1 00:00:00,300 --> 00:00:08,300 Bueno, vamos a empezar a grabar la clase. Como siempre, advirtiendo que si alguien tiene algo que objetar, yo dejo de... 2 00:00:09,160 --> 00:00:10,800 Ah, vale, gracias Néstor. 3 00:00:13,220 --> 00:00:16,039 También depende del dispositivo, de todas formas. 4 00:00:16,300 --> 00:00:26,800 Bueno, como siempre, os pregunto antes que nada que si alguien tiene algún inconveniente en que se grabe la clase, lo paramos y no lo grabamos. 5 00:00:27,059 --> 00:00:36,000 Bueno, vamos a la clase de matemáticas 1, que es el tema de derivadas. 6 00:00:37,979 --> 00:00:47,500 Bueno, este tema os lo tengo que dar en dos semanas, en una quincena, como cual me voy a ir a lo práctico. 7 00:00:48,020 --> 00:00:52,359 Es importante que hoy salgáis con las derivadas sabidas. 8 00:00:52,359 --> 00:01:01,640 Si alguien tiene ciencias sociales y está en esta clase, pues verá que vamos a ver más derivadas de las que se suelen utilizar en ciencias sociales. 9 00:01:02,740 --> 00:01:18,859 Bueno, os voy a dar un poquito. En este tema, quedaos con lo que os cuente yo. El delímite será más pesado, pero aquí más o menos lo que es la tasa de variación media. 10 00:01:18,859 --> 00:01:20,400 con lo que os digo, os basta. 11 00:01:21,859 --> 00:01:23,040 Vamos a ver, yo tengo 12 00:01:23,040 --> 00:01:23,659 esta función, 13 00:01:34,609 --> 00:01:37,129 yo tengo una función, la gráfica de una función, 14 00:01:37,549 --> 00:01:38,969 la gráfica es la que 15 00:01:38,969 --> 00:01:41,030 está en color rojo, 16 00:01:41,930 --> 00:01:43,030 ¿no? Sabéis que 17 00:01:43,030 --> 00:01:44,629 este es el valor de x 18 00:01:44,629 --> 00:01:46,049 en el que x 19 00:01:46,049 --> 00:01:47,750 vale a, 20 00:01:48,870 --> 00:01:50,569 si me desplazo 21 00:01:50,569 --> 00:01:52,890 hacia arriba, me desplazo 22 00:01:52,890 --> 00:01:55,010 verticalmente y me coloco 23 00:01:55,010 --> 00:01:56,890 aquí, sabéis que este es el valor de la función 24 00:01:56,890 --> 00:01:58,709 porque este es el punto de coordenadas 25 00:01:58,709 --> 00:02:00,030 AFDA 26 00:02:00,030 --> 00:02:02,689 AFDA 27 00:02:02,689 --> 00:02:05,609 de la misma forma 28 00:02:05,609 --> 00:02:07,209 si tomo otro punto 29 00:02:07,209 --> 00:02:08,830 que en vez de llamarlo B 30 00:02:08,830 --> 00:02:10,469 lo llamo A más H 31 00:02:10,469 --> 00:02:12,370 ¿qué quiere decir este A más H? 32 00:02:12,729 --> 00:02:15,229 pues que cojo un poquito más que A 33 00:02:15,229 --> 00:02:17,569 que es el incremento 34 00:02:17,569 --> 00:02:18,409 que se llama H 35 00:02:18,409 --> 00:02:21,370 me sitúo en un punto 36 00:02:21,370 --> 00:02:22,030 que está aquí 37 00:02:22,030 --> 00:02:24,750 de tal forma que esto mide H 38 00:02:24,750 --> 00:02:26,030 ¿sí? 39 00:02:26,030 --> 00:02:59,740 Entonces, de aquí me sale un punto, me voy a la función, me sale un valor que es f de a y se llama la tasa de variación media de f en el intervalo a, a más h, a lo que es la pendiente de la recta azul. 40 00:02:59,740 --> 00:03:31,639 La pendiente de una recta supongo que sabéis que es el incremento de la Y respecto, en física supongo que ponéis la delta, pero como no todos tenéis física, o de X, ¿no? 41 00:03:31,639 --> 00:03:42,240 Entonces, si yo me voy de aquí a aquí, ¿cuál es el aumento? Si esto fuera 2 y esto fuera 5, ¿el aumento sería? 42 00:03:44,979 --> 00:03:50,659 No, el aumento. O sea, si yo voy de 2 a 5, he ganado, ¿no? ¿Cuánto he ganado? 43 00:03:53,159 --> 00:03:57,520 Si yo tengo 2 y consigo 5, he ganado. ¿Cuánto he ganado? 44 00:03:58,780 --> 00:04:01,520 3. ¿Qué 3 qué es? 5 menos 2, ¿no? 45 00:04:01,639 --> 00:04:20,939 Bueno, pues lo que he subido es f de a más h menos f de a, ¿sí? Y ahora, el incremento de la x, si yo voy de a a más h, ¿cuánto me he desplazado? H, ¿no? Bueno, pues esto es lo que se llama la tasa de variación media. 46 00:04:21,819 --> 00:04:33,019 Esto en términos, vamos, si estuviéramos en ciencias sociales, si yo he ganado, si yo he pasado de ganar 3 a 5 millones de euros en dos años, ¿no? 47 00:04:34,379 --> 00:04:41,800 ¿Cuánto he ganado? Dos en dos años, ¿no? Pues dos entre dos, uno. La tasa. He ganado un millón por año, ¿no? 48 00:04:42,079 --> 00:04:46,279 Bueno, pues esa es la idea de lo que es la tasa de la variación media. 49 00:04:46,279 --> 00:05:12,060 Entonces, veréis que la definición de derivada es la misma, pero con límite. El calcular estos límites es una locura y por eso vamos a hacerlo de una forma un poco distinta. 50 00:05:12,860 --> 00:05:23,079 Vamos, vamos a aprender a derivar. Pero vamos a ver, si yo tengo aquí una función, la idea es la siguiente. 51 00:05:24,220 --> 00:05:37,490 Si yo tengo aquí el punto A y tomo este H, me sale la pendiente de esta recta. 52 00:05:38,389 --> 00:05:40,529 Esta recta es una recta secante. 53 00:05:41,670 --> 00:05:51,029 Si yo en vez de coger este H, cojo este H más pequeño, esta recta secante es distinta. 54 00:05:52,029 --> 00:05:59,439 Cada vez que tomo un H más pequeño, me estoy acercando más. 55 00:06:00,399 --> 00:06:02,980 ¿Y ahora qué pasa cuando H tiende a cero? 56 00:06:02,980 --> 00:06:29,620 Los dos puntos se confunden, ¿no? Entonces, si h tiende a cero, si h tiende a cero, me sale que el límite cuando h tiende a cero de la tasa de variación instantánea es la pendiente de esta recta. 57 00:06:35,949 --> 00:06:52,439 ¿Cómo es una recta de este tipo? Esto sabéis que es secante, ¿no? Porque la toca en dos puntos. Y si la toca solo en un punto, ¿cómo se llama? La recta tangente. 58 00:06:53,399 --> 00:07:12,199 ¿Sí? A ver, esto, si habéis visto física, si tenéis una trayectoria así, sabéis que si un automóvil, y bueno, el que conduzca lo sabrá mejor que yo, que si un automóvil sigue esta trayectoria, tiende a salirse por la tangente, ¿no? ¿Sí? Bueno, pues esa es la idea de la tangente. 59 00:07:13,160 --> 00:07:18,360 ¿Por qué es tan importante conocer la pendiente de la recta tangente? 60 00:07:18,939 --> 00:07:23,860 Eso es lo que se llama una variación instantánea, tasa de variación instantánea. 61 00:07:24,279 --> 00:07:30,220 Porque yo sé que si la tangente es positiva, si la recta tangente es positiva, 62 00:07:30,620 --> 00:07:32,680 la función como va, ¿hacia arriba o hacia abajo? 63 00:07:34,040 --> 00:07:34,920 Hacia arriba. 64 00:07:35,100 --> 00:07:39,970 Y si la tangente es negativa, hacia abajo. 65 00:07:39,970 --> 00:07:43,550 si yo cogiera una recta secante 66 00:07:43,550 --> 00:07:44,750 imaginaos que cojo aquí 67 00:07:44,750 --> 00:07:46,410 y cojo dos puntos 68 00:07:46,410 --> 00:07:47,750 y los uno 69 00:07:47,750 --> 00:07:50,310 esto tiene pendiente positiva 70 00:07:50,310 --> 00:07:53,069 pero esta función por aquí es creciente 71 00:07:53,069 --> 00:07:54,050 por aquí decreciente 72 00:07:54,050 --> 00:07:57,170 si lo hago de forma instantánea 73 00:07:57,170 --> 00:07:58,449 yo sé que 74 00:07:58,449 --> 00:08:00,310 si la derivada es positiva 75 00:08:00,310 --> 00:08:01,389 hay crecimiento 76 00:08:01,389 --> 00:08:03,850 y si la derivada es negativa hay decrecimiento 77 00:08:03,850 --> 00:08:05,970 ¿perdón? 