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00:00:12,400 --> 00:00:17,920
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,920 --> 00:00:22,879
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,879 --> 00:00:26,899
de la unidad AN4 dedicada a las aplicaciones de las derivadas.

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00:00:28,559 --> 00:00:36,670
En la videoclase de hoy estudiaremos los puntos críticos de la función derivada y los extremos

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00:00:36,670 --> 00:00:37,909
relativos de una función.

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00:00:39,429 --> 00:00:52,049
En esta videoclase vamos a estudiar los extremos relativos de una función, cómo determinar

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00:00:52,049 --> 00:00:56,890
los extremos relativos de una función. Vamos a partir de un resultado conocido y es que una

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00:00:56,890 --> 00:01:02,250
función real de variable real que tiene un máximo o un mínimo en un determinado punto de abscisa x0

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00:01:02,250 --> 00:01:08,790
sabemos que en esa abscisa la función derivada va a ser cero. De tal forma que el hecho de que en

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00:01:08,790 --> 00:01:13,689
los extremos relativos la derivada sea cero, este hecho nos va a servir para poder caracterizarlos,

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00:01:13,790 --> 00:01:19,090
para poder determinarlos. Así pues lo que vamos a hacer con carácter general va a ser, dada esa

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00:01:19,090 --> 00:01:25,230
función real f, vamos a determinar su función derivada f' y de esta función derivada vamos a

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00:01:25,230 --> 00:01:31,209
determinar los ceros. Los ceros de la función derivada primera se denominan puntos críticos y

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00:01:31,209 --> 00:01:37,170
entre ellos podremos encontrar los extremos relativos. Fijaos en algo importante, en los

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00:01:37,170 --> 00:01:42,890
extremos relativos la derivada se va a anular pero no necesariamente en todos los puntos críticos de

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00:01:42,890 --> 00:01:47,810
la derivada, en todos los puntos donde la derivada sea cero, nos encontraremos con extremos relativos.

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00:01:48,390 --> 00:01:53,450
Veremos más adelante que de entre los puntos críticos podríamos encontrarnos con puntos de inflexión,

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00:01:53,549 --> 00:01:56,930
que no son ni máximos ni mínimos, o bien otro tipo de puntos.

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00:01:57,810 --> 00:02:02,829
Así pues, con carácter general, cuando queramos determinar los extremos relativos de una función,

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00:02:03,329 --> 00:02:07,049
empezaremos determinando la función derivada y sus puntos críticos,

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00:02:07,049 --> 00:02:12,110
y a partir de ahí, con ellos, seleccionaremos de entre ellos los extremos relativos.

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00:02:12,430 --> 00:02:15,270
¿Cómo? Bueno, pues existen distintas alternativas.

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00:02:15,789 --> 00:02:24,449
La primera y más sencilla consiste en utilizar la monotonía de la función para caracterizar si esos puntos críticos son máximos o mínimos.

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00:02:25,349 --> 00:02:38,810
Fijaos, si a la izquierda de un determinado punto crítico sabemos que la función es decreciente y a su derecha la función es creciente, sabemos que la función tiene esta forma que estoy marcando con el cursor.

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00:02:38,810 --> 00:02:45,810
A la izquierda decreciente, a la derecha creciente. Y entonces vemos que necesariamente en ese punto crítico la función debe alcanzar un mínimo.

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00:02:46,610 --> 00:03:01,530
Al revés, si a la izquierda del punto crítico la función crece, como estoy marcando con el cursor del ratón, y a su derecha la función decrece, la función va a tener esta forma y entonces necesariamente en ese punto crítico la función va a tener un máximo relativo.

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00:03:01,530 --> 00:03:23,009
Así que el hecho de que a la izquierda y a la derecha de los puntos críticos veamos que la monotonía es distinta, empieza creciente y acaba decreciente, o bien empieza decreciente y acaba creciente, lo que podremos hacer es determinar cuándo un determinado punto crítico es máximo o mínimo, utilizando este algoritmo que tenemos aquí.

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00:03:23,729 --> 00:03:30,310
Nosotros en general podremos simultáneamente, con el mismo algoritmo, con el mismo esfuerzo,

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00:03:30,469 --> 00:03:34,650
determinar simultáneamente la monotonía y los extremos relativos de una función.

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00:03:35,229 --> 00:03:40,930
Recordad que en la videoclase anterior discutíamos que a partir de una cierta función

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00:03:40,930 --> 00:03:46,050
determinábamos su dominio, determinábamos la función derivada, determinábamos su dominio,

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00:03:46,610 --> 00:03:50,870
determinábamos los puntos críticos de la función derivada, puesto que buscábamos los puntos

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00:03:50,870 --> 00:03:59,189
donde la función derivada se hacía cero y entonces esos puntos críticos dividían el dominio de la función en distintos intervalos

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00:03:59,189 --> 00:04:03,669
y estudiábamos el signo de la función derivada en esos intervalos.

