1 00:00:00,620 --> 00:00:16,579 Hola, buenas tardes chicas y chicos. Vamos a hacer un nuevo vídeo donde vamos a explicar qué es el método de integración por cambio de variable. 2 00:00:17,399 --> 00:00:30,420 Es un método que no se utiliza mucho, pero a cambio tenemos una cosa buena que es que siempre que nos pidan una integral de cambio de variable nos lo van a indicar. 3 00:00:30,620 --> 00:00:36,039 como en este caso, que nos dicen calcula esta integral mediante el cambio de variable 4 00:00:36,039 --> 00:00:37,439 y nos dicen cuál es el cambio de variable. 5 00:00:39,429 --> 00:00:44,609 Lo voy a hacer muy esquemático para que intentemos, o sea, lo voy a hacer sin enrollarme mucho. 6 00:00:46,780 --> 00:00:49,039 Entonces lo que nos dicen es que 2x más 1 es t. 7 00:00:50,560 --> 00:00:56,039 Esto, voy a poner aquí un pequeñito, porque no, esto en rojo no hace falta que os acordéis de esto. 8 00:00:56,039 --> 00:00:58,939 Bueno, pues entonces 2x más 1 lo voy a llamar t. 9 00:00:58,939 --> 00:01:08,280 Bueno, pues entonces lo que tenemos que hacer es intentar escribir todo esto que hay en mi integral, esto, esto y esto, 10 00:01:08,840 --> 00:01:15,739 todo esto lo voy a escribir pero todo en función de t, es decir, la letra x va a desaparecer y va a aparecer en su lugar la letra t. 11 00:01:17,379 --> 00:01:26,870 Entonces lo primero que tenemos que saber es que a la derivada de esto por tx lo vamos a llamar de t. 12 00:01:26,870 --> 00:01:40,609 ¿Cuál es la derivada de 2x más 1? 2. Luego viene dx, pues 2dx, a esto le llamamos dt. Esto es la clave de todo. Así que aquí, esto es lo más importante. 13 00:01:41,329 --> 00:01:51,950 Nos tenemos que quedar con esto. El cambio de variable es t, y si derivo esto, hago la derivada, 2, luego pongo dx, y esto es dt. ¿De acuerdo? Esa es la clave de todo. 14 00:01:51,950 --> 00:01:59,409 Muy bien, entonces vamos a empezar. Lo primero que tengo que añadir, que voy a pasar al rojo, lo primero que tengo que saber es poner X. 15 00:02:00,049 --> 00:02:14,090 ¿Dónde pongo quién es X? Pues X lo puedo escribir aquí. Aquí me dice que 2X es T-1, ¿de dónde deduzco que X es T-1? Entre 2. 16 00:02:14,090 --> 00:02:20,169 Muy bien, luego yo ya, esto de aquí, ya sé lo que es, le pongo dos puntitos, muy bien. 17 00:02:20,629 --> 00:02:26,449 Luego tendré que poner raíz de 2x más 1, pero 2x más 1 ya sé quién es, que es t, 18 00:02:26,770 --> 00:02:28,189 luego esto yo también sé quién es. 19 00:02:28,550 --> 00:02:30,750 Y luego tengo que poner dx, dx no sé quién es. 20 00:02:30,990 --> 00:02:32,830 Bueno, pues dx se puede averiguar de aquí. 21 00:02:33,969 --> 00:02:38,150 Despejando la dx, dx es dt partido por 2. 22 00:02:39,009 --> 00:02:40,990 Luego ya sé quién es dx. 23 00:02:41,810 --> 00:02:45,969 Bueno, pues con este sencillo esquema ya podemos calcular. 24 00:02:46,150 --> 00:02:48,909 Empezamos con mi integral, con nuestra integral. 