78 00:08:07,889 --> 00:08:09,949 no, no, es que esto no es una tangente variable 79 00:08:09,949 --> 00:08:25,769 Esto es una secante. Es una secante, con lo cual la secante no nos garantiza que haya crecimiento. Entonces, muchas veces lo que nos interesa es buscar dónde hay crecimiento o dónde no hay crecimiento. 80 00:08:25,769 --> 00:08:37,580 Bueno, pues voy a coger esta gráfica y vamos a ver dónde la derivada es positiva o dónde es negativa. 81 00:08:38,340 --> 00:08:41,320 A ver, yo tengo esta función y tengo este punto. 82 00:08:42,379 --> 00:08:44,019 Tengo la recta tangente, ¿sí? 83 00:08:45,480 --> 00:08:48,620 ¿No? En x igual a 2,5. 84 00:08:52,279 --> 00:08:55,820 Esta recta tiene pendiente positiva o negativa. 85 00:08:56,919 --> 00:08:57,639 Positiva. 86 00:08:57,639 --> 00:09:01,740 Entonces, la derivada en 2,5 yo sé que es positiva. 87 00:09:01,980 --> 00:09:05,720 solo me interesa saber si es positiva o negativa 88 00:09:05,720 --> 00:09:08,200 por ejemplo, en x igual a 1 89 00:09:08,200 --> 00:09:11,220 si yo trazo la recta tangente 90 00:09:11,220 --> 00:09:14,120 es curioso, hay veces que la recta tangente 91 00:09:14,120 --> 00:09:16,779 atraviesa la gráfica pero solo la toca en un punto 92 00:09:16,779 --> 00:09:18,240 esta recta 93 00:09:18,240 --> 00:09:22,519 es la derivada como es positiva o negativa 94 00:09:22,519 --> 00:09:25,980 aquí es negativa, es menor que 0 95 00:09:25,980 --> 00:09:29,179 y por ejemplo aquí 96 00:09:33,440 --> 00:09:35,620 ¿Esto qué tiene pendiente? ¿Positiva o negativa? 97 00:09:36,159 --> 00:09:39,659 Esto sube. 98 00:09:42,950 --> 00:09:44,129 A ver, ¿esta recta sube? 99 00:09:45,529 --> 00:09:47,250 Yo voy de izquierda a derecha. ¿Esto sube? 100 00:09:50,299 --> 00:09:52,580 Yo diría que no. Yo diría que esto es horizontal. 101 00:09:53,279 --> 00:09:54,220 Que ni sube ni baja. 102 00:09:56,220 --> 00:10:02,039 Y si no sube ni baja, la derivada no es ni positiva ni negativa. 103 00:10:02,039 --> 00:10:04,500 En x igual a cero, la derivada es cero. 104 00:10:04,500 --> 00:10:11,500 Entonces, este es el primer concepto que tenéis que ver. ¿Veis algún sitio más donde la derivada es cero? 105 00:10:20,440 --> 00:10:21,440 ¿Y cuánto vale? 106 00:10:25,250 --> 00:10:33,269 Como es esta recta tangente, ¿no? Horizontal. Y si es horizontal, la derivada es cero. 107 00:10:33,269 --> 00:10:43,289 O sea, el sentido de derivada es el decir si al hacer la tangente, la pendiente de esa recta tangente es positiva, negativa o cero. 108 00:10:45,549 --> 00:10:52,200 ¿Aquí cómo sería la derivada? ¿Sí? ¿Seguro? 109 00:10:54,559 --> 00:10:59,980 A ver, tú tienes la recta tangente. Esta recta tangente sube o baja. 110 00:11:00,779 --> 00:11:02,899 Pues entonces la derivada es positiva. 111 00:11:02,899 --> 00:11:06,860 Aquí, bueno, aquí ya no sale 112 00:11:06,860 --> 00:11:08,620 En el 3, por ejemplo 113 00:11:08,620 --> 00:11:10,539 ¿Cómo sería la derivada? 114 00:11:10,720 --> 00:11:11,580 ¿Positiva o negativa? 115 00:11:13,600 --> 00:11:15,519 Positiva, porque la recta tangente 116 00:11:15,519 --> 00:11:16,639 es positiva 117 00:11:16,639 --> 00:11:18,679 También podríais decir 118 00:11:18,679 --> 00:11:20,220 porque la función es creciente 119 00:11:20,220 --> 00:11:22,600 Bueno, una cosa 120 00:11:22,600 --> 00:11:24,299 que no sé si habéis advertido 121 00:11:24,299 --> 00:11:26,840 es que cuando la derivada es cero 122 00:11:26,840 --> 00:11:29,100 es posible que me encuentre 123 00:11:29,100 --> 00:11:31,200 con un máximo o con un mínimo 124 00:11:31,200 --> 00:11:55,019 Y esto en cualquier negocio es importante, ¿no? Y también en la física, saber cuándo la velocidad es máxima, cuándo la velocidad es mínima, ¿no? Y por eso los que estáis dando física, pues tenéis que utilizar derivadas constantemente, ¿no? 125 00:11:55,019 --> 00:12:13,879 Bueno, entonces, bueno, esto ya está y, bueno, de momento el concepto es raro, ¿no? Y ahora, en el libro se habla de calcular derivadas a partir de la definición. No lo hagáis porque si no nos tiramos medio curso intentando calcular derivadas, ¿sí? 126 00:12:14,480 --> 00:12:17,159 Entonces, no vamos a hacerlo a partir de la definición. 127 00:12:17,960 --> 00:12:19,799 Vamos a usar una tabla de derivadas. 128 00:12:20,000 --> 00:12:21,940 Eso sí, esta la tenéis que saber bien. 129 00:12:22,059 --> 00:12:24,000 En sociales, si no me equivoco, es más corta, ¿no? 130 00:12:24,320 --> 00:12:24,779 ¿Sí? 131 00:12:25,320 --> 00:12:30,059 Bueno, esta la tenéis que saber bien y aplicar las reglas de derivación. 132 00:12:31,100 --> 00:12:36,059 A ver, más o menos por lógica. 133 00:12:36,500 --> 00:12:39,220 Una función constante, sabéis que es una función horizontal. 134 00:12:39,740 --> 00:12:42,399 Por si una función es horizontal, su derivada es cero. 135 00:12:42,399 --> 00:12:45,460 ahora esto, que vayáis aprendiendo 136 00:12:45,460 --> 00:12:47,840 si tenéis una función potencial 137 00:12:47,840 --> 00:12:50,779 o sea que x es una potencia de x 138 00:12:50,779 --> 00:12:54,120 el exponente se baja 139 00:12:54,120 --> 00:12:56,519 y multiplicando 140 00:12:56,519 --> 00:13:00,120 y se deja un exponente que es una unidad menor 141 00:13:00,120 --> 00:13:01,120 que la original 142 00:13:01,120 --> 00:13:05,600 esta ya os la explicaré yo, no es necesario que la sepáis 143 00:13:05,600 --> 00:13:08,740 hay gente que se la sabe por facilidad 144 00:13:08,740 --> 00:13:14,700 La derivada de 1 partido por x es menos 1 partido por x cuadrado. 145 00:13:14,860 --> 00:13:17,679 Yo os la voy a explicar cuando nos salga porque es sangre. 146 00:13:18,159 --> 00:13:21,100 La derivada de la raíz es 1 partido por 2 raíz de x. 147 00:13:21,539 --> 00:13:24,039 Hay gente que de usarla tanto también se la aprende. 148 00:13:24,799 --> 00:13:28,000 Ahora viene una facilita que es la de e elevado a x, 149 00:13:28,000 --> 00:13:30,940 que es una de las pocas funciones que su derivada se llama. 150 00:13:32,220 --> 00:13:33,960 E, acordaos, el número e. 151 00:13:33,960 --> 00:13:35,620 si en vez de 152 00:13:35,620 --> 00:13:37,759 tiene otra base, la derivada 153 00:13:37,759 --> 00:13:40,159 elevada a x es la misma pero multiplicada 154 00:13:40,159 --> 00:13:41,799 por el logaritmo neperiano de a 155 00:13:41,799 --> 00:13:43,840 con lo cual pues es 156 00:13:43,840 --> 00:13:44,820 más complicada 157 00:13:44,820 --> 00:13:47,940 la derivada del logaritmo de x 158 00:13:47,940 --> 00:13:50,240 es 1 partido por x, esto lo tenéis que saber 159 00:13:50,240 --> 00:13:51,120 automáticamente 160 00:13:51,120 --> 00:13:53,799 la del logaritmo en base a 161 00:13:53,799 --> 00:13:55,799 es la misma que la anterior pero 162 00:13:55,799 --> 00:13:58,000 la x multiplicada 163 00:13:58,000 --> 00:13:59,659 por el logaritmo neperiano de a 164 00:13:59,659 --> 00:14:02,000 luego las funciones trigonométricas 165 00:14:02,000 --> 00:14:05,220 esto haciendo derivadas 166 00:14:05,220 --> 00:14:08,500 o la derivada del seno es el coseno 167 00:14:08,500 --> 00:14:12,019 la derivada del coseno es menos seno 168 00:14:12,019 --> 00:14:14,379 acordaos que aquí hay un cambio de signo 169 00:14:14,379 --> 00:14:17,759 la de la tangente se puede escribir de dos formas 170 00:14:17,759 --> 00:14:20,779 la elegís, estas os las tenéis que saber 171 00:14:20,779 --> 00:14:25,120 y estas son menos habituales 172 00:14:25,120 --> 00:14:26,539 pero también nos pueden salir 173 00:14:26,539 --> 00:14:28,879 la de arcosenos, esta de aquí 174 00:14:28,879 --> 00:14:34,139 La del arco coseno tiene la montaja, que es la misma, pero con el signo cambiado. 