1
00:00:00,000 --> 00:00:06,759
Vamos a ver, esto del cálculo de la matriz inversa es algo importante y vamos a ver por qué.

2
00:00:07,160 --> 00:00:12,660
Entre otras razones, hay varias razones, pero una de ellas es porque me va a permitir resolver

3
00:00:12,660 --> 00:00:18,559
lo que entendemos por ecuaciones matriciales. Esto lo vamos a ver.

4
00:00:18,640 --> 00:00:26,859
Vamos a hacer el ejercicio 11 del tema 2, de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales.

5
00:00:26,859 --> 00:00:35,479
tenemos este ejercicio que dice, dadas las matrices A y B, comprueba que A a la menos 1 igual a esto.

6
00:00:36,479 --> 00:00:51,929
Esto tendríamos, o sea, nos están dando por un lado la matriz A, nos dicen que es esta, ¿vale?

7
00:00:51,929 --> 00:01:03,409
Y nos están dando B. Y nos dicen que comprobemos que A a la menos 1 es igual a un cuarto por 9, por esta matriz.

8
00:01:04,349 --> 00:01:28,859
¿Sí o no? La pregunta es, ¿cómo podríamos hacer esto? ¿Cómo podríamos hacer esta comprobación? Nos dicen, primero, apartado A, que comprobemos que la inversa de A es esta matriz. ¿Cómo podríamos hacerlo?

9
00:01:31,390 --> 00:01:39,780
Venga, estaríamos tentados de calcular a a la menos uno.

10
00:01:40,799 --> 00:01:45,099
Calcular la inversa tal y como sabemos, con esto, la fórmula del cálculo de la inversa.

11
00:01:45,480 --> 00:01:45,840
¿Sí o no?

12
00:01:46,459 --> 00:01:50,579
Pero en realidad sería un poco, y realmente la calculamos,

13
00:01:50,579 --> 00:01:55,340
y si llegamos a esta expresión, pues diríamos, pues oiga, sí, es la inversa.

14
00:01:55,819 --> 00:02:01,900
Pero hay una manera mucho más sencilla, y es comprobando que si multiplico la matriz A

15
00:02:01,900 --> 00:02:14,270
por esta que dice ser A a la menos 1, pues que, repito, que multiplicando la matriz A por lo que dice ser que es la inversa de A,

16
00:02:14,710 --> 00:02:19,389
si dieran la identidad, entonces efectivamente se comprueba que es la inversa.

17
00:02:20,449 --> 00:02:30,770
Y no sería necesario desarrollar esta fórmula, que es, como sabemos, un poco aparatosa.

18
00:02:30,770 --> 00:02:33,090
¿Se ve la idea o no?

19
00:02:33,849 --> 00:02:34,330
¿Sí o no?

20
00:02:34,729 --> 00:02:37,870
Ya digo que para comprobar que esta es la matriz inversa de esta

21
00:02:37,870 --> 00:02:38,789
Tendría dos maneras

22
00:02:38,789 --> 00:02:40,509
Una calculándola

23
00:02:40,509 --> 00:02:42,909
Que no lo aconsejo

24
00:02:42,909 --> 00:02:45,330
Y otra, mucho más sencilla

25
00:02:45,330 --> 00:02:48,509
Comprobando que esta matriz

26
00:02:48,509 --> 00:02:52,509
Por esta me da la identidad

27
00:02:52,509 --> 00:02:53,729
Hagámoslo

28
00:02:53,729 --> 00:02:59,099
Y aquí obtenemos

29
00:02:59,099 --> 00:03:06,199
Hacemos A por A a la menos uno

30
00:03:06,199 --> 00:03:07,800
¿De acuerdo?

31
00:03:08,740 --> 00:03:10,319
Hacemos el producto de matrices

32
00:03:10,319 --> 00:03:21,280
Por cierto, 9 cuartos pongo

33
00:03:21,280 --> 00:03:22,240
¿De acuerdo?

34
00:03:53,490 --> 00:03:55,009
Hacemos este producto de matrices

35
00:03:55,009 --> 00:03:56,830
Pero bueno, más sencillo sería

36
00:03:56,830 --> 00:03:59,069
Dejar el 1 cuarto fuera

37
00:03:59,069 --> 00:04:00,990
Perdón

38
00:04:00,990 --> 00:04:04,270
Y así es más sencillo el cálculo

39
00:04:04,270 --> 00:04:08,330
Y multiplicamos por 1 cuarto al final

40
00:04:08,330 --> 00:04:11,650
¿Vale? ¿De acuerdo?