25 00:02:49,370 --> 00:02:51,650 No quiero poseerme, poseedla. 26 00:02:52,129 --> 00:02:52,430 Muy bien. 27 00:02:53,030 --> 00:02:55,310 Primero tengo que poner x, otro puntito. 28 00:02:55,710 --> 00:02:56,969 Primero quiero poner x. 29 00:02:57,189 --> 00:02:57,830 ¿Quién es x? 30 00:02:58,370 --> 00:03:00,710 Pues x es t menos 1 entre 2. 31 00:03:03,550 --> 00:03:06,990 Luego tengo que poner raíz de 2x más 1. 32 00:03:07,990 --> 00:03:10,889 Luego pongo raíz de 2x más 1 que esté. 33 00:03:10,889 --> 00:03:13,729 ahí está puesto 34 00:03:13,729 --> 00:03:16,150 fenomenal, y luego tengo que poner 35 00:03:16,150 --> 00:03:19,550 dx, y en vez de poner 36 00:03:19,550 --> 00:03:21,289 dx, pongo lo que es, y dx 37 00:03:21,289 --> 00:03:25,270 viene aquí, y nos ha puesto bonito 38 00:03:25,270 --> 00:03:27,050 bueno, no pasa nada, y eso es dx 39 00:03:27,050 --> 00:03:27,990 pues dx es 40 00:03:27,990 --> 00:03:31,330 dt, y ya está 41 00:03:31,330 --> 00:03:33,349 y ahora ya esta integral 42 00:03:33,349 --> 00:03:34,710 esta integral 43 00:03:34,710 --> 00:03:37,050 podría parar aquí 44 00:03:37,050 --> 00:03:39,270 y decir, ya la termináis vosotros y vosotras 45 00:03:39,270 --> 00:03:41,370 pero bueno, vale, venga, vamos a hacerlo 46 00:03:41,370 --> 00:03:42,610 venga, 2 por 2, 4 47 00:03:42,610 --> 00:03:45,810 esto lo saco fuera y aquí me quedaría integral 48 00:03:45,810 --> 00:03:49,490 t menos 1 por raíz de t 49 00:03:49,490 --> 00:03:53,270 y esto, la única manera que hay que hacerlo es 50 00:03:53,270 --> 00:03:54,750 pues operar, ¿qué vamos a hacer? 51 00:03:56,530 --> 00:03:59,189 t raíz de t menos raíz de t, estoy operando adentro, ¿no? 52 00:03:59,389 --> 00:04:01,889 vale, muy bien, vale 53 00:04:01,889 --> 00:04:05,169 ¿cómo ponemos los matemáticos? ¿cómo ponemos las matemáticas 54 00:04:05,169 --> 00:04:07,810 t por raíz de t? pues las ponemos de esta manera 55 00:04:07,810 --> 00:04:10,789 nosotros los matemáticos y matemáticas 56 00:04:10,789 --> 00:04:13,889 si suponemos que es la integral de T elevado a 3 medios 57 00:04:13,889 --> 00:04:15,689 ¿a que sí? 58 00:04:16,810 --> 00:04:17,850 eso es T elevado a 3 medios 59 00:04:17,850 --> 00:04:19,649 ¿y cómo escribimos raíz de T? 60 00:04:19,769 --> 00:04:21,910 pues nos gusta escribirlo T elevado a 1 medio 61 00:04:21,910 --> 00:04:23,790 y esto es diferencial 62 00:04:23,790 --> 00:04:24,629 vale 63 00:04:24,629 --> 00:04:27,290 pues esto ya se acabó 64 00:04:27,290 --> 00:04:28,649 ¿cuál es la integral de T? 65 00:04:29,069 --> 00:04:30,829 esto es T elevado a 66 00:04:30,829 --> 00:04:32,730 3 medios más 1 67 00:04:32,730 --> 00:04:37,139 pues pongo 5 medios 68 00:04:37,139 --> 00:04:38,800 dividido entre 5 medios 69 00:04:38,800 --> 00:04:41,019 ¿sabéis lo que voy a poner? 