:01:39,480
y ambas potencias han de tener igual la base o el exponente.

18
00:01:41,870 --> 00:01:46,579
Vamos con la primera de las propiedades de las potencias.

19
00:01:47,000 --> 00:01:51,760
Tenemos un producto y lo que coincide en este caso son las bases,

20
00:01:51,760 --> 00:01:59,780
así que el resultado será otra potencia, lo que coincide permanece, es decir, la base es la misma

21
00:01:59,780 --> 00:02:03,400
y en el exponente sumamos los exponentes.

22
00:02:04,620 --> 00:02:13,580
La segunda propiedad o el segundo caso es una división de potencias que tienen la misma base

23
00:02:13,580 --> 00:02:19,680
y el resultado será otra potencia con base la misma y en el exponente una resta.

24
00:02:21,060 --> 00:02:25,300
No hay más casos en los que la base sea igual.

25
00:02:25,300 --> 00:02:34,479
Así que nos vamos a pasar a la tercera propiedad, vamos a tener un producto de potencias pero ahora lo que coincide son los exponentes.

26
00:02:35,240 --> 00:02:42,419
El resultado será otra potencia con el mismo exponente y la base será el producto de las bases.

27
00:02:43,219 --> 00:02:51,219
La cuarta propiedad tiene que ver con la división de potencias con igual exponente.

28
00:02:51,219 --> 00:02:55,520
el resultado será otra potencia de exponente el mismo

29
00:02:55,520 --> 00:02:58,180
y las bases se dividen

30
00:02:58,180 --> 00:03:04,000
y ya no tendríamos más casos de potencias con igual exponente

31
00:03:04,000 --> 00:03:05,919
todavía nos queda una propiedad

32
00:03:05,919 --> 00:03:10,759
que sería una potencia elevado a un exponente

33
00:03:10,759 --> 00:03:14,000
el resultado sería otra potencia de base la misma

34
00:03:14,000 --> 00:03:17,800
y en el exponente tendríamos el producto de los exponentes

35
00:03:17,800 --> 00:03:20,300
esto se conoce como potencia de una potencia

36
00:03:20,300 --> 00:03:30,599
La segunda propiedad, la división de potencias de igual base, nos trae varias consecuencias.

37
00:03:32,139 --> 00:03:40,259
Vamos a verlas. Las vamos a estudiar viendo los posibles resultados de esa resta en el exponente.

38
00:03:40,919 --> 00:03:45,900
Puede ocurrir que la n sea mayor que la m y entonces la resta sea positiva.

39
00:03:45,900 --> 00:03:52,539
puede ocurrir que la n sea igual que la m y entonces la resta sea exactamente cero

40
00:03:52,539 --> 00:04:00,120
y puede ocurrir que la n sea menor que la m y en este caso la resta n-m será negativa.

41
00:04:00,900 --> 00:04:04,000
Vamos a empezar a estudiar el primero de los casos.

42
00:04:05,340 --> 00:04:09,599
Tengo 7 elevado a 5 entre 7 elevado a 3.

43
00:04:09,979 --> 00:04:13,879
Lo vamos a poner como una fracción para verlo más claramente.

44
00:04:13,879 --> 00:04:18,060
aplicamos la definición de potencia, es decir, escribimos los productos

45
00:04:18,060 --> 00:04:25,779
y tengo 7 por 7 por 7 por 7 por 7 dividido por 7 por 7 por 7.

46
00:04:26,839 --> 00:04:33,620
Vamos a ir cancelando los 3 7 del numerador con 3 7 del denominador

47
00:04:33,620 --> 00:04:40,100
y nos va a quedar 7 por 7 partido por 1, ese 1 se puede no poner

48
00:04:40,100 --> 00:04:44,600
y finalmente nos quedará 7 elevado al cuadrado.

49
00:04:45,040 --> 00:04:50,860
Bien, vamos a realizar la misma cuenta, pero ahora la vamos a hacer aplicando la propiedad.

50
00:04:51,420 --> 00:04:55,819
O sea, restando exponentes nos va a quedar 7 elevado al cuadrado,

51
00:04:56,019 --> 00:04:58,319
exactamente igual que si lo hiciésemos por el otro lado.

52
00:04:59,019 --> 00:05:00,060
Veamos más ejemplos.

53
00:05:00,579 --> 00:05:02,480
En este caso, ¿qué tendríamos que hacer?

54
00:05:03,199 --> 00:05:08,720
Vamos a restar los exponentes y nos va a quedar 7 elevado a 134.

55
00:05:08,720 --> 00:05:19,120
No queremos realizarlo como en el primer ejemplo, haciendo el producto, queremos hacerlo aplicando la propiedad, ¿de acuerdo?

