1
00:00:01,840 --> 00:00:07,839
En este vídeo vamos a definir las razones trigonométricas de los ángulos agudos,

2
00:00:08,980 --> 00:00:11,900
sus relaciones fundamentales y algunas características.

3
00:00:14,919 --> 00:00:20,079
Vamos a trabajar en un triángulo rectángulo, donde nos vamos a encontrar siempre un ángulo recto

4
00:00:20,079 --> 00:00:24,239
y los otros dos son necesariamente agudos.

5
00:00:24,920 --> 00:00:28,160
Tenemos los ángulos alfa, beta y el ángulo red.

6
00:00:28,160 --> 00:00:33,359
Usamos esta nomenclatura, estas letras griegas, porque es lo usual en trigonometría.

7
00:00:34,179 --> 00:00:39,700
Lo primero que vamos a hacer es que vamos a identificar los lados del triángulo rectángulo,

8
00:00:39,700 --> 00:00:45,960
la hipotenusa y los catetos, en función del ángulo desde el que estemos observando.

9
00:00:46,700 --> 00:00:53,179
Si nos fijamos en el ángulo alfa, podemos decir que el cateto opuesto al ángulo alfa es el lado A,

10
00:00:53,700 --> 00:00:58,880
mientras que el cateto adyacente o contiguo al ángulo alfa será el lado C.

11
00:00:58,880 --> 00:01:09,500
Sin embargo, si nos fijamos en el ángulo beta desde esta perspectiva, el cateto opuesto al ángulo beta ahora es el lado C,

12
00:01:10,120 --> 00:01:15,540
mientras que el cateto adyacente o contiguo al ángulo beta es el lado A.

13
00:01:18,459 --> 00:01:26,519
El objetivo es hallar unos valores numéricos que determinen cada ángulo con independencia del triángulo rectángulo en el que se encuentre.

14
00:01:27,299 --> 00:01:32,739
Además, a esos valores numéricos es a los que llamaremos razones trigonométricas del ángulo

15
00:01:32,739 --> 00:01:37,439
y serán únicas para cada ángulo, un poco como su ADN.

16
00:01:38,420 --> 00:01:44,280
Nos vamos a basar en los resultados que conocemos sobre la semejanza de triángulos.

17
00:01:46,209 --> 00:01:55,269
Recordamos que dos triángulos como los que tenemos aquí dibujados son semejantes porque están en posición de tales.

18
00:01:55,269 --> 00:02:02,609
Tenemos un triángulo grande ABC y un triángulo más pequeño AB'C'.

19
00:02:02,609 --> 00:02:08,710
En estas condiciones de semejanza se encuentre que sus lados homólogos son proporcionales.

20
00:02:08,810 --> 00:02:16,370
Es decir, que A partido de A' es igual que B partido de B' y igual que C partido de C'.

21
00:02:16,370 --> 00:02:22,629
Y el número que dan esos cocientes se llama razón de semejanza.

22
00:02:22,629 --> 00:02:31,909
Quizá había que recordar que cada una de estas fracciones se conoce como razón

23
00:02:31,909 --> 00:02:42,310
Una razón se diferencia de una fracción en que el numerador y el denominador no necesariamente son números enteros

24
00:02:42,310 --> 00:02:45,069
Pueden ser números decimales

25
00:02:45,069 --> 00:02:56,719
Lo que vamos a hacer es que vamos a coger esta relación de proporcionalidad entre los lados del triángulo grande y el triángulo pequeño

26
00:02:56,719 --> 00:03:02,780
y vamos a sacar todas las posibles proporciones que se pueden obtener de ella.

27
00:03:03,500 --> 00:03:09,500
La primera proporción la leemos directamente A partido por A' igual que B partido por B'.

28
00:03:09,500 --> 00:03:16,580
La segunda proporción también se lee directamente B partido de B' igual que C partido por C'.