70 00:04:41,019 --> 00:04:43,839 muy bien, claro que lo habéis sabido 71 00:04:43,839 --> 00:04:45,459 muy bien 72 00:04:45,459 --> 00:04:48,740 y esto sería 73 00:04:48,740 --> 00:04:50,560 t elevado a un medio más uno 74 00:04:50,560 --> 00:04:52,639 tres medios, dividido entre tres medios 75 00:04:52,639 --> 00:04:54,160 que ponemos tres medios 76 00:04:54,160 --> 00:04:56,519 la c, que es una pastilla 77 00:04:56,519 --> 00:04:58,060 porque se me olvida, y sigo 78 00:04:58,060 --> 00:05:00,680 arriba tengo un dos y tengo un dos multiplicando 79 00:05:00,680 --> 00:05:01,680 lo puedo sacar fuera 80 00:05:01,680 --> 00:05:04,079 pues esto sería dos cuartos 81 00:05:04,079 --> 00:05:06,259 como dos cuartos nos gusta, pues pongo un medio 82 00:05:06,259 --> 00:05:08,540 genial 83 00:05:08,540 --> 00:05:10,319 y esto es t elevado a cinco medios 84 00:05:10,319 --> 00:05:15,980 entre 5 menos T elevado a 3 medios 85 00:05:15,980 --> 00:05:18,660 entre 3 más C 86 00:05:18,660 --> 00:05:21,660 bueno, parece que está terminada ya 87 00:05:21,660 --> 00:05:23,019 pero no está terminada 88 00:05:23,019 --> 00:05:24,579 y aquí tenemos un error muy común 89 00:05:24,579 --> 00:05:27,899 entre los jóvenes del mundo entero 90 00:05:27,899 --> 00:05:29,379 no solo del San Juan Bautista 91 00:05:29,379 --> 00:05:30,180 del mundo entero 92 00:05:30,180 --> 00:05:32,339 que es el siguiente 93 00:05:32,339 --> 00:05:33,420 que esta no es la respuesta 94 00:05:33,420 --> 00:05:34,420 porque aquí en la respuesta 95 00:05:34,420 --> 00:05:35,379 aquí aparece una T 96 00:05:35,379 --> 00:05:36,720 que es esto de T 97 00:05:36,720 --> 00:05:37,360 y aquí una T 98 00:05:37,360 --> 00:05:38,480 que tampoco sé lo que es 99 00:05:38,480 --> 00:05:40,920 pues ahora hay que hacer una cosa muy importante 100 00:05:40,920 --> 00:05:42,480 que ese no se olvida siempre 101 00:05:42,480 --> 00:05:44,220 que se llama 102 00:05:44,220 --> 00:05:46,620 DEC 103 00:05:46,620 --> 00:05:48,279 ¿qué significa DEC? 104 00:05:48,759 --> 00:05:50,199 deshacer el cambio 105 00:05:50,199 --> 00:05:52,139 así que donde está T 106 00:05:52,139 --> 00:05:53,699 tengo que poner quién era T 107 00:05:53,699 --> 00:05:55,800 ¿quién era T? 2 elevado a 5 más 1 108 00:05:55,800 --> 00:05:59,040 o este sería 2 elevado a 5 más 1 109 00:05:59,040 --> 00:06:01,740 elevado a 5 medios entre 5 110 00:06:01,740 --> 00:06:03,019 menos 111 00:06:03,019 --> 00:06:04,920 2 elevado a 5 más 1 112 00:06:04,920 --> 00:06:06,720 elevado a 3 medios 113 00:06:06,720 --> 00:06:08,160 entre 3 114 00:06:08,160 --> 00:06:12,699 y si queremos ya tener la máxima nota 115 00:06:12,699 --> 00:06:15,480 pues vamos a escribir esto, bonito, hombre 116 00:06:15,480 --> 00:06:19,509 ¿cómo se escribe eso? 117 00:06:19,589 --> 00:06:20,329 pues se escribe 118 00:06:20,329 --> 00:06:26,069 raíz de 2x más 9, de eso es la quinta 119 00:06:26,069 --> 00:06:28,069 menos, y esta raíz cuadrada 120 00:06:28,069 --> 00:06:29,250 de 2x más 1 121 00:06:29,250 --> 00:06:34,550 y más la constante de integración más c 122 