1
00:00:00,960 --> 00:00:04,099
Aunque no venía en la ficha, vamos a hacer un apartado extra,

2
00:00:04,700 --> 00:00:06,900
que es calcular la curvatura y los puntos de inflexión,

3
00:00:07,000 --> 00:00:12,240
que es lo único que nos falta de todo lo que hemos visto en este tema.

4
00:00:12,740 --> 00:00:14,480
Entonces, para calcular la curvatura,

5
00:00:14,580 --> 00:00:17,019
la curvatura es ver cuándo una función es cóncavo o convexa,

6
00:00:17,679 --> 00:00:21,480
y los puntos de inflexión es dónde cambia de cóncavo a convexo.

7
00:00:22,120 --> 00:00:23,460
Entonces, aquí a la derecha,

8
00:00:23,899 --> 00:00:26,519
sigo teniendo lo mismo que hemos escrito antes,

9
00:00:26,519 --> 00:00:29,480
para saber el dominio, que es continua,

10
00:00:29,480 --> 00:00:31,579
la sincronización vertical y la derivada primera.

11
00:00:31,879 --> 00:00:35,039
Para calcular la curvatura y los puntos de inflexión,

12
00:00:35,280 --> 00:00:39,219
recordad que os dije que se hace lo mismo que hemos hecho con la derivada primera,

13
00:00:39,520 --> 00:00:40,979
pero con la derivada segunda.

14
00:00:41,539 --> 00:00:45,060
Luego lo que necesito calcular en primer lugar es la derivada segunda.

15
00:00:45,859 --> 00:00:48,460
Derivada segunda de x es una función racional.

16
00:00:49,000 --> 00:00:51,979
En el numerador, la derivada del numerador, que es menos 2,

17
00:00:52,539 --> 00:00:54,119
por el denominador sin derivar,

18
00:00:55,640 --> 00:00:59,119
menos el numerador sin derivar, es decir, más 2x,

19
00:00:59,479 --> 00:01:05,540
por la derivada del denominador, que es 3x menos 1 al cuadrado,

20
00:01:05,640 --> 00:01:07,040
por la derivada de lo de adentro, que es 1.

21
00:01:07,680 --> 00:01:14,280
Y todo ello partido por el cuadrado del denominador, como está el cubo, es a la sexta.

22
00:01:14,879 --> 00:01:20,140
Fijaos, aquí podemos quitar 2, porque tenemos un x menos 1 al cuadrado,

23
00:01:20,340 --> 00:01:24,599
aquí tenemos 3, luego puedo quitar 2, y aquí tenemos 6 y nos quedan 4.

24
00:01:24,599 --> 00:01:31,519
¿Vale? Siempre recordad que os dije que en la derivada segunda siempre se puede, en una función racional siempre se puede quitar algo.

25
00:01:31,879 --> 00:01:36,700
Como en este caso en la función inicial tiene un cuadrado, pues por eso hemos podido quitar el cuadrado.

26
00:01:37,620 --> 00:01:39,439
Vale, pues vamos a operar un poquito.

27
00:01:40,659 --> 00:01:46,379
A ver, esto será igual a menos 2x más 2.

28
00:01:46,379 --> 00:01:55,980
y aquí me queda 2 por 3 es 6 más 6x partido por x menos 1 a la cuarta.

29
00:01:57,299 --> 00:02:09,020
Bien, esto es igual a menos 2x más 6x, 4x más 2 entre x menos 1 a la cuarta.

30
00:02:09,680 --> 00:02:14,680
¿Vale? Pues me lo voy a poner aquí a la derecha, lo que acabo de calcular,

31
00:02:14,680 --> 00:02:24,520
f segunda de x es 4x más 2 partido de x menos 1 a la cuarta.

32
00:02:25,120 --> 00:02:28,520
Y voy a borrar esa parte para que tengamos más espacio.

33
00:02:29,360 --> 00:02:32,439
Vale, pues ahora, como ya tenemos la derivada segunda a la derecha,

34
00:02:32,439 --> 00:02:38,280
hacemos lo mismo, derivada segunda de x igual a 0.

