1 00:00:00,210 --> 00:00:10,490 Bien, ayer nos estuvimos viendo, estamos explicando la teoría del tema de ecuaciones, 2 00:00:11,689 --> 00:00:18,489 de segundo bachillerato de ciencias sociales, ayer estuvimos viendo qué tipo de transformaciones 3 00:00:18,489 --> 00:00:26,309 se pueden hacer en los sistemas de ecuaciones de manera que el sistema resultante de dicha transformación 4 00:00:26,789 --> 00:00:29,890 sea un sistema equivalente, es decir, que tenga las mismas soluciones. 5 00:00:30,050 --> 00:00:39,289 Esto es importante porque para resolver un sistema el método que vamos a utilizar es sustituirlo por sistemas equivalentes 6 00:00:39,289 --> 00:00:46,170 de manera que el resultante sea más sencillo de resolver. ¿Se entiende o no? Bien. 7 00:00:49,229 --> 00:00:54,329 El método que voy a exponer a continuación es el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones. 8 00:00:54,329 --> 00:01:17,329 El método de Gauss consiste en, mediante transformaciones, de este punto que vimos ayer, el punto 1, 1, 2, transformaciones que me llevan a sistemas equivalentes, obtener un sistema equivalente al que quiero calcular mucho más sencillo. 9 00:01:17,329 --> 00:01:23,489 sencillo. ¿Qué entendemos por un sistema mucho más sencillo para esta técnica? Pues 10 00:01:23,489 --> 00:01:34,909 es un sistema escalonado. Un sistema escalonado es, aquí tenéis un ejemplo, es un sistema 11 00:01:34,909 --> 00:01:47,340 que le pasa esto, que debajo de esta escalera todos los coeficientes valen cero. De manera 12 00:01:47,340 --> 00:01:54,439 a que me están anulando esa incógnita. Entonces, ¿qué le pasa a este sistema? Que la ecuación 13 00:01:54,439 --> 00:02:03,239 de abajo, aunque es una ecuación con tres incógnitas, x, y, z, se traduce en una ecuación 14 00:02:03,239 --> 00:02:16,620 de una sola incógnita, que me permite calcular z. ¿Se ve o no? Bien, precisamente por la 15 00:02:16,620 --> 00:02:24,879 estructura de la ecuación, porque tanto la x como la y quedan anuladas, ¿de acuerdo? De aquí puedo 16 00:02:24,879 --> 00:02:33,810 despejar z, insisto, y una vez que tengo z lo puedo sustituir en la ecuación de más arriba, 17 00:02:34,189 --> 00:02:44,949 inmediatamente más arriba, que podéis observar que tiene dos incógnitas, la y y la z, pero el valor 18 00:02:44,949 --> 00:02:51,090 de z lo conozco de la tercera ecuación. Puedo sustituir, de manera que me va a quedar una 19 00:02:51,090 --> 00:02:59,189 ecuación con una sola incógnita, la incógnita i. ¿Se entiende o no? Esto me va a permitir 20 00:02:59,189 --> 00:03:06,889 despejar el valor de i. Y ya así tendré, en esta fase del ejercicio, tendré tanto 21 00:03:06,889 --> 00:03:14,189 el valor de z como el valor de i conocidos. No hay más que sustituir en la primera ecuación 22 00:03:14,189 --> 00:03:17,270 el valor de z y de y 23 00:03:17,270 --> 00:03:20,669 y observáis que me queda una ecuación de una sola incógnita 24 00:03:20,669 --> 00:03:22,969 la x, y podré despejar 25 00:03:22,969 --> 00:03:24,069 ¿se ha entendido? 26 00:03:25,189 --> 00:03:29,669 así pues, podemos observar fácilmente que un sistema escalonado 27 00:03:29,669 --> 00:03:31,229 es el sistema ideal 28 00:03:31,229 --> 00:03:34,250 para resolverlo de manera rápida 29 00:03:34,250 --> 00:03:37,969 pues bien, el método de Gauss consiste 30 00:03:37,969 --> 00:03:40,770 en transformar 31 00:03:40,770 --> 00:03:42,129 un sistema 32 00:03:42,129 --> 00:03:47,169 en otro equivalente que sea escalonado 33 00:03:47,169 --> 00:03:50,849 para resolverlo de manera rápida. 34 00:03:51,050 --> 00:03:51,830 ¿Me habéis entendido? 