175 00:14:35,100 --> 00:14:40,779 Y quizá la que más se use de las funciones trigonométricas inversas es 1 partido por 1 más x cuadrado. 176 00:14:41,940 --> 00:14:51,879 Bueno, dicho esto, primero vamos a hacer alguna derivada sencilla para que veáis cómo se hace esto. 177 00:14:59,379 --> 00:15:14,100 Vale, vale. Entonces, a ver, primera cosa. 178 00:15:14,100 --> 00:15:39,500 A ver, si yo tengo igual, esto vamos, esto lo tenéis que saber como sumos. Si yo tengo x elevado a n, su derivada es n por x elevado a n-1. Por ejemplo, si tengo igual a x elevado a 7, ¿cuál sería su derivada? 179 00:15:39,500 --> 00:15:42,639 7 por 180 00:15:42,639 --> 00:15:47,259 elevado a 7 menos 1 181 00:15:47,259 --> 00:15:47,519 ¿Veis? 182 00:15:49,620 --> 00:15:51,460 Bueno, si yo tengo la derivada 183 00:15:51,460 --> 00:15:53,659 de x, ¿cuál es la derivada 184 00:15:53,659 --> 00:15:54,059 de x? 185 00:15:55,360 --> 00:15:57,120 1. Bueno, que 186 00:15:57,120 --> 00:15:59,100 esa no sé si os la he puesto 187 00:15:59,100 --> 00:16:00,419 esta sería 188 00:16:00,419 --> 00:16:03,440 1 por x elevado a 0 189 00:16:03,440 --> 00:16:05,340 que es 1, ¿no? Pero esta es mejor 190 00:16:05,340 --> 00:16:07,539 que la sabréis. Esta es mejor saberla. 191 00:16:13,480 --> 00:16:14,539 Bueno, pues ya vamos a hacer 192 00:16:14,539 --> 00:16:19,240 algunas de las que tenemos aquí en la lista. ¿Cuál es la derivada de igual a x cuadrado? 193 00:16:22,720 --> 00:16:32,580 Bajo el 2, x elevado a 1, que es x. Cuidado, que esto es la derivada, no es lo mismo una 194 00:16:32,580 --> 00:16:40,019 función que su derivada. Ahora, vamos a ir aplicando las reglas de derivación. Vamos, 195 00:16:40,019 --> 00:16:56,460 La primera regla de derivación es la siguiente, que si yo tengo una función y la multiplico por un número, el número no se deriva y se deriva la función. 196 00:16:57,919 --> 00:17:04,140 Entonces, en este caso, yo quiero derivar la función 5 por x, ¿no? 197 00:17:05,299 --> 00:17:08,539 El 5 no lo derivo. ¿Y cuál es la derivada de x? 198 00:17:09,759 --> 00:17:12,839 Pues la derivada de 5x es 5. 199 00:17:12,839 --> 00:17:15,480 esto es lógico 200 00:17:15,480 --> 00:17:18,519 porque sabéis que 5x es una recta 201 00:17:18,519 --> 00:17:20,900 y que la pendiente de esa recta es 5 202 00:17:20,900 --> 00:17:23,579 pues la pendiente de la recta tangente 203 00:17:23,579 --> 00:17:27,220 en una recta y su tangente tienen que coincidir 204 00:17:27,220 --> 00:17:29,700 ¿cómo derivaríais esto? 205 00:17:31,839 --> 00:17:33,460 7 por la derivada 206 00:17:33,460 --> 00:17:36,000 de elevado a x, ¿cuál es la derivada de elevado a x? 207 00:17:36,880 --> 00:17:39,420 elevado a x, efectivamente, es la misma 208 00:17:39,420 --> 00:17:42,460 entonces, primera regla 209 00:17:42,460 --> 00:17:46,019 de derivación que es sencilla 210 00:17:46,019 --> 00:17:49,700 que la derivada de un número multiplicado por una función 211 00:17:49,700 --> 00:17:54,079 para derivar esto, el número lo dejáis y deriváis la función. 212 00:17:54,960 --> 00:17:58,960 Ahora, segunda regla, la derivada de la suma 213 00:17:58,960 --> 00:18:05,720 la derivada de la suma o la resta de dos funciones 214 00:18:05,720 --> 00:18:09,660 es la suma o resta de las derivadas. 215 00:18:09,660 --> 00:18:12,829 ¿Cómo hacemos esto? 216 00:18:12,829 --> 00:18:16,369 pero derivo 217 00:18:16,369 --> 00:18:17,589 3x 218 00:18:17,589 --> 00:18:20,210 ¿cuál es la derivada de 3x? 219 00:18:22,470 --> 00:18:24,470 3 por la derivada 220 00:18:24,470 --> 00:18:25,309 de x que es 1 221 00:18:25,309 --> 00:18:28,630 ¿cuál es la derivada del número? 222 00:18:29,049 --> 00:18:29,589 0 223 00:18:29,589 --> 00:18:32,369 o sea que la derivada de 3x más 2 224 00:18:32,369 --> 00:18:34,289 es 3, cosa que es 225 00:18:34,289 --> 00:18:36,309 perfectamente lógica porque esto es una 226 00:18:36,309 --> 00:18:38,529 pendiente, una recta de pendiente 227 00:18:38,529 --> 00:18:40,730 3, la derivada es la pendiente 228 00:18:40,730 --> 00:18:42,369 pues como os fijáis esto sale 229 00:18:42,829 --> 00:18:47,549 Ahora, primera cosa que es sencillísima y que la pilláis enseguida. 230 00:18:51,730 --> 00:18:54,069 Esto es la suma o resta de varios monógonos, ¿no? 231 00:18:55,210 --> 00:18:58,369 ¿Cuál es la derivada de 2x cubo? 232 00:19:01,349 --> 00:19:04,950 Bajo el 3, o sea que sería 2 por 3, 6. 233 00:19:06,029 --> 00:19:09,190 x y se ha elevado al cubo al cuadrado. 234 00:19:09,769 --> 00:19:10,430 Muy bien. 235 00:19:10,829 --> 00:19:12,269 Ahora, menos, ¿cuál sería? 236 00:19:12,269 --> 00:19:28,069 El bajo es 2. 2 por 3 es 6. X y si aquí había 2, ahora es 1. Lo dejo igual. ¿Cuál es la derivada de X? 1. ¿Y la derivada de menos 5? 0. Esto si queréis lo ponéis y si no, no. 237 00:19:28,069 --> 00:19:48,970 ¿Vale? Bueno, porque hay alguien que no haya visto derivadas, voy a hacer otra de un polinomio. A ver, por ejemplo, si y es igual a x cubo menos x más 25. ¿Cuál sería la derivada? 238 00:19:48,970 --> 00:19:56,640 3x al cuadrado 239 00:19:56,640 --> 00:19:58,180 menos 1 240 00:19:58,180 --> 00:20:00,279 más 0 241 00:20:00,279 --> 00:20:01,759 ya está 242 00:20:01,759 --> 00:20:05,730 y ahora me diréis 243 00:20:05,730 --> 00:20:07,829 ¿qué pinta esto aquí? 244 00:20:11,200 --> 00:20:11,920 porque esto 245 00:20:11,920 --> 00:20:14,559 entonces 246 00:20:14,559 --> 00:20:16,819 hay veces que antes de derivar 247 00:20:16,819 --> 00:20:18,220 hay que manipular la función 248 00:20:18,220 --> 00:20:20,160 vosotros sabéis que 249 00:20:20,160 --> 00:20:22,319 si x al cuadrado está 250 00:20:22,319 --> 00:20:24,279 dividiendo es lo mismo que elevar 251 00:20:24,279 --> 00:20:26,859 a menos 2 252 00:20:26,859 --> 00:20:33,720 Bueno, y ahora, una vez manipulada la función, yo puedo utilizar la regla de derivación. 253 00:20:34,160 --> 00:20:34,819 ¿Qué me saldría? 254 00:20:38,059 --> 00:20:45,319 El menos 2 lo bajo multiplicando y me queda menos 4 por x elevado a... 255 00:20:46,079 --> 00:20:48,160 Cuidado, es menos 2 menos 1, ¿no? 256 00:20:48,700 --> 00:20:50,680 ¿Y cuánto es menos 2 menos 1? 257 00:20:51,700 --> 00:20:52,740 Menos 3. 258 00:20:53,759 --> 00:20:57,299 O sea que esto sale menos 4 partido por x cubo. 259 00:20:59,319 --> 00:21:15,700 Entonces, esta es una forma de hacerla. Luego os voy a proponer otra, otra forma de hacer esto, pero que de momento estas son las reglas de derivación, como veis vamos un poco deprisa para variar. 260 00:21:15,700 --> 00:21:32,579 Y ahora vamos a dejar alguna que tenga un poquito más de enjuague. Voy a hacer primero esta y con esta voy a utilizar una pantalla entera. 261 00:21:32,579 --> 00:21:34,259 por lo siguiente. 