35
00:02:38,280 --> 00:02:49,039
Luego me queda que 4x más 2 partido de x menos 1 a la cuarta igual a 0

36
00:02:49,039 --> 00:02:54,740
Resolvemos y me queda que 4x más 2 es 0

37
00:02:54,740 --> 00:02:59,000
Con lo que es lo mismo que x es igual a menos 2 cuartos

38
00:02:59,000 --> 00:03:01,280
Siempre simplificamos menos 1 medio

39
00:03:01,280 --> 00:03:04,680
Luego este es mi candidato a punto de inflexión

40
00:03:04,680 --> 00:03:09,479
si quisiéramos saberlo directamente sin mirar la curvatura

41
00:03:09,479 --> 00:03:11,460
pues tendríamos que calcular la derivada tercera

42
00:03:11,460 --> 00:03:16,780
en el vídeo anterior, el de los apartados C y D

43
00:03:16,780 --> 00:03:19,439
si no hubiéramos tenido que calcular la monotonía

44
00:03:19,439 --> 00:03:20,539
con la derivada segunda

45
00:03:20,539 --> 00:03:23,120
podríamos haber visto si eran máximos o mínimos

46
00:03:23,120 --> 00:03:25,960
pero bueno, como nos pide también la curvatura

47
00:03:25,960 --> 00:03:27,360
y en el caso anterior la monotonía

48
00:03:27,360 --> 00:03:29,379
pues directamente lo hacemos con la tablita

49
00:03:29,379 --> 00:03:31,060
a ver, aquí

50
00:03:31,060 --> 00:03:34,520
aquí tenemos el menos infinito

51
00:03:34,520 --> 00:03:37,939
Bueno, he hecho una tabla un poco loquito grande, no pasa nada

52
00:03:37,939 --> 00:03:39,060
El más infinito

53
00:03:39,060 --> 00:03:41,460
Tenemos que poner aquí el menos un medio

54
00:03:41,460 --> 00:03:43,460
¿Vale?

55
00:03:44,020 --> 00:03:46,960
Y igual que hemos hecho con el apartado anterior de monotonía

56
00:03:46,960 --> 00:03:50,840
Tenemos que poner también donde tenemos la asíntota vertical

57
00:03:50,840 --> 00:03:53,680
O sea, el punto que no está definida la función en el 1

58
00:03:53,680 --> 00:03:57,879
Y a ver, aquí tendríamos que poner directamente la derivada

59
00:03:57,879 --> 00:03:58,300
¿Vale?

60
00:03:58,659 --> 00:04:01,639
Sabéis que yo siempre voy poniendo el numerador, el denominador

61
00:04:01,639 --> 00:04:02,319
Pero fijaos

62
00:04:02,319 --> 00:04:07,039
La derivada segunda, el denominador es una potencia cuarta

63
00:04:07,039 --> 00:04:09,360
Luego el denominador siempre va a ser positivo

64
00:04:09,360 --> 00:04:13,620
Por lo tanto me basta con sustituir en el numerador

65
00:04:13,620 --> 00:04:16,600
Yo puedo poner directamente aquí f segunda de x

66
00:04:16,600 --> 00:04:22,259
Pero para mirar el signo solo sustituyo en el numerador

67
00:04:22,259 --> 00:04:26,120
El denominador siempre va a ser positivo

68
00:04:26,120 --> 00:04:29,259
Entonces no me molesto en ponerlo

69
00:04:29,259 --> 00:04:36,319
Y aquí vemos, dependiendo de cómo nos quede, vemos cómo va a ser la f de x.

70
00:04:37,199 --> 00:04:46,300
Es un poco complicado dibujar con esto.

71
00:04:47,000 --> 00:04:49,300
Vale, cogemos otra vez otro color.

72
00:04:50,139 --> 00:04:55,939
Aquí, por ejemplo, cojo el menos 1, aquí cojo el 0 y aquí cojo, por ejemplo, el 2.

73
00:04:56,759 --> 00:05:00,740
Sustituimos en el numerador y esto sería menos 4 más 2 menos 2, negativo.

74
00:05:00,740 --> 00:05:02,920
En el 0 sería más 2, positivo.

75
00:05:03,420 --> 00:05:06,279
Y en el 2 sería también 4 por 2, 8 más 2, 10.