00:06:34,550 --> 00:06:35,889 bueno, pues este es el método de integración 123 00:06:35,889 --> 00:06:38,810 ya hemos terminado, sencillo 124 00:06:38,810 --> 00:06:39,389 y fácil 125 00:06:39,389 --> 00:06:43,230 las cosas más importantes del método de integración 126 00:06:43,230 --> 00:06:45,050 es esto que he recuadrado aquí 127 00:06:45,050 --> 00:06:48,990 repito, este cambio no os lo dan 128 00:06:48,990 --> 00:06:51,470 luego hay que derivar, poner de x y esto es de t 129 00:06:51,470 --> 00:06:55,029 y luego la otra cosa importante es que hay que deshacer el cambio 130 00:06:55,029 --> 00:06:58,089 para poder haber resuelto bien la integral 131 00:06:58,089 --> 00:07:01,790 vamos a hacer otra, en este mismo vídeo 132 00:07:01,790 --> 00:07:06,029 no lo voy a cortar, en este mismo vídeo vamos a hacer otra 133 00:07:06,029 --> 00:07:19,589 vamos a hacer otra, muy bien, se ha borrado bastante bien 134 00:07:19,589 --> 00:07:23,769 vamos a hacer otra, lo mismo, repito, es una integral 135 00:07:23,769 --> 00:07:27,629 en la que nos dicen el cambio de variable que hay que hacer 136 00:07:27,629 --> 00:07:29,569 también aviso que a veces 137 00:07:29,569 --> 00:07:30,870 si la gente muy 138 00:07:30,870 --> 00:07:34,129 a veces nos piden 139 00:07:34,129 --> 00:07:36,129 hallar una integral en la que nosotros 140 00:07:36,129 --> 00:07:37,410 vemos que se puede hacer de otra manera 141 00:07:37,410 --> 00:07:40,069 pero bueno, si nos piden que la hagamos por cambio de integral 142 00:07:40,069 --> 00:07:40,949 pues la hacemos por cambio 143 00:07:40,949 --> 00:07:44,269 si nos piden que la hagamos por cambio de variable 144 00:07:44,269 --> 00:07:45,329 la hacemos por cambio de variable 145 00:07:45,329 --> 00:07:49,579 en este caso vamos a hacer esta integral 146 00:07:49,579 --> 00:07:53,800 repito que a veces hay gente que dice 147 00:07:53,800 --> 00:07:55,439 profesor yo la veo de otra manera, pues si 148 00:07:55,439 --> 00:07:57,319 la veo de otra manera, pues eso te sirve 149 00:07:57,319 --> 00:07:59,540 la puedes hacer así y así compruebas 150 00:07:59,540 --> 00:08:02,000 Y cuando la has hecho por el cambio de variable que te dicen 151 00:08:02,000 --> 00:08:05,959 La tienes bien o mal 152 00:08:05,959 --> 00:08:07,459 Bueno, pues aquí 153 00:08:07,459 --> 00:08:09,860 Este problema que he encontrado 154 00:08:09,860 --> 00:08:11,620 El cambio de variable 155 00:08:11,620 --> 00:08:13,500 De VAU, por cierto, el cambio de variable 156 00:08:13,500 --> 00:08:15,980 Que nos dice que tenemos que hacer es que a elevado a X 157 00:08:15,980 --> 00:08:16,980 Le llamemos T 158 00:08:16,980 --> 00:08:19,740 Este es mi cambio de variable 159 00:08:19,740 --> 00:08:21,259 Bueno, pues entonces empezamos 160 00:08:21,259 --> 00:08:23,199 Ya veréis que más rapidito ya hay 161 00:08:23,199 --> 00:08:24,860 Así que esto es 162 00:08:24,860 --> 00:08:27,100 X es T y ahora derivo 163 00:08:27,100 --> 00:08:29,519 La derivada elevada a X es elevada a X 164 00:08:29,519 --> 00:08:37,720 pongo dx y esto le llamo dt. Muy bien, entonces vamos a hacerlo más rápido, repito, más rápido. 