35 00:03:54,409 --> 00:03:57,930 Repito, tú tienes un sistema de ecuaciones que no es escalonado 36 00:03:57,930 --> 00:04:00,949 y mediante transformaciones 37 00:04:00,949 --> 00:04:03,590 de las que hemos estudiado 38 00:04:03,590 --> 00:04:06,830 que te conservan el sistema equivalente 39 00:04:06,830 --> 00:04:07,689 ¿entendéis o no? 40 00:04:07,750 --> 00:04:09,750 Te lo transforman en un sistema equivalente 41 00:04:09,750 --> 00:04:17,370 lo que vamos a hacer es obtener un sistema equivalente más sencillo de resolver. 42 00:04:17,910 --> 00:04:22,470 Y ese sistema más sencillo de resolver será escalonado. 43 00:04:23,170 --> 00:04:28,310 ¿Se entiende la técnica? A esa técnica se le llama el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones. 44 00:04:30,069 --> 00:04:32,949 Ahora bien, ¿en qué consiste la técnica? 45 00:04:33,670 --> 00:04:39,209 Digamos, ¿cómo voy a transformar un sistema en un sistema equivalente escalonado? 46 00:04:39,209 --> 00:04:55,529 Pues, fundamentalmente, mediante esta propiedad que vimos ayer, esta propiedad que vimos ayer. 47 00:05:03,379 --> 00:05:15,459 Cualquiera de estas propiedades, decíamos que obteníamos de transformaciones, cualquiera de estas transformaciones me llevaría a obtener sistemas equivalentes. 48 00:05:16,259 --> 00:05:21,040 Pero la más utilizada va a ser esta última, que es consecuencia de las anteriores por otro lado. 49 00:05:23,550 --> 00:05:30,850 Fijaos, sustituir una ecuación por el resultado de sumarle una combinación lineal de las demás. 50 00:05:32,089 --> 00:05:40,470 Es decir, aquí en este caso concreto, hemos sustituido esta segunda ecuación por esta otra. 51 00:05:40,769 --> 00:05:46,589 ¿Y esta otra de dónde sale? Pues justamente de sumar esta y esta. 52 00:05:47,149 --> 00:06:01,230 Por lo tanto, esta ecuación, que llamo E2', sería igual a, esta es E1 y esta es E2, pues sería igual a 1E1 más 1E2. 53 00:06:03,680 --> 00:06:06,600 Esto es una combinación lineal de las dos ecuaciones. 54 00:06:07,199 --> 00:06:15,560 He sustituido esta ecuación por esta, que es resultante de esta combinación lineal de esta y esta. 55 00:06:15,560 --> 00:06:29,399 Y, por tanto, el sistema que obtengo es equivalente. Pues bien, vamos a resolver un sistema en concreto aplicando esta técnica. Vamos a ver este ejemplo que tenemos en el punto 1, 5, 2. 56 00:06:29,980 --> 00:06:45,360 Dice, bueno, tenemos este sistema de ecuaciones y queremos resolverlo. ¿Qué hacemos? Pues vamos a transformarlo en un sistema escalonado. 57 00:06:45,360 --> 00:06:53,199 Bien, vamos a resolver este sistema mediante el método de Gauss 58 00:06:53,199 --> 00:07:00,639 De momento, este sistema lo voy a transformar en un sistema equivalente 59 00:07:00,639 --> 00:07:07,259 Mediante transformaciones que me mantengan, me conserven la solución 60 00:07:07,259 --> 00:07:14,220 O sea, me mantengan la equivalencia, me transformen el sistema en un equivalente 61 00:07:14,220 --> 00:07:40,759 Bien, para escalonarlo debería de aparecer cero aquí, en el aquí. Decía que, bueno, he copiado aquí el sistema para trabajar. Tengo que hacer ceros para escalonarlo aquí y aquí y aquí. ¿Vale? 62 00:07:40,759 --> 00:08:04,439 ¿Vale? Entonces, vamos a seguir, es importante que os fijéis en este detalle que voy a indicar ahora. Vamos a seguir siempre el mismo orden. Será mucho mejor para no equivocarse. ¿De acuerdo? Primero haremos un cero aquí y un cero aquí. Y finalmente, este lo dejamos para el final. ¿De acuerdo? Bien. 63 00:08:04,439 --> 00:08:26,759 ¿Cómo hacemos un cero? ¿Cómo hacemos ceros? Pues la propiedad fundamental que hemos dicho, la propiedad fundamental que es, mediante transformaciones, en este caso, para hacer un cero aquí, 64 00:08:26,759 --> 00:08:44,539 Entonces, habrá que sustituir esta ecuación por una combinación lineal de ella con otras, de manera que me quede como resultante aquí un cero. ¿Se comprende? ¿Se entiende? 