262 00:21:34,920 --> 00:21:35,519 Vamos a ver. 263 00:21:36,700 --> 00:21:38,119 ¿Qué quiero derivar esto de aquí? 264 00:21:40,000 --> 00:21:40,400 Tengo 265 00:21:40,400 --> 00:21:42,319 3 por 266 00:21:42,319 --> 00:21:44,779 la derivada del seno. ¿Cuál es la derivada 267 00:21:44,779 --> 00:21:45,339 del seno? 268 00:21:46,460 --> 00:21:48,440 No, el coseno. 269 00:21:50,259 --> 00:21:50,579 Ahora, 270 00:21:50,579 --> 00:21:54,359 más. Cuidado 271 00:21:54,359 --> 00:21:56,460 que esto... 272 00:21:56,460 --> 00:21:58,380 Bueno, esta os he dicho 273 00:21:58,380 --> 00:22:00,380 que si queréis os la aprendáis de memoria. 274 00:22:00,559 --> 00:22:02,259 Esto depende de lo que lo uséis. 275 00:22:02,259 --> 00:22:05,599 o os la podéis aprender y si no estáis seguros 276 00:22:05,599 --> 00:22:06,640 hacéis lo siguiente 277 00:22:06,640 --> 00:22:08,680 si yo tengo la función 278 00:22:08,680 --> 00:22:11,019 y igual a raíz de x 279 00:22:11,019 --> 00:22:13,859 esto que potencia 280 00:22:13,859 --> 00:22:17,599 es x elevado a 281 00:22:17,599 --> 00:22:20,359 a un medio 282 00:22:20,359 --> 00:22:22,000 vale 283 00:22:22,000 --> 00:22:23,319 ¿cómo derivo esto? 284 00:22:29,579 --> 00:22:30,960 paso el un medio 285 00:22:30,960 --> 00:22:33,460 por x elevado a 286 00:22:33,460 --> 00:22:35,559 un medio menos uno 287 00:22:35,559 --> 00:22:35,799 ¿no? 288 00:22:37,099 --> 00:22:39,119 bueno, el un medio menos uno 289 00:22:39,119 --> 00:22:56,119 Si queréis lo hacéis manualmente y si no lo sabéis, sabéis que 1 menos 1 medio es, perdón, es que lo he puesto al revés, es 1 medio menos 1, ¿no? 290 00:22:56,859 --> 00:22:58,099 Es lo que me querías decir, ¿no? 291 00:22:59,279 --> 00:23:03,680 Menos 1 es menos 1 medio, ¿no? 292 00:23:04,400 --> 00:23:05,880 Bueno, esto es lo mismo posible. 293 00:23:06,339 --> 00:23:08,299 Esto es x elevado a menos 1 medio. 294 00:23:08,299 --> 00:23:10,680 ¿Y qué es elevar a menos un medio? 295 00:23:11,359 --> 00:23:15,480 Que la x va a estar abajo 296 00:23:15,480 --> 00:23:21,539 Y elevar a un medio sabéis que es la raíz 297 00:23:21,539 --> 00:23:28,359 Entonces, si queréis saberos que la derivada de la raíz es 1 partido por 2 raíz de x 298 00:23:28,359 --> 00:23:29,319 Estupendo 299 00:23:29,319 --> 00:23:32,940 Y si no, pues la tenéis que deducir de las dos derivadas 300 00:23:32,940 --> 00:23:36,789 Voy a la siguiente 301 00:23:36,789 --> 00:23:40,509 Menos 1 partido por x cubo 302 00:23:40,509 --> 00:23:45,670 ¿Qué tengo que hacer con esta? 303 00:23:47,009 --> 00:23:48,750 Ponerla como x elevado a 304 00:23:48,750 --> 00:23:51,329 a menos 3 305 00:23:51,329 --> 00:23:52,970 ¿cuál es la derivada? 306 00:23:56,190 --> 00:23:57,869 menos 3 por 307 00:23:57,869 --> 00:24:02,990 a ver, es menos 3 308 00:24:02,990 --> 00:24:04,170 menos 1, ¿no? 309 00:24:04,710 --> 00:24:06,309 ¿y cuánto es menos 3 menos 1? 310 00:24:09,250 --> 00:24:10,430 menos 4 311 00:24:10,430 --> 00:24:12,029 ¿y esto sería? 312 00:24:15,369 --> 00:24:17,250 si tiene exponente negativo, ¿qué hago? 313 00:24:18,910 --> 00:24:21,009 la pongo en el denominador, ¿no? 314 00:24:21,289 --> 00:24:23,210 pues menos 3 partido por 315 00:24:23,210 --> 00:24:24,690 ah, sería menos 316 00:24:24,690 --> 00:24:27,869 sería menos 317 00:24:27,869 --> 00:24:30,450 menos 3 partido por 318 00:24:30,450 --> 00:24:31,470 x4 319 00:24:31,470 --> 00:24:34,509 más, ¿cuál es la derivada 320 00:24:34,509 --> 00:24:35,269 de elevado a x? 321 00:24:36,970 --> 00:24:38,009 elevado a x 322 00:24:38,009 --> 00:24:40,509 ¿y cuál es la derivada de la raíz 323 00:24:40,509 --> 00:24:40,990 de 5? 324 00:24:43,450 --> 00:24:46,700 5 es un número 325 00:24:46,700 --> 00:24:46,980 ¿no? 326 00:24:48,119 --> 00:24:49,680 pues la derivada de un número es 0 327 00:24:49,680 --> 00:24:51,079 una constante es 0 328 00:24:51,079 --> 00:24:54,099 esto conviene simplificarlo 329 00:24:54,099 --> 00:24:54,940 aunque sea poco 330 00:24:54,940 --> 00:24:56,900 3 coseno de x 331 00:24:56,900 --> 00:25:00,000 más 1 partido por 2 raíz de x 332 00:25:00,000 --> 00:25:04,299 más 3 partido por x cuarta 333 00:25:04,299 --> 00:25:05,400 lo único que he hecho así 334 00:25:05,400 --> 00:25:07,200 lo voy a hacer este menos por menos más 335 00:25:07,200 --> 00:25:09,480 y luego lo demás como son funciones 336 00:25:09,480 --> 00:25:10,960 de diferente naturaleza 337 00:25:10,960 --> 00:25:12,420 lo mejor es no mezclarlas 338 00:25:12,420 --> 00:25:14,480 bueno, esta derivada en la vida 339 00:25:14,480 --> 00:25:15,579 nunca va a salir 340 00:25:15,579 --> 00:25:18,359 hay mucha gente, profesores 341 00:25:18,359 --> 00:25:20,480 que lo ponen en los exámenes 342 00:25:20,480 --> 00:25:23,279 yo prefiero poner cosas que sean más 343 00:25:24,940 --> 00:25:35,660 más realistas, pero bueno, esta, como veis, es una derivada en la que os he explicado bastante 344 00:25:35,660 --> 00:25:43,420 lo que son las reglas de limitación. Bueno, la siguiente tanda que tengo aquí, bueno, voy a hacer primero 345 00:25:43,420 --> 00:25:58,440 estas dos para separarlas. Ahora veréis por qué las he apagado. A ver, ¿qué hemos visto hasta ahora? 346 00:25:58,440 --> 00:26:01,059 la derivada de un número por una función 347 00:26:01,059 --> 00:26:03,039 ¿no? un número se deja 348 00:26:03,039 --> 00:26:04,500 y la función se deriva 349 00:26:04,500 --> 00:26:07,140 la derivada de una suma de una resta 350 00:26:07,140 --> 00:26:09,240 ¿qué? ¿cómo se hace? se derivan 351 00:26:09,240 --> 00:26:10,220 por separado ¿no? 352 00:26:10,759 --> 00:26:13,180 bueno pues cuando tenéis que calcular la derivada 353 00:26:13,180 --> 00:26:14,099 de un producto 354 00:26:14,099 --> 00:26:17,539 otra regla de derivación 355 00:26:17,539 --> 00:26:30,910 la derivada 356 00:26:30,910 --> 00:26:31,809 de un producto 357 00:26:31,809 --> 00:26:34,190 se calcula 358 00:26:34,190 --> 00:26:36,549 esto ya os digo que 359 00:26:36,549 --> 00:26:41,069 cuando alguien lo ve por primera vez 360 00:26:41,069 --> 00:26:42,990 le suena bastante extraño 361 00:26:42,990 --> 00:26:44,930 pero la alternativa 362 00:26:44,930 --> 00:26:46,650 es poneros a hacer límites 363 00:26:46,650 --> 00:26:48,230 que son bastante complicados 364 00:26:48,230 --> 00:26:49,470 con lo cual que veis que 365 00:26:49,470 --> 00:26:51,390 las reglas de derivación 366 00:26:51,390 --> 00:26:53,809 tienen su ventaja 367 00:26:53,809 --> 00:26:56,230 para derivar un producto de funciones 368 00:26:56,230 --> 00:26:58,910 se deriva primero la primera función 369 00:26:58,910 --> 00:27:00,650 se multiplica 370 00:27:00,650 --> 00:27:02,769 por la segunda sin derivar 371 00:27:02,769 --> 00:27:04,589 y luego se hace 372 00:27:04,589 --> 00:27:06,130 lo contrario 373 00:27:06,130 --> 00:27:13,069 este se deja sin derivar 374 00:27:13,069 --> 00:27:15,829 y se deriva la segunda 375 00:27:15,829 --> 00:27:17,990 primero la primera y la segunda se deja 376 00:27:17,990 --> 00:27:22,269 luego se deja la primera y se deriva la segunda 377 00:27:22,269 --> 00:27:23,809 en este caso 378 00:27:23,809 --> 00:27:26,470 ¿cuál sería la derivada? 