165 00:08:37,860 --> 00:08:43,220 Bien, lo primero que tengo aquí arriba, voy a poner en verde, es elevado a 3x. 166 00:08:43,379 --> 00:08:48,840 Tengo que escribir elevado a 3x en función de t. Vale, cuidado con esto, muchas veces sabemos integrar muy bien 167 00:08:48,840 --> 00:08:55,000 y nos confundimos en puntos de matemáticas más básicas. ¿Qué le vamos a hacer? 168 00:08:55,000 --> 00:08:58,039 elevada a 3x, espero que todo el mundo lo sepa 169 00:08:58,039 --> 00:09:00,360 es lo mismo que elevado a x por 3 170 00:09:00,360 --> 00:09:02,960 es decir, por la propiedad de la potencial 171 00:09:02,960 --> 00:09:04,100 es esto 172 00:09:04,100 --> 00:09:07,399 espero que esto sí haya quedado claro 173 00:09:07,399 --> 00:09:10,279 no hago sin palabras, un día tengo ganas de hacer un vídeo sin palabras 174 00:09:10,279 --> 00:09:14,399 para que se vea, todo puesto pero que veáis lo que hay 175 00:09:14,399 --> 00:09:16,399 vale, muy bien 176 00:09:16,399 --> 00:09:19,139 elevado a 2x es t cuadrado 177 00:09:19,139 --> 00:09:21,580 perfecto, luego ya tengo 178 00:09:21,580 --> 00:09:24,120 elevado a e, ya tengo esto 179 00:09:24,120 --> 00:09:25,039 y me falta 180 00:09:25,039 --> 00:09:30,470 ¿de dónde saco elevado a dx? 181 00:09:30,590 --> 00:09:30,909 de aquí 182 00:09:30,909 --> 00:09:33,370 y aquí ya tengo 183 00:09:33,370 --> 00:09:36,690 que dx es igual a dt 184 00:09:36,690 --> 00:09:38,429 entre elevado a x, mirad, mirad, mirad 185 00:09:38,429 --> 00:09:40,389 pero esto no está completo 186 00:09:40,389 --> 00:09:42,330 porque acordaros que yo quiero escribir todo 187 00:09:42,330 --> 00:09:43,450 en función de t 188 00:09:43,450 --> 00:09:46,309 bueno, pues esto es dx entre elevado a x 189 00:09:46,309 --> 00:09:47,429 pero elevado a x es t 190 00:09:47,429 --> 00:09:49,769 era mi cambiito de variable 191 00:09:49,769 --> 00:09:51,889 luego ya seguiré 192 00:09:51,889 --> 00:09:53,350 con todo esto 193 00:09:53,350 --> 00:09:59,009 también se hace el rectángulo 194 00:09:59,009 --> 00:10:01,470 bueno, con todo esto ya puedo 195 00:10:01,470 --> 00:10:02,269 hallar mi integral 196 00:10:02,269 --> 00:10:05,850 entonces mi integral es 197 00:10:05,850 --> 00:10:07,009 empezamos 198 00:10:07,009 --> 00:10:09,690 lo primero que ponía, elevado a 3x 199 00:10:09,690 --> 00:10:11,210 pues en vez de elevado a 3x 200 00:10:11,210 --> 00:10:13,389 pongo t cubo 201 00:10:13,389 --> 00:10:17,070 más 1 entre 202 00:10:17,070 --> 00:10:18,629 elevado a x 203 00:10:18,629 --> 00:10:20,929 entre elevado a 2x, perdón 204 00:10:20,929 --> 00:10:22,730 y elevado a 2x este cuadrado 205 00:10:22,730 --> 00:10:24,690 y ahora de x 206 00:10:24,690 --> 00:10:26,250 y de x, ¿quién es? 207 