1
00:00:12,339 --> 00:00:17,600
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de Matemáticas de Bachillerato en el IES

2
00:00:17,600 --> 00:00:22,219
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

3
00:00:22,219 --> 00:00:34,460
de la unidad AN3 dedicada a las derivadas. En la videoclase de hoy estudiaremos las derivadas

4
00:00:34,460 --> 00:00:51,170
de las funciones elementales. En esta videoclase vamos a estudiar la derivada de las funciones

5
00:00:51,170 --> 00:00:56,210
elementales y lo que vamos a hacer es estudiar las reglas que nos van a permitir determinar

6
00:00:56,210 --> 00:01:02,049
estas derivadas de una forma cómoda y sencilla, sin necesidad de recurrir a la definición que

7
00:01:02,049 --> 00:01:06,469
habíamos estudiado en videoclases anteriores. Y es que en el mejor de los casos utilizar esa

8
00:01:06,469 --> 00:01:14,430
definición es complejo, en casos que son de verdad complicados podemos tener una serie de operaciones

9
00:01:14,430 --> 00:01:18,849
muy complicadas. Es mucho mejor utilizar en la medida de lo posible estas reglas de derivación.

10
00:01:19,689 --> 00:01:23,689
Pues bien, vamos a comenzar con las derivadas de funciones elementales en esta videoclase,

11
00:01:23,689 --> 00:01:29,310
comenzando por las más sencillas, empezando por las funciones que son constantes. Aquí tenemos la

12
00:01:29,310 --> 00:01:34,769
derivada de una acerta k, k un número real, y vemos que la derivada de cualquier constante es

13
00:01:34,769 --> 00:01:39,290
idénticamente igual a cero. La siguiente función por la que nos preguntamos son las funciones

14
00:01:39,290 --> 00:01:45,069
potenciales x elevado a un cierto exponente, que será un número real distinto de cero. Pues bien,

15
00:01:45,069 --> 00:01:51,650
la derivada de una potencia se determina de esta manera. La potencia que multiplica a una potencia

16
00:01:51,650 --> 00:01:55,670
x elevado a, el resultado de restarle 1 al exponente.

17
00:01:56,650 --> 00:02:00,370
Hay un par de casos particulares de la función potencial que van a ser interesantes.

18
00:02:00,530 --> 00:02:04,469
En primer lugar, la función de identidad, x elevado a 1, la función f de x igual a x.

19
00:02:05,109 --> 00:02:09,550
Bien, la regla me dice que esto sería 1 por x elevado a 1 menos 1.

20
00:02:10,229 --> 00:02:15,129
x elevado a 0 es 1 y entonces lo que nos queda es que la derivada de x es 1.

21
00:02:15,469 --> 00:02:17,889
Este resultado se puede poner directamente, es muy cómodo.

22
00:02:18,250 --> 00:02:23,229
También como caso particular de las funciones potenciales tenemos las funciones radicales.

23
00:02:23,330 --> 00:02:26,889
Aquí tenemos la derivada de la raíz enésima de x.

24
00:02:27,729 --> 00:02:33,889
Recordemos que se puede transcribir los radicales como funciones potenciales con exponente fraccionario.

25
00:02:34,770 --> 00:02:40,590
Y en concreto raíz enésima de x se podría escribir como x elevado a 1 partido de n.

26
00:02:41,310 --> 00:02:54,169
Si utilizamos esta regla, lo que tendríamos para la derivada de x elevado a 1 partido de n sería 1 partido de n por x elevado a 1 partido de n menos 1.

27
00:02:54,650 --> 00:03:04,449
Si operamos con el exponente y reconvertimos una vez más esa potencia con el exponente fraccionario en un radical, lo que vamos a tener es esta expresión.

28
00:03:04,449 --> 00:03:15,169
La derivada de la raíz enésima de x es 1 partido de, y en el denominador tenemos n, por la raíz enésima de x elevado a n menos 1.