76
00:05:06,399 --> 00:05:12,519
positivo. Entonces, recordad lo que siempre digo, que sale negativa la segunda derivada,

77
00:05:12,699 --> 00:05:20,399
pues está triste. Que sale positiva, está contenta. Y para mí, ya sabéis lo que os

78
00:05:20,399 --> 00:05:27,339
digo, vosotros llamadlo como queráis, para mí cuando está triste le llamo convexo y

79
00:05:27,339 --> 00:05:36,949
cuando está contento para mí es cóncavo. Y luego lo mismo que os he dicho que hiciéramos

80
00:05:36,949 --> 00:05:42,610
antes que no lo he hecho. El menos un medio pertenece al dominio, luego punto cerradito

81
00:05:42,610 --> 00:05:48,850
y el uno es mi asíntota, luego punto abierto. ¿Y por qué hago esto? Porque fijaos, aquí

82
00:05:48,850 --> 00:05:55,610
en el punto menos un medio la función cambia de convexo a cóncavo. Por lo tanto, esto

83
00:05:55,610 --> 00:06:02,430
va a ser un punto de inflexión. En el otro caso, aunque no hubiera puesto el agujerito

84
00:06:02,430 --> 00:06:04,009
y no nos hubiéramos dado cuenta

85
00:06:04,009 --> 00:06:05,410
como todo sale cóncavo

86
00:06:05,410 --> 00:06:08,269
no hubiéramos dicho que es un punto de inflexión

87
00:06:08,269 --> 00:06:09,509
pero podríamos coger y decir

88
00:06:09,509 --> 00:06:11,350
bueno, pues si es cóncavo en los dos

89
00:06:11,350 --> 00:06:12,230
pongo el intervalo

90
00:06:12,230 --> 00:06:14,769
no pongo dos intervalos

91
00:06:14,769 --> 00:06:15,790
sino simplemente uno

92
00:06:15,790 --> 00:06:18,910
pero sí tenemos que poner como dos intervalos

93
00:06:18,910 --> 00:06:20,329
porque en el uno no está definido

94
00:06:20,329 --> 00:06:22,389
por lo tanto resolvemos

95
00:06:22,389 --> 00:06:23,649
o contestamos

96
00:06:23,649 --> 00:06:25,310
y tenemos que los intervalos

97
00:06:25,310 --> 00:06:28,410
el intervalo de concavidad

98
00:06:28,410 --> 00:06:30,209
importante

99
00:06:30,209 --> 00:06:41,389
pongo el dibujito de lo que para mí es cóncavo, sería desde menos un medio, uno, unión, uno, infinito, ¿vale?

100
00:06:41,930 --> 00:06:59,540
Y mi intervalo de convexidad, me falta una de aquí, convexidad, para mí triste, sería de menos infinito a menos un medio, ¿vale?

101
00:06:59,540 --> 00:07:01,540
igual que he dicho antes

102
00:07:01,540 --> 00:07:04,060
esto es

103
00:07:04,060 --> 00:07:05,639
la curvatura

104
00:07:05,639 --> 00:07:11,290
y ahora puntos de inflexión

105
00:07:11,290 --> 00:07:15,120
solo tenemos uno

106
00:07:15,120 --> 00:07:20,509
ay que mal se escribe

107
00:07:20,509 --> 00:07:21,870
puntos de inflexión

108
00:07:21,870 --> 00:07:24,189
solo tenemos uno que es el x igual a menos un medio

109
00:07:24,189 --> 00:07:26,209
tendríamos que calcular

110
00:07:26,209 --> 00:07:28,350
para poner el punto completo

111
00:07:28,350 --> 00:07:29,610
con las dos coordenadas

112
00:07:29,610 --> 00:07:31,930
pues calculamos

113
00:07:31,930 --> 00:07:34,569
f de menos un medio

114
00:07:34,569 --> 00:07:36,550
en mi función

115
00:07:36,550 --> 00:07:40,050
y esto sería, menos un medio al cuadrado es un cuarto,

116
00:07:41,250 --> 00:07:44,430
en el denominador, menos un medio menos uno es menos tres medios,

117
00:07:45,149 --> 00:07:48,610
menos tres medios al cuadrado es nueve cuartos.

118
00:07:50,209 --> 00:07:52,089
Luego esto es extremos entre medios,

119
00:07:52,990 --> 00:07:54,930
estos se nos van a ir porque van a estar cada uno,

120
00:07:55,029 --> 00:07:56,750
y lo que me queda exactamente es un noveno.

121
00:07:57,629 --> 00:08:00,490
Tiráis de calculadora y lo calculáis, ¿vale?

122
00:08:00,870 --> 00:08:03,649
Bueno, pues este sería el otro apartado que también nos podrían pedir,

123
00:08:04,110 --> 00:08:05,189
que también es muy sencillito.