41
00:04:12,069 --> 00:04:13,189
Pondríamos aquí 1 cuarto

42
00:04:13,189 --> 00:04:32,230
¿De acuerdo? Entonces, si operas, te da un cuarto por la matriz y te va a salir 4, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 4, que al multiplicar por un cuarto es la identidad. Esto lo dejo para vosotros, porque es la multiplicación de dos matrices.

43
00:04:32,230 --> 00:04:51,670
¿Se ha visto la idea o no? ¿De acuerdo? Así pues, tenemos que efectivamente la que dice ser la matriz inversa efectivamente lo es y lo hemos demostrado, porque al multiplicar nos da la identidad. ¿Vale? Bien.

44
00:04:51,670 --> 00:05:08,240
Bien, paso número 1, ya el apartado A está resuelto. Y ahora viene la parte interesante. El apartado B dice, haya la matriz X, una matriz X tal que A por X es igual a B.

45
00:05:08,240 --> 00:05:30,730
Nos piden que calculemos X, una matriz X, que le pasa que A por X es igual a la matriz B, que por cierto, la tenemos aquí, B es igual a esta matriz.

46
00:05:30,730 --> 00:05:34,259
¿De acuerdo?

47
00:05:35,720 --> 00:05:37,120
La cuestión está en

48
00:05:37,120 --> 00:05:38,379
¿Qué tenemos aquí?

49
00:05:39,240 --> 00:05:40,360
¿Qué es esto?

50
00:05:41,040 --> 00:05:43,680
Hay que entender bien qué es esto que tenemos aquí

51
00:05:43,680 --> 00:05:47,000
Para poder resolver el problema

52
00:05:47,000 --> 00:05:50,540
Nos están diciendo que encontremos una matriz X

53
00:05:50,540 --> 00:05:55,079
Que verifique que si coges la matriz A

54
00:05:55,079 --> 00:05:57,560
Que es perfectamente conocida, es esta

55
00:05:57,560 --> 00:06:03,759
Y la multiplicas por la matriz esta que desconozco

56
00:06:03,759 --> 00:06:30,779
que es la que tengo que encontrar, el resultado de todo va a ser esta matriz B que si conozco, que la tengo aquí, ¿se ve? ¿Qué es esto? ¿Cómo interpretáis que es esto que tengo aquí?

57
00:06:30,779 --> 00:06:48,639
¿Cómo llamaríamos a esta expresión? Repito, tengo una matriz conocida que multiplicado por una matriz desconocida es igual a una matriz conocida.

58
00:06:48,639 --> 00:06:53,259
¿Podemos llamar a esto ecuación matricial?

59
00:06:54,399 --> 00:07:00,300
Es ecuación porque tengo una incógnita

60
00:07:00,300 --> 00:07:03,600
Que es la X

61
00:07:03,600 --> 00:07:17,300
Y esto de aquí son valores conocidos

62
00:07:17,300 --> 00:07:18,459
¿Se entiende?

63
00:07:19,540 --> 00:07:23,560
Si me traslado esto al concepto de ecuación numérica

64
00:07:23,560 --> 00:07:24,300
¿Cómo diríamos?

65
00:07:24,300 --> 00:07:37,620
Pues mira, 3X igual a 9. Aquí tiene la misma estructura. 3, que es un número conocido, multiplicado por una incógnita que quiero encontrar, es igual a un número conocido. ¿Se entiende o no?

66
00:07:38,360 --> 00:07:52,540
Bien, ¿cómo resolver esta matriz que me piden? Insisto, lo que tengo aquí es una ecuación matricial, porque sus elementos son matrices. ¿Se ve?

67
00:07:54,300 --> 00:08:17,410
Bien. Pues pensemos cómo resuelvo una ecuación de este tipo numérica. Por ejemplo, esta. 3x igual a 9. ¿Cómo despejas x? Pasando a dividir el 3, ¿no? Tú dices, x igual a 9 tercios, que es 3. ¿Sí o no?

68
00:08:17,410 --> 00:08:34,899
Pero en realidad hay que pensar, yo no puedo dividir matrices, yo puedo multiplicar matrices, ¿sí o no? Pero fijaos, si solo existiera la multiplicación para despejar esta incógnita X, ¿qué haríamos?

69
00:08:34,899 --> 00:08:50,600
Pues multiplicas un tercio por 3x y un tercio por 9. ¿Qué he hecho? Este miembro lo multiplico por un tercio y este mismo miembro lo multiplico también por un tercio.

70
00:08:51,559 --> 00:08:53,799
Entonces la igualdad se conserva.