29
00:03:16,330 --> 00:03:23,870
No quiero hacer más hincapié en el caso particular del caso particular, pero en el caso de una función que sea la raíz cuadrada,

30
00:03:24,370 --> 00:03:30,669
lo que tenemos es 1 partido por dos veces la misma raíz cuadrada, puesto que aquí tendríamos como índice 2,

31
00:03:30,669 --> 00:03:34,569
y dentro del radicando x elevado a 2 menos 1, que sería 1.

32
00:03:34,969 --> 00:03:41,210
Así pues, funciones potenciales a por x elevado a a menos 1,

33
00:03:41,909 --> 00:03:44,469
caso particular función de identidad, la derivada es 1,

34
00:03:45,169 --> 00:03:50,729
caso particular funciones radicales, la derivada de la raíz enésima de x es 1 partido por n,

35
00:03:51,169 --> 00:03:53,949
la raíz enésima de x elevado a n menos 1.

36
00:03:53,949 --> 00:03:59,539
En el caso de las funciones exponenciales a elevado a x,

37
00:03:59,539 --> 00:04:06,219
su derivada se puede escribir como a elevado a x, la misma función exponencial, por el logaritmo neperiano de a.

38
00:04:06,699 --> 00:04:11,860
En el caso particular en el que tengamos la función exponencial, aquella que tiene como base el número e,

39
00:04:12,439 --> 00:04:18,579
el logaritmo neperiano de e sería 1 y tenemos que la derivada de e elevado a x es ella misma.

40
00:04:19,500 --> 00:04:25,259
Para las funciones logarítmicas, aquí tenemos la derivada del logaritmo en una base a de x.

41
00:04:25,259 --> 00:04:29,720
Y esto es 1 partido por x y el logaritmo neperiano de a.

42
00:04:30,540 --> 00:04:34,779
En el caso particular en que tengamos la función logaritmo neperiano, la base es el número e.

43
00:04:35,279 --> 00:04:38,879
Aquí tendríamos en el denominador el logaritmo neperiano de e, que es 1.

44
00:04:39,300 --> 00:04:44,579
Y en este caso particular tenemos que la derivada del logaritmo neperiano de x es 1 partido por x.

45
00:04:46,829 --> 00:04:52,529
En el caso en el que estemos en un segundo bachillato de ciencias, estudiaríamos también las funciones trigonométricas.

46
00:04:52,529 --> 00:04:58,569
Y aquí tenemos una lista con las derivadas de las funciones trigonométricas y sus inversas.

47
00:04:59,029 --> 00:05:05,269
La derivada de la función seno es el coseno, la derivada de la función coseno es menos el seno,

48
00:05:05,689 --> 00:05:09,430
la derivada de la función tangente es 1 más la tangente al cuadrado de x,

49
00:05:09,990 --> 00:05:13,569
que se podría reescribir como 1 partido por el coseno al cuadrado de x,

50
00:05:13,670 --> 00:05:16,750
recordando la segunda relación fundamental de la trigonometría.

51
00:05:17,629 --> 00:05:20,509
Y en el caso de las funciones trigonométricas inversas tenemos que

52
00:05:20,509 --> 00:05:26,970
La derivada de la función arco coseno es 1 partido por la raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado.

53
00:05:27,449 --> 00:05:33,689
La derivada de la función arco coseno es menos 1 partido de la raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado.

54
00:05:34,250 --> 00:05:39,769
Y la derivada de la función arco tangente es 1 partido de 1 más x al cuadrado.

55
00:05:40,069 --> 00:05:46,769
En el caso de las funciones arco seno y arco coseno, el signo, puesto que aquí tenemos raíz cuadrada,

56
00:05:46,769 --> 00:05:51,810
va a depender de cuál sea la determinación, de cuál sea el ángulo con el que estemos trabajando,

57
00:05:51,970 --> 00:05:55,269
de si se encuentra en el primer, segundo, tercer o cuarto cuadrante.

58
00:05:55,269 --> 00:06:03,860
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

59
00:06:04,579 --> 00:06:08,680
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

60
00:06:09,500 --> 00:06:14,240
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

61
00:06:14,800 --> 00:06:16,199
Un saludo y hasta pronto.