29
00:03:16,580 --> 00:03:22,860
y para construir la tercera proporción la formamos con la fracción primera y la última,

30
00:03:23,099 --> 00:03:27,020
quedándonos A partido de A' igual que C partido por C'.

31
00:03:27,020 --> 00:03:34,979
En estas tres proporciones, observad, tenemos mezclados los lados del triángulo pequeño y los lados del triángulo grande.

32
00:03:35,599 --> 00:03:40,780
Entonces, lo que vamos a intentar, el objetivo es que queremos formar proporciones

33
00:03:40,780 --> 00:03:48,180
en las que cada una de las razones solamente intervengan lados del mismo triángulo.

34
00:03:48,780 --> 00:03:56,400
Es bastante sencillo, simplemente tenemos que cambiar la B por la A', ¿de acuerdo?

35
00:03:56,780 --> 00:04:01,439
Y entonces tenemos, derivado de la primera proporción, una proporción nueva

36
00:04:02,159 --> 00:04:06,680
en la que nos queda que A partido por B es igual que A' partido por B'.

37
00:04:06,680 --> 00:04:13,400
En la segunda proporción hacemos lo mismo y nos queda B partido por C igual que B' partido por C'.

38
00:04:13,400 --> 00:04:19,399
Y en la tercera proporción obtenemos A partido por C es igual que A' partido por C'.

39
00:04:19,399 --> 00:04:29,560
Observad que estos cocientes van a ser iguales y no depende del triángulo semejante en el que estemos.

40
00:04:29,560 --> 00:04:42,680
¿De acuerdo? Vamos a ponerles nombre, pero quiero que os fijéis en estas razones de las proporciones, las que involucran a los lados del triángulo grande.

41
00:04:43,180 --> 00:04:52,220
Vamos ahora entonces a identificar quién es A partido por B en el triángulo grande, B partido por C y A partido por C.

42
00:04:52,220 --> 00:04:55,939
Y una vez que lo identifiquemos pasaremos a ponerle nombres.

43
00:04:57,560 --> 00:05:05,240
Tenemos la perspectiva en el ángulo alfa, así que el cociente A partido por B será

44
00:05:05,240 --> 00:05:13,819
A es el cateto opuesto al ángulo alfa, mientras que B es la hipotenusa.

45
00:05:13,819 --> 00:05:18,899
Así que identificamos la primera razón como cateto opuesto partido por hipotenusa.

46
00:05:19,319 --> 00:05:23,740
La segunda razón la identificamos con, ¿quién es C?

47
00:05:24,300 --> 00:05:31,100
Mirando desde la perspectiva del ángulo alfa, C es el cateto adyacente y B ya sabemos que es la hipotenusa.

48
00:05:31,759 --> 00:05:40,139
Y la última de las razones, a partido por C, será, sabemos que A es el cateto opuesto y que B es el cateto adyacente.

49
00:05:40,660 --> 00:05:43,360
Vale, ya las tenemos identificadas, vamos a ponerle nombre.

50
00:05:44,300 --> 00:05:52,600
Llamamos seno de alfa a, y se escribe sen alfa, igual al cateto opuesto partido por la hipotenusa.

51
00:05:53,199 --> 00:06:01,459
Llamaremos coseno de alfa y lo escribiremos cos alfa igual al cateto adyacente partido por la hipotenusa.

52
00:06:01,459 --> 00:06:08,660
Y llamamos tangente de alfa y lo escribiremos tan alfa al cateto opuesto partido por el cateto adyacente.

53
00:06:09,180 --> 00:06:11,879
Estas no son las únicas razones trigonométricas del ángulo.