71
00:08:54,059 --> 00:08:54,779
¿Entendéis o no?

72
00:08:55,580 --> 00:08:55,960
¿Se ve?

73
00:08:59,049 --> 00:09:00,009
Y mirad qué pasa.

74
00:09:00,190 --> 00:09:01,549
Un tercio por tres, ¿cuánto da?

75
00:09:02,769 --> 00:09:03,230
Se va.

76
00:09:04,230 --> 00:09:04,809
¿Por qué?

77
00:09:04,889 --> 00:09:07,490
Porque un tercio es el inverso de tres.

78
00:09:09,269 --> 00:09:10,350
Por eso se va.

79
00:09:11,009 --> 00:09:13,730
Por eso lo he multiplicado por un tercio, para que se vaya.

80
00:09:14,870 --> 00:09:20,309
He multiplicado, como quiero eliminar este tres, pues voy y lo multiplico por el inverso de tres.

81
00:09:20,309 --> 00:09:24,409
Pero para que la ecuación se conserve

82
00:09:24,409 --> 00:09:27,529
Si multiplico este miembro por el inverso de 3

83
00:09:27,529 --> 00:09:30,649
Este también lo tengo que multiplicar por el inverso de 3

84
00:09:30,649 --> 00:09:32,389
¿Se ha entendido o no?

85
00:09:32,889 --> 00:09:37,070
Y así queda, como esto da 1, 1 por x, x

86
00:09:37,070 --> 00:09:38,250
Queda despejada

87
00:09:38,250 --> 00:09:42,919
Y esto es igual a 9 tercios

88
00:09:42,919 --> 00:09:47,080
Por eso decimos que el 3 pasa a dividir

89
00:09:47,080 --> 00:09:49,139
Eso es un salto lógico, en realidad

90
00:09:49,139 --> 00:09:53,360
Lo que pasa a dividir por todo esto que está aquí explicado.

91
00:09:54,179 --> 00:09:55,419
¿Se entiende la idea o no?

92
00:09:56,279 --> 00:09:59,960
Pues de esta misma manera vamos a resolver la ecuación matricial esta.

93
00:10:00,940 --> 00:10:07,720
¿Cómo? Pues mira, no olvidemos que tanto A como B son matrices conocidas.

94
00:10:08,799 --> 00:10:11,679
Lo único que no las pongo escritas porque es un rollo.

95
00:10:11,960 --> 00:10:13,580
Lo dejo simbolizado con las letras.

96
00:10:14,360 --> 00:10:15,639
¿Cómo despejaríamos X?

97
00:10:16,799 --> 00:10:18,080
Pongo aquí la ecuación.

98
00:10:18,080 --> 00:10:39,080
¿Cómo despejamos X? Pues mira, no puedo decir que la matriz A pasa a dividir. No puedo. Pero puedo multiplicar ambos miembros ¿por quién? Por la inversa de A, con la intención de que A, este elemento que está multiplicando a la X, desaparezca.

99
00:10:39,080 --> 00:10:55,230
desaparezca. Pongo a a la menos 1 por a por b igual a, y como este miembro lo he multiplicado por a a la menos 1 por la izquierda,

100
00:10:55,629 --> 00:11:04,230
ahora digo por qué es importante esto de por la izquierda, pues este elemento lo tengo que multiplicar también por a a la menos 1 por la izquierda.

101
00:11:07,610 --> 00:11:28,570
Digo por la izquierda y no por la derecha, que podría haber escrito esto, porque la multiplicación de matrices no es conmutativo, ¿os acordáis? ¿Se recuerda o no? Por lo tanto, es muy importante tener en cuenta que si a este miembro lo multiplico por la izquierda, a este también lo tengo que multiplicar por la izquierda, no por la derecha.

102
00:11:28,570 --> 00:11:34,049
¿Se entiende? Porque en matrices no pasa que el orden de los factores no altera el producto

103
00:11:34,049 --> 00:11:36,129
Si, si lo altera, ¿vale?

104
00:11:37,389 --> 00:11:37,990
Bien

105
00:11:37,990 --> 00:11:46,000
Entonces fijaros, perdón, aquí hay que poner una X, que me he equivocado, ¿eh?

106
00:11:46,720 --> 00:11:48,179
Cuidado, ¿vale?

107
00:11:48,960 --> 00:11:54,179
Este miembro por A a la menos uno y este miembro por A a la menos uno

108
00:11:54,179 --> 00:11:59,090
Por tanto, esto por cierto, ¿a qué es igual?