379 00:27:27,930 --> 00:27:30,950 esto es f ¿no? y esto es g 380 00:27:30,950 --> 00:27:34,130 ¿cuál es la derivada de x? 381 00:27:34,130 --> 00:27:36,329 1 382 00:27:36,329 --> 00:27:39,029 y g sin derivar 383 00:27:39,029 --> 00:27:40,549 más 384 00:27:40,549 --> 00:27:42,529 f, ¿cuánto es f? 385 00:27:48,029 --> 00:27:49,230 la primera 386 00:27:49,230 --> 00:27:51,410 que es x por la derivada 387 00:27:51,410 --> 00:27:53,109 de g, ¿cuál es la derivada de 388 00:27:53,109 --> 00:27:53,829 elevado a x? 389 00:27:55,470 --> 00:27:56,690 elevado a x 390 00:27:56,690 --> 00:27:59,349 esto, y sale mucho cuando tengáis 391 00:27:59,349 --> 00:28:00,450 exponenciales 392 00:28:00,450 --> 00:28:03,230 lo suyo es que saquéis 393 00:28:03,230 --> 00:28:05,569 factor común para que quede simplificada 394 00:28:05,569 --> 00:28:07,390 la función. 395 00:28:09,049 --> 00:28:09,289 Bueno. 396 00:28:10,470 --> 00:28:11,829 La siguiente. 397 00:28:13,250 --> 00:28:14,089 Esto es 398 00:28:14,089 --> 00:28:16,490 f 399 00:28:16,490 --> 00:28:19,849 y esto es g. 400 00:28:21,430 --> 00:28:23,109 O sea que aquí la derivada sería 401 00:28:23,109 --> 00:28:25,170 ¿cuál es la derivada de f? 402 00:28:28,589 --> 00:28:30,190 1 por 403 00:28:30,190 --> 00:28:32,150 g 404 00:28:32,150 --> 00:28:34,509 que es logaritmo en base 2 de x. 405 00:28:35,569 --> 00:28:45,980 Más el primero sin derivar, que es f, que es x, por la derivada del logaritmo. 406 00:28:47,240 --> 00:28:49,200 Entonces, acordaos lo que os he dicho. 407 00:28:49,519 --> 00:28:52,599 La derivada del logaritmo neperiano es 1 partido por x. 408 00:28:54,019 --> 00:28:58,359 Pero como el logaritmo está en base 2, se multiplica por el logaritmo en base 2. 409 00:28:58,359 --> 00:29:05,559 Y ahora aquí, si veis alguna simplificación obvia, pues se simplifica. 410 00:29:05,880 --> 00:29:07,759 ¿Veis alguna simplificación obvia? 411 00:29:07,759 --> 00:29:12,559 esta x está multiplicando 412 00:29:12,559 --> 00:29:13,619 y está dividiendo 413 00:29:13,619 --> 00:29:16,079 pues entonces esto me queda 414 00:29:16,079 --> 00:29:17,980 1 por logaritmo de 2 415 00:29:17,980 --> 00:29:19,740 que es logaritmo en base de 2 de x 416 00:29:19,740 --> 00:29:21,940 y aquí me queda más 417 00:29:21,940 --> 00:29:24,039 1 partido por el logaritmo 418 00:29:24,039 --> 00:29:25,119 neperiano de 2 419 00:29:25,119 --> 00:29:28,339 como veis 420 00:29:28,339 --> 00:29:30,079 esta derivada es rara 421 00:29:30,079 --> 00:29:32,019 no es usual tampoco 422 00:29:32,019 --> 00:29:33,920 usar logaritmos que 423 00:29:33,920 --> 00:29:34,960 no estén en base 424 00:29:34,960 --> 00:29:37,839 y bueno 425 00:29:37,839 --> 00:29:42,660 Una advertencia, sobre todo en este curso, si estáis dando física. 426 00:29:43,859 --> 00:29:50,460 Cuando trabajábamos en geometría, la calculadora tenía que estar en grados hexagesimales, tenía que estar en B. 427 00:29:50,880 --> 00:30:00,980 En este tema, sobre todo cuando hagáis cálculos en física, acordaos siempre de que la calculadora tiene que estar en radianes. 428 00:30:00,980 --> 00:30:08,019 La fórmula de derivar la derivada del seno es el coseno cuando la función está en radianes. 429 00:30:09,519 --> 00:30:23,869 Bueno, nos vamos a la penúltima regla de derivación, que es cómo se divide un cociente. 430 00:30:28,900 --> 00:30:35,599 Entonces, si os parecía extraño la regla anterior, pues esta va a parecer más extraña todavía. 431 00:30:36,059 --> 00:30:37,819 ¿Cómo se deriva un cociente? 432 00:30:38,420 --> 00:30:41,319 Pues en principio se hace como con el producto. 433 00:30:41,319 --> 00:30:58,150 ¿Se deriva el primero? Pues el segundo sin derivar. ¿El primero no se deriva? Se multiplica por la derivada del segundo y en vez de un más se pone un menos. Pero es que además de eso, en el denominador queda el G para A. 434 00:30:58,150 --> 00:31:09,009 Entonces, yo para que no tengáis que gastar demasiada memoria, pues os lo cuento así. 435 00:31:09,369 --> 00:31:16,309 Se deriva como un producto, pero en vez de un más se pone un menos y el denominador se pone un cuadrado. 436 00:31:16,309 --> 00:31:39,140 Bueno, entonces, si tengo esta función, aquí f es 2x más 3, es el numerador, y g es x cuadrado más 1, más x. 437 00:31:40,059 --> 00:31:43,980 Bueno, pues empiezo. ¿Cuál es la derivada de f? 438 00:31:51,839 --> 00:31:57,700 La derivada sería 2 por la derivada de x, que es 1. 439 00:31:58,920 --> 00:32:00,839 Si queréis lo escribo de momento. 440 00:32:01,819 --> 00:32:04,099 Ahora, más, ¿cuál es la derivada de 3? 441 00:32:05,240 --> 00:32:05,720 0. 442 00:32:06,500 --> 00:32:09,859 Esto, como ha dicho una compañera vuestra, pues es lo mismo que 2. 443 00:32:10,059 --> 00:32:13,299 Pero lo voy a dejar así, de momento, a ver despacio. 444 00:32:13,299 --> 00:32:16,559 Ahora, por el denominador sin derivar. 445 00:32:16,660 --> 00:32:17,640 ¿Cuál es el denominador? 446 00:32:17,640 --> 00:32:21,359 x cuadrado más 4 447 00:32:21,359 --> 00:32:22,839 menos 448 00:32:22,839 --> 00:32:25,079 menos 449 00:32:25,079 --> 00:32:26,759 más x, ¿no? 450 00:32:27,079 --> 00:32:29,700 x cuadrado más x, perdón, menos 451 00:32:29,700 --> 00:32:31,980 el numerador sin derivar 452 00:32:31,980 --> 00:32:32,980 ¿cuál es el numerador? 453 00:32:35,980 --> 00:32:37,779 por la derivada 454 00:32:37,779 --> 00:32:39,400 del denominador, que será 455 00:32:39,400 --> 00:32:45,509 2x más 456 00:32:45,509 --> 00:32:46,069 y 457 00:32:46,069 --> 00:32:50,680 y partido por 458 00:32:50,680 --> 00:32:52,380 el cuadrado del denominador 459 00:32:52,380 --> 00:32:54,200 llegados aquí 460 00:32:54,200 --> 00:32:56,720 tengo una buena noticia 461 00:32:56,720 --> 00:32:59,359 que es que esto nunca se desarrolla 462 00:32:59,359 --> 00:33:01,380 en algunos programas informáticos 463 00:33:01,380 --> 00:33:03,900 si lo hace, pero a mi me gusta dejar esto factorizado 464 00:33:03,900 --> 00:33:05,859 pero lo de arriba 465 00:33:05,859 --> 00:33:07,160 hay que operarlo 466 00:33:07,160 --> 00:33:09,500 bueno, esto como veis 467 00:33:09,500 --> 00:33:10,279 es igual a 2 468 00:33:10,279 --> 00:33:13,420 lo de arriba hay que operarlo 469 00:33:13,420 --> 00:33:15,400 para eso hicimos en la primera evaluación 470 00:33:15,400 --> 00:33:17,539 las operaciones con fracciones anteriores 471 00:33:17,700 --> 00:33:42,779 Entonces, esta parte de abajo la dejo como está y ahora tengo que hacer 2 por x cuadrado que es 2x cuadrado más 2x y mucho cuidado aquí con los signos porque tengo que hacer 2x por 2x que es 4x cuadrado, 3 por 2x que es 6x, 472 00:33:42,779 --> 00:33:47,099 2x por 1 que es 2x 473 00:33:47,099 --> 00:33:49,720 y 3 por 1 que es 3 474 00:33:49,720 --> 00:33:56,490 entonces el denominador ya os digo 475 00:33:56,490 --> 00:33:57,630 ni tocarlo 476 00:33:57,630 --> 00:34:03,859 y aquí me queda 477 00:34:03,859 --> 00:34:08,559 2x cuadrado menos 4x cuadrado 478 00:34:08,559 --> 00:34:10,420 es menos 2x cuadrado 479 00:34:10,420 --> 00:34:13,699 luego sería 2x 480 00:34:13,699 --> 00:34:16,760 y ahora esto sería 8x 481 00:34:16,760 --> 00:34:19,739 2x menos 8x es menos 6x 482 00:34:19,760 --> 00:34:27,480 Y luego hay un más 3, que como tiene el menos delante, pues queda el menos 3. 483 00:34:28,280 --> 00:34:30,440 Esta es la derivada simplificada. 