54
00:06:11,879 --> 00:06:18,360
tenemos otras tres que se conocen como razones recíprocas, de tal manera que seguimos con

55
00:06:18,360 --> 00:06:25,040
la cosecante de alfa, que se escribe cosec alfa y se define como la hipotenusa partido

56
00:06:25,040 --> 00:06:32,560
del cateto nuestro. También tenemos la secante de alfa, que se escribe sec de alfa y se define

57
00:06:32,560 --> 00:06:37,879
como hipotenusa partido del cateto adyacente y por último tendríamos la cotangente de

58
00:06:37,879 --> 00:06:44,459
alfa que se define como, se escribe como cotang alfa y se define como cateto adyacente partido

59
00:06:44,459 --> 00:06:52,060
de cateto opuesto. A ninguno se os habrá pasado desapercibido el hecho de que estas razones tienen

60
00:06:52,060 --> 00:06:59,120
mucho que ver con las que hemos visto en la imagen anterior efectivamente. La cosecante es la recíproca

61
00:06:59,120 --> 00:07:07,160
del seno, la secante es la recíproca del coseno y la cotangente es la recíproca de la tangente.

62
00:07:07,160 --> 00:07:11,360
O dicho de otra manera, son las inversas multiplicativas.

63
00:07:11,779 --> 00:07:14,420
Vamos a verlo de una manera más clara.

64
00:07:14,899 --> 00:07:20,240
El seno de alfa está así definido y la cosecante es el inverso.

65
00:07:20,720 --> 00:07:23,819
Uno partido de la expresión del seno.

66
00:07:24,000 --> 00:07:24,300
¿De acuerdo?

67
00:07:26,600 --> 00:07:28,259
Con el coseno tenemos lo mismo.

68
00:07:28,459 --> 00:07:34,740
El coseno de alfa será uno partido por la secante y la tangente de alfa será uno partido de la cotangente.

69
00:07:34,740 --> 00:07:38,839
De tal manera que si conocemos seno, coseno y tangente, conocemos todas.

70
00:07:39,540 --> 00:07:39,899
¿De acuerdo?

71
00:07:41,560 --> 00:07:50,600
Bien, tal y como las hemos definido, las razones trigonométricas de los ángulos agudos, lo importante, cumplen dos cosas.

72
00:07:51,079 --> 00:07:56,439
La primera es que todas son positivas. Pensad que son cocientes de lados de triángulos.

73
00:07:56,699 --> 00:07:59,899
Eso siempre son números positivos y distintos de cero.

74
00:08:00,379 --> 00:08:03,800
Así que positivo entre positivo me va a dar positivo.

75
00:08:04,639 --> 00:08:10,540
Y la otra cosa que podemos deducir es que el seno y el coseno son números menores que 1.

76
00:08:10,740 --> 00:08:13,220
¿Por qué? Mirad la definición de seno y coseno.

77
00:08:13,939 --> 00:08:16,819
Es el cociente entre un cateto y la hipotenusa.

78
00:08:17,360 --> 00:08:18,560
Da igual qué cateto sea.

79
00:08:19,000 --> 00:08:24,100
En un triángulo rectángulo el lado más largo siempre es la hipotenusa.

80
00:08:24,100 --> 00:08:30,000
Por lo tanto, en estas fracciones el denominador siempre es mayor que el numerador.

81
00:08:30,399 --> 00:08:36,320
Y el resultado, por lo tanto, de la división es menor que 1.

82
00:08:36,320 --> 00:08:39,500
Las relaciones trigonométricas fundamentales son dos.

83
00:08:40,759 --> 00:08:45,000
Seno cuadrado de alfa más coseno cuadrado de alfa igual a uno

84
00:08:45,000 --> 00:08:50,559
y que la tangente de alfa es igual al seno de alfa partido del coseno de alfa.

85
00:08:51,559 --> 00:08:56,980
Vamos a intentar demostrar la primera de las relaciones trigonométricas

86
00:08:56,980 --> 00:09:01,360
y es una consecuencia directa del teorema de Pitágoras

87
00:09:01,360 --> 00:09:04,799
el cual se cumple porque estamos en un triángulo rectángulo.

88
00:09:04,799 --> 00:09:15,419
Así que aplicamos el teorema de Pitágoras. Sabemos que hipotenusa al cuadrado es igual a cateto opuesto al cuadrado más cateto adyacente al cuadrado.