56
00:05:21,310 --> 00:05:29,790
Vamos a ver qué ocurre en el segundo caso, cuando la n y la m coinciden, lo ponemos como una potencia, perdón, lo ponemos como una fracción,

57
00:05:29,790 --> 00:05:36,810
Realizamos la extensión y se vemos que tenemos lo mismo, lo mismo arriba que abajo

58
00:05:36,810 --> 00:05:40,470
Así que se nos va y nos queda como resultado 1

59
00:05:40,470 --> 00:05:47,829
Vamos a hacer ahora la misma cuenta aplicando la propiedad, es decir, restando exponentes

60
00:05:47,829 --> 00:05:52,589
Nos queda 7 elevado a 5 menos 5, que nos va a quedar 7 elevado a 0

61
00:05:52,589 --> 00:05:56,430
Partiendo del mismo sitio hemos llegado a dos resultados diferentes

62
00:05:57,009 --> 00:06:01,689
Y eso quiere decir que esos resultados no son diferentes, sino que son iguales.

63
00:06:02,009 --> 00:06:05,110
Es decir, 7 elevado a 0 da 1.

64
00:06:05,769 --> 00:06:09,069
Y esto lo vamos a generalizar porque no va a depender de la base.

65
00:06:09,449 --> 00:06:12,829
Cualquier número elevado a 0 nos va a dar 1.

66
00:06:13,529 --> 00:06:14,870
Mirad los siguientes ejemplos.

67
00:06:15,149 --> 00:06:16,970
75 elevado a 0 será 1.

68
00:06:18,350 --> 00:06:22,550
1325, por muy grande que sea el número, si está elevado a 0 me va a dar 1.

69
00:06:22,550 --> 00:06:29,709
E incluso si la base es negativa pero el exponente es cero, el resultado es 1.

70
00:06:30,509 --> 00:06:40,709
El último caso, el caso en el que la resta queda negativo, mirad cómo lo vamos a estudiar exactamente igual que siempre.

71
00:06:40,709 --> 00:06:46,589
vamos a ponerlo como una fracción, vamos a escribirlo de manera extendida y ahora vamos

72
00:06:46,589 --> 00:06:54,889
otra vez a simplificar los tres 7 que tengo arriba con tres 7 del denominador. Y me va

73
00:06:54,889 --> 00:07:01,589
a quedar arriba, se van todos los 7 y me queda el 1, que es la nada del producto, el elemento

74
00:07:01,589 --> 00:07:10,029
neutro, y abajo me quedarán cuatro 7 multiplicados. Así que el denominador lo puedo poner como

75
00:07:10,029 --> 00:07:16,709
una potencia. En realidad en el denominador voy a tener un 7 a la cuarta. Vamos a resolver

76
00:07:16,709 --> 00:07:21,910
esta misma cuenta aplicando la propiedad. Si aplicamos la propiedad tenemos que restar

77
00:07:21,910 --> 00:07:29,750
exponentes y nos va a quedar 7 elevado a menos 4. Otra vez partimos de la misma expresión

78
00:07:29,750 --> 00:07:36,310
y llegamos a dos expresiones visualmente diferentes. ¿Cuál es la conclusión? Pues que realmente

79
00:07:36,310 --> 00:07:42,069
esos dos resultados visualmente diferentes, matemáticamente son iguales.

80
00:07:42,569 --> 00:07:50,569
Así que 7 elevado a menos 4 es lo mismo que poner 1 partido de 7 a la 2.

81
00:07:50,569 --> 00:08:01,209
Lo podemos generalizar diciendo que a elevado a un número negativo es igual que cambiar esa potencia de sitio

82
00:08:01,209 --> 00:08:10,970
dentro de una fracción donde si la potencia original estaba en un numerador,

83
00:08:11,410 --> 00:08:13,009
ahora va a ir a un denominador.

84
00:08:13,470 --> 00:08:15,410
¿Y qué queda en el numerador? El 1.

85
00:08:16,149 --> 00:08:17,389
Mirad los siguientes ejemplos.

86
00:08:17,389 --> 00:08:21,750
Si yo tengo 2 elevado a menos 3, lo puedo escribir como 1 partido de 2 al 1.

87
00:08:22,110 --> 00:08:24,709
Y si tengo, fijaos ahora que la base es negativa,

88
00:08:25,230 --> 00:08:29,730
menos 3 elevado a menos 2, lo voy a poder poner como 1 partido de menos 3,

89
00:08:29,730 --> 00:08:32,090
Todo ello elevado a 2, ¿vale?

90
00:08:32,769 --> 00:08:39,509
Bien, vamos con los errores comunes, que en estas dos últimas propiedades hay bastantes.