484 00:34:31,599 --> 00:34:34,139 Y esto es tan importante como derivar un polinomio. 485 00:34:36,199 --> 00:34:43,159 Este tipo de funciones son las que realmente tenéis que derivar bien. 486 00:34:43,159 --> 00:34:48,539 O sea, tenéis que dominar perfectamente la derivada de un polinomio y la derivada de un pocinte de un polinomio. 487 00:34:48,539 --> 00:34:53,199 Esta, ¿os acordáis que la hemos hecho antes? 488 00:34:56,000 --> 00:34:58,239 Bueno, pues vamos a hacerla ahora como un cociente. 489 00:34:58,639 --> 00:34:59,860 ¿Cómo derivaríais esto? 490 00:35:02,699 --> 00:35:08,500 La derivada del numerador, que es 0 por el denominador sin derivar, 491 00:35:09,260 --> 00:35:21,250 menos el numerador, que es 2, por la derivada del denominador, que es 2x. 492 00:35:21,929 --> 00:35:24,989 Y esto sería x cuadrado elevado al cuadrado. 493 00:35:26,610 --> 00:35:29,130 Entonces, estas operaciones las hacéis. 494 00:35:29,389 --> 00:35:30,190 Esto vale cero. 495 00:35:30,630 --> 00:35:32,909 O sea, que en el numerador queda menos cuatro x. 496 00:35:33,550 --> 00:35:36,349 Y aquí queda x cuadrado al cuadrado. 497 00:35:36,469 --> 00:35:37,190 ¿Qué potencia es? 498 00:35:40,130 --> 00:35:41,389 X a la cuarta. 499 00:35:41,889 --> 00:35:42,969 ¿Se puede simplificar? 500 00:35:45,280 --> 00:35:49,820 Sí, se simplifica una x y me queda aquí x al cubo. 501 00:35:49,820 --> 00:35:52,179 lo he hecho de otra forma distinta 502 00:35:52,179 --> 00:35:53,320 y me sale igual 503 00:35:53,320 --> 00:35:56,179 si no me sale igual 504 00:35:56,179 --> 00:35:57,619 pues tendríamos un problema 505 00:35:57,619 --> 00:35:59,840 vale 506 00:35:59,840 --> 00:36:01,820 bueno, pues las dos que quedan 507 00:36:01,820 --> 00:36:06,300 las dos que quedan 508 00:36:06,300 --> 00:36:08,239 las he puesto para que veáis 509 00:36:08,239 --> 00:36:09,880 que cuando cambiéis una función 510 00:36:09,880 --> 00:36:11,960 en numerador por denominador, hacéis un cambio 511 00:36:11,960 --> 00:36:13,940 que parezca muy parecido a estas funciones 512 00:36:13,940 --> 00:36:15,280 no tienen nada que ver 513 00:36:15,280 --> 00:36:16,860 ¿cómo se deriva esto? 514 00:36:19,559 --> 00:36:20,119 no 515 00:36:20,119 --> 00:36:21,500 uno por 516 00:36:21,500 --> 00:36:49,880 La derivada de x es 1 por el denominador sin derivar menos x, el denominador sin derivar, por la derivada del denominador que es elevado a x partido por el denominador elevado al cuadrado. 517 00:36:49,880 --> 00:37:01,130 Aquí procede sacar factor común y ¿qué se puede hacer? 518 00:37:03,760 --> 00:37:07,079 Se puede simplificar este elevado a x con uno de estos. 519 00:37:08,340 --> 00:37:10,920 Mucho cuidado porque esto va a pasar muchas veces. 520 00:37:11,739 --> 00:37:17,860 ¿A alguien se le puede ocurrir que yo tacho este elevado a x con uno de estos y este elevado a x con uno de estos? 521 00:37:18,760 --> 00:37:19,920 ¿Se le puede ocurrir? 522 00:37:20,400 --> 00:37:25,659 Pues sí, se le puede ocurrir, pero no es correcto porque solo se pueden simplificar factores. 523 00:37:26,079 --> 00:37:29,840 Y para que podáis simplificar factores, tiene que estar factorizado esto. 524 00:37:30,360 --> 00:37:33,500 El numerador aquí no está factorizado, aquí sí. 525 00:37:35,340 --> 00:37:39,500 Bueno, pues esto queda 1 menos x partido por elevado a x. 526 00:37:40,820 --> 00:37:42,219 ¿Sabéis cómo se parece, no? 527 00:37:42,579 --> 00:37:44,039 Bueno, pues vamos a hacer la otra. 528 00:37:46,969 --> 00:37:48,489 ¿Cómo haríais esto? 529 00:37:48,489 --> 00:37:52,869 derivada del numerador que es elevado a x 530 00:37:52,869 --> 00:37:54,329 por 531 00:37:54,329 --> 00:37:58,929 el denominador sin derivar 532 00:37:58,929 --> 00:38:00,789 que es x 533 00:38:00,789 --> 00:38:01,530 más 534 00:38:01,530 --> 00:38:05,840 el 535 00:38:05,840 --> 00:38:08,880 menos 536 00:38:08,880 --> 00:38:11,840 menos 537 00:38:11,840 --> 00:38:14,019 ¿cuál es la derivada 538 00:38:14,019 --> 00:38:16,579 del numerador sin derivar? 539 00:38:20,199 --> 00:38:20,920 por 540 00:38:20,920 --> 00:38:22,400 la derivada del denominador 541 00:38:22,400 --> 00:38:24,000 que es un partido por 542 00:38:24,000 --> 00:38:27,880 por el denominador al cuadrado 543 00:38:27,880 --> 00:38:31,000 entonces aquí se saca factor común 544 00:38:31,000 --> 00:38:36,940 y como veis no se puede simplificar nada 545 00:38:36,940 --> 00:38:42,730 bueno, pues ya estamos llegando casi al final 546 00:38:42,730 --> 00:38:43,849 de lo que es derivar 547 00:38:43,849 --> 00:38:50,170 esto es como aprender a derivar en media hora 548 00:38:50,170 --> 00:38:53,550 y no caer en el intento 549 00:38:53,550 --> 00:38:57,090 vale, aquí creo que tenía una derivada repetida 550 00:38:57,090 --> 00:39:09,210 y vamos a la última parte 551 00:39:09,210 --> 00:39:11,190 que quizás sea la que más cueste 552 00:39:11,190 --> 00:39:13,550 y luego ya os diré 553 00:39:13,550 --> 00:39:15,329 que tengo por ahí preparada una actividad 554 00:39:15,329 --> 00:39:17,050 que para mí es la prueba de fuego 555 00:39:17,050 --> 00:39:19,190 de que sabéis utilizar 556 00:39:19,190 --> 00:39:20,489 las reglas de migración 557 00:39:20,489 --> 00:39:26,780 bueno, vamos a ver 558 00:39:26,780 --> 00:39:31,639 esto, y por eso os lo expliqué 559 00:39:31,639 --> 00:39:33,280 en su momento, es una 560 00:39:33,280 --> 00:39:33,860 función 561 00:39:33,860 --> 00:39:37,139 está dentro de otra 562 00:39:37,139 --> 00:39:46,139 esta función que es f de x 563 00:39:46,139 --> 00:39:52,699 bueno, esto es lo que vamos a ver ahora 564 00:39:52,699 --> 00:39:54,579 es lo que se llama la regla de la cadena 565 00:39:54,579 --> 00:39:57,639 regla de la cadena 566 00:39:57,639 --> 00:40:03,639 es la composición de funciones que vimos en el tema 1 567 00:40:03,639 --> 00:40:05,119 de esta evaluación 568 00:40:05,119 --> 00:40:07,139 no sé si era el tema 7, no me acuerdo 569 00:40:07,139 --> 00:40:11,199 entonces, tengo una función que está dentro de otra 570 00:40:11,860 --> 00:40:29,980 ¿Sí? ¿Cómo se deriva una función que está dentro de otra? Pues primero se deriva la de fuera y se aplica a la de dentro. Y después se multiplica por la derivada de la de dentro. 571 00:40:30,860 --> 00:40:36,360 Bueno, si es por lo menos así, pues se suena un poco raro, ¿no? 572 00:40:37,239 --> 00:40:40,699 Entonces, a ver, yo me voy a fijar qué es lo que hago aquí. 573 00:40:41,280 --> 00:40:50,699 Si, por ejemplo, x vale 1 y yo sustituyo 2 por 1 menos 1 y elevo a 3, ¿qué es lo último que hago? 574 00:40:53,460 --> 00:40:57,039 ¿Multiplicar por 1 y restarle 1 o elevar a 3? 575 00:40:57,039 --> 00:41:02,699 lo de dentro es lo primero que hago 576 00:41:02,699 --> 00:41:04,300 lo último que hago es elevar a 3 577 00:41:04,300 --> 00:41:07,659 pues ese elevar a 3 es lo primero que deriva 578 00:41:07,659 --> 00:41:13,059 entonces, atención, ¿cuál es la derivada de x cubo? 579 00:41:16,139 --> 00:41:18,579 no, no, la derivada de x cubo ¿cuál es? 580 00:41:19,219 --> 00:41:20,599 3x cuadrado, ¿no? 581 00:41:21,679 --> 00:41:23,239 bueno, pues yo voy a dejar esto 582 00:41:23,239 --> 00:41:26,639 ¿por qué? 583 00:41:26,639 --> 00:41:32,800 Porque no tengo que aplicárselo a 3x cuadrado, sino a lo que hay dentro. 