65 00:08:44,539 --> 00:09:07,639 Bien, fijaros en un detalle. Si multiplico menos 2 por E1 y le sumo E2, ¿qué me va a quedar aquí? Lo vamos a hacer. Menos 2 por E1. 66 00:09:07,639 --> 00:09:13,980 Menos 2 por E1, esta es E1, esta es E2 y esta es E3, ¿no? Esto se entiende 67 00:09:13,980 --> 00:09:23,659 Bien, pues menos 2 por E1 me queda menos 2 por X, menos 2Y más 4Z igual a menos 18 68 00:09:23,659 --> 00:09:37,500 Y ahora hay que sumar E2, la ponemos tal cual está, 2X menos Y más 4Z igual a 4 69 00:09:37,500 --> 00:09:56,299 Al sumar, observamos fácilmente que esto se va con esto. ¿Os suena al método de reducción de un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas? Es que es el mismo. Es el mismo método, pero generalizado. ¿Entendéis? 70 00:09:56,299 --> 00:10:12,259 Bien, aquí nos quedaría menos 3y más 8z igual a menos 14. Y fijaos, ya he conseguido un 0 en la x porque aquí es como poner 0x. Donde no hay nada es 0x. ¿Se entiende o no? 71 00:10:12,259 --> 00:10:39,740 Así que podríamos decir que este sistema es equivalente a, la primera la dejo tal cual, x más y menos 2z igual a 9 y la segunda ecuación la sustituyo por esta. 72 00:10:39,740 --> 00:11:06,470 Y esta, de momento la dejo igual. Voy a hacerlo... La pregunta es, ¿este sistema de aquí es equivalente a este? ¿El sistema primero es equivalente al sistema segundo? 73 00:11:06,470 --> 00:11:28,470 Sí, es equivalente porque ha aplicado esa propiedad que hemos visto tan importante que decía, si sustituyes una ecuación, esa está en concreto, por una combinación lineal de ella con otras, esta es la combinación lineal que hemos hecho. 74 00:11:28,470 --> 00:11:43,350 O tienes un sistema equivalente, o sea, con las mismas soluciones. Esto implica que este sistema y este son equivalentes. Pero ya he logrado aquí un cero. Está más escalonado que antes. ¿Lo veis? 75 00:11:43,350 --> 00:11:46,029 Ahora vamos a hacer un cero 76 00:11:46,029 --> 00:11:48,070 Aquí 77 00:11:48,070 --> 00:11:50,809 Vamos a eliminar este elemento 78 00:11:50,809 --> 00:11:53,669 ¿Cómo vamos a hacer ahora un cero aquí? 79 00:11:55,669 --> 00:11:57,009 Aquí hacemos un cero 80 00:11:57,009 --> 00:11:59,190 ¿Cómo logramos hacer cero ahí? 81 00:11:59,669 --> 00:12:02,070 Pues hay que aplicar otra vez la misma propiedad 82 00:12:02,070 --> 00:12:04,269 Sustituir esta ecuación 83 00:12:04,269 --> 00:12:10,009 Por otra que resulte de hacer una combinación lineal 84 00:12:10,009 --> 00:12:13,250 De esta con estas de aquí 85 00:12:13,250 --> 00:12:34,200 O alguna de ellas. ¿Se entiende la idea o no? ¿Cuál será la combinación lineal adecuada? Pues mirad, menos 2 e 1, al multiplicar por menos 2 e 1, me va a quedar aquí junto con el 2x que se van al sumar. 86 00:12:34,200 --> 00:12:50,759 ¿Se entiende o no? O sea, lo que hay que hacer es multiplicar. Apañártelas de manera que en las dos ecuaciones con las que trabajas tengan el mismo coeficiente, pero cambiado de signo. ¿Entendéis o no? Para que al sumarse vaya. ¿Se entiende? 87 00:12:50,759 --> 00:13:00,480 Mirad, entonces, menos 2E1 sería menos 2X menos 2Y, estoy multiplicando por esta, ¿vale? 88 00:13:01,059 --> 00:13:04,620 Más 4Z igual a menos 18. 89 00:13:05,720 --> 00:13:08,820 E2 sería esta de abajo. 90 00:13:13,639 --> 00:13:20,480 Fijaos, lo que busco es justamente que tanto este como este sean iguales pero cambiado de signo. 91 00:13:20,960 --> 00:13:21,700 ¿Se entiende o no? 92 00:13:22,460 --> 00:13:22,940 Bien. 93 00:13:22,940 --> 00:13:31,759 Al sumar se va, queda menos 3Y más 10Z igual a menos 19. 