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00:04:03,669 --> 00:04:11,090
Pues bien, si los puntos críticos que son los que dividen el dominio de la función derivada

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00:04:11,090 --> 00:04:16,290
encontramos que a la izquierda la función es creciente y a la derecha la función es decreciente,

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00:04:16,410 --> 00:04:18,189
ese punto crítico será un máximo relativo.

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00:04:18,649 --> 00:04:24,250
Mientras que si a la izquierda vemos que la función es decreciente y a la derecha vemos que la función es creciente,

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00:04:24,629 --> 00:04:26,810
en ese caso diremos que la función tiene un mínimo relativo.

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00:04:27,610 --> 00:04:33,350
Si a izquierda y a derecha la función es simultáneamente creciente o bien simultáneamente decreciente,

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00:04:33,350 --> 00:04:39,790
en esos casos la función en esos puntos críticos no va a ser ni un máximo ni un mínimo relativo.

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00:04:41,350 --> 00:04:46,829
Una forma alternativa de determinar los extremos relativos de la función

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00:04:46,829 --> 00:04:52,790
no es utilizando la monotonía, sino utilizando las derivadas sucesivas.

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00:04:53,149 --> 00:04:58,529
Puede que nosotros no queramos hacer o no tengamos el estudio de la monotonía de la función,

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00:04:59,209 --> 00:05:03,649
pero sí podamos hacer la derivada segunda, tercera, cuarta, etcétera de la función.

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00:05:04,449 --> 00:05:09,329
Y utilizando únicamente el valor de la derivada primera, segunda, tercera, derivadas sucesivas,

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00:05:09,930 --> 00:05:16,069
en ese valor de abscisa, podemos decidir si en el punto crítico de la derivada primera

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00:05:16,069 --> 00:05:19,769
la función tiene un máximo o un mínimo o bien ninguna de esas cosas.

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00:05:20,389 --> 00:05:25,290
Para ello lo que tenemos que hacer sería emplear este algoritmo, que en esencia lo que nos dice es

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00:05:25,290 --> 00:05:31,889
si en un determinado punto x0, la bestisa x0, la función derivada se anula,

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00:05:32,009 --> 00:05:34,110
tenemos un punto crítico de la función derivada,

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00:05:34,949 --> 00:05:39,230
lo que vamos a hacer es determinar cuál es la primera derivada,

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00:05:39,810 --> 00:05:43,069
empezando por la segunda y pasando a la tercera, cuarta, quinta, etc.,

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00:05:43,069 --> 00:05:50,589
etcétera, en donde la derivada en esta abstisa es distinta de 0. Habitualmente será la derivada

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00:05:50,589 --> 00:05:55,389
segunda, la que ya sea distinta de 0, pero en ciertas ocasiones nos podemos encontrar que en

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00:05:55,389 --> 00:05:59,829
este punto crítico la derivada segunda es 0, entonces tendríamos que recurrir a la tercera

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00:05:59,829 --> 00:06:06,050
derivada, que también sea 0, tendremos que recurrir a la cuarta derivada y así sucesivamente. Hemos

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00:06:06,050 --> 00:06:12,670
de encontrar cuál es la primera derivada en las cuales, al sustituir esta abstisa que corresponde

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00:06:12,670 --> 00:06:19,269
un punto crítico de la función derivada obtenemos un valor distinto de 0. Para que la función tenga

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00:06:19,269 --> 00:06:26,029
un extremo relativo, ya sea máximo o bien mínimo, esa primera derivada con valor distinto de 0 debe

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00:06:26,029 --> 00:06:32,490
ser de orden par. Así pues debe ser derivada segunda, cuarta, sexta, etcétera. Si esa primera

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00:06:32,490 --> 00:06:38,269
derivada es de orden impar, en ese caso el punto crítico no es ni un máximo ni un mínimo. Y como

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00:06:38,269 --> 00:06:42,949
veremos en alguna video clase posterior, veremos que en ese caso lo que tenemos es una función que

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00:06:42,949 --> 00:06:49,009
va a ser, perdón, un punto que va a ser un punto de inflexión. Así pues, necesitamos que esa derivada

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00:06:49,009 --> 00:06:55,129
sea de orden par. Dependiendo del signo, decidiremos si la función tiene un máximo o bien tiene un

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00:06:55,129 --> 00:07:03,829
mínimo. Si en esa derivada de orden par vemos que la derivada es negativa, diremos que en ese caso

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00:07:03,829 --> 00:07:09,910
la función tiene un máximo. Si vemos que la derivada tiene signo positivo, en ese caso diremos

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00:07:09,910 --> 00:07:15,610
que la función tiene un mínimo. Con independencia de si se trata de la derivada segunda, como

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00:07:15,610 --> 00:07:19,750
represento en este caso que va a ser el más habitual, o bien derivada cuarta, sexta, etcétera,

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00:07:19,930 --> 00:07:27,569
lo cual va a ser muy inhabitual. Con esto que hemos estudiado en esta videoclase y en la

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00:07:27,569 --> 00:07:33,350
videoclase anterior vamos a poder resolver estos ejercicios que veremos en clase y que posiblemente

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00:07:33,350 --> 00:07:35,089
resolvamos en alguna videoclase posterior.