584 00:41:33,579 --> 00:41:34,820 ¿Y qué es lo que hay dentro? 585 00:41:37,380 --> 00:41:38,579 2x menos 1. 586 00:41:41,539 --> 00:41:45,480 Entonces, aquí hay que pensar qué es lo de dentro y qué es lo de fuera. 587 00:41:46,300 --> 00:41:49,539 Lo de fuera es elevar al cubo, pues lo he derivado. 588 00:41:50,219 --> 00:41:54,079 Y se llama regla de la cadena porque ahora tengo que derivar lo de dentro. 589 00:41:54,219 --> 00:41:56,179 ¿Cuál es la derivada de 2x menos 1? 590 00:41:58,719 --> 00:42:05,139 ¿Cuál es la derivada de un número? 591 00:42:05,960 --> 00:42:07,300 Cero, o sea que es dos, ¿no? 592 00:42:07,840 --> 00:42:09,300 ¿Cómo se puede operar esto? 593 00:42:09,400 --> 00:42:13,619 Pues simplemente tres por dos, seis, y luego dos x menos uno al cuadrado. 594 00:42:14,619 --> 00:42:17,619 A ver, voy a hacer esta porque es mucho más gráfica, 595 00:42:17,780 --> 00:42:21,480 aunque para esta necesitáis que os recuerde 596 00:42:21,480 --> 00:42:35,480 que la derivada del arco seno de x es, la tenéis en la tabla, 1 partido por la raíz de 1 menos x cuadrado. 597 00:42:36,199 --> 00:42:46,300 Y por otra parte, que la derivada de raíz de x es 1 partido por 2 raíz de x. 598 00:42:46,300 --> 00:42:55,340 A ver, si es esto, si no lo sabéis, pues difícilmente se hace la derivada. 599 00:42:55,820 --> 00:42:58,760 Entonces, ¿qué es lo primero que tengo que derivar? 600 00:42:59,599 --> 00:43:04,619 Yo tengo elevado de x, que está dentro de una raíz, que está dentro de un arco seno. 601 00:43:04,659 --> 00:43:05,820 ¿Qué es lo que está más fuera? 602 00:43:09,300 --> 00:43:12,260 El arco seno. ¿Cuál es la derivada del arco seno? 603 00:43:12,260 --> 00:43:33,210 Uno partido por raíz de uno menos x cuadrado. Pero no está x cuadrado, sino que es la raíz de elevado a x al cuadrado. 604 00:43:33,489 --> 00:43:43,269 Entonces, no hay que poner x, sino lo de dentro. Continúo. Y por eso se llama regla de la cadena. Tengo que derivar esto. 605 00:43:43,269 --> 00:44:10,349 ¿Qué es lo de dentro? ¿Elevado a X o la raíz? X, o sea que lo de fuera es la raíz, ¿no? ¿Cómo se deriva la raíz? 1 partido por 2 raíz de, y aquí, en vez de poner X, ¿qué tengo que poner? 606 00:44:10,349 --> 00:44:13,849 lo de dentro que es elevado a x 607 00:44:13,849 --> 00:44:14,610 ¿sí? 608 00:44:15,570 --> 00:44:17,690 por, y por eso se llama la regla 609 00:44:17,690 --> 00:44:19,809 de la cadena, tengo que derivar 610 00:44:19,809 --> 00:44:21,789 lo de dentro, ¿cuál es la derivada 611 00:44:21,789 --> 00:44:22,630 de elevado a x? 612 00:44:24,289 --> 00:44:25,269 elevado a x 613 00:44:25,269 --> 00:44:29,199 entonces, creo que aquí queda muy claro 614 00:44:29,199 --> 00:44:31,179 ¿no? que esto es la regla de la 615 00:44:31,179 --> 00:44:32,780 cadena, que se va haciendo 616 00:44:32,780 --> 00:44:34,760 primero se deriva al coseno 617 00:44:34,760 --> 00:44:37,039 y se aplica a lo de dentro 618 00:44:37,039 --> 00:44:39,019 una vez derivado 619 00:44:39,019 --> 00:44:41,059 eso, derivo lo de dentro que es 620 00:44:41,059 --> 00:44:43,659 derivar la raíz y se lo aplico 621 00:44:43,659 --> 00:44:45,500 a lo que está a su vez dentro 622 00:44:45,500 --> 00:44:47,659 y por último derivo lo que hay 623 00:44:47,659 --> 00:44:48,920 dentro que se le da raíz 624 00:44:48,920 --> 00:44:51,699 eso se llama regla de la cadena, esto lo podéis hacer 625 00:44:51,699 --> 00:44:52,780 17 veces 626 00:44:52,780 --> 00:44:54,639 bueno, ¿cómo se 627 00:44:54,639 --> 00:44:57,860 simplificaría esto? 628 00:45:01,230 --> 00:45:01,710 a que 629 00:45:01,710 --> 00:45:04,030 si tengo una raíz y un cuadrado 630 00:45:04,030 --> 00:45:04,489 que van 631 00:45:04,489 --> 00:45:07,409 me quedaría esto 632 00:45:07,409 --> 00:45:12,059 aquí me quedaría 633 00:45:12,059 --> 00:45:14,559 1 partido por 2 634 00:45:14,559 --> 00:45:16,199 raíz elevada a x 635 00:45:16,199 --> 00:45:18,340 por elevada a x 636 00:45:18,340 --> 00:45:20,920 y bueno, con que lo dejarais 637 00:45:20,920 --> 00:45:22,960 así, estaría bien 638 00:45:22,960 --> 00:45:24,280 se puede simplificar más 639 00:45:24,280 --> 00:45:31,579 pero, se puede simplificar 640 00:45:31,579 --> 00:45:33,480 más, yo ya os aseguro que 641 00:45:33,480 --> 00:45:35,519 esta función no os la vais a encontrar 642 00:45:35,519 --> 00:45:37,380 en ningún caso de 643 00:45:37,380 --> 00:45:39,380 la vida real, lo que pasa es que 644 00:45:39,380 --> 00:45:41,340 es muy bonita porque se van simplificando 645 00:45:41,340 --> 00:45:43,039 las cosas y otras cosas 646 00:45:43,039 --> 00:45:45,539 es más, este elevado a x con raíz 647 00:45:45,539 --> 00:45:47,460 este elevado a x, si queréis 648 00:45:47,460 --> 00:45:48,440 simplificar más 649 00:45:48,440 --> 00:45:51,380 sabéis que esto quedaría 650 00:45:51,380 --> 00:45:53,679 en el numerador raíz elevado a x 651 00:45:53,679 --> 00:45:55,380 y aquí os quedaría un poquito 652 00:45:55,380 --> 00:45:57,260 más simplificado, pero vamos 653 00:45:57,260 --> 00:45:59,159 yo en una función de estas 654 00:45:59,159 --> 00:46:01,699 pues con derivarlo 655 00:46:01,699 --> 00:46:03,420 y que tengáis los numeradores 656 00:46:03,420 --> 00:46:04,519 y los denominadores 657 00:46:04,519 --> 00:46:06,940 porque ya os digo que 658 00:46:06,940 --> 00:46:09,840 una simplificación en un mastodonte 659 00:46:09,840 --> 00:46:11,360 pues 660 00:46:11,360 --> 00:46:13,820 algo que tendréis que utilizarlo en la práctica 661 00:46:13,820 --> 00:46:14,980 pues no merece la pena 662 00:46:14,980 --> 00:46:16,000 hacerlo 663 00:46:16,000 --> 00:46:30,980 Bueno, y si no me equivoco me he dejado una para esta, que parece sencilla, no es difícil, 664 00:46:30,980 --> 00:46:45,440 pero aquí es que estáis combinando dos cosas. Esto es f y esto es g, ¿verdad? Yo, si derivo 665 00:46:45,440 --> 00:46:47,820 ¿cómo se lo derivaría? 666 00:46:47,940 --> 00:46:49,480 la derivada del primero que es 667 00:46:49,480 --> 00:46:53,079 1 por elevado a 2x 668 00:46:53,079 --> 00:46:54,440 más 669 00:46:54,440 --> 00:46:55,860 x por 670 00:46:55,860 --> 00:47:01,800 la derivada de elevado a 2x 671 00:47:01,800 --> 00:47:02,039 ¿no? 672 00:47:03,619 --> 00:47:04,780 no corramos 673 00:47:04,780 --> 00:47:07,900 porque aquí hay que utilizar la regla de la cadena 674 00:47:07,900 --> 00:47:12,869 ¿cómo se hace esto? 675 00:47:13,429 --> 00:47:14,409 primero ¿qué derivo? 676 00:47:15,730 --> 00:47:16,769 elevado a x 677 00:47:16,769 --> 00:47:19,090 ¿no? ¿cuál es la derivada de elevado a x? 678 00:47:21,329 --> 00:47:23,969 La derivada de elevado a x es elevado a x, ¿no? 679 00:47:24,449 --> 00:47:29,989 Lo que pasa es que se lo aplico a 2x por la regla de la cadena que tengo que hacer. 680 00:47:30,690 --> 00:47:31,869 Derivar 2x, ¿no? 681 00:47:32,090 --> 00:47:34,050 ¿Y cuál es la derivada de 2x? 682 00:47:35,730 --> 00:47:41,300 2 por 2. 