94 00:13:35,000 --> 00:13:41,879 Y por tanto sustituyendo esta ecuación por esta voy a obtener un sistema equivalente. 95 00:13:42,799 --> 00:13:53,120 Porque estoy sustituyendo esta ecuación por una combinación lineal que resulta de menos 2E1 más E2. 96 00:13:53,600 --> 00:13:54,860 ¿Se entiende o no? 97 00:13:55,080 --> 00:13:58,100 Perdón, es E3 98 00:13:58,100 --> 00:14:00,899 Perdón, es E3 99 00:14:00,899 --> 00:14:05,580 Gracias, Gascon 100 00:14:05,580 --> 00:14:06,899 Bien 101 00:14:06,899 --> 00:14:09,559 Pues bien, ahora 102 00:14:09,559 --> 00:14:12,480 Sustituyo, por tanto 103 00:14:12,480 --> 00:14:16,379 Esta tercera ecuación por la que nos salió 104 00:14:16,379 --> 00:14:19,279 Pues bien, entonces 105 00:14:19,279 --> 00:14:22,700 Ahora, o tenemos así otro sistema equivalente 106 00:14:22,700 --> 00:14:26,320 Pero fijaos, está más escalonado que antes 107 00:14:26,940 --> 00:14:35,840 ¿Dónde hay que hacer un cero ahora? Pues aquí. Pues aquí. Aquí hay que hacer un cero. 108 00:14:36,299 --> 00:14:42,480 Y ahora es sencillo porque, fijaos, tiene el mismo coeficiente la i. Solamente habría que cambiar el signo. 109 00:14:42,480 --> 00:14:48,120 Entonces, ¿cuál es la combinación lineal con la que trabajaremos? Pues sustituiremos esta ecuación, 110 00:14:48,120 --> 00:14:50,240 E3 111 00:14:50,240 --> 00:14:53,879 la sustituiremos por 112 00:14:53,879 --> 00:14:57,840 E'3 113 00:14:57,840 --> 00:14:59,460 que será la resultante de aquí 114 00:14:59,460 --> 00:15:02,220 pues será igual a 115 00:15:02,220 --> 00:15:03,840 por ejemplo 116 00:15:03,840 --> 00:15:04,639 menos 1 117 00:15:04,639 --> 00:15:07,440 E2 más E3 118 00:15:07,440 --> 00:15:09,659 este menos 1 lo ponemos 119 00:15:09,659 --> 00:15:11,539 ¿para qué? para que este menos 120 00:15:11,539 --> 00:15:12,779 se transforme en un signo más 121 00:15:12,779 --> 00:15:15,419 y así tengan el signo contrario y al sumar se vayan 122 00:15:15,419 --> 00:15:16,299 ¿entendéis o no? 123 00:15:16,299 --> 00:15:27,320 Bien, haremos algún ejercicio más, un poco más complicado, para ver un poco la técnica que hay que seguir para hacer realmente ceros, en casos más complicados, ¿vale? 124 00:15:27,320 --> 00:15:59,759 Pero me interesa de momento. Entonces, hacemos que menos 1E2 sería, entonces, 3Y menos 24Z igual a, perdón, que estoy multiplicando por menos 1, perdón, menos 8Z igual a 14, ¿vale? 125 00:15:59,759 --> 00:16:16,580 Luego, E3 sería menos 3Y más 10Z igual a menos 19. Ahora sumamos y se van las Y. 2Z igual a menos 5. 126 00:16:16,580 --> 00:16:35,100 Así pues, obtengo el siguiente sistema. x más y menos 2z igual a 9, menos 3y más 8z igual a menos 14 y 2z igual a menos 5. 127 00:16:35,720 --> 00:16:39,940 Y fijaros que ya tengo el sistema escalonado y ya es fácil de resolver. 128 00:16:39,940 --> 00:16:57,419 Bien, bueno, como veis aquí, lo han resuelto mediante un método que se llama el método matricial, pero que ya veremos, es muy sencillo, tampoco me interesaba verlo más por el método que acabo de explicar, pero bueno, en definitiva es una forma de escribir lo mismo. 129 00:16:57,419 --> 00:17:11,900 En definitiva, llegaríamos a este sistema de aquí, como veis, y que de manera inmediata, al estar escalonado, resolveríamos de esta manera. 130 00:17:11,900 --> 00:17:36,039 En definitiva, como habéis comprobado, el método de Gauss consiste en obtener, simplificar el sistema mediante la transformación hacia un sistema más fácil de resolver, que es de forma escalonada, y esas transformaciones se hacen aplicando la sustitución de una ecuación por una combinación lineal de ella con otras.