109
00:12:01,899 --> 00:12:03,259
A la identidad

110
00:12:03,259 --> 00:12:06,519
al 1, a la matriz unidad

111
00:12:06,519 --> 00:12:08,220
que multiplicado por X

112
00:12:08,220 --> 00:12:08,799
¿cuánto da?

113
00:12:10,419 --> 00:12:11,799
X, ¿sí o no?

114
00:12:12,539 --> 00:12:13,720
esto sí puedes decir

115
00:12:13,720 --> 00:12:14,720
este por este se va

116
00:12:14,720 --> 00:12:17,259
y te queda que X es igual a

117
00:12:17,259 --> 00:12:18,600
A a la menos 1 por B

118
00:12:18,600 --> 00:12:21,779
oye, ¿qué nos piden en el ejercicio?

119
00:12:23,360 --> 00:12:25,279
que encontremos la matriz

120
00:12:25,279 --> 00:12:27,220
fijaos en el ejercicio B

121
00:12:27,220 --> 00:12:28,659
en el apartado B

122
00:12:28,659 --> 00:12:31,639
que encontremos la matriz X

123
00:12:31,639 --> 00:12:33,179
tal que A por X es igual a B

124
00:12:33,179 --> 00:12:37,720
Esa matriz X está aquí despejada

125
00:12:37,720 --> 00:12:41,200
Para encontrar esa matriz, ¿qué tendría que hacer?

126
00:12:43,519 --> 00:12:45,559
Calcular a la menos 1

127
00:12:45,559 --> 00:12:49,720
Multiplicarlo por B y me da X

128
00:12:49,720 --> 00:12:51,639
La matriz buscada

129
00:12:51,639 --> 00:12:57,179
Por eso es importante aprender a calcular la matriz inversa

130
00:12:57,700 --> 00:13:00,179
Para resolver ecuaciones matriciales

131
00:13:00,740 --> 00:13:02,279
¿Se entiende o no?

132
00:13:02,279 --> 00:13:05,879
Entonces, fijaos que sencillo es ahora

133
00:13:05,879 --> 00:13:10,379
La matriz X que verifica esta igualdad

134
00:13:10,379 --> 00:13:12,039
O esta ecuación

135
00:13:12,039 --> 00:13:14,299
La solución de esta ecuación

136
00:13:14,299 --> 00:13:17,399
Es la que viene dada por esta expresión

137
00:13:17,399 --> 00:13:20,720
Lo único que tengo que hacer es multiplicar

138
00:13:20,720 --> 00:13:22,460
A a la menos 1 por B

139
00:13:22,460 --> 00:13:23,860
¿Cuánto vale A a la menos 1?

140
00:13:23,860 --> 00:13:24,779
Aquí la tienes

141
00:13:24,779 --> 00:13:26,919
Hagámoslo

142
00:13:26,919 --> 00:13:28,580
Los pongo aquí en pequeñito

143
00:13:28,580 --> 00:13:33,870
Se ven, entonces coloco aquí

144
00:13:33,870 --> 00:13:36,889
Lo he puesto aquí abajo para que se vea mejor

145
00:13:36,889 --> 00:13:40,669
¿De acuerdo? Entonces la matriz X es A a la menos 1 por B

146
00:13:40,669 --> 00:13:42,929
Esta es la matriz A a la menos 1

147
00:13:42,929 --> 00:13:44,389
Y esta es B

148
00:13:44,389 --> 00:13:47,590
Y lo único que hemos de hacer es multiplicarlo

149
00:13:47,590 --> 00:13:50,990
Y dar como resultado

150
00:13:50,990 --> 00:13:53,850
Bien, aquí ya os he puesto la solución

151
00:13:53,850 --> 00:13:57,129
Aquí tenemos lo que hemos visto

152
00:13:57,129 --> 00:13:58,070
¿De acuerdo?

153
00:13:58,889 --> 00:14:01,190
Que X es igual a A a la menos 1 por B

154
00:14:01,190 --> 00:14:04,070
aquí lo operamos, esto es a la menos 1

155
00:14:04,070 --> 00:14:08,210
esto es b, multiplicando me da este resultado

156
00:14:08,210 --> 00:14:11,809
y así hemos resuelto

157
00:14:11,809 --> 00:14:14,110
esta ecuación matricial

158
00:14:14,110 --> 00:14:23,159
¿qué valor de x verifica que a por x es igual a b?

159
00:14:26,350 --> 00:14:28,289
importancia, por tanto, tiene

160
00:14:28,289 --> 00:14:31,870
el cálculo de la matriz inversa

161
00:14:31,870 --> 00:14:32,830
¿de acuerdo?