00:10:26,490 --> 00:10:27,389 de x es esto 208 00:10:27,389 --> 00:10:32,120 de x es de t partido por t 209 00:10:32,120 --> 00:10:36,559 muy bien, bueno pues esto no es ni más ni menos 210 00:10:36,559 --> 00:10:38,139 que la integral de t cubo más 1 211 00:10:38,139 --> 00:10:39,879 entre t cubo 212 00:10:39,879 --> 00:10:42,379 diferencial de t cubo es t cubo 213 00:10:42,379 --> 00:10:44,340 muy bien, y esto como se hace 214 00:10:44,340 --> 00:10:45,980 pues como esto son polinomios 215 00:10:45,980 --> 00:10:48,200 y el grado de arriba es igual al de abajo 216 00:10:48,200 --> 00:10:49,940 puedo dividir, si fuera menor no 217 00:10:49,940 --> 00:10:52,759 pero como es igual puedo dividir 218 00:10:52,759 --> 00:10:53,620 vale, ¿cuánto es t? 219 00:10:53,779 --> 00:10:56,620 pues esto es 1 más 1 partido por t cubo 220 00:10:56,620 --> 00:10:57,860 diferencial de t 221 00:10:57,860 --> 00:11:14,450 Y esta integral, ya rapidito, la integral de 1 es t, la integral de 1 es t y la integral de t elevado a, de 1 partido por t cubo, esto, nosotros lo ponemos t elevado a menos 3. 222 00:11:14,450 --> 00:11:19,190 Bueno, pues esa integral es t elevado a menos 2 dividido entre menos 2. 223 00:11:21,879 --> 00:11:25,039 Perdóname, perdóname. 224 00:11:25,340 --> 00:11:32,080 t elevado a menos 2, vale, pues aquí voy a cambiar este más y este menos, 225 00:11:32,179 --> 00:11:39,529 porque voy a poner un menos, vale, y ya estamos terminando. 226 00:11:40,470 --> 00:11:44,690 La integral de nada ya está terminado. 227 00:11:44,870 --> 00:11:47,809 No, ¿por qué? Porque falta deshacer el cambio. 228 00:11:47,809 --> 00:11:49,889 así que ya pongo, quien es t 229 00:11:49,889 --> 00:11:51,889 t es elevado a x 230 00:11:51,889 --> 00:11:53,129 menos 231 00:11:53,129 --> 00:11:56,740 como va a sonar el teléfono, me he puesto nervioso 232 00:11:56,740 --> 00:12:01,090 pero bueno, esto veis que es 233 00:12:01,090 --> 00:12:03,289 1 partido por 2 t cuadrado 234 00:12:03,289 --> 00:12:05,409 ¿vale? bueno, pues esto es 235 00:12:05,409 --> 00:12:07,070 menos 1 partido 236 00:12:07,070 --> 00:12:08,769 por 2 t cuadrado 237 00:12:08,769 --> 00:12:11,230 y t cuadrado ¿quién es? es elevado a 2x 238 00:12:11,230 --> 00:12:14,379 más 0 239 00:12:14,379 --> 00:12:16,659 y aquí 240 00:12:16,659 --> 00:12:18,419 se acabó el siguiente ejemplo 241 00:12:18,419 --> 00:12:20,820 de integración por cambio de variable 242 00:12:20,820 --> 00:12:23,740 en el que nos dan el cambio de variable 243 00:12:23,740 --> 00:12:25,259 lo pongo aquí 244 00:12:25,259 --> 00:12:26,500 y ya estoy terminando 245 00:12:26,500 --> 00:12:28,879 el cambio de variable, lo pongo aquí 246 00:12:28,879 --> 00:12:31,419 luego derivo, pongo de x y eso le llamo de t 247 00:12:31,419 --> 00:12:33,299 y ya sale todo 248 00:12:33,299 --> 00:12:35,559 bueno, muchas gracias por habernos 249 00:12:35,559 --> 00:12:37,200 escuchado, un saludo a todos