683 00:47:41,300 --> 00:47:46,719 Bueno, pues aquí saco factor común, porque soy un magnético, por... 684 00:47:46,719 --> 00:47:48,760 Y aquí me queda 1 más 2x. 685 00:47:48,760 --> 00:47:51,980 y bueno, lo último 686 00:47:51,980 --> 00:47:53,739 lo último de lo último 687 00:47:53,739 --> 00:47:56,219 que para mí es la prueba de fuego 688 00:47:56,219 --> 00:47:57,840 que si habéis entendido 689 00:47:57,840 --> 00:47:58,800 la clase de hoy 690 00:47:58,800 --> 00:48:01,699 para esto no tenéis 691 00:48:01,699 --> 00:48:03,000 que tomarse su tiempo 692 00:48:03,000 --> 00:48:10,579 es calcular las derivadas sucesivas 693 00:48:10,579 --> 00:48:12,619 vamos a hacer un ejemplo 694 00:48:12,619 --> 00:48:14,380 muy sencillo 695 00:48:14,380 --> 00:48:16,679 y luego voy a hacer 696 00:48:16,679 --> 00:48:17,980 el ejemplo 1 y el 3 697 00:48:17,980 --> 00:48:22,670 a ver 698 00:48:22,670 --> 00:48:25,849 en los que dais física sabéis que 699 00:48:25,849 --> 00:48:28,030 la derivada segunda es la aceleración. 700 00:48:28,190 --> 00:48:30,010 La derivada de la derivada es la aceleración. 701 00:48:30,329 --> 00:48:31,210 Si no, ya no lo es. 702 00:48:31,769 --> 00:48:33,829 A ver, este ejemplo es muy sencillo. 703 00:48:34,230 --> 00:48:35,389 ¿Cuál es la derivada 704 00:48:35,389 --> 00:48:37,329 de este polinomio? 705 00:48:41,429 --> 00:48:42,469 3x cuadrado 706 00:48:42,469 --> 00:48:42,969 menos 707 00:48:42,969 --> 00:48:45,730 4x 708 00:48:45,730 --> 00:48:47,969 más 0. 709 00:48:47,969 --> 00:48:50,190 ¿Cuál es la derivada de la derivada 710 00:48:50,190 --> 00:48:50,829 de esa función? 711 00:48:53,570 --> 00:48:54,289 6x 712 00:48:54,289 --> 00:48:55,690 menos 713 00:48:55,690 --> 00:48:59,190 la derivada de 4x es 714 00:48:59,190 --> 00:49:01,769 menos 4 715 00:49:01,769 --> 00:49:04,670 este es el concepto de derivada segunda 716 00:49:04,670 --> 00:49:07,889 bueno, pues voy a hacerlo ahora mismo con todo este tocho 717 00:49:07,889 --> 00:49:10,929 ¿cuál es la derivada de esta función? 718 00:49:13,690 --> 00:49:15,909 la derivada del numerador que es 719 00:49:15,909 --> 00:49:18,349 2x 720 00:49:18,349 --> 00:49:19,849 por 721 00:49:19,849 --> 00:49:23,610 la derivada de menos 1 es 0 722 00:49:23,610 --> 00:49:26,449 por este sin derivar 723 00:49:26,449 --> 00:49:41,230 menos 2x más 1, ahora por el denominador sin derivar que es x cuadrado menos 1, por 724 00:49:41,230 --> 00:49:50,909 la derivada del denominador que es 2 y el denominador 2x más 1 al cuadrado. Esto lo 725 00:49:50,909 --> 00:49:59,090 desarrollo me queda 4x cuadrado más 2x menos 2x cuadrado y cuidado que aquí menos por menos más 726 00:49:59,090 --> 00:50:08,409 me salen más 2. Lo de abajo no lo toquéis, mejor no tocarlo y lo único que se puede simplificar es 727 00:50:08,409 --> 00:50:19,519 4x cuadrado menos 2x cuadrado y lo demás nos queda como está. Vale, pues si hago la derivada de la 728 00:50:19,519 --> 00:50:21,519 derivada y quiero terminarlo 729 00:50:21,519 --> 00:50:25,880 no, porque es 4 menos 2 730 00:50:25,880 --> 00:50:28,260 4x cuadrado 731 00:50:28,260 --> 00:50:35,570 4x cuadrado menos 2x cuadrado 732 00:50:35,570 --> 00:50:36,530 es 2x cuadrado 733 00:50:36,530 --> 00:50:38,849 y luego el 2x se queda 2x 734 00:50:38,849 --> 00:50:39,869 y el 2 más 2 735 00:50:39,869 --> 00:50:42,670 bueno, ahora la derivada del numerador es 736 00:50:42,670 --> 00:50:45,130 4x 737 00:50:45,130 --> 00:50:47,349 más 2 738 00:50:47,349 --> 00:50:47,570 ¿no? 739 00:50:48,570 --> 00:50:49,809 el denominador 740 00:50:49,809 --> 00:51:00,920 sin derivar es 2x más 1 al cuadrado menos el numerador sin derivar que es 2x cuadrado 741 00:51:00,920 --> 00:51:09,760 más 2x más 2 por la derivada de este. Y para hacer la derivada de este tengo que hacer 742 00:51:09,760 --> 00:51:23,579 la regla de la cadena. ¿Cómo hago la regla de la cadena? Bajo el 2 por 2x más 1 y tengo 743 00:51:23,579 --> 00:51:34,179 que multiplicar por la derivada de lo de dentro, que es 2. Y aquí tengo 2x más 1 al cuadrado 744 00:51:34,179 --> 00:51:40,760 elevado al cuadrado. Diréis, menudo mamotreto es este, ¿no? Bueno, elevado al cuadrado, 745 00:51:40,840 --> 00:51:45,760 elevado al cuadrado, es mejor que ponga elevado al cuadrado. Bueno, pues aquí este truco 746 00:51:45,760 --> 00:51:51,360 me encanta contarlo, ¿no? Primero que sepáis que aquí es la derivada del cociente combinada 747 00:51:51,360 --> 00:51:54,000 con la regla de la cadena. 748 00:51:54,559 --> 00:51:56,460 Aquí hay un 2x más 1, ¿verdad? 749 00:51:57,420 --> 00:51:59,019 Aquí hay un 2x más 1. 750 00:51:59,900 --> 00:52:01,860 Si yo tacho, ¿qué tengo que poner aquí? 751 00:52:05,900 --> 00:52:09,500 En vez de elevado a 4, hay que ponerlo elevado a 3. 752 00:52:10,659 --> 00:52:14,840 ¿Por qué? Porque yo tengo que sacar factor común y tachar. 753 00:52:15,500 --> 00:52:17,900 Quito uno de aquí, otro de aquí y ya está. 754 00:52:17,900 --> 00:52:37,860 Y una vez hecho esto, si estoy intentando hacerlo por vuestra cuenta, hasta que os salga, multiplico todo. Me queda 8x cuadrado más 4x más 4x más 2. 755 00:52:37,860 --> 00:52:49,199 Y aquí queda 2 por 2, 4, menos 8x cuadrado, menos 8x, menos 8. 756 00:52:50,300 --> 00:52:59,780 Y fijaos que si uno organiza bien las cuentas, el resultado que queda es más bonito. 757 00:52:59,780 --> 00:53:07,780 Porque esto se va con esto, esto se va con esto y quedan unos 6 partido por 2x más 1. 758 00:53:11,019 --> 00:53:13,860 Bueno, tenéis tutoriales. 759 00:53:16,820 --> 00:53:20,780 Lo que importa en esta semana es que aprendáis a verlo. 760 00:53:20,880 --> 00:53:25,320 Y a ver, si no me equivoco, vamos a ver aquí. 761 00:53:25,320 --> 00:53:44,820 Bueno, aquí viene la monotonía de la función. Esto lo veremos el próximo día. Ah, sí, es que esto se me ha olvidado deciros. Esto lo tengo así puesto del año pasado y creo que es bueno para que vayáis viendo qué es lo que os queda de aquí a finalizar la evaluación. 762 00:53:44,820 --> 00:54:03,119 Este es el tema completo. Bueno, entonces, todo lo que os he contado hoy está aquí en derivadas paso a paso. Aquí tenéis ejercicios resueltos y luego, por si queréis ver alguna regla de derivación, serían los tres primeros tutoriales para que vayáis viendo durante esta semana. 763 00:54:03,920 --> 00:54:10,119 El próximo día acabamos el tema de derivadas, que será más agradable porque las cuentas son más sencillas. 764 00:54:11,760 --> 00:54:16,820 Siempre de entrada, cuando os ponen a derivar, os ponen unas derivadas que no os van a salir en la vida. 765 00:54:17,420 --> 00:54:25,019 En los exámenes a mí no me gusta poner derivadas demasiado grandes, pero un poquito más largas de lo normal sí se puede. 766 00:54:25,840 --> 00:54:31,519 Y luego una vez hecho eso, los ejercicios de aplicación son más bonitos y son más ligeros. 767 00:54:31,519 --> 00:54:35,570 Pues esto 768 00:54:35,570 --> 00:54:37,769 ni más ni menos es la clase de hoy 769 00:54:37,769 --> 00:54:39,489 y nada, cualquier cosa 770 00:54:39,489 --> 00:54:41,250 sabéis que estamos en la 771 00:54:41,250 --> 00:54:43,510 que tenéis 772 00:54:43,510 --> 00:54:44,989 las historias individuales, ¿vale? 773 00:54:45,650 --> 00:54:47,829 Y que el miércoles por la mañana 774 00:54:47,829 --> 00:54:49,489 vuelvo a dar esta clase, ¿vale? 775 00:54:49,590 --> 00:54:50,050 Hasta luego.