89
00:09:16,220 --> 00:09:20,759
Simplemente estamos hablando en los términos que hemos definido al principio del vídeo.

90
00:09:21,860 --> 00:09:25,399
Los catetos no son 1 y 2, sino que son el opuesto y el adyacente.

91
00:09:25,399 --> 00:09:32,820
Bien, nosotros queremos que haya esta igualdad que esté igualado a 1.

92
00:09:32,820 --> 00:09:40,679
Para ello lo que vamos a hacer es que si yo en el primer miembro divido por hipotenusa al cuadrado conseguiré el 1

93
00:09:40,679 --> 00:09:45,480
pero si lo hago en el primer miembro tengo que hacerlo en el segundo miembro

94
00:09:45,480 --> 00:09:49,480
Así que dividimos todo por hipotenusa al cuadrado

95
00:09:49,480 --> 00:09:54,740
Operamos donde podemos y solamente podemos operar en el primer miembro donde nos queda un 1

96
00:09:54,740 --> 00:09:57,279
pero también podemos separar las fracciones

97
00:09:57,279 --> 00:10:03,039
Tenemos la fracción de una suma y ahora vamos a tener 1 igual a la suma de fracciones.

98
00:10:04,360 --> 00:10:08,379
Ya se nos va pareciendo a lo que queremos, pero todavía no lo podemos hacer.

99
00:10:08,940 --> 00:10:14,159
Tenemos que conseguir agrupar esas potencias.

100
00:10:14,799 --> 00:10:23,039
Tenemos una fracción de potencias y queremos una potencia cuya base sea una fracción.

101
00:10:23,039 --> 00:10:28,879
Como los exponentes son iguales por las propiedades podemos dividir las bases

102
00:10:28,879 --> 00:10:36,200
Y nos va a quedar ahora sí que 1 es igual al seno al cuadrado más el coseno al cuadrado

103
00:10:36,200 --> 00:10:39,799
Y acabamos de demostrar la primera relación fundamental

104
00:10:39,799 --> 00:10:41,019
Vamos con la segunda

105
00:10:41,019 --> 00:10:48,960
Lo que queremos demostrar es que la tangente de alfa es igual al seno de alfa partido por el coseno de alfa

106
00:10:48,960 --> 00:10:54,820
Y sabemos que la tangente de alfa la hemos definido como cateto opuesto partido del cateto adyacente.

107
00:10:55,820 --> 00:11:02,080
Vamos a partir del seno de alfa partido del coseno de alfa,

108
00:11:02,220 --> 00:11:06,740
que es exactamente lo que queremos demostrar, que es igual que la tangente.

109
00:11:07,320 --> 00:11:08,259
¿De acuerdo? Bien.

110
00:11:10,039 --> 00:11:16,399
Escribimos seno de alfa como su definición y coseno de alfa como su definición.

111
00:11:16,399 --> 00:11:18,399
He utilizado colores para que vayáis identificando.

112
00:11:19,879 --> 00:11:21,860
¿Cómo vamos a resolver este castillo?

113
00:11:22,120 --> 00:11:28,899
Aplicando la regla de la oreja, multiplicando el numerador de la de arriba por el denominador de la de abajo

114
00:11:28,899 --> 00:11:33,379
y el denominador de la de arriba por el numerador de la de abajo.

115
00:11:33,740 --> 00:11:40,320
Las hipotenusas se van y entonces me queda cateto opuesto partido de cateto yacente

116
00:11:40,320 --> 00:11:43,379
que efectivamente sabemos que es la adjuncente.

117
00:11:43,379 --> 00:11:47,740
Mira, si hemos partido del seno de alfa partido del coseno de alfa

118
00:11:47,740 --> 00:11:50,700
y hemos llegado a que es igual a la tangente de alfa

119
00:11:50,700 --> 00:11:53,940
entonces acabamos de demostrar lo que queríamos

120
00:11:53,940 --> 00:11:58,740
que la tangente de alfa es igual al seno de alfa partido del coseno de alfa