91
00:08:40,309 --> 00:08:44,610
Mira, lo primero, las bases negativas elevadas a 0 también dan 1.

92
00:08:45,110 --> 00:08:51,169
Hay gente que piensa que las bases negativas elevadas a 0 dan menos 1, pero no es así, ¿de acuerdo?

93
00:08:53,240 --> 00:08:54,679
Siempre dan 1.

94
00:08:54,679 --> 00:09:03,779
Luego, cuando la base es muy grande, aunque sea negativa, el número es en valor absoluto muy grande

95
00:09:03,779 --> 00:09:10,440
Todavía nos cuesta más asumir que ese resultado no es menos 1, sino que es 1

96
00:09:10,440 --> 00:09:17,399
Las propiedades de las potencias no se cumplen ni con sumas ni con restas

97
00:09:17,399 --> 00:09:23,480
Mira, si yo tengo 5 al cubo más 3 al cubo, a pesar de que los exponentes coinciden,

98
00:09:23,700 --> 00:09:27,720
no hay ninguna propiedad que tenga que ver con la suma.

99
00:09:27,779 --> 00:09:30,559
Las propiedades solo tienen que ver con el producto y con la división.

100
00:09:31,000 --> 00:09:32,559
Así que no puedo sumar las bases.

101
00:09:33,080 --> 00:09:39,399
Vamos a ver cómo esta expresión no es una igualdad.

102
00:09:39,399 --> 00:09:47,879
Mirad, 5 al cubo es 125, más 3 al cubo es 27, y 8 al cubo es 512.

103
00:09:48,299 --> 00:09:59,860
Si yo sumo 125 más 27, me da 152, que aunque tiene las mismas cifras que 512, no las tiene en la misma posición, no son números ni parecidos.

104
00:10:01,200 --> 00:10:05,399
Mirad otro ejemplo, con la resta, 12 al cuadrado menos 7 al cuadrado.

105
00:10:05,399 --> 00:10:11,460
Nos encantaría poder restar las bases y decir que eso es igual a 5 al cuadrado, pero no es cierto.

106
00:10:12,120 --> 00:10:19,480
12 al cuadrado es 144, 7 al cuadrado es 49 y 5 al cuadrado es 25.

107
00:10:20,080 --> 00:10:26,960
Si a 144 le quito 49, me queda 95, no 25. ¿De acuerdo?

108
00:10:28,200 --> 00:10:34,679
Otro error común es que los exponentes negativos hay gente que piensa que afectan al signo del resultado.

109
00:10:34,679 --> 00:10:42,240
No es así. Afecta a la posición. 2 elevado a menos 3 no es menos 2 al cubo.

110
00:10:42,940 --> 00:10:50,120
Mirad, 2 elevado a menos 3 es 1 partido de 2 elevado al cubo y menos 2 al cubo es menos 8.

111
00:10:50,899 --> 00:10:55,600
Así que 2 elevado a menos 3 realmente es 1 partido por 8.

112
00:10:56,399 --> 00:11:03,820
Es positivo porque la base es positiva y además es más pequeño que 1.

113
00:11:03,820 --> 00:11:05,340
está entre 0 y 1

114
00:11:05,340 --> 00:11:08,600
y menos 2 al cubo es menos 8

115
00:11:08,600 --> 00:11:10,759
es un número absolutamente diferente

116
00:11:10,759 --> 00:11:12,080
es un número negativo

117
00:11:12,080 --> 00:11:14,460
mira este otro ejemplo

118
00:11:14,460 --> 00:11:16,120
hay gente que piensa

119
00:11:16,120 --> 00:11:18,840
que ese 4 elevado a menos 5

120
00:11:18,840 --> 00:11:20,779
sí, se pone en el denominador

121
00:11:20,779 --> 00:11:22,320
y el exponente se pone positivo

122
00:11:22,320 --> 00:11:24,279
pero el signo se pone delante

123
00:11:24,279 --> 00:11:27,240
no, eso no es así

124
00:11:27,240 --> 00:11:28,860
fijaos

125
00:11:28,860 --> 00:11:31,480
4 elevado a menos 5

126
00:11:31,480 --> 00:11:32,860
es 1 partido de 4 a la 5

127
00:11:32,860 --> 00:11:37,679
y menos uno partido de cuatro a la quinta es menos uno partido de mil veinticuatro.

128
00:11:38,360 --> 00:11:43,059
Así que tenemos, por un lado, en el primer miembro, un mil uno partido de mil veinticuatro

129
00:11:43,059 --> 00:11:47,080
y en el segundo miembro tenemos menos uno partido de mil veinticuatro.

130
00:11:47,419 --> 00:11:48,860
Obviamente, no son iguales.

131
00:11:49,200 --> 00:11:50,440
Tened cuidado con los arreglos.